Содержание к диссертации
Введение
1 Асимптотически конечномерные полугруппы операторов 26
1.1 Замкнутость подпространства Х0 в асимптотически конечномерных полугруппах 29
1.2 Почти стабилизируемость и стабилизируемость в ограниченной полугруппе 32
1.3 Анализ эволюции векторов в слабой топологии 36
1.4 Инфинитезимальный критерий инвариантности и нестаби-лизируемость 39
1.5 Стабилизируемость в медленно растущих полугруппах . 43
2 К теоремам Ролевича и ван Нервена 47
2.1 Теорема Ролевича для эволюционных семейств операторов 50
2.2 Препятствия к равномерной устойчивости С0-полугруппы . 56
3 Притягивающие компакты, теорема Ву — Сайна и компактная суперцикличность 70
3.1 Последовательности Вейля и отсутствие «иногда притягивающих» компактов у изометрий 73
3.2 Возвращающиеся векторы и асимптотическая конечномер -
3.3 Приложение к суперциклическим операторам 81
4 Границы асимптотической конечномерности 83
4.1 Медленно меняющиеся векторы 86
4.2 Асимптотическая конечномерность в рефлексивном случае 92
4.3 Условие (liminf ^ г] < 1) влечёт асимптотическую конечномерность 95
4.4 Условие (liminf ^ 1) не влечёт асимптотической конечно мерности: изометрии с плотными обмотками тора в С(М) . 101
5 Инвариантные пространства у операторов на веществен ных банаховых пространствах 107
5.1 Необходимые сведения из спектральной теории и форму лировка основной теоремы 107
5.2 Комплексификация и доказательство 109
6 О геометрии конусов и сфер 113
6.1 Конусы, порожденные выпуклой гиперплоской базой 114
6.2 Строгая нормальность и свойство MLUR 118
7 Теорема Каратеодори — Рашевского — Чоу для липши- цевых неголономных распределений 123
7.1 Введение и обзор результатов главы 123
7.2 Определения и геометрическая подготовка 126
7.3 Доказательство леммы 7.2.2 128
7.4 Два дополнения: ослабление липшицевости и того, что сос1ітЯ= 1 131
7.5 С1-орбиты и липшицевы орбиты 133
Заключение 136
Литература
- Анализ эволюции векторов в слабой топологии
- Препятствия к равномерной устойчивости С0-полугруппы
- Возвращающиеся векторы и асимптотическая конечномер
- Асимптотическая конечномерность в рефлексивном случае
Анализ эволюции векторов в слабой топологии
Предварительные определения и основные результаты Пусть X банахово пространство, {Tt : X - X t 0} - полугруппа линейных операторов, TtoT? = Tt+q. Всюду предполагаем, что полугруппа действует непрерывно при 0 t оо, т. е. для каждого v Є X функция t ь-»- ТДг ) непрерывна при і 0. Полугруппа ограничена, если все операторы Tt ограничены по норме константой С оо.
Для каждого вектора v Е X и t 0 будем писать vt = Ttv, такое же сокращение сделаем для произвольных подмножеств в X.
Говорим, что полугруппа асимптотически конечномерна, если коразмерность пространства Х0 в X конечна. Соответственно можно говорить об асимтотической счетномерности полугруппы.
Несмотря на то, что пространство XQ состоит из векторов, зануляю-щихся в пределе, сужение полугруппы на XQ не обязано быть ограничен ной полугруппой (а пространство XQ — замкнутым подпространством в X), пример 1.
В первом параграфе данной главы мы показываем (теорема 1.1), что у асимптотически конечномерных (и даже счетномерных) полугрупп пространство Х0 всегда замкнуто. В общем случае для замкнутости Х0 достаточно также наличие в X замкнутого дополнительного к XQ подпространства L. Из этой теоремы, в частности, следует, что замкнутость пространства Х0, требуемая определением квазисжимающей полугруппы в работе Емельянова и Вольфа [1], выполнена автоматически.
Во втором параграфе мы изучаем вопросы стабилизируемости подпространств, дополняющих Х0 в X. Для обозначения таких конечномерных подпространств используем букву L.
Предположим, что нашлось подпространство L, дополняющее Х0 в X. Если Х0 замкнуто (например, в случае асимптотической конечномерности), то норма в X = X0L эквивалентна норме, задаваемой формулой \{х0 + у)\ := \х0\ + \у\.
Для анализа асимптотического поведения полугруппы важно знать второй столбец этой матрицы. Если и пространство L -инвариантно, то представление (1) диагонально, т.е. операторы нулевые. Таким образом, для нахождения диагонального представления вида (1) надо уметь находить инвариантное подпространство L. Сразу отметим, что его может не быть, см. пример 2.
Для удобства мы будем иногда писать At вместо TtA для тех подмножеств А С X, для которых такое обозначение не вызовет разночтений.
Пусть полугруппа Tt асимптотически конечномерна, codimXo = п. Рассмотрим произвольное подпространство Lcl, дополняющее XQ. В теореме 1.2 показано, что если полугруппа ограничена, то L почти стабилизируемо, т. е. положение L в пространстве X изменяется под действием полугруппы всё медленнее (образно говоря, Lt, эволюционируя, «увязает» в X при больших t). Для строгой формулировки напомним, что такое угол между подпространствами:
Теперь мы можем строго сформулировать теорему 1.2: Если % асимптотически конечномерная ограниченная полугруппа, то любое п-мерное подпространство L С X, дополняющее Х0 в X, почти стабилизируемо, т. е. для каждого t supg t Z(LP, LP+q) - 0 при Р - оо.
В третьем параграфе мы исследуем орбиты полугруппы в слабой топологии пространства X. Основной результат данного параграфа — теорема 1.3, в которой показано, что в случае слабой почти периодичности полугруппы, т. е. компактности замыканий орбит векторов в слабой топологии X всякое подпространство L, дополняющее Х0, стабилизируемо. В частности, это выполнено в случае ограниченной полугруппы, действующей на рефлексивном пространстве X.
Несложно заметить (см. замечание 4), что движение почти стабилизируемого, но не стабилизируемого пространства L в пространстве X под действием полугруппы не может замедляться слишком быстро, например, числовой ряд J2T=i ALk+h Lk) должен расходиться. В четвертом параграфе мы устанавливаем несложный критерий инвариантности конечномерного пространства как собственного пространства генератора полугруппы (лемма 1.4.1). Здесь же мы доказываем теорему 1.4, — пример неограниченной асимптотически двумерной полугруппы, в котором существует как инвариантное дополнение к Х0, так и двумерное подпространство L, дополняющее Хо, но не являющееся даже почти стабилизируемым. Это показывает, что условие ограниченности полугруппы в теореме 1.2 существенна уже в случае codimX0 = 2.
В пятом параграфе доказана теорема 1.5, обобщающая теорему 1.2 на случай асимптотически конечномерных полугрупп, для которых \\Tt\\ = o(t)\t oo (это в точности те полугруппы, у которых слагаемое Qt в представлении (1) ограничено). Из этой теоремы легко следует, что если codimXo = 1 (случай, частый в приложениях), то ограниченность полугруппы в теореме 1.2 несущественна.
Отметим, что аналоги теорем 1.2 и 1.3 для С0-полугрупп операторов содержатся в статье Емельянова [2], где они доказываются методами нестандартного анализа.
Замечание 1. Если codimX0 ос, то утверждение леммы справедлива и для неограниченной полугруппы Tt. В работе Емельянова и Вольфа [24] это было доказано в предположении замкнутости Х0 для полугруппы степеней оператора. Там же есть контрпример к заключению леммы 1.1.1 в случае бесконечной коразмерности пространства Х0 и неограниченной полугруппы.
Известно (Левин, Саксон [62]), что переход к подпространствам счетной коразмерности сохраняет бочечность. Таким образом, для Х0 выполняется принцип равномерной ограниченности. Для любой точки v Є Х0 множество {vt t 0} ограничено, поэтому существует число С оо такое, что для каждого t О \\Tt\Xo\\ С. Операторы Tt на Cl(Х0) ограничены той же константой. Из леммы 1.1.1, применённой к сужению полугруппы на пространство Cl(Хо) следует, что XQ = Cl(Хо). Полное факторпространство Х/Х0 не может быть счетномерным, но лишь конечномерным.
Препятствия к равномерной устойчивости С0-полугруппы
Поэтому угол между прямыми Lt и LP+t мал при больших Р. Переходя к общему случаю, заметим: если полугруппа Qt : L — L ограничена, то она ограничена и снизу (равномерно). Это выводится из следствия теоремы 1.1, а также леммы 1.2.1, примененной к самой конечномерной полугруппе Qt : L - L. (Впрочем, это очевидно и так: ясно, что L ортогональна в некотором базисе.) Итак, cуществует к оо такое, что для всех у Є L и для всех t 0 \у\ k\Qt{y)\. Значит, тем более, \у\ k\Tt{y)\. Пусть t 0. Шар В Z L радиуса fc компактен, компактен и его образ Д. Тогда множество К := Х0 П (Bt - В) = {и - v Є Х0 \ и Є Ви v Є В} тоже компактно. Множество if играет в оставшейся части доказательства ту же роль, что и точка x(t) в исследовании одномерного случая. Пусть z Є Lp, \z\ = 1. Рассмотрим вектор у Є L, такой, что z = уР. Тогда \у\ fc, т.е. / Є 5. Существует хЄІ0 такой, что у + х Є Lt. Тогда х Є if. В то же время z + xP = (y + x)Pe LP+t. Поэтому
Число \КР\ не зависит от выбора уР, поэтому Z(LP,LP+t) ifP по определению угла. Но множество if компактно и лежит в Х0, поэтому lifpl - 0. Следовательно, и Z(LP,LP+t) тоже стремится к нулю при Р - оо. Осталось ещё раз применить принцип равномерной ограниченности, рассуждая как при завершении доказательства теоремы 1.2 .
Пример 4 и теорема 1.4 показывают, что условие медленного роста полугруппы Qt в теореме 1.5 существенно уже в случае codimXo = 2. Однако для асимптотически одномерных полугрупп Tt можно не требовать ничего. В самом деле, как уже отмечено, отображение Qt : L — L в представлениях (1) такой полугруппы есть умножение на число ect. Операторы t[jt := e ctTt также образуют полугруппу, «гомотетичную» исходной и притом медленно растущую. Из теоремы 1.5 следует, что подпространство L почти стабилизируемо в полугруппе ijjt, а, значит, и в полугруппе Tt (так как углы при гомотетии сохраняются). Если при этом полугруппа фг неограничена (например, как в примере 5), то угол между прямой Lt и пространством Х0 стремится к нулю (Lt «ложится» вХ0).
Заметим также, что если асимптотически конечномерная полугруппа медленно растет, но неограничена, то она не расщепляема, т.е. стабильных подпространств, дополняющих Х0, не существует. В самом деле, представление (1) такой полугруппы не может быть диагональным, ибо прямое произведение ограниченных полугрупп ограничено. Глава 2 К теоремам Ролевича и ван Нервена Результаты этой главы опубликованы в работах [94] и [97]. Co-полугруппа Tt : X — X называется равномерно экспоненциально устойчивой (РЭУ), или равномерно экспоненциально ограниченной, если нормы Tt убывают к нулю при t - оо (тогда убывание, очевидно, экспоненциальное).
В конечномерном случае это условие эквивалентно убыванию \Ttx\ к нулю при t - оо для каждого х Є X. Стандартный бесконечномерный контрпример — полугруппа сдвигов, скажем, на пространстве І 2(М+). Здесь Tt = 1, но \Ttx\ - 0 для всех х. Однако, отсутствие (РЭУ) у полугруппы влечет существование векторов, орбиты которых если и уходят в ноль, то «очень медленно», например, для каждой неубывающей положительной функции / существует х Є X такой, что
Датко получил этот результат в [3] для функции f(z) = z2 и гильбертова X. (Это - аналог теоремы Ляпунова об устойчивости.) Паци обобщил этот результат в [4] для функций вида f(z) = zp, р Є [1,оо). Зябчик в [5] показал, что если / : (0, оо) — (0, оо) — выпуклая возрастаю щая функция, lims o f(s) = 0 и С0-полугруппа Tt не РЭУ, то существует х Є X такой, что для каждого а О J0 f(a-\Ttx\)dt = ос. Для непрерывных строго возрастающих функций соответствующий результат получил Литтман в [6].
Далецкий и Крейн в [7] исследовали связь скорости роста решений х(t) как стационарной, так и нестационарной задач Коши с показателями роста эволюционного оператора U(t,r) : X —X. Из их результата, в частности, следуют результаты Датко и Паци.
Ролевич в [8] обобщил результаты Далецкого - Крейна и Зябчика. Используя вспомогательный результат Далецкого и Крейна, он показал следующее. Пусть эволюционное семейство U(t, s) : X - X, t s О равномерно ограничено, но не равномерно экспоненциально ограничено. Предположим, что N(a, и) : R+ х R+ - R+ непрерывно и функции /а(м) := N(a,u) являются правильными для каждого а. Тогда существует х Є X такой, что для всех a sup J0 Теоремы типа Ролевича получены, например, в работах [9, 10]. В первом параграфе настоящей главы доказана теорема 2.1, являющаяся некоторым усилением теоремы Ролевича. Основным достижением этого параграфа автор диссертации считает не эти усиления, а идею короткого доказательства, заключающуюся в использовании леммы 2.1.1.
Во втором параграфе исследуются некоторые вопросы поведения полугруппы с точки зрения слабой топологии. Эти вопросы впервые появились и стали обсуждаться в [11, 12, 13]. Обзор этой темы можно найти в [14]. Вопрос, аналогичный формуле (1) для слабой топологии таков: когда можно утверждать, что для каждой неубывающей положительной функции h
Возвращающиеся векторы и асимптотическая конечномер
Результаты этой главы опубликованы в [96], [98], [99]. Как и в предыдущей главе, Т : X - X — линейный оператор, ограниченный со степенями, Х0 = \х Є X I Тпх - О). Оператор Т асимптотически конечномерен, если такова полугруппа его степеней, т.е. codimX0 оо. Напомним: при выполнении условия (lim = 0), т.е. при наличии компакта К С X такого, что Ух Є Вх lim р(Тпх, К) = 0 полугруппа асимптотически конечномерна и даже расщепляема, т.е. Х0 дополняется инвариантным пространством (Ву [18], Сайн [19]). Для преемственности формулировок перепишем условие (lim = 0) в эквивалентном виде
Что, если от компакта не требовать, чтобы он притягивал «вплотную», как в условиях (lim sup = 0) или (lim inf = 0), но чтобы он затягивал (иногда) орбиты векторов в свою г]-окрестность при Г] 1? Известно, что в бесконечномерном пространстве шар радиуса чуть меньшего единицы в известном смысле «бесконечно мал» по сравнению с единичным шаром. Поэтому условия вида компакт (иногда) «притягивает, но, быть может, не вплотную») достаточно естественно рассмотреть в качестве кандидатов на условия асимптотической конечномерности:
Постановку соответствующих задач можно выразить в терминах малой меры некомпактности притягивающих множеств. Мерой некомпактности х(А) произвольного подмножества А в нормированном пространстве называется нижняя грань таких чисел г, для которых А можно поместить в конечное (или, что эквивалентно, c центрами в некотором компакте) объединение шаров радиуса г. Компакты - в точности множества меры некомпактности 0. С другой стороны, всякий шар радиуса R в бесконечномерном пространстве имеет меру некомпактности R. В этих терминах условие (lim sup rj) можно сформулировать так: существует притягивающее орбиты единичных векторов множество А, мера некомпактности которого равна г] 1.
В случае (limsup rj) асимптотическая конечномерность установлена в [24], см. также работу [1], где, среди прочего, условие (limsup rj) исследовано для произвольных абелевых полугрупп операторов. В более ранних работах вариант условия (limsup rj) исследовался в работе [25] для марковских операторов в Li, затем для банаховых решеток — в работах [26, 27, 28]. В контексте марковских операторов по-видимому в самом общем на настоящий момент виде условие (limsup rj) исследовано в работе [29] - для так называемых сетей Лотца - Ребигера.
В настоящей главе мы задаёмся вопросом: имеется ли асимптотическая конечномерность при выполнении самого слабого ограничения (liminf 77), т.е. когда компакт К «притягивает лишь иногда и не сильно». Этот вопрос поставлен в книге [30], (problem 1.3.33).
В параграфе 4.1 мы, опираясь на понятие аппроксимативно собственных векторов, вводим понятие «медленно меняющихся векторов». Это — те аппроксимативно собственные векторы, соответствующие единичным по модулю элементам спектра, которые почти не укорачиваются при итерациях Т. Формульно: оператор Т имеет медленные векторы, если для любого є 0 существует вектор х единичной длины такой, что в комплексной единичной окружности Л найдется такое Л, что \Тх-\х\ е и \Тпх\ 1-єУп = 0,1,2....
Теорема 4.1 утверждает, что медленные векторы появляются уже при Х0 X, т.е. при первой же возможности; если же codimXo = 00, то медленных векторов много: можно найти сколь угодно многомерные подпространства, сферы которых состоят только из медленных векторов.
Результаты 4.1 используются в параграфе 4.2 для доказательства асимптотической конечномерности при условии (liminf ц 1) в случае рефлексивного X (теорема 4.2). Результат без труда можно получить и для однопараметрической полугруппы операторов {Tt : X - X, t 0}.
Заметим, что как раз в рефлексивном случае асимптотическая конечномерность у ограниченной полугруппы влечет расщепляемость (X0L), см. [2], [93] или первую главу.
В оставшихся параграфах мы показываем, что число г] = служит границей условия асимптотической конечномерности. Именно, в параграфе 4.3 основной результат — теорема 4.3, в которой асимптотическая конечномерность установлена при условии (liminf г] ), а в параграфе 4.4 доказаны теоремы 4.4 и 4.5, в которых показано устройство изометрий с условием (liminf \) на пространствах С(М) непрерывных функций на произвольном нульмерном компакте М, где в роли притягивающего множества К можно подобрать точку.
В частности, если с — банахово пространство сходящихся последо вательностей, Ап Є С, An = 1, An - А и {А, Аь A2,...} - множество Кронекера, то оператор умножения Т : с — с, (Тх)п = Anirn — изомет-рия, удовлетворяющая условию (liminf ) для одноточечного if.
Отметим, что операторы из с в с вида (Tf)n = Xnfn, An - А О (Ап попарно различны), согласно наблюдению Любича [59], не обладая полной системой собственных конечномерных подпространств, являются тем не менее скалярно почти периодичными. Что касается рефлексивного пространства, то Любич в [59] показал, что в нём (и вообще, в слабо полном пространстве) полнота системы собственных подпространств оператора эквивалентна скалярной почти периодичности. Возможно, результаты параграфа 4.2 также справедливы для слабо полного пространства, а не только для рефлексивного. линейный оператор на комплексном банаховом пространстве X, ограниченный со степенями, Tn С.
Если спектральный радиус оператора Т равен единице (это заведомо так, если Х0 Х), то на окружности Л существуют точки спектра сг(Т).
Единичный вектор х Є X называется є-почти собственным (или просто є-собственным) вектором оператора Т, если существует А Є С такое, что \Тх - \х\ є. Такие векторы существуют для каждого А Є а(Т) ПЛ. Нам понадобятся те -собственные векторы, которые при итерациях Тп не слишком укорачиваются.
Асимптотическая конечномерность в рефлексивном случае
Оно непрерывно и инъективно в некоторой окрестности точки (0,0,0), причем точка (0,0,0) переходит в себя. В силу теоремы Брауэра о вложении области образ этого отображения является окрестностью точки (0, 0, 0). В то же время ясно, что образ данного отображения состоит из точек, достижимых из точки (0, 0, 0) с помощью 6-звенных Я-ломаных, идущих попеременно вдоль X и вдоль Y. Доказательство леммы для п = 3 закончено.
Доказательство для к + 1 = п Зне содержит дополнительных идей. Приведем его, уже опуская простые оценки. Снова считаем, что р — начало координат. Рассмотрим произвольную окрестность U точки р. Пусть є мало. Символом Пк обозначим множество
Если отображения Ф7 совпадают друг с другом при всех перестановках /, т.е. не зависят от порядка «переключений» векторных полей Хъ Х2,..., Хк, то соответствующее отображение Ф определяет параметризацию fc-мерного интегрального многообразия Mfc, заметаемого Я траекториями. В этом случае распределение Я интегрируемо в точке р.
Предположим теперь, что нашлась точка г Є & и две перестановки /, J такие, что Ф7(г) J(r). Тогда образ множества Пк отображения 6/J содержит прямолинейный отрезок S оси Oxk+i, поскольку этот образ линейно связен, но не сводится к одной точке. Отображение (IEI, ..., Хк, z) как легко видеть, инъективно при малых z Є S. Осталось применить теорему Брауэра. Лемма 7.2.2 и теорема 7.1 доказаны.
Два дополнения: ослабление липшице-вости и того, что codim Н = 1
I. В доказательстве леммы 7.2.2 мы пользовались липшицевостью полей ХІ только для того, чтобы гарантировать хорошие свойства решений уравнения (1) для полей Хг. Поэтому можно ослабить формулировку теоремы 7.1, потребовав выполнение именно этих свойств. Например, назовем непрерывное векторное поле X хорошим в окрестности точки р, если задача Koши u(0) = r,u{t) = X(u{t)) в некоторой окрестности точки р имеет единственное решение, непрерывное по (г, t).
Назовем семейство кривых в области U хорошим в окрестности р, если это семейство является семейством интегральных кривых некоторого хорошего в окрестности р ненулевого векторного поля.
Назовем fc-мерное распределение Я в области U сШп хорошим, если для каждой точки р пересечение Я с каждой трансверсальной к Н(р) (п- к + 1)-мерной плоскостью П образует в П хорошее в окрестности р семейство кривых. Ясно, что липшицевы распределения хорошие. Следующая теорема доказывается так же, как и теорема 7.1 (по сути дела, мы «подогнали» определения под то доказательство).
Теорема 7.2. Пусть Н хорошее к-мерное распределение в Жк+1, порожденное непрерывными векторными полями Хъ...,Хк. Если оно неголономно в связной области U, то любые точки p,q eU являются Н-соединимыми. II. Положим т = п — к — коразмерность распределения Н. До сих пор т равнялось 1. В доказательстве леммы 7.2.2 мы строили инъективное отображение {хъ...,хк,г) г{хъ...хк), действующее на множестве Пк х S, где S «вертикальный» отрезок. Этот отрезок мы получили, как невырожденный образ некоторого непостоянного отображения 6/J(Dfc) С Rm=1. Существование отрезка S было ключевым геометрическим моментом доказательства леммы 7.2.2 и теоремы 7.1.
Линейно связное множество в Rm 1 тоже содержит некоторый топологический отрезок S. (Интуитивно это очевидно, однако доказательство содержательно, см., например,[90], 50, примечание к теореме 2). Пусть 7 : [0, 1] — S, — параметризация этого отрезка. Отображение компакта fc х [0, 1] в Rn, действующее по формуле (хъ ...,xk,z) Ф )(жі, ...хк), инъективно (ср. конец доказательства леммы 7.2.2). Мы доказали такую теорему:
Теорема 7.3. Пусть Н к-мерное липшицево распределение в Шп. Если Н не интегрируемо в точке р, тогда локальные Н-орбиты точки р содержат гомеоморфныи образ к + 1-мерного куба.
Нетрудно заметить, что теорема 7.3 верна и для fc-мерных распределений в банаховом пространстве. Такие распределения изучались, например, в [50], см. первый абзац следующего параграфа.
В работе [52] Зюссман показал, что орбита произвольной системы С-гладких векторных полей является гладким инъективным образом некоторого С многообразия. В работе Стефана [51] соответствующий результат получен для С?-категории, q l. Теорема об орбите обобщалась и на бесконечномерный случай банаховых многообразий, см. работу [50]. Теорема Стефана - Зюссмана в ее общем виде не дает оценок, но является «руководящей и направляющей» силой для доказательства теорем типа Рашевского - Чоу. Докажем, например, с помощью неё результат Басалаева и Водопьянова ([53], теорема 2.6).
Следствие теоремы об орбите. Пусть Н распределение на гладком многообразии Мп, порождаемое С1-полями ХЪ...,Х3. Пусть для каждого і 1 распределение Нг+1 получается взятием линейной оболочки всех С1-полей из Нг и их однократных коммутаторов. Предположим, что все распределения HUH2,...,HN являются С1-гладкими и HN(p) = ТМ. Тогда орбита точки р под действием системы полей Xi,... ,XS — окрестность точки р в М. Более того, существует натуральное число L такое, что окрестность точки р заметется ломаными, состоящими не более, чем из L звеньев.
Доказательство. Я-орбита точки р с учетом теоремы об орбите является инъективным гладким образом некоторого С -многообразия М1 под действием гладкого инъективного отображения / : М1 - Мп. Из топологических соображений типа теоремы Брауэра следует, что достаточно показать, что / = п. Но если / п, то все распределения Щ, будучи подпространствами касательного пространства к орбите, также, не более, чем /-мерны. В частности, никак не может быть HN(p) = ТМ. Стало быть, орбита имеет непустую внутренность в Rn. Осталось показать существование конечного числа L. Для каждого j = 1,2,... рассмотрим множество Kj, заметаемое ломаными, состоящими из j звеньев длины
