Введение к работе
Актуальность исследования. Настоящая диссертационная работа посвящена изучению свойств аффинной и голоморфной однородности вещественных гиперповерхностей в 3-мерном комплексном пространстве С3. Эта тематика является актуальной в современном комплексном анализе, что подтверждается опубликованием в последние годы в известных российских и зарубежных изданиях работ по близким вопросам таких авторов, как А. Хаклберри, В. Кауп, В.К. Белошапка, А.В. Лобода.
Задача описания голоморфно-однородных многообразий представляет также интерес для дифференциальной геометрии, теории групп и алгебр Ли, математической физики. Сложность решения этой задачи даже для случая вещественных гиперповерхностей пространства С3 делает актуальным и вопрос изучения аффинно-однородных поверхностей того же пространства. До настоящего времени имелось лишь большое количество примеров аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей комплексного пространства С3. В диссертации предложена общая схема описания таких поверхностей. На примере изученного класса аффинно-однородных поверхностей трубчатого типа показана эффективность схемы. Это подтверждает значимость и актуальность диссертационных исследований для многомерного комплексного анализа.
Цель работы. Основная цель работы - построение классификации аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей трубчатого типа в пространстве С3. Этот класс многообразий представляет собой удобную модель для проверки эффективности предлагаемой схемы изучения аффинной однородности, опирающейся на коэффициентный подход к задаче. В связи с этим еще одной целью диссертационного исследования является совершенствование технических приемов коэффициентного изучения голоморфно-однородных и аффинно-однородных вещественных подмногообразий комплексных пространств.
Методика исследования. Задачи, связанные с однородностью многообразий, традиционно изучаются на основе использования техники групп и алгебр Ли. В диссертации также применяется эта техника. Но ключевой метод работы - коэффициентный подход к описанию изучаемых аналитических объектов. Главным инструментом работы является анализ алгебра-
ических соотношений, накладываемых геометрическим условием однородности на тейлоровские коэффициенты поверхностей и отображений.
Полученная в первой части диссертации большая система квадратичных уравнений относительно этих коэффициентов и некоторых других параметров исходной задачи решается с привлечением пакета символьной математики MAPLE. Завершающая часть работы связана с анализом изменений тейлоровских разложений неявных функций при аналитических преобразованиях координат.
Научная новизна. Следующие результаты являются основными в диссертации:
-
Построены аффинные канонические уравнения для класса строго псевдо-выпуклых вещественно-аналитических гиперповерхностей трубчатого типа комплексного пространства С3. Уравнения учитывают все возможные случаи тейлоровских коэффициентов 3-го порядка и определяются с точностью до дискретных групп преобразований.
-
В терминах матричных алгебр Ли Описаны аффинно-однородные поверхности трубчатого типа. Получены координатные представления для большого семейства таких поверхностей и, в том числе, для всех поверхностей с "богатыми" группами преобразований.
-
Доказана вещественная аффинная однородность основания всякой трубчатой строго псевдо-выпуклой гиперповерхности в С3, однородной относительно комплексных аффинных преобразований.
-
Построено 1-параметрическое семейство голоморфно различных аф-финно-однородных поверхностей, не сводимых аффинными преобразованиями к трубкам.
Теоретическая и практическая ценность. Предлагаемый в диссертации системный подход к изучению задачи об однородности позволил получить практически полное описание класса поверхностей трубчатого типа. На основе такого подхода ожидается построение в ближайшее время полной классификации аффинно-однородных вещественных гиперповерхностей пространства С3. Разработанные в диссертации методы решения систем квадратичных уравнений (в том числе, с использованием средств символьной математики) могут найти практическое применение в задачах фундаментальной и компьютерной алгебры, связанных с системами полиномиальных уравнений.
Апробация работы. Результаты диссертационных исследований докладывались на научных семинарах ВГАСУ и ВГУ, на ежегодных научных конференциях преподавателей и аспирантов ВГАСУ, на международных математических конференциях (Воронежская зимняя математическая школа - 2011, 2012; Воронежская весенняя математическая школа - 2012, Международная научная конференция "Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики Воронеж-2012). Часть результатов была представлена на Российско-германской конференции по многомерному комплексному анализу (Москва, февраль-март-2012).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[8]. Статьи [1], [4], [8] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Ми-нобрнауки РФ. Из совместных работ [7], [8] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично соискателю.
Структура и объем диссертации. Дисертация содержит 109 страниц и состоит из введения, трех глав и списка литературы. Главы разделяются на параграфы и разделы с подчиненной нумерацией. Библиография содержит 53 наименования.
