Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 5
1. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР 5
2. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ
1. Постановка вопроса и актуальность темы 9
2. Цель работы 10
3. Методы исследования 11
4. Научная новизна 11
5. Теоретическая и практическая значимость 12
6. Апробация 12
7. Публикации 12
8. Вклад автора в разработку избранных проблем 13
9. Структура и объем работы 13
10. Некоторые замечания 13
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ 14
Г Л А В А 1. АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ КОНФОРМНОГО ПРОСТРАНСТВА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ 23
§ 1. Конформное пространство Сп и его уравнения структуры 23
§ 2. Гиперповерхность Vп-\ в конформном пространстве с„ ее полное и
частичные оснащения 31
1. Гиперповерхность Vп-\ в конформном пространстве С» 31
2. Полное и частичные оснащения гиперповерхности Vn \ конформного пространства Сп 33
3. Квадратичная гиперполоса //n-icP«+i» ассоциированная с гиперповерхностью Vп-\ с С« 39
§ 3. Аффинные связности, индуцируемые нормальным оснащением гиперповерхности Vn-\ конформного пространства Сп 41
1. Теорема Картана-Лаптева 41
2. Аффинные связности, индуцируемые нормальным оснащением гиперповерхности Vn-\ конформного пространства Сп 42
§ 4. Внутренняя геометрия сетей на гиперповерхности уп х конформного
пространства С„ з
1. Дифференциальные уравнения сети zn-iс Vп-\с Сп и инвариантные геометрические образы, порождаемые ею 49
2. Ортогональная сеть Y.n-\ на гиперповерхности Vп-\ ССЛ 52
3. Гиперсопряженная система конформного пространства Сп 53
4. Сеть линий кривизны на гиперповерхности конформного пространства 56
5. Чебышевские и геодезические сети на гиперповерхности Vп-\ конформного пространства Сп 58
6. Чебышевская сеть линий кривизны на гиперповерхности vn-\ с С„ 0 3) 61
7. Чебышевская сеть линий кривизны на поверхности у2 конформного пространства Сз 63
Г Л А В А 2. КОНФОРМНЫЕ И АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ, ИНДУЦИРУЕМЫЕ ПОЛНЫМ ОСНАЩЕНИЕМ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ КОНФОРМНОГО ПРОСТРАНСТВА 66
§ 1. Конформные связности, индуцируемые полным оснащением гиперповерхности Vп-\ конформного пространства Сп 66
1. Пространство конформной связности Cn-i,n-i индуцируемое касательным оснащением гиперповерхности V„-\ Сп 66
2. Условие вырождения гиперповерхности Vп-\ с:Спв гиперсферу 70
3. Нормализованное пространство конформной связности Сп-\,п-\ 72
4. Пространство конформной связности Сп-\,п-\ индуцируемое невырожденным полным оснащением гиперповерхности конформного пространства Сп 74
§ 2. Внутренняя геометрия аффинных связностей, индуцируемых полным оснащением гиперповерхности конформного пространства 78
§ 3. Поле циклид Дарбу, индуцируемое полным оснащением гиперповерхности конформного пространства 83
Г Л А В A 3. НОРМАЛЬНЫЕ СВЯЗНОСТИ НА ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ КОНФОРМНОГО ПРОСТРАНСТВА 87
§ 1. Нормальные связности на нормально оснащенной гиперповерхности Vn-\ конформного пространства Сп 87
1. Нормальная связность V , индуцируемая нормальным оснащением гиперповерхности Vn-\ с С« 87
2. Нормальная связность Vі, индуцируемая нормальным оснащением гиперповерхности Vп-\ конформного пространства сп 90
3. Нормальная связность Vх на нормально оснащенной гиперповерхности Vn-x Cn 92
§ 2. Нормальные связности, индуцируемые полным оснащением гиперповерхности конформного пространства 94
1. Нормальная связность Vх, индуцируемая полным оснащением гипер поверхности Vn-\ конформного пространства Сп 94
2. Нормальные связности V , V на оснащенной гиперповерхности конформного пространства 96 3. Нормальная связность V на поверхности у2 конформного пространства Съ • отнесенной к сети линий кривизны 98
§ 3. Нормальные связности на регулярной квадратичной гиперполосе Нп-\ проективного пространства ри+1, ассоциированной с гиперповерхностью Vп-\ конформного пространства Сп Ю1
1. Инвариантные прямые на регулярной гиперполосе нп-\ проективного пространства р„+1 101
2. Поля одномерных направлений на регулярной квадратичной гиперполосе //«-icP«+i» параллельно переносимые в нормальных связностях 102
ЛИТЕРАТУРА 1
Введение к работе
Конформным пространством п измерений С« называется п- мерное евклидово пространство Еп- дополненное одной несобственной точкой; в этом пространстве определена группа точечных преобразований, переводящих всякую гиперсферу в гиперсферу, причем гиперплоскости пространства Еп считаются гиперсферами, проходящими через несобственную точку. Эта группа сохраняет углы между направлениями и называется группой конформных преобразований пространства Сп Конформно-дифференциальная геометрия трехмерного пространства начала развиваться в рамках классической дифференциальной геометрии в конце XIX века в работах Дарбу, Рибокура и других геометров. В начале 20-го столетия появился ряд работ, в которых рассматривался вопрос о том, как преобразуются важнейшие дифференциальные инварианты и инвариантные квадратичные формы при конформных преобразованиях пространства. К работам этого направления относятся исследования Фосса, Роте, Огура, Фубини и других геометров. Обзор работ этого направления содержится в статье Бервальда [75] в математической энциклопедии (1927 г.).
По сравнению с аффинной и проективной дифференциальными геометриями конформная дифференциальная геометрия несколько отстала в своем развитии. Это объясняется тем, что в работах по аффинной и проективной дифференциальным геометриям с самого начала использовались естественные для этих геометрий координаты - аффинные и проективные, а при изучении вопросов конформной дифференциальной геометрии исследования велись в прямоугольной декартовой системе координат.
В 1924 г. появляется работа Томсена [88], в которой для изучения конформно-дифференциальной геометрии поверхностей применяются пентасферические координаты и тензорное исчисление; к этому направлению относится также работа Вессио [89]. В вышедшей в 1929 г. книге Бляшке [76], написанной им совместно с Томсеном, дифференциальная геометрия трехмерного конформного пространства рассматривается одновременно с дифференциальной геометрией пространства Лаггера и пространства, фундаментальной группой которого служит группа сферических преобразований С.Ли. Итог более чем десятилетней работы в области дифференциальной геометрии сфер был подведен Такасу в трехтомной монографии, первый том которой, вышедший в 1938 г. [87], посвящен конформной геометрии.
В дифференциальной геометрии важное место занимает теория связ-ностей в различных расслоенных пространствах, а также ее применение при исследовании оснащенных подмногообразий, погруженных в различные пространства. История теории связностей начинается с 1917 г. с работы Т.Леви-Чивита [84] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. В 1918 г. Г.Вейль [90] для построения единой теории поля ввел понятие пространства аффинной связности. Дальнейшее обобщение дал в 1920 г. Р.Кэниг [82], рассматривая линейную связность в векторном расслоении над областью числового пространства.
Новый этап в развитии теории связностей открыли работы Э.Картана [27] в 20-х годах, в которых касательные векторные пространства заменялись аффинными, проективными или конформными пространствами. В работе [27] Э.Картан вводит понятие «-мерного пространства конформной связности, в которой он рассматривает т- мерную поверхность в пространстве конформной связности, а также конформные связности, индуцируемые на этой поверхности связностью объемлющего пространства, вопросы конформного отображения и наложимости таких поверхностей. Также в это время теория многомерных пространств конформной связности развивается в работах Т.И.Томаса, И.М.Томаса и ряда других геометров. В работах С.Сасаки [85], [86] в 1939-40 гг. развивается теория кривых и гиперповерхностей в пространстве конформной связности.
Следующий этап в развитии теории связностей начался в 1950 г., когда В.В.Вагнер [18], [19] и Ш.Эресман [80] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве. Изложение Вагнера является локальным и выполнено классическими методами. Глубокое развитие этих результатов с привлечением методов Э.Картана дал в 1953 г. Г.Ф.Лаптев [28]. Обзор дальнейшего развития теории связностей излагается в работе Ю.Г.Лумисте [32].
При построении теории многомерных поверхностей в аффинном, проективном и конформном пространствах встречается ряд трудностей. Эти трудности связаны с тем, что на поверхностях в этих пространствах не удается определить инвариантные связности. Первые применения понятия проективной связности к геометрии подмногообразий в проективном пространстве дал Э.Картан [79] в 1937 г. Для изучения геометрии многомерных поверхностей проективного пространства и других однородных пространств, фундаментальная группа которых является подгруппой проективной группы, А.П.Норден разработал метод нормализации [41]-[44]. Метод нормализации позволил в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. В работах [41]-[44], а также в совместной с Г.В.Бушмановой работе [17] А.П.Норденом получены существенные результаты по конформно-дифференциальной геометрии различных подмногообразий.
Новый инвариантный аналитический метод дифференциально-геометрических исследований многообразий, вложенных в однородные пространства и в пространства с фундаментально-групповой связностью, был развит Г.Ф.Лаптевым [28]. Г.Ф.Лаптев, следуя идеям Э.Картана, дал строгое определение пространства аффинной связности. При этом задача сводится к изучению геометрии подмногообразия посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных, охваченных и оснащающих объектов подмногообразия. П.А.Широков и А.П.Широков исследовали локальное строение подмногообразия в аффинном пространстве с помощью аффинной связности в касательном расслоении [70].
Метод Г.Ф.Лаптева был применен М.А.Акивисом [1],[2],[74] к построению основ инвариантной теории гиперповерхностей, т — мерных поверхностей п- мерного конформного и псевдоконформного пространств. В его работах в третьей дифференциальной окрестности построено инвариантное полное оснащение т- мерной поверхности и гиперповерхности п-мерного конформного пространства, то есть к каждой точке поверхности внутренним образом присоединены т — мерная касательная сфера S и нормальная (п-т)-сфера Р. С помощью инвариантного оснащения на поверхностях строятся конформная связность и связность Вейля, внутренним образом присоединенные к этой поверхности, а также система конформно-инвариантных тензоров, определяющих поверхность Vm конформного пространства с точностью до конформных преобразований. В своих исследованиях М.А.Акивис изучает также поверхности, несущие сеть линий кривизны.
Связность, определяемую в нормальном расслоении подмногообразия евклидова пространства или пространства постоянной кривизны, ввел Э.Картан в 1926-1927 гг. Подмногообразия с нулевым кручением (то есть с плоской нормальной связностью) исследовали почти одновременно Д.И.Перепелкин [46] и Фабрициус-Бьерре [81], а также Э.Картан в 1936 г. Нормальная связность привлекла внимание в связи с исследованиями подмногообразий с параллельным полем вектора средней кривизны в пространстве постоянной кривизны. Одним из дополнительных условий, которое часто ставили при этом, являлось условие, чтобы нормальная связность была плоская. Получены далеко идущие результаты об изучаемых подмногообразиях. Обзор исследований этого направления дан в [33], [34].
Понятие нормальной связности нормализованного подмногообразия в проективном пространстве ввели в 1976 г. независимо друг от друга А.П.Норден в работе [44] и А.В.Чакмазян [68]. До конца 20-го века была сравнительно мало исследована та часть геометрии нормализованного подмногообразия проективного, аффинного и других пространств, где используются связности в нормальных расслоениях. Большой вклад в развитие теории нормальных связностей внес А.П.Чакмазян [69]; в указанной работе он изучает локальное строение подмногообразия в одном из классических однородных пространств (именно, в проективном, аффинном и проективно-метрическом пространствах) с привлечением связностей в нормальных расслоениях.
Линейные связности на различного рода оснащенных подмногообразиях, погруженных как в однородные пространства, так и в пространства с фундаментально-групповой связностью, являются объектом исследования многих отечественных геометров.
Л.Ф.Филоненко в своих работах [62], [63], исходя из геометрии квадратичной гиперполосы в «-мерном проективном пространстве р„, рассматривает распределение т — мерных линейных элементов в (п — 1) -мерном конформном пространстве, используя, в основном, его проективную интерпретацию. Значительное внимание уделяется возникающим при этом связностям, как вейлевой связности во всем пространстве, так и разного рода касательным и нормальным связностям распределения. Исследования А.В.Столярова [56], [57] посвящены изучению аффинных и конформных связностеи, индуцируемых оснащениями распределений в «-мерном конформном пространстве. П.А.Фисунов [66] изучает нормальные связности на оснащенной регулярной т - мерной гиперполосе п - мерного проективного пространства. Исследования А.М Михайловой [38], [39] посвящены изучению некоторых вопросов линейных связностеи на оснащенной гиперполосе конформного пространства.
