Содержание к диссертации
Введение
2 Предварительные сведения 9
2.1 Теорема Барта-Ларсена 9
2.2 Оценки типа Кастельнуово 10
2.3 Структуры Ходжа 14
3 Под многообразия коразмерности два 17
3.1 Подмногообразия малой степени 17
3.2 Многообразия, содержащиеся в квадрике 22
3.3 Очень общие гиперповерхности большой размерности 25
3.4 Кривые на очень общей трёхмерной гиперповерхности 25
3.5 Приложение 27
4 Гипотеза типа Нётера-Лефшеца 29
4.1 Предварительные соображения 29
4.2 Трехмерные многообразия Фано 31
4.3 Квадрика 36
4.4 Некоторые замечания 38
4.5 Кривые малого рода 39
4.6 Добавление 44
5 Некоторые дальнейшие вопросы 47
5.1 Вопрос о кривых на гиперповерхностях 47
5.2 Морфизмы многообразий с циклической группой Пикара 48
- Оценки типа Кастельнуово
- Кривые на очень общей трёхмерной гиперповерхности
- Трехмерные многообразия Фано
- Морфизмы многообразий с циклической группой Пикара
Введение к работе
Одним из классических фундаментальных результатов комплексной алгебраической геометрии является теорема Лефшеца о гиперплоском сечении:
Теорема 1.1 (Лефшец) Пусть X - гладкое проективное многообразие размерности п и Y - гладкое гиперплоское сечение X. Тогда естественное отображение
является изоморфизмом при і < п — 2 и иньективно при і = п — 1.
Следующий факт получается как простое следствие этой теоремы: Если X - гладкая гиперповерхность в Р",п > 4, то любое подмногообразие X коразмерности один - полное пересечение. В самом деле, по теореме Лефшеца
#2(X,Z) ^tf2(P",Z).
Из точной последовательности ограничения \ * " '
о -» е?рп(-х) -> Орп -> ох -> о '; '.
получим Н1(Х, Ох) = 0, так что Ргс(Х) = Ргс(Рп). Поэтому каждый эффективный дивизор на X принадлежит линейной системе jCjf(n)j для некоторого п > 0. Снова из точной последовательности ограничения получается, что отображение
Я(РП, Ор-(п)) -> Н(Х, Ох{п))
сюрьективно , то есть любой эффективный дивизор на X высекается эффективным дивизором на Р.
Более того, Лефшец доказал следующую теорему , формулировка которой принадлежит Нётеру:
Оценки типа Кастельнуово
Оказывается, можно пойти ещё дальше и доказать, что если приведённая не приводимая невырожденная кривая степени d и рода g в Рг не лежит ни на какой поверхности степени менее 5, то g ограничено некой функцией от s, d, г. При этом приходится предполагать, что d велико по сравнению с 8 и г. , Наиболее общая теорема такого типа принадлежит Чилиберто, Кьянтини и ди Дженнаро ([CCG]). К сожалению, уже формулировка её очень длинная, потому что, как и выше, приходится учитывать свойства делимости d ( а также и s; есди s велико). Так что здесь мы её приводить не будем, а сформулируем более слабую версию в параграфе 4 главы 3, где она понадобится. Как уже упоминалось, мы будем работать с гладкими подмногообразиями коразмерности два X в гладких гиперповерхностях большой размерности , тйх что по теореме Барта-Ларсена Pic(X) = Z, и порождается классом гиперплоского сечения. В частности, канонический класс X будет кратностью дивизора гиперплоского сечения. Оказывается, что для таких многообразий довольно просто получить "оценки для рода" в духе Кастельнуово. Мы приводим здесь один такой результат, который, хотя и не необходим для доказательства теорем главы 3, может оазаться полезным для дальнейших исследований в этом направлении: Теорема 2.5 Пусть X - гладкое подмногообразие коразмерности два гладкой гиперповерхности W степени d в Рп,п 4. Пусть s - целое положительное число, обозначим І = -. Если Кх = x(fy u t d—n—1+s+j, то X содержится в некотором дивизоре из \OW{T)\ , где г min(s, ). Если і = d — п — 1 + S + -, mo либо X содержится в таком дивизоре, либо X - полное пересечение типа (s, -) в W. Прежде чем доказывать эту теорему, заметим, что, так как канонический класс нашего подмногообразия X является кратностью гиперплоского сечения и Х- коразмерности два в гиперповерхности ТУ, то существует векторное расслоение Е на W, такое, что ограничение Е па. X - нормальное расслоение к X в W (конструкция Серра, см. , например, [OSS]). Более того, имеется следующая точная последовательность ( резольвента Кошу ля ): Мы будем изучать свойства (не) стабильности расслоения Е. Напомним теорему Богомолова о нестабильности ([В]): Теорема 2.6 (Богомолов) Пусть М - гладкая поверхность, а Е - расслоение ранга два па М, такое, что с\{Е) 4с2(Е). Тогда Е нестабильно; более того, существует дестабилизирующее линейное подрасслоение F с Е (т. е. такое подрасслоение F, что дивизор n(det(F) — det(E)) эффективен для больших п), удовлетворяющее неравенству Следующая лемма - это небольшая модификация частного случая теоремы Богомолова: Лемма 2.7 Пусть V - гладкая гиперповерхность в Рп, п 4, и пусть Е - расслоение ранга два на V, такое,что Ci(E) = аНу, 02(E) = bHv. Если 6(E) = \а2 — Ь положительно, то Н(Е(—т)) ф 0 для некоторого т Є 2, такого, что (т-2-а)2 8(Е)ит-\а Ъ. Доказательство: Возьмём М, двумерное полное пересечение Di П... ПАї-з в V, где Di - достаточно общие гладкие дивизоры достаточно большой степени (в частности, это гарантирует, что Pic(M) = Z и порождается гиперплоским сечением ), применим теорему Богомолова к ограничению Ем расслоения Е на М и воспользуемся точной последовательностью ограничения . Замечание: Это утверждение верно, конечно, и для расслоений ранга два на , любом гладком многообразии с группой Пикара, изоморфной Z и порождённой гиперплоским сечением. Лемма 2.8 Голоморфное расслоение Е на односвязном кэлеровом многообразии X, такое, что С\(Е) = 0 и 02(E) = 0 в H (XtR), не может быть стабильным (по отношению к кзлеровой форме). Доказательство (объяснённое мне М. Любке): Предположим, что Е стабильно. Тогда на Е есть связность Эрмита-Эйнштейна ( соответствие Кобаяши-Хитчина, см. [LT]). Можно показать, что из кэлеровости X и обращения в нуль классов Чжэня следует, что эта связность плоская (см., например, [К] , глава 4, следствие 4.13). Поскольку наша связность совместима с комплексной струкрурой, локальные плоские сечения Е голоморфны. Наконец, так как ТҐІ(Х) тривиальна, локальные плоские сечения продолжаются до глобальных, что противоречит стабильности. Доказательство теоремы 2.5 : Пусть t = d — п — 1 -f s + - + є, где е О, так что І + Є2. Рассмотрим расслоение Е на W, такое, что его ограничение на X - это нормальное расслоение к X в W. Имеем, в обозначениях Леммы 2.7: Значит, если s, можно взять т (как в лемме) строго большим, чем +.. е. Поскольку Е = Е det(E), это означает, что H(E (s — 1)) ф 0, и из точной последовательности следует, что H(TXtw{s — 1)) ненулевое. Случай s доказывается так же. Если t = d — п — 1 + s + и s [, то по-прежнему удовлетворяет неравенству с\{Е) 4с2(Е), и из леммы 2.7 получаем, что H(E (min(s, ))) ф 0. Если X не лежит ни на каком дивизоре степени менее min(s,-), то некоторое сечение E (min(s, )) обращается в нуль на подсхеме коразмерности два (или пустой подсхеме) Z in W{ так как тогда у Е {т) нет сечений при т min(s, ) ). Поэтому можно написать резольвенту Кошу ля для такого сечения: где m - это min(s,j) — max(s, ). Но вычисляя классы Чжэня, получаем, что Z должна быть пустой, так что эта последовательность расщепляется. Значит, расщепляется и Е, так что X - полное пересечение, что и требовалось. Если t = d — п — 1 + s + И5 = , то расслоение E (s) удовлетворяет условиям леммы 2.8, и, следовательно, имеет сечение. Повторяя те же рассуждения, что и выше, получим, что либо X - полное пересечение, либо X лежит на дивизоре из \Ow{$ — 1)1- Теорема 2.5 доказана.
Кривые на очень общей трёхмерной гиперповерхности
Заметим, что для гиперповерхности X, ХРО = 0 тогда и только тогда, когда X - плоская кубика. Так что гипотеза очевидно верна для кривых; чтобы доказать её для п = 2, достаточно вспомнить следующую
Так как мы рассматриваем только гиперповерхности X в Р3 степени по крайней мере 4, т.е. с эффективным Кх, то можно предполагать, что если существует морфизм / : X — Y, то Hp q(Y) = ЛР Ч(Р2). Но теорема Яу утверждает, что тогда и У— Р2; в самом деле, иначе, поскольку X односвязна, должно существовать голоморфное отображение g из X в единичный шар, такое, что / = тг - /, где 7Г -отображение универсального накрытия. Это, очевидно, невозможно.
Случай п = dimX = 3 требует более глубокого анализа. Хотя по теореме 2.9 имеем, что структура Ходжа очень общей гиперповерхности любой степени не имеет нетривиальных подструктур Ходжа, лемма 4.1 неприменима к гиперповерхности степени менее пяти. Так что для очень общей кубики или квартики в Р4 мы должны доказывать несуществование морфизмов на многообразия с теми же числами Ходжа. Из формулы Гурвица очевидно, что любой возможный гладкий образ кубики или квартики в Р4 - тоже многообразие Фано (напомним, что многообразие Фано - это гладкое проективное многообразие с обильным антиканоническим расслоением ).
Также (и это - гораздо более серьёзная проблема), нужно исключить возмож ность морфизмов из очень общей гиперповерхности в Р4 на трёхмерные много образия с такими же числами Ходжа, как у Р3. Ясно, что многообразия с такими же числами Ходжа, как у Р3 - Фано или общего типа. В противоположность двумерному случаю, здесь получим многообразия Фано: ; Лемма 4.3 Гладкое трёхмерное многообразие с такими же числами Ходжа, как у Р3 - многообразие Фано. V. Доказательство: Общий тип невозможен в силу неравенства Богомолова которое применимо к трёхмерным многообразиям общего типа с группой Пикара Z ([В]). В самом деле, по формуле Римана-Роха: так что c2(Y) Ну 0, и это противоречит нашему неравенству. В следующем параграфе мы сформулируем некоторые известные утверждения о трёхмерных многообразиях Фано, а также исключим отображения с кубик и квартик на трёхмерные многообразия Фано с такими же числами Ходжа. 4.2 Трёхмерные многообразия Фано Основная ссылка по общим результатам о трёхмерных многообразиях Фано -работа [I]. Напомним, что индекс многообразия Фано V - это наибольшее число к, такое, что — Kv = kL, где L обилен. Индекс трёхмерного многообразия Фано не превосходит 4, и любое такое многообразие индекса 4 или 3 - это Р3 или квадрика. Если L очень обилен, то на многообразии Фано индекса два, вложенного в проективное пространство с помощью L, имеется двумерное семейство прямых . Нормальное расслоение общей прямой тривиально, но имеется одномерное подсемейство прямых с нормальным расслоением Орі(1)фС?рі(— 1) (мы будем называть такие прямые (-ІД)-прямьши, и, вообще, (а, Ь)-прямой - прямую / на трёхмерном многообразии X, такую, что Ni,x — Срі(о) ф Opi(b)). Схема Гильберта прямых на таком многообразии V - гладкая, поскольку Н1 нормального расслоения любой прямой обращается в нуль, и, обозначая как X универсальное семейство, мы видим, что ветвление естественного отображения р : X — V состоит из (-1,1) - прямых. (Если L не очень обилен,то "прямой" по-прежнему называют кривую С , такую, что L С = 1, но в этом случае есть и другие возможности для её нормального расслоения). Трёхмерное многообразие Фано индекса один V с очень обильным —Ку обладает одномерным семейством прямых. Нормальное расслоение прямой - это 0Рі ф Opi(-l) или Орі(1) фС рі(—2). (1,-2)-прямые, соответствующие особым точкам схемы Гильберта, образуют замкнутое подсемейство . Оно не всегда собственное: например, на квартике Ферма все прямые - типа (1,-2) (другой пример многообразия Фано с неприведённой схемой Гильберта прямых - это многообразие Мукаи-Умемуры F22 (см- ниже)). Если все прямые на V - типа (1,-2), то поверхность, заметаемая этими прямыми на V - это конус или поверхность касательных к кривой, причем если секционный род V не менее 4, то V не содержит конусов, так что этот дивизор - поверхность касательных к кривой. Если общая прямая на V типа (0,-1), то р : X — V (где X - универсальное семейство прямых) является погружением вдоль общей прямой. Эти утверждения легко проверяются сравнением нормальных расслоений к прямым в X и в V. Из классификации трёхмерных многообразий Фано с числом Пикара 1 ([I]) видно, что существует единственное семейство таких многообразий с числами Ходжа, как у кубики ( кроме, конечно, семейства кубик), а именно, семейство многообразий типа Vu - то есть, линейных сечений Грассманниана 7(1,5) С Р14, и единственное семейство таких многообразий с числами Ходжа, как у квартики; семейство двойных накрытий квадрики в Р4 (разветвлённых вдоль поверхности степени 8). Что касается этого семейства, ниже мы докажем теорему 4.5: он а утверждает, что общая гиперповерхность в Р4 не допускает нетривиальных отображений на трёхмерную квадрику ( а значит, и на её двойное накрытие ). Рассмотрим три оставшихся случая . Предложение 4.4 і) Общал квартпика в Р4 не допускает отображений заданной степени на другую квартику. Любой эндоморфизм очень общей квартики в Р4 - изоморфизм; И) Не существует конечных морфизмов из очень общей кубики в Р4 на Vu гіг) Любое конечное отображение между гладкими кубиками в Р4 - изоморфизм. Доказательство: і) Стандартные вычисления с классами Чжэня (см., например, [Т]) показывают, что если квартика X достаточно общая, то поверхность Sxt заметаемая на X прямыми - степени 320. Покажем сначала, что образ общей квартики - тоже общая квартика, то есть, что если общая квартика допускает отображения некоторой заданной степени на другие квартики, то среди этих квартик окажутся квартики, у которых степень поверхности прямых равна 320. Заметим, что морфизмы заданной степени из квартики в квартику образуют алгебраическое семейство, и если X обозначает "пространство модулей" гладких квартик (в котором каждая квартика встречается не более конечного числа раз) , то многообразие Ы С X х Х} определённое следующим образом: Uk = {(XltX2) iBf-.Xi- Х2, deg{f) = k}, алгебраично. Пусть р\ и р2 - проекции U на первый и второй сомножители. По предположению, pi доминантна. Мы хотим показать, что р2 тоже доминантна. Это следует из теоремы типа Торелли ([Don]): общая трёхмерная квартика X однозначно определяется своим поляризованным промежуточным якобианом J(X). В самом деле, морфизм квартик / : X — X задаёт изогению J(X) и J{Xі). А значит, общий слой р2 конечен, т.е. рг доминантна. Если X - квартика, такая, что degSx1 = 320, а / : X — X - морфизм, с / (ОА"(1)) = Фх("г), то по формуле Гурвица
Трехмерные многообразия Фано
Прежде, чем начать доказательство, напомним, что такое инфинитезимальн#я теорема Нетера-Лефшеца в смысле [CGGH]:
Пусть Z - гладкое полное пересечение 1\П ---(1 &к в гладком проективном многообразии Y. Предположим (для простоты), что Z - поверхность, т.е. dimY — к+ 2 (нам понадобится только этот случай). Определим подпространство Н{ у (Z) инфинитезимально неподвижных классов в Hl,x(Z) как подпространство классов, инфинитезимально сохраняющих тип (1,1) во всех направлениях, другими словами (ср. [CGGH]):
А Є Hi.).{Z) тогда и только тогда, когда он содержится в правом ядре отображения умножения Т Hl,1(Z) — H 2{Z) где Т С Hl{Z, Tz) - образ касательного пространства в Z к пространству параметров Р(7/(У,ф =10( ))) при отображении Кодаиры-Спенсера ( это отображение умножения индуцировано производной отображения периодов). Будем говорить, что для полных пересечений типа (D\, ...,) (т.е. полных пересечений дивизоров, линейно эквивалентных D\, ...,Dk) в Y выполнена ин-финитезимальная теорема Нетера-Лефшеца, если для любого гладкого Z тип а (Di, ...Дь), H j Z) состоит в точности из тех (1Д)-классов, которые продолжаются на Y. Из инфинитезимальной теоремы Нетера-Лефшеца следует теорема Нетера-Лефшеца: для очень общего Z типа (Z?i, ...Dj.), Pic(Z) . Подмножество таких Z, что Pic(Z) ф Pic(Y), называется подмножеством Нётера-Лефшеца ; для Z из подмножества Нётера-Лефшеца и А из H1,l(Z), .не являющегося ограничением некоторого класса когомологий на Y, векторное подпространство Т, аннулирующее А - это образ касательного пространства к cooiv ветствующеи компоненте подмножества Нётера-Лефшеца при отображении Кодаиры-Спенсера . Доказательство теоремы: А) Пусть I - прямая на Q, а Н - гладкое гиперплос кое сечение Q, содержащее /. Так как Q - однородное многообразие, обратные образы С = f }{i) и М — f l(H) будут гладкими при достаточно общем выборе / и И ([Н], гл. 3, теорема 10.8). Имеем точную последовательность сюръективно, так что для /? : H(NMtx) U{- M,x\c) имеем /т/3 С Ітпа. Но это означает, что любая инфинитезимальная деформация М в X содержит инфи-нитезимальную деформацию С. С не может быть линейно эквивалентна кратности гиперплоского сечения на М, и, значит, инфинитезимальная теорема Нётера-Лефшеца неверна для дивизоров из ?(т) на X. Но, как показывает результат Эйна и Лазарсфельда ([EL], Proposition 3.4), это возможно только при m 3d. . В) Если гиперповерхность X очень общая, верно и то, что любая инфинитезимальная деформация А/ в Р4 содержит инфинитезимальную деформацию С. М -полное пересечение типа (dt m); известно, что для таких полных пересечений инфинитезимальная теорема Нётера-Лефшеца неверна лишь при (d, m) = (2,1), (3j 1) или (2,2) (см., например, гораздо более общий результат в [Е2]). Замечание I: Доказательство части А) работает для любого гладкого трехмерного X с циклической группой Пикара. В самом деле, результат из [EL] звучит так: Пусть X - гладкое проективное трёхмерное многообразие, А - очень обильное , а В - численно эффективное линейное расслоение на X. Если Y - гладкий дивизор из \ЗКх + 16Л + В\, то инфинитезимальная теорема Нётера-Лефшеца верна для Y. Это означает, что мы можем ограничить сверху возможную степень отображения из гладкого трехмерного X с группой Пикара (на самом деле, даже Нерона-Севери) Z на трехмерную квадрику в терминах Сі(Х) и численного индекса X. ГЛАВА 4. ГИПОТЕЗА ТИПА НЁТЕРА-ЛЕФШЕЦА Похожий результат был получен К. Шуманн ([S]) другими методами. Наша оценка на m улучшает ее оценку в некоторых случаях (например, для гиперповерхностей), а также использует меньше инвариантов (в [S], оценка зависит и от С2(Х)). Кроме того, приведенный здесь метод очень просто обобщается на отображения из многообразий размерности п на n-мерные квадрики (впрочем, оценка быстро растет вместе с п, так как в высших размерностях труднее получить все необходимые для инфинитезимальной теоремы Нётера-Лефшеца результаты об обращении в нуль). Замечание II: Из инфинитезимальной теоремы Нётера-Лефшеца следует "обычная", но обратное, вообще говоря, неверно; это ясно из обсуждения, предшествующего доказательству теоремы 4.5. В самом деле, если гладкое полное пересечение Z соответствует очень особой точке компоненты подмножества Нётера-Лефшеца, то инфинитезимальная теорема Нётера-Лефшеца может для Z не выполняться. Очевидное отображение из гиперповерхности Ферма степени 2п в Р4 на квадрику доставляет пример такой ситуации. В самом деле, теорема Нётера-Лефшеца верна для дивизоров из \пНр1п\ на F2n любая кривая на очень общем пересечении гиперповерхности Ферма F2n с гиперповерхностью степени п - полное пересечение ([Mois]). Тем не менее, как показывает доказательство теоремы 4.5, инфинитезимальная теорема Нётера-Лефшеца не может быть верной в гладком дивизоре из \nHF2n\, если этот дивизор - прообраз гиперплоского сечения квадрики. К сожалению, этот простой способ доказательства работает только для квадрики. В следующем параграфе мы выясним, какие возникают проблемы для остальных интересующих нас многообразий. Если мы хотим попытаться применить тот же метод к V5 и V22, то для каждогр из этих многообразий нужно построить кривую D на поверхности 51, так, что С = /_1Г и М = f xS гарантированно окажутся гладкими (например, можно строить D как общий член большого семейства), а последовательность нормальных расслоений для D С S С Vb (или Vn) расщепится (под "последовательностью нормальных расслоений" для X С Y С Z мы имеем в виду последовательность , Это вряд ли бывает на многообразии Vii-, отличном от многообразия Мукаи-Умемуры (в следующем параграфе, мы применим другой метод к изучению таких многообразий). На многообразии Мукаи-Умемуры V и на Vg, имеются однопара-метрические семейства прямых, таких, что последовательность нормальных расслоений I С Н С V$ (или 1) расщепляется. Более того, несложно показать, что для кривых, (1,1)-связанных с такими прямыми, соответствующая последовательность нормальных расслоений тоже расщепляется . К сожалению, пока непонятно, можно ли доказать гладкость обратного образа общего гипершюского сечения, проходящего через прямую / с нормальным расслоением 0{ — 1) Ф 0(\) на ї или прямую с нормальным расслоением 0(—2) ф 0(1) на У2Я2. Рассмотрим, например, случай V5. Легко видеть, что все (-1,1)-прямые на V5 касаются некоторой кривой Е. Кривая Е - рациональная нормальная секстика ( это доказывается так же, как и в предложении 4.4 (iii), с использованием хорошо известного факта, что поверхность, заметаемая (-ІД)-прямьіми на Vs, - степени 10). Так что 2 - в точности множество особых точек поверхности U, заметаемой (-ІД)-прямьши, и любая (-1,1)-прямая пересекает в единственной точке. Сделаем следующее общее наблюдение: ( )Если f : X — Y с Р" - конечный морфизм неособых многообразий, а Н -гиперплоскость в Рп, не содержащая Y, то / г(У f\H) неособо в точке х в том и только в том случае, когда ft(TxX) не содержится в Н. Теперь ясно, в чем заключается трудность: даже для общего выбора / может случиться так, что имеется точка х в /_1(у), где у = If] , такая, что f,(TxX) = Tyl = Tj,E, другими словами, rk(f) — 1 вдоль некоторой компоненты /_!Е. Тогда х будет особой точкой f lH для любого Н, проходящего через I.
Если же, наоборот, Е не лежит вГ = {f(x) : rkxf = 1}, то для общего выбора / существует гладкий обратный образ гиперплоского сечения через /: в самомделе, I не лежит в Г; если z Є IП Г, г Ф у, то для любой t Є /-1 )) f (JtX) Ф Тх1. Если U не содержится в образе дивизора ветвления /, то, очевидно, можно выбрать И через общую прямую на U так, что j lH будет гладким; если же U содержится в образе дивизора ветвления, заметим, что касательное пространство к (/, а значит, и образ касательного пространства к X, не меняется вдоль прямой I.
Морфизмы многообразий с циклической группой Пикара
Напомним, что в главе 3 мы показали, что кривая малой степени С на общей гиперповерхности степени da 6 в Р4 - пересечение этой гиперповерхности с некоторой поверхностью: это верно для if deg(C) . Для кривых большой степени, даже для гладких, это неверно, и следующий контрпример принадлежит Клэр Вуазен (см. [VI]):
Пусть X - гиперповерхность в Р4, степени d. Возьмем Y = Р\ \}Ръ - объединение двух плоскостей, пересекающихся в единственной точке р, так, что рЄІв Pi пересекает X трансверсально. Пусть D = Xf\Pi, D — Dx\JD%. Для болыпих m, в І Ох (тп) J существует гладкая поверхность 5, содержащая D; для больших -П, линейная система \D + nH$\ содержит гладкий дивизор В. Но, сосчитав &ед(Кв), можно показать, что В не я валяется пересечением X с поверхностью.
Естественно задать вопрос, какова же может быть степень В. Для начала заметим, что, очевидно, m d: если гиперповерхность степени менее d содержит D, то она должна содержать и Y, и, следовательно, иметь особенность в р, так что пересечение этой гиперповерхности с X тоже будет особым. С другой стороны, в jf( ) существует гладкая S, проходящая через D : действительно, пучок Totx{d) порождается глобальными сечениями . Если нам хочется, чтобы линейная система \D + nHs\ на такой S содержала гладкий дивизор, мы должны взять л не менее d— 2: иначе, пересечение (D + nHs)-D\ отрицательно, так что Di - базисная компонента \D + nHs\. С другой стороны, если мы возьмём п не менее 2d .— 5, легко проверяется, что в линейной системе \D + nHs\ действительно существует гладкий дивизор. Так что кривые из примера Клэр Вуазен имеют степень порядка d в кубе. В связи с этим может быть интересен следующий вопрос:
Можно ли для любого d построить кривую d на очень общей гиперповерхности Хд С Р4 степени d, такую, что существует многочлен второй степени f(d) с degCti f(d), и не являющуюся пересечением Х с поверхностью? В этой работе мы попытались доказать несуществование морфизмов с очень общей гиперповерхности на другие гладкие многообразия, кроме РЛ. Если не считать, что наша гиперповерхность очень общая, то, конечно, такие морфизмы существуют ( например, между гиперповерхностями Ферма), но вполне разумно предположить, что их не слишком много. В общем случае, пусть X и У - n-мерные гладкие проективные многообразия с группой Пикара Z, и пусть Y Ф Р". Гипотеза (Ван де Вен, ) і) Морфизмы из X в У образуют конечное число семейств, и ІІ) Более того, степень f : X — Y ограничена в терминах дискретных инвариантов X и У. Замечание: Без ограничений на группу Пикара, эта гипотеза, очевидно, неверна: например, семейство морфизмов из произведения двух данных кривых на Р хР1 неограничено. Торы тоже имеют эндоморфизмы сколь угодно большой степени. Мы не знаем, можно ли надеяться как-то классифицировать подобные "исключения". Эта гипотеза проверяется тривиально (просто по формуле Гурвица), если:К-общего типа. Если Y -трехмерная квадрика, то гипотеза верна по замечанию I после теоремы 4.5 ( нетрудно также обобщить этот результат и на п-мерную квадрику). С помощью методов главы 4 оказывается нетрудным доказать нашу гипотезу и для некоторых других многообразий Фано: Пример: Пусть У - гладкая кубика в Р4; покажем, что для любого гладкого трехмерного X с циклической группой Пикара, степень отображения / : X —) Y ограничена. Напомним (см. главу 4), что если D = / 1/, где I - общая (-1,1)-прямая, то у D есть приведённая неприводимая компонента С, и естественный (где m - такое, что f (HY) = гпНх, где Нх - обильный порождающий Pic(X)) должен быть изоморфизмом в гладкой точке D. Имеется сюръективное в общей точке отображение і :Тх\с- {ТсІҐсу. Так что, если і - такое число, что Тх{г) порождается глобальными сечениями ( здесь под сдвигом на і подразумевается, конечно, сдвиг на Шх), отсюда видно, что m не может быть больше г. Разумеется, такое г существует, и это доказывает первую часть гипотезы в нашем частном случае. Более того, і зависит только от дискретных инвариантов X и может быть вычислено следующим образом: Пусть А - очень обильная кратность Нх. Некоторая линейная подсистема сечений А задаёт вложение трехмерного многообразия X в Р7. Имеем Л2Г2х - фактор расслоения Л2ГїР71 -, и из этого легко выводим, что A2Clx{ZA) порождается глобальными сечениями. Так что ТХ(КХ + ЗА) порождается глобальными сечениями, и достаточно взять г таким, что Кх + ЗА = Шх. Такое і вычисляется в терминах дискретных инвариантов X ( нужно понять, какая кратность Нх очень обильна, а это вычисляется is very ample, вычисляется в терминах дискретных инвариантов (см. [Dem], где содержится много результатов такого типа.) В нашем простом случае, когда X - гиперповерхность степени d, можно положить г равным d — 2, так что снова получаем, что непостоянное отображение между кубиками - изоморфизм ( наше m равно единице). Можно также легко показать, что отображений из квартики в кубику не существует: в самом деле, m должно быть равным единице или двойке, но если / : Xt — Х - морфизм, то deg(f) = у ) а это - не целое число при m = 1,2. Аналогичные соображения работают для многообразия Фано X индекса -2 ( с циклической группой Пикара), при условии, что поверхность, заметаемая (-1,1)-прямыми на нашем многообразии Фано, имеет достаточно большую степень, а также для многообразия Фано X индекса 1 , на котором достаточно большую степень имеет поверхность, заметаемая прямыми . Конкретно, эта поверхность должна содержаться в линейной системе — 2КХ + А\, где А обильно (соотв. — 2К Х + А\, А обильно). Мы надеемся вернуться к этому вопросу в нашей следующей работе. Если Y - достаточно общая трёхмерная квинтика, то ограниченность степени морфизма / : X —Y можно доказать похожими рассуждениями, используя тот факт, что на общей квинтике в Р4 лежит бесконечно много гладких рациональных кривых ([С]). (Вполне возможно, что это верно я для других многообразий Калаби-Яу; но, насколько мне известно, никакого общего результата в этом направлении пока нет .) Тем не менее, как мы видели в параграфе 4, наши методы совершенно не работают для Y = Уц или Y = 1.
