Содержание к диссертации
Введение
1 Неголономные поверхности вращения в трехмерном евклидовом пространстве 30
1. Геометрическая характеристика линий кривизны 2-го рода 32
2. Условия, определяющие неголономную поверхность вращения 35
3. Меридианы и параллели неголономной поверхности вращения 40
4. О главных кривизнах 1-го рода неголономной поверхности вращения 46
5. Минимальные неголономные поверхности вращения 47
6. Неголономные поверхности вращения, для которых всякая параллель является геодезической прямейшей 53
7. Неголономные поверхности вращения нулевой полной кривизны 2-го рода 57
8. Сравнительная характеристика поверхностей вращения и неголономных поверхностей вращения 66
2 Сферические неголономные поверхности вращения в четырехмерном евклидовом пространстве 69
1. Главные кривизны 2-го рода сферической неголономной гиперповерхности вращения. Условия, определяющие сферическую неголономную гиперповерхность вращения 71
2. Меридианы и параллели сферической неголономной гиперповерхности вращения 76
3. Сферические неголономные гиперповерхности вращения нулевой полной кривизны 2-го рода 83
4. Главные кривизны 1-го рода сферической неголономной гиперповерхности вращения 84
5. Сравнительная характеристика сферических гиперповерхностей вращения и сферических неголоиомных гиперповерхностей вращения 88
3 Неголономные гиперповерхности двойного вращения в четырехмерном евклидовом пространстве 90
1. Главные кривизны 2-го рода неголономной гиперповерхности двойного вращения. Условия на инварианты, характеризующие НПДВ 92
2. Меридианы и параллели неголономной гиперповерхности двойного вращения 97
3. Эквидирекционные линии и поверхности векторного ноля нормалей НПДВ 105
4. Главные кривизны и главные направления 1-го рода. Линии кривизны 1-го рода НПДВ 107
5. Неголономные гиперповерхности двойного вращения нулевой полной кривизны 2-го рода 111
6. Неголономные гиперповерхности двойного вращения нулевой полной кривизны 1-го рода 115
7. Сравнительная характеристика гиперповерхностей двойного вращения и неголономных гиперповерхностей двойного вращения 116
Литература 119
Приложение 125
- Условия, определяющие неголономную поверхность вращения
- Неголономные поверхности вращения, для которых всякая параллель является геодезической прямейшей
- Сферические неголономные гиперповерхности вращения нулевой полной кривизны 2-го рода
- Меридианы и параллели неголономной гиперповерхности двойного вращения
Введение к работе
Актуальность темы.
Термин "неголономная геометрия" введен немецким механиком Г.Герцем в 1894 году [37]. Так он назвал систему материальных точек, движение которой описывается не вполне интегрируемыми дифференциальными уравнениями. Однако первая работа, в которой рассматривается геометрия интегральных кривых не вполне интегрируемого уравнения Пфаффа
Р(х, у, z)dx + Q(x, у, z)dy + R(x, у, z)dz = О
в евклидовом пространстве появилась в 1880 г. Ее автор — немецкий математик и механик А. Фосс назвал ее "Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения Pdx + Qdy + Rdz = 0" [40]. Среди множества интегральных кривых уравнения Пфаффа выделены инвариантные кривые. Было замечено "раздвоение" свойств, присущих неголономной геометрии. Так появились линии кривизны 1-го и 2-го рода, геодезические "прямейшие" и "кратчайшие".
Следует отметить также важный результат, полученный в 1909 году Каратеодори, о возможности соединения двух точек пространства геодезической "кратчайшей". Эта теория понадобилась ему, прежде всего, в работах по основаниям термодинамики.
До конца 20-х годов XX века количество работ в области неголономной геометрии было незначительным. С 1926 года стали появляться работы Д.М.Синцова, впоследствии вошедшие в сборник [27]. Наиболее серьезные результаты по неголономной геометрии в ее связи с механикой относятся к предвоенным годам и принадлежат Г. Врэнчану [41], Дж. Сингу [39], И.А. Схоутену [38], В.В.Вагнеру [6], [7], [8] и другим выдающимся математикам и физикам того времени. В СССР в те годы неголономную проблематику
активно пропагандировал В.Ф. Каган [25]. Это он предложил в 1937 году тему, связанную с неголономной геометрией, на премию Н.И. Лобачевского. Премия была присуждена В.В.Вагнеру. Относительно работ по неголономной геометрии П.К. Рашевский в 1948 году писал: "В общем итоге: после большой работы, проведенной в теории неголономных пространств В.В. Вагнером, вряд ли есть необходимость в дальнейшем развитии общих схем, но нужна большая работа по испытанию различных моментов теории, так сказать, на их жизнеспособность и по заполнению конкретным содержанием тех ее отделов, которые способны служить для этой цели. Сам Вагнер дал также ряд совершенно конкретных результатов, однако до исчерпания намеченной задачи еще очень далеко"[25].
Заметим, что работы В.В. Вагнера трудночитаемы. Это объясняется отсутствием в то время ясных понятий, которые облегчили бы чтение геометрических работ по неголономной геометрии. Да и сами методы исследования, используемые в то время, были слишком громоздки. Изменились методы после работ Э. Картана [13] и СП. Финикова [32]. Изменилась и терминология в связи с использованием идей неголономной геометрии на n-мерных гладких многообразиях 9Яп. Появилось понятие ^-мерного распределения как гладкого отображения, сопоставляющего каждой точке х многообразия 9ЯП ^-мерное подпространство касательного пространства ТхУЛп [10], [12], [16], [31].
С распределением размерности к тесно связана система из (п — к) независимых уравнений Пфаффа. Распределение называется интегрируемым (или голономным), если система уравнений Пфаффа вполне интегрируема [23], т.е. если через каждую точку х Є 9ЯП проходит А;-мерное интегральное многообразие, которое в каждой своей точке касается плоскости распределения. В этом случае на ffln возникает ^-мерное слоение [12], т. е. через каждую точку х Є Шп проходит одно (и только одно) ^-мерное многообразие, гладко зависящее от точки многообразия (см. классическую теорему Фробениуса [14]). Говорят также, что Шп "расслаивается" на Аьмерные многообразия. Заметим, что одномерное распределение всегда интегрируемо. Распределение размерности (п—1) называется гиперраспределением, которому соответствует одно уравнение
Пфаффа.
Если система из (п — к) уравнений Пфаффа, связанная с распределением, не является вполне интегрируемой, т.е. не имеет интегральных многообразий размерности к, то распределение называется не вполне интегрируемым (или неголономным).
Неголономная геометрия это геометрия гладкого многообразия, на котором задано пеголономное распределение [10]. Начиная с шестидесятых годов прошлого столетия появилось большое количество работ по неголономной геометрии с конкретным содержанием (о нехватке которых говорил П.К. Рашевский в [25]). Среди них — работы по неголономной геометрии линейчатых многообразий. Достаточный перечень последних содержится в [34].
В семидесятых годах появился целый ряд серьезных работ по распределениям в аффинном, проективном пространствах и в пространствах с заданной связностью [1], [4], [5], [15], [17], [21], [30].
Что касается термина "неголономная поверхность", то его ввел Э.Бортолотти [35], [36] для обозначения совокупности интегральных кривых уравнения Пфаффа, заданного в аффинном или проективном пространстве. Этот термин использовали после него и другие авторы (см., например, [26]), понимая, что "неголономная поверхность" не является поверхностью, даже если уравнение Пфаффа вполне интегрируемо. Но в последнем случае пространство расслаивается на однопараметрическое семейство поверхностей. Через каждую точку проходит одна интегральная поверхность в голономном случае. Возникает возможность сравнить геометрию кривых, проходящих через одну точку пространства, в голономном и неголономном случаях. Поэтому в некотором смысле этот термин оправдывается. В данной работе он оказывается удобным, и мы будем им пользоваться.
В нашем случае многообразие ШТП — это n-мерное евклидово пространство Е„. В Еп геометрия гладкого (п — 1)-мерного распределения связана с геометрией векторного поля. Действительно, если задано гладкое векторное поле без особых точек (т.е. гладкое отображение, сопоставляющее каждой точке М Є Еп вектор #), то по нему также определено единственное (п — 1)-мерное распределение,
сопоставляющее точке М гиперплоскость 7гп_і, ортогональную вектору VB этой точке. И наоборот, по распределению (М, 7гп_і) определяется единственное, с точностью до знака, единичное векторное поле (М, е), где е — единичный вектор, ортогональный 7гп_і. Таким образом, существует тесная связь между неголономной геометрией и геометрией векторного поля. Эта связь хорошо прослеживается в работах [2], [29].
Одна из областей применения неголономной геометрии — это динамика механических систем с неголономными связями. Они появляются в виде не вполне интегрируемых дифференциальных уравнений, например, при описании качения твердого тела по поверхности другого тела с учетом трения. В механике решению такого вида задач уделяется большое внимание [3], [И], [22].
Векторные поля находят свое приложение при изучении поля скоростей потоков жидкостей [28], они появляются также в общей теории относительности. Векторные поля постоянной длины (в геометрии — это поля единичных векторов) используются при описании жидких кристаллов и ферромагнетиков [2], [19].
Таким образом, все вышеизложенное позволяет считать задачу геометрического исследования конкретных неголономных поверхностей актуальной проблемой неголономной геометрии.
Цель работы. Данная работа посвящена изучению геометрии гиперраспределений частного вида в трех- и четырехмерном евклидовых пространствах и относится к локальной дифференциальной геометрии. Исследуемое неголономнос распределение получило название "Неголоиомпая поверхность вращения" потому, что в случае его голономности слоями будут являться поверхности вращения (или их части, так как работа относится к локальной дифференциальной геометрии).
В работе [42] мною исследованы поверхности вращения в четырехмерном евлидовом пространстве. Таким образом, есть возможность сравнить поверхности вращения в голономном и неголономном случаях.
Целью диссертационной работы является исследование геометрии неголономных гиперповерхностей вращения в 3-х и 4-хмерном евклидовых
пространствах, в частности, выявление основных инвариантов и исследование свойств линий кривизны 1-го и 2-го рода, асимптотических, эквидирекционных и геодезических линий, а также доказательство существования наиболее важных неголономных поверхностей вращения. Кроме того, одна из поставленных в данной работе задач - сравнение свойств кривых неголономной гиперповерхности вращения, проходящих через заданную точку, со свойствами кривых, принадлежащих обычной поверхности вращения в голономном случае.
Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми. К основным результатам работы можно отнести следующие.
Дано определение неголономной поверхности вращения (НПВ) в 3-хмерном евклидовом пространстве как такого гиперраспределения, все нормали которого пересекают одну неподвижную прямую (ось вращения).
Найдены условия на инварианты, определяющие НПВ.
Даны определения параллелей и меридианов НПВ в 3-хмерном пространстве и изучены их свойства.
Доказано существование и исследована геометрия некоторых частных классов НПВ:
минимальных неголономных поверхностей вращения;
минимальных неголономных поверхностей вращения, для которых линии тока векторного поля нормалей являются окружностями;
неголономных поверхностей вращения, у которых всякая параллель является геодезической прямейшей;
единственной (с точностью до постоянных) неголономной поверхности вращения нулевой полной кривизны 2-го рода, все параллели которой являются геодезическими прямейшими. В этом случае не только доказана теорема существования, но и получен результат в целом. Уравнение распределения и уравнения его инвариантных кривых найдены в неподвижной системе координат во всем пространстве Ез. Ось вращения при этом состоит из особых точек распределения.
Дано определение и исследовано два вида неголономных гиперповерхностей вращения в Е4: 1) сферические неголономные гиперповерхности вращения (СНПВ); 2) неголономные гиперповерхности двойного вращения (НПДВ).
Доказано, что все три главные кривизны 2-го рода СНПВ являются вещественными числами в каждой точке М G. При этом две из них совпадающие. Найдены и другие условия на инварианты, характеризующие СНПВ.
Доказано, что кратной кривизне 2-го рода СНПВ соответствует множество линий кривизны 2-го рода, заполняющих двумерную поверхность, лежащую на трехмерной сфере с центром на оси вращения. Эта двумерная поверхность называется параллелью. Некратной кривизне соответствует линия кривизны 2-го рода, лежащая в двумерной плоскости, проходящей через ось вращения. Эта линия названа меридианом.
Изучены свойства меридианов и параллелей.
Доказаны теоремы существования некоторых частных классов СНПВ.
Доказано, что для НПДВ также все кривизны 2-го рода, две из них различны.
НПДВ разбиваются на два класса: а) НПДВ, для которых все три главные кривизны 2-го рода - различные числа, б) НПДВ, имеющие двукратную главную кривизну 2-го рода. Подробно изучена геометрия каждого из этих классов.
Рассмотрены линии кривизны 1-го рода и их особенности для различных классов НПДВ.
Доказаны теоремы существования для некоторых частных видов НПДВ.
Методика исследования. Работа выполнена методом внешних форм Картана с использованием подвижного репера.
Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение. Могут быть использованы при
исследовании векторных полей и в задачах, приводящих к не вполне интегрируемым уравнениям Пфаффа, например, при изучении динамических систем с неголономными связями частного вида, а также при изучении поля скоростей потоков жидкостей и при описании жидких кристаллов и ферромагнетиков.
Степень достоверности результатов проведенных исследований.
Основные результаты диссертации доказаны с использованием методов локальной дифференциальной геометрии. Достоверность утверждений обосновывается полными математическими доказательствами, а также сравнением полученных результатов с результатами других авторов.
На защиту выносятся следующие положения:
Понятие неголономной поверхности вращения в 3-хмерном евклидовом пространстве.
Особенности инвариантов и инвариантных линий для неголономных поверхностей вращения в 3-хмерном евклидовом пространстве.
Теоремы существования некоторых частных классов неголономных поверхностей вращения в 3-хмерном евклидовом пространстве.
Понятия неголономной сферической гиперповерхности вращения и неголономной гиперповерхности двойного вращения в 4-хмерном евклидовом пространстве.
Результаты исследования свойств различных инвариантных линий для неголономных гиперповерхностей вращения обоих видов в 4-хмерном евклидовом пространстве.
Личный вклад автора. Постановка задач в работе принадлежит научному руководителю, кандидату физ.-мат. наук, доценту Онищук Н. М. Все результаты, приведенные автором в тексте диссертации, получены им самостоятельно.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на VII Всеросс. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых "Наука и образование"(Томск, 2003 г.); Международной конференции по математике
и механике (Томск, 2003 г.); на III Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения"(Казань, 2003 г.); на XLII и XLIII Международных научных студенческих конференциях "Студент и научно-технический прогресс"(Новосибирск, 2004 г. и 2005 г.); на Международной школе-конференции по анализу и геометрии, посвященной 75-летию академика Ю.Г. Решетняка (Новосибирск, 2004 г.); на XIII Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов"(Москва, 2006 г.); на семинаре по геометрии и анализу в Кемеровском государственном университете (2006 г.); на краевом геометрическом семинаре в Барнаульском государственном педагогическом университете (2006 г.); на семинаре по геометрии в Казанском государственном университете (2006 г.). Кроме того, все основные результаты докладывались и неоднократно обсуждались на семинарах кафедры геометрии Томского государственного университета. По теме диссертации имеется 12 публикаций.
Структура и объем работы. Представляемая диссертационная работа состоит из введения, предварительных сведений, трех глав, списка литературы и приложений. Первая глава содержит восемь параграфов, вторая глава - пять параграфов, третья глава - семь параграфов. В конце каждой главы представлена сравнительная характеристика поверхностей вращения исследуемых классов в голономном и неголономном случаях. Полный объем диссертации составляет 127 страниц.
В разделе "Предварительные сведения" изложен общий подход к исследованию гиперраспределения на Е„, присущий методу внешних форм с применением подвижного репера. Введено понятие основного линейного оператора, инварианты которого являются важнейшими инвариантами исследуемого геометрического образа. Это дает возможность в евклидовом пространстве любого числа измерений, на котором задано гиперраспределение, с общей точки зрения ввести такие понятия как главные кривизны 1-го и 2-го рода, полные и средние кривизны 1-го и 2-го рода, тензор неголономности.
Первая глава посвящена исследованию неголономных поверхностей вращения в 3-мерном евклидовом пространстве. Поверхность вращения в Ез
обладает тем свойством, что все ее нормали пересекают одну неподвижную прямую, называемую осью вращения. Это свойство мы положили в основу для определения неголономной поверхности вращения общего вида.
В первом параграфе дается геометрическая характеристика линий кривизны 2-го рода и эквидирекционных линий для неголономной поверхности.
Во втором параграфе дано определение неголономной поверхности вращения и найдены условия на инварианты, определяющие ее.
Распределение в Ез (или в области G С Ез) - это гладкое отображение
СОПОСТаЛЯЮЩее ВСЯКОЙ ТОЧКе М Є G ПЛОСКОСТЬ 7Г2-
Неголономной поверхностью вращения (НПВ) называется распределение, все нормали которого пересекают одну неподвиоісную прямую пространства.
В третьем параграфе даны определения меридиана и параллели НПВ. Доказано, что для НПВ через каждую точку М Є G проходят две линии кривизны 2-го рода, одна из которых — плоская линия, лежащая в плоскости, проходящей через ось вращения; в точках второй линии нормали описывают некоторый конус с вершиной на оси вращения. Первую из них естественно было назвать меридианом, вторую — параллелью. В этом же параграфе изучены их свойства. Доказано, что:
1) параллели являются линиями, лежащими на сфере, центр которой
принадлежит оси вращения (в общем случае параллели не являются плоскими
линиями);
2) меридианы НПВ являются геодезическими прямейшими (линия
неголономной поверхности является геодезической прямейшей тогда и только
тогда, когда ее соприкасающаяся плоскость в каждой точке проходит через
нормаль неголономной поверхности). Это свойство верно и в голономном случае.
Основными результатами четвертого параграфа являются следующие:
1) Показано, что длина отрезка нормали неголономной поверхности
вращения, заключенного между точкой М и осью вращения, равна абсолютной
величине одного из радиусов кривизны 2-го рода.
2) Найден угол ф между меридианом и параллелью, он вычисляется по
формуле
I р
COSW = ,
Vp2 + (h-hf
где р — скаляр неголономности, ki, к2 (h ф к2) — главные кривизны 2-го рода.
3) Показано, что параллель не ортогональна оси вращения и образует угол ip, вычисляемый по формуле
cosy =
(W
У + (А* - к2)2 +
4) Доказано, что линии тока векторного поля (линии, вдоль которых
касательные к ним векторы в каждой точке совпадают с векторами поля)
нормалей НПВ представляют собой плоские линии, лежащие в плоскостях
меридианов.
5) Найдене условия, при которых через каждую точку М Є G проходит одна
эквидирекционная линия либо эквидирекционная поверхность.
В четвертом параграфе получено выражение главных кривизн 1-го рода через главные кривизны 2-го рода. Доказано, что главные кривизны 1-го рода являются вещественными различными числами.
В пятом параграфе рассматриваются минимальные неголономные поверхности вращения.
Во-первых, доказана теорема существования минимальных НПВ, т.е. НПВ нулевой средней кривизны. Широта класса всех таких неголономных поверхностей — одна функция двух аргументов.
Показано, что:
1) полная кривизна 1-го рода минимальной НПВ отрицательна,
следовательно, всякая точка М Є G для минимальной НПВ является точкой
гиперболического типа (определения главных кривизн 1-рода, полной кривизны
1-го рода см. в разд." Предварительные сведения");
2) полная кривизна 2-го рода минимальной НПВ также отрицательна и это
значит, что фокусы торсов, описываемых нормалями вдоль линии кривизны 2-го
рода, расположены по разные стороны от касательной плоскости НПВ;
3) вдоль параллели минимальной НПВ полная кривизна 2-го рода постоянна.
Также доказана теорема существования минимальных НПВ, для которых линии тока векторного поля нормалей являются окружностями. Произвол таких минимальных НПВ — две функции одного аргумента.
В шестом параграфе рассматриваются НПВ, у которых всякая параллель является геодезической прямейшей
Доказана теорема существования НПВ, у которых всякая параллель является геодезической прямейшей. Произвол данного класса НПВ — две функции двух аргументов.
Также доказано, что все параллели неголономной поверхности вращения являются геодезическими прямейшими тогда и только тогда, когда они — окружности. В голономном случае всякая параллель поверхности вращения есть окружность. Из них геодезическими линиями (прямейшими и кратчайшими) являются лишь те параллели, в каждой точке которой касательные векторы к меридиану параллельны оси вращения.
В седьмом параграфе первой главы исследуются НПВ нулевой полной кривизны 2-го рода. Доказана теорема существования таких НПВ, а также теорема существования единственной (с точностью до постоянной) НПВ нулевой полной кривизны 2-го рода (К2 = 0), все параллели которой являются геодезическими прямейшими. Уравнение Пфаффа для такого распределения имеет вид
(с\у - x)dx + (с2у - z)dz = 0,
где (ci)2 -f (С2)2 Ф 0 (уравнение дано в некоторой неподвижной декартовой системе координат). Эта теорема является глобальной.
Прямая
х = ау,
z = c2y есть ось вращения. Ось вращения состоит из особых точек распределения. Скаляр неголономности
_ С2Х — C\Z
(x-c1y)2 + (-z + c2y)2'
Меридианы определяются системой уравнений:
Щ\Х — Z + 7712 = О,
х- (с\ + c2mi)y + m\z = О, т.е. меридианы — прямые линии. Параллель определяется уравнениями
У = с,
(х - ccif + {z- сс2)2 = c2(ci2 + с22) + с3,
т.е. всякая параллель представляет собой окружность, лежащую в плоскости, не ортогональной оси вращения.
В заключение отмечаются некоторые свойства НПВ последнего класса.
В последнем, восьмом, параграфе первой главы приводится сравнительная характеристика инвариантных кривых поверхностей вращения и неголономных поверхностей вращения Ез-
Во второй главе исследованы сферические неголономные гиперповерхности вращения (СНПВ) в 4-мерном евклидовом пространстве.
Во введении ко второй главе рассматриваются виды вращений в Е4, дается понятие сферической гиперповерхности в Е4 и определяется сферическая пеголоиомная гиперповерхность вращения.
Пусть G С Е4 - некоторая область, в которой задано гладкое трехмерное распределение, не имеющее особых точек. Сферической неголономной гиперповерхностью вращения (СНПВ) называется такое неголономное гиперраспределение, все нормали которого пересекают неподвижную прямую (ось вращения).
В первом параграфе прежде всего доказано, что для сферической неголономной поверхности вращения все три кривизны 2-го рода (к\, к2, кз) вещественны, при этом две из них, к2 и кз, совпадают, а третья кі не равна им. В дальнейшем будем обозначать через к кратную главную кривизну / = &з-Также найдены другие условия на инварианты, характеризующие СНПВ.
Второй параграф посвящен исследованию линий кривизны 2-го рода, здесь даны определения параллелей и меридианов СНПВ:
Доказано, что линии кривизны 2-го рода, соответствующие некратной главной кривизне 2-го рода к\, лежат в двумерных плоскостях, проходящих через ось вращения. Эти линии кривизны 2-го рода мы называем меридианами.
Показано, что линии кривизны 2-го рода, соответствующие кратной главной кривизне 2-го рода к заполняют двумерные поверхности, лежащие на трехмерных сферах с центрами на оси вращения. Эти двумерные поверхности называем параллелями СНПВ.
Нормали сферической неголономной поверхности вращения во всех точках параллели пересекаются в одной точке, лежащей на оси вращения.
Справедливо утверждение: кратная главная кривизна 2-го рода постоянна в точках параллели.
6) Меридианы и параллели сферической неголономной гиперповерхности
вращения не ортогональны.
Найден угол (3 между касательной плоскостью к параллели и касательной к меридиану в точке их пересечения. Он определяется по формуле
a kl~k
smp = — ,
V(*i - *)2 + 4Р2
где р — скаляр неголономности.
7) Найден угол Показано, что он вычисляется по формуле
V4*2 + a?2)(V + (*i-*)2)
8) Доказано, что линия тока векторного поля нормалей в точке М лежит в
одной двумерной плоскости с осью вращения и с меридианом и ортогональна
последнему.
В конце второго параграфа найдены уравнения асимптотических линий.
В третьем параграфе изучаются СНПВ нулевой полной кривизны 2-го рода. Основные результаты третьего параграфа:
1) Доказано, что меридианы являются прямыми линиями лишь тогда, когда полная кривизна 2-го рода Кч равна нулю.
2) Доказано утверждение: если К^ = 0, то в каждой точке М Є G касательные к асимптотическим линиям СНПВ образуют действительный конус 2-го порядка. Меридиан при этом является прямой линией и одной из образующих этого конуса.
Четвертый параграф посвящен исследованию главных кривизн 1-го рода:
Доказано, что все три главные кривизны 1-го рода сферической СНПВ различны, одна из них совпадает с кратной кривизной 2-го рода.
Показано, что если полная кривизна 1-го рода К\ равна нулю, то всего лишь одна из главных кривизн 1-го рода обращается в нуль.
Справедливо утверждение: если К\ = 0, то через каждую точку М Є G проходит лишь одна асимптотическая линия, совпадающая с одной из линий кривизны 1-го рода.
4) Главное направление 1-го рода, соответствующее ненулевой главной
кривизне 1-го рода к[' — к, взаимно сопряжено относительно оператора А*
с другими главными направлениями 1-го рода.
5) Главные направления 1-го рода, ортогональные направлению ёг, взаимно
сопряжены лишь в голономном случае.
Последний параграф содержит сравнительную характеристику сферических гиперповерхностей вращения и сферических неголономных гиперповерхностей вращения.
Третья глава посвящена исследованию неголономных гиперповерхностей двойного вращения (НПДВ).
В начале третьей главы определяется неголономная гиперповерхность двойного вращения. Неголоиомной гиперповерхностью двойного вращения (НПДВ) называется такое неголономное гиперраспределение, все нормали которого пересекают две неподвижные взаимноперпендикулярные двумерные плоскости, пересекающиеся в одной точке.
Неподвижные двумерные плоскости называются двумерными осями вращения, а точка их пересечения - центром вращения. Предполагается также, что каждая нормаль пересекает каждую двумерную ось вращения в
одной точке, не совпадающей с центром вращения.
В первом параграфе данной главы выбран ортонормированный подвижной репер и исследованы главные кривизны 2-го рода и линии кривизны 2-го рода. Также получены условия на инварианты, определяющие НПДВ.
Теорема. Неголономная гиперповерхность является неголономпой гиперповерхностью двойного вращения тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
1) в каждой точке все три главные кривизны 2-го рода ki, к2, h ~
вещественные числа, причем два из них не совпадающие (к2 Ф к%);
2) дифференциалы функций к2, к$ выраэ/саются формулами
dk2 = Pi ((fci - к2)ш1 + 2pV - 2pV + ашА) + (k2)2u\ dfa = a((fa-ki)ul + 2p3u2-2pW + au;A) + (h)2LJ4,
в которых p2, p3, a - координаты векторов p = p2e2 + /93 (вектор неголономности) и ae\ (вектор кривизны линии тока), а дифференциал функции а\ определяется формулой
&ol\ = ((o;i)2 + kih)u)1 - 2p3k3uj2 + 2p2k3cu3 + k3(ai - a)u4;
3) инварианты k2, kz, a\, Pi связаны зависимостью
fah + афх = 0, k2 ф 0, fc3 ф 0,с*і ф О, А ф О,
Р\къ - сх\к2 ф 0.
Во втором параграфе рассматриваются различные виды НПДВ и изучаются свойства их линий кривизны 2-го рода. Даны определения меридианов и параллелей для каждого из видов НПДВ.
Существуют два типа НПДВ:
I. НПДВ, для которых все главные кривизны различны. Для них
доказаны следующие теоремы.
Теорема. Линии кривизны 2-го рода, соответствующие кривизнам к2 и кз, лежат на двумерных сферах с центрами на двумерных осях вращения.
Эти линии кривизны 2-го рода назовем параллелями НПДВ.
Теорема. Линии кривизны 2-го рода, соответствующие кривизне к\, лежат в двумерных плоскостях, проходящих через нормаль НПДВ.
Такие линии кривизны 2-го рода назовем меридианами НПДВ.
Получены следующие свойства:
Меридиан НПДВ является геодезической прямейшей линией (т.е. линией, в каждой точке которой ее двумерная соприкасающаяся плоскость проходит через нормаль НПДВ).
Вдоль каждой параллели одна из главных кривизн 2-го рода постоянна.
2) Линия тока векторного поля нормалей НПДВ лежит в одной двумерной плоскости с меридианом и ортогональна ему.
4) Длины отрезков нормалей, заключенных между точкой НПДВ и
двумерными осями вращения, равны абсолютным величинам тех радиусов
кривизны 2-го рода, которые соответствуют параллелям.
5) Найдены углы между каждой параллелью и меридианом:
COS
л/(4И2 + (^-ед'
COSW3 = , ,
V(4(P2)2 + (h - *i)2)' где ki, &2, / — главные кривизны 2-го рода, p{pl,p2,pz} — вектор неголономности.
б) Угол между двумя параллелями НПДВ, проходящими через точку М Є G, определяется формулой
COSCCi = . .
Х/(4(Р3)2 + {h - *i)2)(4(p*)2 + (h - h)2)
П. НПДВ, для которых / Ф &з> h = &2- Этот класс, в свою очередь, делится на два подкласса:
1) В случае р3 ф 0, к\ = &2 через каждую точку М Є G проходят только две линии кривизны 2-го рода. Кривизне &з соответствует параллель - кривая, лежащая на двумерной сфере. Кратной главной кривизне 2-го рода к\ = къ сооответствует одна линия кривизны 2-го рода (вторая параллель, совпадающая
с меридианом). Она обладает свойствами, присущими как меридиану (лежит в двумерной плоскости), так и параллели (является окружностью, вдоль которой нормали образуют пучок с центром на двумерной оси вращения Рг)-
2) В случае р3 = 0, к\ = / через каждую точку М Є G проходит одна линия кривизны 2-го рода, лежащая на двумерной сфере (параллель), и одна двумерная сфера, лежащая в трехмерной плоскости (двумерный меридиан).
Третий параграф третьей главы посвящен исследованию эквидирекционных линий для НПДВ. Линия (поверхность) называется эквидирекционной линией (поверхностью) векторного поля, если вдоль нее векторы поля параллельны. Основным результатом этого параграфа является теорема:
Теорема. Через каждую точку М Є G проходит либо одна эквидирекционная линия, либо двумерная эквидирекционная поверхность.
В четвертом параграфе изучаются главные кривизны 1-го рода НПДВ.
Теорема. Пусть для НПДВ все три главные кривизны 2-го рода различны. Тогда линией кривизны 1-го рода мооїсет быть лишь одна из параллелей НПДВ и эта параллель ортогональна меридиану.
Теорема. Пусть для НПДВ k\ = /. Тогда кратная кривизна 2-го рода (к\ = к<і) мооїсет быть главной кривизной 1-го рода лишь в том случае, когда ръ = 0, то есть когда меридиан является двумерной поверхностью. При этом соответствующая линия кривизны 1-го рода принадлеоісит меридиану, а касательные к двум другим линиям кривизны 1-го рода лежат в одной плоскости с касательной к той линии кривизны 2-го рода, которая соответствует некратной кривизне 2-го рода (к$).
Теорема. Если кратная главная кривизна 2-го рода ( к\ = кі) НПДВ является такоісе и главной кривизной 1-го рода, то некратная главная кривизна 2-го рода (k$) не может быть главной кривизной 1-го рода.
В пятом параграфе изучаются НПДВ нулевой полной кривизны 2-го рода. Основные результаты параграфа:
1) Доказано, что меридиан НПДВ является прямой тогда и только тогда, когда полная кривизна 2-го рода равна нулю.
Условия, определяющие неголономную поверхность вращения
Для неголономной поверхности общего вида главные кривизны 2-го рода (в отличие от главных кривизн 1-го рода) могут быть как вещественными, так и мнимыми. Для неголономной же поверхности вращения они в каждой точке М Є G будут вещественными и различными. Это первое важное свойство неголономной поверхности вращения (НПВ). Теорема 1. Главные кривизны 2-го рода неголономной поверхности вращения являются вещественными различными числами. Доказательство.
Пусть L - неподвижная прямая (ось вращения), F -произвольная точка на L, F = г +1 ёз -радиус-вектор точки F. Выберем на L некоторую неподвижную точку F\ и найдем кривые распределения (интегральные кривые уравнения w3 = 0), вдоль которых нормали распределения проходят через точку F\. Так как F\ - неподвижная точка, то dF\ = 0 при о;3 = 0, то есть Уравнения (1.2.2) определяют линии кривизны 2-го рода. При этом надо заметить, что через каждую точку М их проходит не больше двух. В противном случае А2 = А2 — А\ = А\ = О, тогда р = А\ — А2 = О и мы получили бы голономный случай. Итак, имеем, по крайней мере, одну кривую распределения, вдоль которой нормали описывают конус с вершиной в точке F\ Є L. И для этой кривой главная кривизна 2-го рода к\ = - = const. Направив вектор е\ по касательной к линии кривизны 2-го рода, мы получим уравнения определяющие линии кривизны 2-го рода, соответствующие кривизне к\. Как мы видим, к\ - вещественное не равное нулю число. Заметим, что при данном выборе вектора е\ репер {М, еі,Є2,ез} стал каноническим. В нем АІ = 0, р = А\ и характеристическое уравнение оператора А имеет вид Главные кривизны 2-го рода к\ = —А\, / = —Л . Итак, для неголономной поверхности вращения главные кривизны 2-го рода - вещественные числа.
Покажем, что къфк\. Так как точка F описывает прямую L, то вектор прежде всего зависит лишь от одной формы, следовательно, коэффициенты при еі,Є2,ез пропорциональны. Так как tA\ = iitAl t ф 0. Предположим теперь, что k\ — k i, то есть A\ = А2, тогда из (1.2.5) получаем А\ = 0. Следовательно, р = 0. То есть равенство к\ = / может иметь место лишь в голономном случае. Итак, для неголономной поверхности вращения имеем h ф к2М В ходе доказательства теоремы 1 мы построили канонический репер, в котором А2 = О, А\ = — к\, A2 = -/. После этого уравнения (1.0.3) принимают вид где а = А\, b = Al координаты вектора кривизны к п = ае\ + 6 линии тока векторного поля нормалей ёз- Кроме того, что к\ ф 0, также и к\ ф /. Из (1.2.5) для НПВ получаем И тогда Соотношения (1.2.5) были получены из линейной зависимости коэффициентов при ё\, ё 2 в (1.2.4). Но кроме того Подставив в это равенство dt = — ., N0, получим Заметим, что условия на инварианты мы получили исходя из того, что dF зависит от одной формы. То есть мы исходили из требования, что точка F описывает, вообще говоря, некоторую кривую, a dF - ее касательный вектор. Но чтобы это была действительно прямая линия L, требуется еще, чтобы ее касательный вектор оставался параллельным dP. Условие dP Р приводит к равенствам
Неголономные поверхности вращения, для которых всякая параллель является геодезической прямейшей
На неголономной поверхности существует два рода геодезических линий. Пусть М\ - точка, достаточно близкая к точке М. Кривая неголономной поверхности, проходящая через точки М и Mi и дающая кратчайшее расстояние между М и Мі по сравнению с другими кривыми неголономной поверхности, соединяющими эти точки, называется геодезической кратчайшей [27]. Линия неголономной поверхности является геодезической прямейшей, если в каждой ее точке соприкасающаяся плоскость проходит через нормаль к поверхности либо эта линия прямая [27]. На неголономных поверхностях вращения геодезические кратчайшие ничем особенным не выделяются по сравнению с их свойствами для неголономной поверхности общего вида. По крайней мере, мне не удалось найти никаких новых свойств. Поэтому я не считаю нужным писать об этом.
Соприкасающаяся плоскость параллели относительно выбранного нами репера определяется уравнением или в координатах: Так как fa(ki — к2) ф 0, то параллель будет геодезической прямейшей тогда и только тогда, когда ац = 0. Теорема 1. С произволом двух функций двух аргументов существуют неголономные поверхности вращения, у которых всякая параллель является геодезической прямейшей. Доказательство. Будем рассуждать по аналогии с доказательством теоремы 1 из 5. Замкнем систему (1.2.13) при условии, что an = 0. В результате То есть гз = 0 и характеры системы (1.6.2) имеют следующие значения: si = 3, S2 = 2, S3 = 0. Согласно критерию Кэлера, исследуемая система уравнений Пфаффа имеет решение, зависящее от двух функций двух аргументов. Таким образом, мы доказали, что неголономные поверхности вращения, все параллели которых являются геодезическими прямейшими, существуют. Широта класса таких неголономных поверхностей вращения — две функции двух аргументов.
Заметим, что в голономном случае только у цилиндров всякая параллель является геодезической. В неголономном же случае, как мы доказали, таким свойством обладает большой класс неголономных поверхностей вращения (широта класса — две функции двух аргументов). Обратим внимание также на то, что цилиндры относятся к поверхностям нулевой полной кривизны. Ниже покажем, что среди иеголономпых поверхностей вращения, у которых всякая параллель — геодезическая прямейшая, существует единственная (с точностью до постоянных), имеющая нулевую полную кривизну 2-го рода. Теорема 2. Все параллели иеголономной поверхности вращения являются геодезическим прямейшими тогда и только тогда, когда они — окружности. Доказательство. Ранее было доказано, что всякая параллель НПВ лежит на сфере. Поэтому для доказательства теоремы достаточно показать, что при an = 0, и только в этом случае, всякая параллель является плоской линией. Так как вектор ё\ направлен по касательной к параллели ш2 = ш3 = 0, то равенство (при w2 = и3 = 0) представляет собой условие того, что всякая параллель — плоская линия. Так как ki ф 0, то, используя деривационные формулы репера, убеждаемся, что это равенство имеет место лишь при an = 0. Так как для пеголономной поверхности вращения одна из главных кривизн 2-го рода ki ф 0, то полная кривизна 2-го рода К% = / равна нулю только при fc2 = 0. При этом условии из равенств (1.2.13) получаем являющиеся тождествами в силу (1.6.4). Из (1.6.6), (1.6.7) следует, что построенная нами цепь интегральных элементов не особая, характеристическое число гз = 0, характер s2 = ті — r\ = 1. Так как сумма характеров s\ + s2 + S3 равна числу неизвестных функций аи, «із, с зз системы, т.е. Si + s2 + S3 — 3, то S3 = 0. Достаточный признак Кэлера выполнен. Решение системы существует. А так как s2 = 1, S3 = 0, то это решение имеет произвол в одну функцию двух аргументов. Тем самым доказано существование неголономной поверхности вращения нулевой полной кривизны 2-го рода. Широта класса таких неголопомпых поверхностей — одна функция двух аргументов. Теорема 2.
Существует неголономная поверхность вращения нулевой полной кривизны 2-го рода, все параллели которой явяляются геодезическими прямейшими. Доказательство. Ранее мы показали, что полная кривизна обращается в нуль только при к2 = 0. А условие ац = 0 характеризует неголономную поверхность вращения, для которой все параллели — геодезические прямейшие. Итак, для исследуемой здесь поверхности вращения (при к2 = ац = 0) из формул (1.7.1), (1.7.2) имеем
Сферические неголономные гиперповерхности вращения нулевой полной кривизны 2-го рода
Сферические неголономные гиперповерхности вращения, для которых К 1 = О, обладают следующими свойствами. 1) Меридианы являются прямыми линиями, а следовательно асимптотическими линиями. Действительно, полная кривизна 2-го рода обращается в нуль лишь при &i = 0. При этом условии касательный вектор е\ меридиана остается вдоль него постоянным, так как de\ = 0 при ш2 = w3 = а 4 = 0. 2) Множество всех плоскостей 7Гз — касательных к СНПВ — зависит от трех параметров, а не от четырех как в общем случае. В этом можно убедиться, получив уравнения, определяющие характеристики плоскости 7Гз при смещении по любому направлению. Эти уравнения имеют вид Отсюда, используя формулы (2.1.13) при k\ = 0, получаем В уравнения (2.3.1) входит лишь три базисные формы, т.е. множество всех плоскостей 7Гз зависит от трех параметров. 3) Все характеристики гиперплоскости 7Гз пересекаются в одной точке М0 (--,0,-,0J , где Д Действительно, из (2.3.1) получаем, что координаты характеристической точки удовлетворяют системе уравнений трехпараметрическое семейство гиперплоскостей 7Гз имеет единственную огибающую — трехмерную поверхность, состоящую из точек MQ. 4) При смещении по кривым, принадлежащим СНПВ а;4 = 0, характеристики гиперплоскости принадлежащей конусу касательных к асимптотическим линиям в точке М. В этом легко убедиться, сравнив уравнения (2.3.3) и (2.2.10) при к\ = 0. 5) В каждой точке М прямая (2.3.3) ортогональна параллели. Действительно, прямая (2.3.3) ортогональна двумерной плоскости являющейся касательной плоскостью параллели. 4. Главные кривизны 1-го рода сферической неголономной гиперповерхности вращения В выбранном нами каноническом репере матрица оператора А имеет вид Корни уравнения (2.4.1), взятые с противоположными знаком, — есть главные кривизны 1-го рода.
Так как оператор В — симметричный, то главные кривизны 1-го рода в каждой точке М Є G являются действительными числами. Теорема 4. Все три главные кривизны 1-го рода сферической неголономной поверхности вращения различны, одна из них совпадает с кратной кривизной 2-го рода. Доказательство. Найдем собственные значения оператора В. Характеристический многочлен оператора В равен Это значит, что одна из главных кривизн 1-го рода к\ = —ц\ = к, т.е. совпадает с кратной кривизной 2-го рода, а две другие вычисляются по формуле Наибольшая и наименьшая из главных кривизн 1-го рода являются экстремальными значениями нормальных кривизн кривых СНПВ, проходящих через точку М є G [20]. Полные кривизны 1-го и 2-го рода сферической неголономной поверхности вращения связаны следующим равенством Так как к ф 0, то из формулы (2.4.2) следует, что для сферической неголономной поверхности вращения в Е4 полные кривизны 1-го и 2-го рода совпадают тогда и только тогда, когда и 4 = 0 голономно, что для произвольных неголономных гиперповерхностей в пространстве размерности большей трех неверно [20], [26]. Рассмотрим СНПВ, для которых полная кривизна 1-го рода равна нулю. Так как К\ = det В, то к(р2 - кк\) = 0. Р2 Так как к ф 0,то к\ = —, т.е. ни одна из главных кривизн 2-го рода не равна к нулю для СНПВ нулевой полной кривизны 1-го рода. Главные же кривизны 1-го рода выражаются следующим образом через главные кривизны 2-го рода = A:, kM = k + kh к] = 0. (2.4.3) СНПВ, для которых К\ — 0, обладают следующими свойствами. 1) Если К\ = 0, то всего лишь одна из главных кривизн 1-го рода обращается в нуль. Действительно, если К\ = 0, то главные кривизны 2-го рода к ф 0, и к\ ф 0. А из (2.4.3) видим, что кроме — 0 больше ни одна из главных кривизн 1-го рода не может обращаться в нуль.
Меридианы и параллели неголономной гиперповерхности двойного вращения
Итак, мы имеем две неподвижные взаимноперпендикулярные плоскости Р2 и Рз, пересекающиеся в одной точке и определяемые в локальных координатах уравнениями (3.1.18), (3.1.19). Всякая нормаль НПДВ пересекает эти плоскости в двух точках F2 Є Р2 и Рз Є - з- Плоскости Р2 и Рз являются двумерными осями вращения данной НПДВ. А точка С, в которой они пересекаются, - это центр п( к2-къ «і - A S вращения с координатами G —: -—г-, О? О, —; тгг Ранее мы показали, что две главные кривизны 2-го рода к2 и &з не могут совпадать (к2 ф /). Третья же главная кривизна к\ может не совпадать ни с одной из них, но может и совпадать с какой-нибудь. Изучим каждый из этих случаев. I. Рассмотрим НПДВ, для которых к\фк2, к\фкъ, к2ф /. Находим главные направления и линии кривизны 2-го рода. Так как главные направления 2-го рода - это направления собственных векторов оператора А , характеристическое уравнение (3.1.6) тепреь имеет вид а собственные числа А{ — —&j, {і — 1,2,3), то отсюда следует, что главными направлениями, соответствующими главным кривизнам 2-го рода к\, к2, &з, будут направления векторов Теорема 1. Линии кривизны 2-го рода, соответствующие кривизнам к2 и &з, лежат на двумерных сферах с центрами на двумерных плоскостях вращения. Доказательство. Покажем, что линии кривизны 2-го рода (3.2.3), соответствующие кривизне к2, лежат на двумерных сферах с центрами на плоскости вращения Р2. Прежде всего покажем, что точка F2 неподвижна при движении точки М по кривой (3.2.3). Действительно, из (3.1.17), при условиях (3.2.3), получаем F2 = 0, то есть точка F2 неподвижна. Следовательно, нормали вдоль линии кривизны 2-го рода (3.2.3) описывают конус. А так как при этом dk2 = 0, то есть &2 = const, то это значит, что все точки кривой (3.2.3) находятся на одинаковом расстоянии от точки F2, лежащей на плоскости вращения (3.1.18). Кроме того покажем, что плоскость х3 = О остается неподвижной в точках этой линии кривизны 2-го рода. Действительно, вдоль линии (3.2.3) имеем de$ = 0. То есть вектор нормали плоскости х3 = 0 не меняется.
Это может быть лишь тогда, когда кривая лежит в плоскости. Таким образом, линия кривизны 2-го рода, соответствующая кривизне к2, лежит в трехмерной плоскости и все ее точки одинаково удалены от одной фиксированной точки F2 этой плоскости. Отсюда вывод: линия кривизны 2-го рода, соответствующая к2) - это линия, лежащая на двумерной сфере Аналогично доказывается, что линия кривизны 2-го рода, соответствующая &з, лежит на двумерной сфере Теорема 2. Линии кривизны 2-го рода, соответствующие кривизне к\, леоісат в двумерных плоскостях, проходящих через нормаль НПДВ. Доказательство. Найдем соприкасающуюся плоскость той линии кривизны 2-го рода (3.2.2), которая соответствует к\. (Под соприкасающейся плоскостью к кривой понимаем двумерную плоскость, имеющую с данной кривой в каждой точке соприкосновение 2-го порядка, т.е. проходящую через первую и вторую производные радиус-вектора точки кривой). Пусть г — радиус-вектор точки, лежащей на линии кривизны 2-го рода (3.2.2), которая соответствует к\. Тогда вдоль этой кривой dr = ш1ё\ ei, d2r Є4, d3f dt\ е\. Отсюда следует, что соприкасающаяся плоскость х2 = 0, х3 = 0 не меняется вдоль той линии кривизны 2-го рода, которая соответствует кривизне к\. Это значит, что эта линия лежит в двумерной плоскости х = 0, хл = 0, проходящей через нормаль.И Определение 1. Линии кривизны 2-го рода иеголономной гиперповерхности двойного вращения, вдоль которых нормали образуют конус, называются параллелями НПДВ. Определение 2. Линии кривизны 2-го рода неголономной гиперповерхности двойного вращения, лежащие в двумерных плоскостях, называются меридианами НПДВ. Как известно, нормали неголономной поверхности вдоль всякой линии кривизны описывают торс. Вдоль каждой параллели этот торс является конусом с вершиной на одной из двумерных плоскостей вращения. А вдоль меридиана ребро возврата торса - это плоская линия, являющаяся огибающей нормалей. Действительно, в точках меридиана и2 = шг = и?4 = 0 имеем
