Введение к работе
Актуальность теми. Диссертации посвящена изучении спектральных свойств мажорируемых операторов на решточно нормированных пространствах.
Изучению спектральных свойств линейных операторов не нормированных и частично упорядоченных пространствах посвяэд-ны работы целого ряда математиков, в том числе С.БанбХн, А.Вейля, Й.М.Гельфэнда, М.Г.Крзйва» 0.Перрона, Г.Фробениусл и многих других. Важность этих работ определялась использованием их результатов, как в самом функциональном анализе и теории дифференциальных уравнений, так и'приложениями "их в квантовой механике, теории твердого тела и друг..х областях физики.
В теории лннзйкых операторов изучение спектральных свойств занимает одну из ключевых позиций, так как имеются глубокие внутренние взаимосвязи мегду спектральными свойства»"! линейного оператора с одной стороны и структурой век-торног) пространства с другой.
В последние годы наметился явный ірогресс в изучении спектральных свойств операторов на банаховых решет.?."-*. Достаточно упомянуть работы В.Арента, А.К.Китовера, В. де Паг-
тера, Х.Шефера. Задача об описании структуры порядкового спен трь регулярного оператора впервые изучалась Х.Шефером [ij . В работе ["sj В.Арелт показал, что G(.T)- GC(T) для V-компактного регулярного оператора на банаховой тзешетке
Є
Эти результаты нашли дальнейшее применение в работах
В.Аренда» А.Сурура и Д.Харт,
В* недавней работе Б. да Шгтера [3 ] получено положительное решение долгое время остававшейся нерешенной проблемі 6 существовании Т-инвариантного идеала у положительного компактного кваэинияьпотентного оператора на банаховой решетке, Как следствие этой работы явилась серия обобщений тео ремы Андо-Крегера, предложенная Шефером,. Гроблером, В.Каселе сом. .
Большое внимание уделяется изучению Спектральных свойст сохранящих дизъшктность операторов. Для решения этой задач в.большинстве работ используется представление решеточных гомоморфизмов в виде операторов взвешенного сдвига на соот-ьетствуицих функциональных пространствах. Особенно вццелим "в этой связи работу В.Арента и Д.Харт ^4 J , в которой
-
Sckaefer HJMaib.Z. - МЫ-'Ы-*54--*--*
-
Aren/t W. ц ММ.Ъ.- 19и.-ылчъ.-$яш
-
Palter b.je //Matb.Z.-i9^.-Bol.i^.-S.143^
-
Areneft V/., Wart D. If]. Funct. And.- ізіб.
v.6^ ;- р.ічз-'єч.
подробно изучена структура спектра квазиобратимого оператора на порядково полной баннховой решетке.
В то же время существенное развитие претерпевает в настоящее время тоория решеточно нормированных пространств, основы которой были заложены Л.В.Кгшторовичем в ЗО-х годах. Эта теория позволяет в абстрактной форле Охватить некоторые аспекты, являющиеся существенными для исследования конкретных функциональных уравнений, которое не могли найти отражения в банаховой теории. Это-во-первнх,.идея мажорации одного уравнения другим, играющий большую роль при исследовании уравнений; во-вторых, воэмс /лость использования в качестве значений нормы вместо вещественных чиоел элементов К -пространства, что приводит к существенному уточнению опенок.
Значительное продвижение в теории решеточно нормированных пространств и мажорапии линейных операторов в последние годы связано с работами Г.П.Лкилова, Л.Г.Кусраева, С.С.Кутп-теледэе и их учеников. Следует также отметить работы А.В.Бух-валова, в которых исследуются важные.конкретные решеточно нормированные пространства; пространства вектор- "укиций, мажорируемых операторов и операторов с абстрактной нормой.
Шстроение теории векторной^двойственности Г& | позво-. лило А.Г.Кусраеву, В.З.Стрижеискому, .В.Колесникову и другим глубоко продвинуть теорик. мажорируемых операторе-1, что \ при поло к переосмыслению ca:.'ott идеологии мажорации.
От-1-зтим, что одним из ведущих "опросов, которые явно
о. Кусраев А.Г. Векторная двойственность и ее прило-- ния. Норосибирск: J'oyira, j965.
или неявно присутствуют во многих задачах теории мажорируемых операторов, является вопрос о "наследовании" оператором свойств его точной мячсоранты, т,е, о том, что можно сказать о тех или иных свойствах оператора, зная свойства игнорирующих ,:'о регулярных операторов. Так как общего решения этой проблемы не существует, то в каждом конкретном слз'чае возникает необходимость самостоятельного исследования. Изучению вопроса о "наследовании" спектральных свойств мажорируемыми операторами и лосвящниа настоящая работа.
Целью диссертации является изучение мажорируемых операто
ров на решеточно нормированных пространствах и исследование
зависимости спектральных свойств мажорируемых операторов от
свойств точной мажоранты. -
Научная новизна. Все основные результаты являются новыми.
-
Определен порядковый спектр мажорируемого оператора. Доказано совпадение порядкового и обычного спектров для V -компактных и квазиобратимых операторов.
-
Изучен вопрос о существовании V -инвариантных собст-» веачых идеалов компактных операторов, облагающих кеазиниль-нотелтными точными мажорантами.
-
Определен класс а -гомоморфизмов, являющийся обобщением класса сохраняющих дизъюнктность операторов, действующих на банаховых решетках. Для таких операторов построено спектральное разложения и получена формула, связывающая спектр оператора и спектр его точной мажоранты.
-
Изучены спектральные свойства квазиобратиыых операторов на \Ш. Показано, что такие оппаторы могут быть раэло» кены в гримов суш,у операторов специального вида, оішсана
структура их спектров.
Все результаты, рыносимые на защит}', получены самостоятельно.
Теоретическая и..практическая ценность. Диссертационная работа носит теореми- скип характер. Полученные результаты могут применяться в теории мажорируемых операторов, в теории операторов взвешенного сдвига.
Метбды исследование В работе используются метет» функционального анализа, теории упорядоченных пространств и мажорируемых операторов.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на ХП, ХШ и ХІУ Школах по теории операторов в функциональных пространствах (Тамбов, 1987 г., Куйбышев, 1988 р. и Новгород, 1989 г.), на семинаре по функциональному анализ} в Институте математики СО АН СССР (1987-1989 гг.).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух гла-, разбитых на девять параграфов и списка литературы. Объем работы 98 страниц. Библиография включает 03 наименований.
