Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Диссертационная работа посвящена современной математической проблеме спектрального анализа -теории существенных спектров ограниченных и замкнутых линейных операторов. В ней изучается структура спектра и существенных спектров» определяемых различными фредгольмовыми свойствами операторов. Эта проблема имеет фундаментальный характер, поскольку ее решение, о одной стороны, позволяет получить качественные характеристики существенных спектров конкретных классов линейных операторов, а о другой стороны, указывает на алгоритмы и точные Формулы нахождения спектра и существенных спектров этих операторов.
Почти во всякой физической задаче, которую можно сформулировать с помощь» линейных операторов, объектом основного Физического интереса служи? спектр рассматриваемого оператора. Достаточным подтверждением этого служит использование термина спектр как в физическом, так и в математическом смысле. В последние десятилетия в опектральной теории операторов активно изучаются подмножества спектра, называемые существенными спектрами. Это связано с определенными свойствами существенных спектров, полезными для приложений. В первую, очередь, это относится к различным видам устойчивости и их полной вычислимости для некоторых дифференциальных и интегральных операторов. Рассматриваемые в диссертации задачи относятся к спектральной теории несамосопряженных операторов, которая находится в стадии становления. Сложность и своеобразность таких математических задач состоит в отсутствии общих эффективных методов' их решения. Даже ранее применявшиеся методы оказываются непригодными для исследования таких операторов. Поэтому, дальнейшая разработка вопросов спектральной теории несамосопряженных операторов остается актуальной темой математических исследований. Различные вопросы спектральной теории операторов рассматривались в работах А.Б.Анто-невича, СМ.Березанокого, А.А.Дезина, Г.Юиолина, В.А.Ильина, А.Г.Кос-тюченко, В.Э.Лянце и в работах зарубежных авторов Я.Земанека, М.Ист-хэма, Ї.Конвея, А.Тейлора, Л.Фиалкова, П.Халмоша, В.Эванса и других.
Спектр тесно связан о понятием обратимости и определяется сравнением оператора о единичным умножением на скаляр. Осл бляя условия обратимости оператора мы приходим к понятиям нормально разрешимых, полуфредгольмовых (полунетеровых), Фредгольмовых (не-теровых) операторов. Интересные результаты по абстрактной теории
Фредгольмовых операторов в банаховых пространствах были получены в работах С.М.Никольского (1943) и Ф.Аткинсона (1951). Существенный прогресо в развитии этой теории был достигнут благодаря фундаментальным работам И.Ц.Гохберга - М.Г.Крейна (1957) и Т.Като (1958).
С нормальной разрешимостью, полуфредгольмовостью, Фредгольмо-востью и др. связаны различные существенные спектры. Впервые название "существенный спектр" появилось в работе (Hartman P., Vintner А. Ашег. J. Math. 1950, V.72, Р.545-552). Ф.Хартман и А.Уитнер изучали существенный спектр обыкновенных самосопряженных дифференциальных операторов второго порядка. Современное состояние теории существенных спектров, как оамоотоятельного направления, во многом определилось благодаря работам Г.Рота (1958", Ф.Вольфа (1959), Ф.Бра-удера (1961), М.Шехтера (1971) по дифференциальным операторам и Л.Кобурна (1966). СБерберяна (1969), К.ГуотаФсона (1972), К.Оберея (1974) по ограниченным линейным операторам. Непосредственно к этому актуальному направлению спектральной теории операторов относится настоящая работа. В диссертации подробно рассмотрены традиционные проблемы теории, обобщенные для новых классов линейных операторов. Кроме того, проведено систематическое исследование всех существенных спектров различных классов обыкновенных дифференциальных операторов, которое позволило получить новые результаты в спектральной теории возмущенных операторов.
Связь работы о научными программами, темами. Диссертационная работа - часть выполненой на кафедре Функционального анализа БГУ темы "Операторные уравнения в Функциональных пространствах" (1986--1990, Планы АН СССР и АН БССР, План Минвуза СССР, и 01860060981) и темы "Дифференциальные и операторные уравнения в топологических векторных пространствах" (1991-1995, План АН Беларуси, Республиканская программа в области математики, н 01910055396).
Цель и задачи исследования. Целью диссертации является модификация ранее известных методов исследования и их дальнейшее развитие для решения задач, связанных о проблемами спектральной теории операторов. В приложениях к дифференциальным операторам цель работы состоит в развитиии такого подхода в теории существенных спектров, который позволяет решить новые задачи спектральной, теории.
Научная новизна полученных результатов. В работе найден новый подход к некоторым традиционным проблемам спектральной теории, использующий всестороннее расмотрение всех существенных спектров.
Получены неулучшаемые результаты, связанные о классической теоремой Вейля для самосопряженных операторов, в которой утверждается» что существенный спектр оператора состоит из всех точек спектра за исключением собственных значений конечной геометрической кратности. Теорема Вейля о существенном спектре доказана для новых классов несамосопряженных линейных операторов. Эти теоремы обобщают известный результат Кобурна для гипонормальных операторов на квазигипонормальные и другие классы операторов.
Решена обобщенная задача Оберея о оущеотвенном опектре для аналитических Функций от ограниченных операторов. А именно, доказано, что теорема Вейля выполняется для аналитических Функций от квазигипонормальных операторов. А также получены необходимые и достаточные условия выполнимости теоремы Вейля для аналитических Функций от операторов, удовлетворяющих этой теореме.
Доказаны теоремы о совпадении спектров и существенных спектров квазиподобных операторов, дающие ответ на вопросы Клэри, и теоремы о непрерывности спектра и существенных спектров для специальных классов ограниченных линейных операторов.
Получены теоремы о совпадении существенных спектров для различных классов несамосопряженных обыкновенных дифференциальных операторов о достаточно гладкими коэффициентами в шкале Лебеговых пространств на полуоси іАа.ю), -«<а<*о* і^рА»
Найдены явные Формулы для точного вычисления воех существенных спектров для различных обыкновенных дифференциальных операторов о постоянными коэффициентами, дифференциальных операторов Эйлера в банаховых пространствах Lp для воех р, ip«, и для ограниченных операторов Чезаро в банаховых пространствах 1Р и Lp. i Используя эти результаты доказаны новые теоремы об инвариантности существенных спектров при различных возмущениях оператора, обобщающие классическую теорему Вейля, и показана их эффективность в вычислении существенных спектров и спектра обыкновенных дифференциальных операторов с почти постоянными коэффициентами и других классов линейных дифференциальных операторов. Практическая значимость полученных результатов. Работа имеет теоретическое значение. Спектральная теория органически связана о задачами математической Физики, из которой она возникла. Теорья существенных спектров служит местом концентрации методов и идей различных разделов современной математики. Полученные в диссертации результаты в дальнейшем могут быть иопользованы в общей теории ли- нейных операторов и применены к решению конкретных задач теории дифференциальных уравнений. Основные положения диссертации, выносимые на защиту. Развиваемое направление в спектральной и фредгольмовой теории операторов опирается на следующие основные результата автора: Получены обобщения классической теоремы Вейля о существенном спектре на новые специальные классы линейных операторов, являющиеся исчерпывающими для рассматриваемых операторов. Даны ответы на аналогичные вопросы для аналитических Функций от некоторых кла-ооов ограниченных линейных операторов в банаховых пространствах. Решены известные задачи теории сущее .-венных спектров, связанные с совпадением существенных спектров и спектра квазиподобных операторов и различными вопросами непрерывности спектра и существенных спектров ограниченных линейных операторов. Впервые в максимальной общности найдены точные Формулы и выявлены общие закономерности для всех существенных спектров различных классов обыкновенных дифференциальных операторов в широкой шкале Лебеговых пространств. Это позволило доказать новые теоремы об инвариантности существенных спектров для этих дифференциальных операторов, обобщающие классическую теорему Вейля. Личный вклад соискателя. Все приведенные в диссертации основные результаты получены соискателем самостоятельно. Аппробация результатов диссертации. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Республиканских конференциях математиков Беларуси (1980 и 1992 - Гродно), на Всесоюзных школах по теории операторов в функциональных пространствах (1978 и 1982 -Минск, 1983 - Рига, 1984 - Тернополь, 1986 - Челябинск, 1987 - Тамбов, 1990 - Ульяновск), на научном семинаре по спектральной теории операторов МГУ под рук. проф. А.Г.Коотюченко (1983), на конференциях "Понтрягинские чтения" (1990 - Кемерово, 1994 - Воронеж), на конференции "Еругинские чтения" (1995 - Гродно), на научных семинарах по Функциональному анализу БГУ под рук. проф. Я.В.Радыно (1980-1995) и на Международной конференции "Функциональный анализ и уравнения с чаотными_ производными", посвященной памяти Н.И.Бриша- (1994-Минск). Опубликовзнность результатов. По теме диссертации автором опубликовано 40 работ. Основные результаты диссертации содержатся в статьях автора [1-15], приведенных в конце автореферата. Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав с аннотациями, содержащих по шесть разделов, и списка литературы, Общий объем работы - 183 страницы. Список литературы содержит 308 наименований.
Похожие диссертации на Спектральные и фредгольмовы свойства линейных операторов в банаховых пространствах
