Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические основы. 30
1.1.1. Разрешающее уравнение динамики МКЭ 30
1.1.2. Расчёт на собственные колебания: особенности задачи и метод её решения 32
1.1.3. Пошаговое интегрирование уравнений движения 3 6
1.1.4. Описание программных комплексов 39
1.2. Трёхузловои изопараметрический конечный элемент бруса 47
1.2.1. Построение матрицы жёсткости изопараметрического КЭ бруса 47
1.2.2. Построение матрицы масс изопараметрического КЭ бруса 54
1.3. Девятиузловой изопараметрический конечный элемент оболочек малой и средней толщин 60
1.3.1. Построение матрицы жёсткости изопараметрического КЭ оболочек малой и средней толщин 60
1.3.2. Построение матрицы масс изопараметрического КЭ оболочек малой и средней толщин. 69
Глава 2. Определение динамических характеристик стержневых и тонкостенных конструкций 71
2.1. Определение динамических характеристик стержневых конструкций 71
2.2. Определение динамических характеристик при свободных колебаниях оболочек 79
2.3. Решение задач на вынужденные колебания оболочек 96
2.4. Сравнение расчётов МКЭ для КЭ бруса и оболочечного КЭ на примере свободных колебаний тонкой узкой полосы прямоугольного поперечного сечения 100
2.5. Приложение к расчёту реальных конструкций 102
2.5.1. Определение динамических характеристик рекламного щита на основе оболочечного КЭ 102
2.5.2. Расчёт на собственные колебания рекламного щита по стержневой модели 109
2.5.3. Расчёт на собственные колебания башни Шухова по стержневой модели 113
Глава 3. Выпучивание упругих стержней и Цилиндрических оболочек под действием прямоугольного импульса силы 116
3.1. Постановка задачи. 116
3.2. Аналитическое решение уравнения продольных колебаний. 118
3.3. Применение численного метода к исследованию поведения упругих стержней под действием осевого прямоугольного импульса силы , 132
3,4. Применение численно-аналитического метода к исследованию поведения упругих стержней под действием осевого прямоугольного импульса силы. 150
3.5. Применение численно-аналитического метода к исследованию осесимметричного выпучивания
защемлённой цилиндрической оболочки под действием продольного прямоугольного импульса силы. 162
3.6. Применение численного метода к исследованию осесимметричного выпучивания защемлённой цилиндрической оболочки под действием продольного прямоугольного импульса силы.
Заключение
Литература
- Трёхузловои изопараметрический конечный элемент бруса
- Девятиузловой изопараметрический конечный элемент оболочек малой и средней толщин
- Определение динамических характеристик при свободных колебаниях оболочек
- Применение численного метода к исследованию поведения упругих стержней под действием осевого прямоугольного импульса силы
Введение к работе
Интерес к разработке проблем моделирования нестационарного деформирования и прочности тонкостенных и стержневых конструкций непрерывно возрастает, так как пластины, оболочки и стержневые элементы являясь основными несущими элементами конструкций авиационной и космической техники, трубопроводов, современных конструкций подвергаются при различных аварийных ситуациях действию интенсивных динамических нагрузок. Учёт всех факторов, возникающих в этих ситуациях приводит к сложным начально-краевым задачам, решение которых аналитическими методами невозможно. Поэтому в этой ситуации используются численные методы, обладающие возможностью получать решения практически для любых задач с некоторой заданной точностью.
Исследования по расчёту оболочек опубликованы в работах Саченкова А.В., Андреева Л.В., Дышко А.Л., Павленко И.Д., Александрова А.В., Лащеникова Б.Я., Шапошникова Н.Н., Бублика Б.Н., Вайнберга Д.Б., Вольмира А.С., Воробьёва Ю.С., Голованова А.И., М. С. Корни шина, ЯкуповаН.М, Серазутдинова М.Н., Богдановича А.Е., Григолюка Э.И., Шалашилина В.И., Григоренко Я.М., Василенко А.Т., Мукоеда А.П., Зенкевича О., Крысько В.А., Постнова В.А., Мяченкова В.И., Григорьева И.В., Образцова И.Ф., Онанова P.M., Савельева Л.М., Хазанова Х.С., Победри Б.Е., Рикардса Р.Б., Савулы Я.Г., Флейшмана Н.П., Сахарова А.С., Филиппова А.П., Кохманюка А.П., ЯнютинаЕ.Г., посвященных вопросам расчёта статики и динамики тонкостенных конструкций.
Весьма эффективными методами являются методы расчётов, основанные на модификациях метода конечных разностей. Имеются многочисленные публикации и фундаментальные издания по этой теме. Это работы Абросимова Н.А., Баженова В.Г., Вайнберга Д.П., Вольмира А.С., Гордиенко Б,А., Кибеца А.И., Кибеца Ю.И., Корнишина М.С., Крысько В.А., Ломунова В.К., ДД.Чекмарёва, и др. [37, 63,. 64, 96]. Расчёту динамического поведения композитных оболочек методом конечных разностей посвящена работа [150].
Благодаря физической наглядности, высокой алгоритмичности и удобству применения в конструкциях сложной геометрии, МКЭ получил широкое распространение. По МКЭ опубликовано множество фундаментальных исследований. Среди них можно выделить монографии Бате К., Вилсона Е. [8], Галлагера Р: [45], Голованова А.И., Корнишина М.С. [51], Голованова А.И., Бережного Д.В. [50], Зенкевича О. [81], Зенкевича О., Моргана К. [82], Норри Д., Ж. Де Фриза [116]» Образцова И.Ф., Савельева Л.М;, Хазанова Х.С. [1І7], Одена Дж. [118], Постнова В.А.[129], Розина Л.А. [133, 134], РикардсаК. [132], Сахарова А.С. [143], Сегерлинда Л. [147], Стренга Г., Фикса Дж. [158]. По расчёту конструкций МКЭ выполнены работы [17, 68, 69, 149, 124, 125].
Популярность МКЭ! способствовала созданию коммерческих пакетов программ, среди которых можно отметить следующие часто используемые: в механике: NASTRAN, ASKA в теплотехнике: TITUS в электромгнетизме: FLUX, MAGNET 11, PE2D другие: MICROFLUX, GE2D, ANSYS.
Пакеты NASTRAN, TITUS, MODULEF обладают очень высокой универсальностью и априорно обеспечивают решение любой задачи, не содержащей особых сложностей. Основные созданные в мире комплексы программ метода конечных элементов описаны в справочнике под редакцией Бреббиа В.
Кратко остановимся. на связях и сравнении МКЭ с методом конечных разностей, этих наиболее распространенных и эффективных численных методов. Построение конечно-разностных схем обычно требует небольшого объема вычислений, как правило, меньшего, чем, в МКЭ. Однако, достоинствами МКЭ являются гибкость и разнообразие сеток, стандартные приемы построения дискретных задач для произвольных областей, простота учета естественных краевых условий и т. д. Кроме того, математический анализ МКЭ является более простым, его методы применимы к более широкому классу исходных задач, а оценки погрешностей приближенных решений, как правило, получаются при менее жестких ограничениях, чем в методе конечных разностей. Вместе с тем необходимо подчеркнуть, что основу для исследования МКЭ создали фундаментальные результаты, связанные с исследованием сходимости и устойчивости конечно-разностных схем, проекционных методов, обобщенных решений.
Методьь решения задач динамического выпучивания: тонкостенных конструкций тесно связаны с используемыми моделями теории оболочек. По теории оболочек созданы фундаментальные работы, в том числе монографии Абовского Н.П., Андреева Н.П., Деруги А.П., Аксельрада Э.Л., Болотина В.В., Новичкова Ю.Н., Власова В.З., Вольмира А.С., Галимова К.З., В.Н.Паймушина, Гольденвейзера А.Л., Григолюка Э.И., Чулкова П.П., В.И. Гуляева, БаженоваВ.А, Гузя А.Н., Муштари Х.М., Пикуля: В.В., Новожилова В.В., Пелеха П.Л., Рекача В.Г., Кривошапко С.Н., Терегулова И.Г., Тимошенко СП., ВоЙновского-Кригера С, Филина А.П., Черных К. Ф.
По расчёту стержней и стержневых систем опубликованы исследования Бычкова Д.В., Воробьёва Ю.С., Розина Л.А., Светлицкого В.А., Филина А.П., Шулькина Ю.Б. и других учёных [25, 40, 41, 135, 71, 144, 145, 146, 166, 170, 192].
Несмотря на то, что многие разделы теории тонкостенных и стержневых конструкций достаточно хорошо изучены, появляются новые методы расчёта, имеют место также недостаточно исследованные проблемы теории. Поэтому к задачам о поведении упругих и упругопластических конструкций при динамических и ударных нагрузках обращается всё. большее число исследователей. Число публикаций по этой теме с каждым годом всё увеличивается. Замечательные обзоры некоторых из них можно найти в работах [9, 12, 31, 37, 38, 35, 66} 94, 108]. Здесь содержатся результаты, полученные рядом советских и зарубежных авторов.
В [202] Huffmgton N. решал задачу о продольном ударе по свободному упругому стержню. Время приложения нагрузки принималось значительно меньшим чем время, за которое продольная волна пробегает длину стержня. Основное внимание уделено сравнению двух возможных подходов к решению задачи: применение нелинейной системы трех уравнений типа СП. Тимошенко и системы двух уравнений, не учитывающих сдвиг и инерцию вращения.
В [108] Мовсисян Л.А. рассмотрел потерю устойчивости конечного шарнирно опертого стержня при продольном ударном сжатии. Система уравнений движения состояла из волнового уравнения продольных движений и параболического уравнения поперечных колебаний. Функции разлагались в ряды Фурье. Критическая сила определяется из условия равенства нулю частоты свободных колебаний стержня.
Цикл работ по устойчивости стержней, пластин и цилиндрических оболочек был выполнен Малым В.И„ В [105] определялись критические длины полуволн потери устойчивости, обладающие наибольшим темпом возрастания амплитуды. Критерий вытекает из выводов известной работы академиков Лаврентьева М.А., Ишлинского А.Ю. [99], которая дала мощный толчок развитию исследований по устойчивости упругих стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе.
Гордиенко В.А., используя МКР, в ряде работ рассмотрел выпучивание стержней и цилиндрических оболочек при продольном ударе абсолютно твердым телом. В работах [63, 64] обсуждаются особенности применения; метода в указанных задачах.
В работах [162, 185] И.Г. Терегуловым, Ф.Г. Шигабутдиновым предложен критерий для определения критической длины потери устойчивости: при продольном приложении импульса силы и определены критические длины для упругопластических стержней с учетом неоднородности напряженного состояния по длине. Под критической длиной понималась наименьшая длина, на которую должна распространиться продольная волна нагружения для того, чтобы появились полуволны с наибольшим темпом роста амплитуды. Выпучивание упругих изотропных и ортотропных стержней и цилиндрических оболочек переменной толщины рассмотрены Шигабутдиновым Ф.Г., Муртазиным Р.З., Петуховым Н.П. в работах [187-190], В частности, в [188] с использованием МКР для ортотропных цилиндрических оболочек переменной толщины, подвергнутых продольному удару абсолютно твердым телом, получена полная картина поперечного волнообразования: для больших промежутков времени.
Многие исследователи обращались к экспериментальным методам определения статических и динамических характеристик конструкций, К работам этого направления относятся исследования Волошановского Ю.П., Коноплева Ю.Г., Кухто В.А., Смирнова В.А., Шалабанова А.К., Шишкина А.Г., Lashari М., Weingarten V.J.[92, 93, 98, 152, 173, 191, 204].
В статье [173] развивается экспериментальный метод определения частот и форм свободных колебаний цилиндрических панелей. С помощью эксперимента удаётся построить простые формулы для расчёта оболочек, имеющих произвольные граничные условия на краях и различного очертания в плане.
В работе [191] рассматриваются свободные колебания замкнутых цилиндрических оболочек, оболочек с отверстиями и цилиндрических панелей с круглым центральным вырезом при различных условиях. С помощью эксперимента получены приближённые, удобные для практического использования, формулы частот колебаний гладких цилиндрических оболочек. Установлено, что влияние на частоты колебаний отверстий, площади которых не превосходят 15 % всей поверхности цилиндрической оболочки, является незначительным.
Методом, сочетающим теоретическое исследование и эксперимент, является теоретико-экспериментальный метод, предложенный СаченковымА.В. [141]. Его использовали Коноплёв Ю.Г., Шалабанов А.К., Шишкин А.Г, и многие другие. По результатам исследований опубликованы многочисленные работы, в том числе; [140], [142].
В работе Акуленко Л.Д., Нестерова СВ., Попова А.Л. [2] получены высокоточные аналитические оценки частот и форм низших мод колебаний для эллиптической пластины, защемлённой по краю, на основе модифицированного метода Релея-Ритца. Установлена связь спектров эллиптической и круговой пластин. Проведено сравнение полученных оценок с численными результатами других авторов и экспериментальными данными. В работе, для высокоточного вычисления частот и форм низших мод колебаний эллиптической пластины: предлагается модифицированный метод типа метода Релея-Ритца. Он основан на введении обобщённых полярных координат и задании осцилирующей зависимости функции поперечного перемещения (прогиба) пластины от полярного угла с фиксированным числом радиальных узловых линий (не для круговой пластины).
В работах Жигалко Ю.П. [72, 73] на основе единого и достаточно общего подхода исследован широкий класс новых актуальных задач динамики оболочек при локальных воздействиях. На основе общей операторной модели динамики упругих систем с применением метода разложения по собственным формам колебаний построены фундаментальные решения стационарных, и нестационарных задач , проанализирована их структура. В общей постановке рассмотрена задача о колебаниях тонкой оболочки произвольной формы с присоединённым твёрдым телом Рассмотрены вопросы внешнего и внутреннего демпфирования колебаний оболочек и пластин при локальных воздействиях.
Задачи по определению собственных частот и форм колебаний пологой оболочки с частично повреждённым защитным слоем и цилиндрической оболочки, дискретно подкреплённой системой стрингеров, были рассмотрены в работах Антуфьева Б А., Сергеева В.Н. [4, 5]_.
В работе Артюхина Ю.П., Серазутдинова М.Н., Недорезова О.А. [6] методика расчета напряжённо-деформированного состояния упруго и жёстко закреплённых пластин сложной формы [7, 148] применяется для определения частот и форм свободных колебаний. Основная особенность этой методики заключается в том, что формы собственных колебаний упруго закреплённых пластин находятся в виде ряда по координатным функциям, каждая из которых может не удовлетворять граничным условиям. Для решения обобщённой проблемы собственных значений был выбран метод Релея-Ритца. Результаты сравнения полученных результатов с данными других авторов иллюстрируют возможности применяемой методики решения.
Большой вклад в развитие численных методов изучения напряжённо-деформированного состояния статики и динамики конструкций внесли представители нижегородской школы механики. Нелинейные динамические процессы в ортотропных оболочках рассматривались Баженовым В.Г., Игоничевой Е.В; в [11].. В этой же работе можно найти обширную библиографию по указанной теме. В работе Баженова В.Г., Кибеца А.И., Кибеца Ю.И., Самыгина А.И.. [10] дано численное решение трёхмерных нелинейных задач нестационарного деформирования тонкостенных конструкций, включающих стержневые элементы. В качестве уравнений состояния используются соотношения теории течения с кинематическим и изотропным упрочнением. Уравнения движения конструкции выводятся из вариационного принципа Журдена. Гипотезы, принятые в теории тонкостенных элементов конструкций (стержней, пластин и оболочек), выводятся на этапе дискретизации определяющей системы уравнений. Решение задачи основано на МКЭ и явной конечно-разностной схеме интегрирования по времени типа "крест". Для расчёта напряжённо-деформированного состояния массивных тел и оболочек реализован 8-узловой изопараметрический элемент с полилинейными функциями формы. Для дискретизации криволинейных стержней применяются двухузловые конечные элементы с линейными; функциями формы. В статье [89] Кибец А.И., Кибец Ю.И. рассматривают трёхмерные задачи упругопластического деформирования: конструкций при ударных и импульсных воздействиях. Приводится схема, в которой геометрия оболочек моделируется 4-х узловыми плоскими конечными элементами.
Точность предложенной методики иллюстрируется результатами тестовых расчётов.
В работе Бахтиевой Л.У., Жигалко Ю.П., Коноплева Ю.Г., Митряйкина В.И., Саченкова А.В., Филиппова Е.Б. [13] на основе подхода, предложенного в [139], получены решения задач динамической устойчивости цилиндрических и конических оболочек при внешнем давлении, линейно меняющемся во времени. Константы, входящие в расчётные формулы для критического давления, уточняются: экспериментальным путём. Дано краткое описание экспериментальной установки. Рассмотрены прямые и обратные линейные задачи о вынужденных колебаниях оболочек при импульсивном нагружении.
Цикл исследований по конечноэлементному анализу пьезоэлектрическх устройств проводится представителями Ростовской-на-Дону школы механики [15, 112]. В работе Белоконя А.В., Наседкина А.В., Соловьёва А.Н. [15] предлагаются новые конечно-элементные схемы исследования гармонических и нестационарных задач для составных упругих и пьезоэлектрических сред. Для прямого интегрирования по времени КЭ уравнений нестационарных задач применена схема Ньюмарка в удобной формулировке, не использующей явно скоростей и ускорений узловых степеней свободы.. Приведены результаты численных экспериментов, иллюстрирующих эффективность предлагаемой методики и их реализаций в КЭ-пакете ACELAN.
В работе Белого М.В [16] рассматривается вариант: метода суперэлементов для численного решения нестационарных динамических задач. В работе [157] для расчёта колебаний пластин сложной формы используется МКЭ.
В работе Богомолова СИ., Лущенко С.С., Назаренко С.А. [20] изложен алгоритм расчёта собственных колебаний лопаток турбомашин методом конечных элементов. Применён суперпараметрический оболочечный элемент с 40 степенями свободы, полученный из полной трёхмерной изопараметрической формы введением гипотез, характерных для математической модели оболочек Тимошенко. Приведены результаты расчёта цилиндрической консоли и реальной лопатки.
В статье Борискина О.Ф., Барышниковой О.О. [22] предложена методика конечноэлементного анализа геометрически нелинейных колебаний оболочек переменной толщины и достаточно сложной геометрической формы в поле центробежных сил. Методика позволяет на базе смешанной аппроксимации перемещений в трёхмерных конечных элементах получить с достаточной точностью и высокой достоверностью низшие собственные частоты и соответствующие им формы колебаний.
В работе Бочарова Н.В. [23] исследовано влияние дефектов геометрической формы упругого стержня на его динамическое напряжённо-деформированное состояние при импульсном нагружении через, присоединённую сосредоточенную массу. Задача решена численно методом начальных параметров при использовании метода численного интегрирования Рунге-Кутта. Дискретизация стержневого элемента проводилась методом конечных элементов. Для определения полного динамического решения параметров НДС использовано разложение по формам собственных колебаний. Решение задачи динамики упругого стержня осуществляется в линейной постановке, при этом вводятся допущения: гипотеза прямых недсформированных нормалей, учитывается сдвиг в поперечном сечении стержня, учитываются силы инерции, связанные как со смещением, так и с вращением элемента нормали.
В работе Булычёва Г.Г., Пшеничнова: С.Г. [28] исследуется реакция цилиндрических и конических оболочек на резкое торцевое воздействие.
В работе [30] Бурман ЯЗ., Зархин Б.Я. рассмотрели задачу определения динамической реакции упругих конструкций (конечно-элементных моделей) при гармоническом нагружении на основе разложения по ортогональному базису, состоящему из собственных форм и векторов Ланцоша. Приведены некоторые числовые результаты.
В работе [33] Вестяк А.В., Зайцев В.Н. определяют собственные частоты колебаний композитной оболочки с помощью метода конечных элементов. Для определения основных, низших тонов колебаний конструкций используется метод одновременных итераций в подпространстве. При использовании этого метода получается "усечённая" система алгебраических уравнений, для которой необходимо решать полную проблему собственных значений. В качестве примера; были определены три низшие формы колебаний и соответствующие им частоты для композитной оболочки двоякой кривизны.
Цикл работ по исследованию свободных колебаний оболочек методом конечных элементов был проведён Головановым А.И., Кузнецовым Ю.М [49, 52-55]. В работе [49] на основе конечного элемента непологой оболочки произвольной геометрии, построенного с помощью теории оболочек с учётом гипотез Кирхгофа-Лява приводятся результаты исследования задачи о свободных колебаниях искривлённых оболочек. Работа [55] посвящена численному исследованию частот и форм свободных колебаний тонких цилиндрических оболочек кругового и некругового профиля с системой прямоугольных отверстий. Методика расчёта основана на методе конечных элементов с использованием специальных прямоугольных элементов тонких цилиндрических оболочек с 20 степенями свободы [53]. Для решения обобщённой задачи на собственные значения применяется один из методов итераций подпространств [52, 208, 209]. Был решён ряд задач как тестовых, так и практических.
В работе Гузя АН., Лугового П.З., Мукоида В.П. [67] в рамках модели теории пластин типа Тимошенко исследуется задача о колебаниях упругих пластин сложной формы. Определяющие соотношения записаны в виде системы интегральных уравнений в косоугольной системе координат. Система интегральных уравнений служит исходной для построения разностных соотношений. Приведён численный расчёт. Проведён анализ закономерностей и особенностей волновых движений пластины в зависимости от амплитуды прилагаемого усилия и учёта геометрической нелинейности.
Джонсон и Гриф в своей работе [70] исследуют движение цилиндрической оболочки под действием произвольного нестационарного распределения нагрузки. Исследование проводится в рамках линейной теории тонких упругих оболочек. Используется два метода численного интегрирования: явная и неявная (метод Хуболта) разностные схемы. При использовании обоих методов искомые переменные раскладываются в ряды Фурье по окружной координате, а получающиеся дифференциальные уравнения представляются в конечно-разностной форме. Обсуждается эффективность каждого из двух численных методов применительно к решению практических задач.
В работе Зайцева В.Н., Рабиновского Л.Н. [79] была рассмотрена задача нестационарной динамики для изотропной оболочки вращения, близкой к усечённому конусу. Оболочка имеет переменную толщину, защемлена по малому основанию при свободном большом основании. Была построена конечно-элементная модель оболочки с 4-х угольным тонким конечным элементом, работающим на растяжение-сжатие и на изгиб, с шестью степенями свободы в узле.
Цель статьи Заргами М, Робинзона А, [80] - разработка эффективного и точного численного метода определения собственных частот и форм свободных колебаний упругих сферических оболочек. Метод. Хольцера, разработанный для определения частот крутильных колебаний валов, обобщён на случай линейных свободных колебаний сферических оболочек.
Асимптотический и численный анализ высокочастотных свободных колебаний прямоугольных пластин был. осуществлён Ивановой Е.А. [84]. Исследуются свободные колебания прямоугольных пластин с частотами, принадлежащими высокочастотным спектрам. Приводится сравнение результатов, полученных по точной теории Рейсснера и по приближённой теории высокочастотных свободных колебаний, содержащей только медленно меняющиеся по пространственным координатам функции. Известно, что при решении некоторых задач динамики пластин, в частности при решении задач о вынужденных колебаниях под действием ударных нагрузок, игнорировать: высокочастотные колебания, обусловленные учётом инерции вращения и деформации поперечного сдвига нельзя. Указывается на то, что высокочастотные колебания в настоящее время изучены сравнительно мало и их дальнейшее исследование представляет интерес как с практической так и с теоретической точки зрения.
В работе [85] Ившин И.В., Кочергин А.В., Кондратьев А.Е., Хабибуллин М.Г. предлагают для обсуждения результаты расчётов характеристик упругих колебаний исправных и дефектных лопаток турбины газотурбинного двигателя. (ГТД) с использованием метода конечных элементов. Для решения задачи: выбран метод конечных элементов (КЭ) в варианте метода перемещений, а в качестве объекта исследований - исправные и дефектные лопатки турбины ГТД. Результаты расчётов собственных колебаний лопаток турбиньг с использованием метода конечных элементов показали возможность определения частотного диапазона колебаний, наиболее чувствительного к дефектам.
В книге Богдановича А.Е. [19] рассмотрены задачи динамики: ортотропных цилиндрических оболочек: собственные и параметрические колебания, осесимметричное и неосесимметричное деформирование при продольном ударе и при нестационарном внешнем давлении в геометрически нелинейной постановке. Исследуется применимость модели Кирхгофа-Лява в задачах динамики.
В монографии Бублика Б.Н. [27] исследуются собственные колебания, статическая и динамическая устойчивость пластин и пологих оболочек с областью в плане в виде треугольника, трапеции, параллелограмма, прямоугольника и с областью, составленной из прямоугольников. Для решения задачи автор проводит специальные аналитические преобразования конечно-разностных систем, соответствующих краевым задачам или задачам о собственных значениях.
Применению метода граничных элементов к определению частот и форм свободных колебаний посвящена работа Буравлёва И.М., Игумнова Л.А,, Конышевой В.М. [29]. Рассматривается задача об определении частот и форм колебаний трёхмерных (массивных) тел. Решение задачи осуществляется на основе прямого варианта метода граничных элементов (МГЭ). В работе [212] Wen Р.Н., AHabadi М.Н., Young А. рассматривается задача о динамическом изгибе тонкой пластины с набором прямолинейных коллинеарных трещин. Используется теория Кирхгофа. Решение строится МГЭ. Фундаментальные решения находятся с использованием преобразования Лапласа по времени. Численные решения получены для бесконечных пластин с трещинами при ударном воздействии.
Йонг и Ким [86] предлагают конечный элемент, применяемый для расчёта неосесимметричного изгиба и колебаний конической, оболочки. Составлены матрицы жёсткостей и масс для трапецеидального конечного элемента конической оболочки. При составлении использовано интегрирование в сочетании с методом синтетического деления. Эффективность метода продемонстрирована на примерах решения задач о неосесимметричном изгибе и колебаниях конической оболочки.
В работе [88] Кварацхелия И.Н. и Попов Б.Г. на основе четырёхугольного девятиузлового суперэлемента (СЭ), составленного из четырёх треугольных конечных элементов смешанного типа проводят расчёт собственных частот изотропной квадратной пластины и сравнение с результатами расчётов других авторов.
Кук в работе [97] на основе плоского элемента, основанного на вариационном принципе Рейсснера, методами конечно-элементного анализа решает задачи на собственные колебания прямоугольных и квадратных пластинок.
В монографии Коноплева Ю. Г., Тазюкова Ф. X. [91] рассмотрены вопросы динамической устойчивости оболочек и пластин. Использование критерия устойчивости, предложенного А.В. Саченковым, вариационных и численных методов позволило решить широкий круг задач, многие расчётные формулы получены в замкнутом виде.
В монографии Леонтьева В.Л. [102] рассматривается применение ортогональных финитивных, функций в смешанном вариационно-сеточном методе механики упругих деформируемых твёрдых тел, который обладает всеми достоинствами смешанных методов, но отличается от них уменьшенным за счёт ортогональности базисных функций числом узловых неизвестных. Сравнение с методом Ритца, в котором используются функции Куранта, показывает его более высокие вычислительные характеристики: расщепление глобальной системы сеточных уравнений на подсиситемы и улучшение её обусловленности. Метод позволяет находить приближённые собственные частоты с недостатком ив сочетании с методом Ритца даёт двусторонние оценки собственных частот.
В работе Мокеева В.В. [109] решалась задача динамического взаимодействия упругих конструкций с жидкостью и газом в линейной; постановке: жидкость — идеальная, конструкция - упругая. Использовался метод конечных элементов. Для определения собственных чисел и векторов использовался метод частотной конденсации.
Навартна [111] методом конечных элементов решает задачу о свободных колебаниях. Найдены все частоты и формы собственных колебаний, учитываемые принятой расчётной моделью.
Нетребко А.В., Новотный СВ., Созоненко Ю.А. [113] применяют метод интегральных преобразований к решению уравнений динамики цилиндрических оболочек. В качестве уравнений, описывающих распространение волн в оболочке, в данной работе выбраны уравнения теории типа Тимошенко. В работе с помощью преобразования: Лапласа по времени находится точное аналитическое решение в изображениях, а оригинал вычисляется путём численного интегрирования интеграла обращения комплексной плоскости.
В работе [120] Павловской Е.Е. и Петровым Ю.В. получены и анализируются результаты аналитического решения трёх задач линейной теории упругости, иллюстрирующие важность принципиальных особенностей динамики; специфического поведения энергии, наличия: инерции и фактора времени. В-задаче о динамическом двустороннем растяжении одномерного упругого стержня постоянными напряжениями приведено точное аналитическое решение и найдена зависимость полной внутренней энергии стержня от времени. Показано, что в динамическом случае внутренняя энергия стержня существенно зависит от времени и периодически обращается в нуль.
Рукин Ю.Б., Радченко И.Г., Чернышева Е.Ю. [136] исследуют динамические состояния оболочек со срединными поверхностями вращения на основе трапецевидных конечных элементов. Рассматривается алгоритм построения согласованной матрицы инертности трапецевидного конечного элемента для исследования динамических состояний оболочек со срединными поверхностями вращения. Предлагается элемент в виде тонкой изотропной пластины трапецевидной формы и постоянной, в пределах данного элемента, толщины с узлами, имеющими линейные и угловые перемещения, необходимые для аппроксимации изгибного и мембранного состояний.. Приводятся результаты тестирования элемента. Определение частот и форм собственных колебаний выполнено в рамках неполной проблемы собственных значений [168]. Для её решения; выбран метод обратной итерации.
В работе Санкина Ю.Н., Югановой Н.А. [138] исследуются продольные колебания упругих стержней ступенчато-переменного сечения при соударении с жёстким препятствием. Предлагается; частотный метод решения задачи о продольных колебаниях упругих стержней ступенчато переменного сечения при учёте или без учёта рассеяния энергии при соударении с жёстким препятствием. Уравнение продольных колебаний стержня преобразуется по Лапласу при наличии ненулевых начальных условий. Для полученного неоднородного дифференциального уравнения решается краевая задача, заключающаяся в нахождении преобразованных по Лапласу краевых продольных сил как функций краевых перемещений.
Смит, Хафт [153] точное решение Смита используют для нахождения собственных частот и форм колебаний круговой цилиндрической оболочки, закрытой с одного конца круглой упругой пластинкой, проводится сравнение с экспериментом.
В работе [154] Снйсаренко Т.В. изложена методика расчёта форм и частот собственных колебаний конструкций, упругомассовые характеристики которых идеализируются с помощью конечных элементов. Рассмотрена неполная проблема собственных значений, для решения которой используется- метод итераций подпространств, В качестве примера приводится расчёт собственных колебаний цилиндрической оболочки.
Спирочкин Ю.К. в работе [155] рассматривает задачу определения собственных частот и форм колебаний динамической системы из одной или нескольких вложенных друг в друга оболочек, находящихся в невязкой несжимаемой жидкости. Описывается методика решения этой задачи на основе конечноэлементного моделирования оболочечной конструкции и жидкости. Для решения обобщённой задача собственных значений используется метод итерации подпространств.
В монографии Танеевой М.С. [46] разработаны эффективные алгоритмы численного решения нелинейных задач изгиба и устойчивости оболочек вращения.
Каюмов Р.А. [87] применяет МКЭ для идентификации физических характеристик слоя по результатам испытаний многослойной конструкции.
В статье Сьюэлл, Пьюси [159] описаны результаты экспериментального и теоретического исследования колебаний эллиптических цилиндрических оболочек для широкого диапазона эксцентриситетов поперечного сечения. Вибрационные испытания были проведены на четырёх тонкостенных, изотропных,, цилиндрических оболочках одинаковой длины, периметра и толщины, защемлённых на одном конце и свободных на другом. Для определения форм колебаний был использован неконтактный индуктивный датчик расстояний, который мог автоматически перемещаться над поверхностью оболочки. Измеренные частоты и формы колебаний сравнивались с теоретическими результатами расчётов по методу Релея-Ритца.
В монографии Якупова Н.М., Серазутдинова М.Н. [ 193] представлены результаты исследований по статическому и динамическому расчёту деформируемых элементов в виде пластин, оболочек, криволинейных стержней сложной геометрии. Изложено два достаточно универсальных метода, применяемых для расчёта указанных объектов. Первый из них основан на общих соотношениях теории оболочек, записанных в криволинейной системе координат с использованием тензорных соотношений. Второй метод основан на записи требуемых выражений для деформаций в локальной, декартовой системе координат, что позволяет использовать соотношения теории пластин, при расчёте оболочек и соотношения теории прямолинейных стержней для расчёта криволинейных стержней. Объединяет указанные подходы то, что они основаны на вариационном методе и ориентированы для расчёта тонкостенных элементов сложной геометрии.
Анализ краткого обзора приведённых работ позволяет сформулировать следующие выводы:
1. Решаемые задачи нахождения динамических характеристик накладывают ограничения на используемые методы исследования.. Некоторые из них оказываются в конкретных случаях, практически, неприменимы. Поэтому для более полного учёта всех явлений применяются аналитические, экспериментальные, численные методы расчёта и их комбинации.
2. Остаётся актуальной проблема получения обозримых аналитических формул, позволяющих упрощать численные схемы исследования.
3. Нет единых конечных элементов, позволяющих эффективно рассчитывать стержневые и тонкостенные конструкции сложной геометрии. Каждый вновь создаваемый конечный элемент применяется с некоторыми ограничениями, вытекающими из геометрии и физических свойств материала конструкции.. 4. Несмотря на большое число публикаций, посвященных разработке средств конечно-элементного расчёта и моделирования, количество решённых практически важных задач определения динамических характеристик стержневых и тонкостенных, конструкций произвольной геометрии на отечественных пакетах программ невелико.
Целью настоящей работы является: разработка эффективной конечно-элементной методики определения динамических характеристик сложных стержневых и тонкостенных конструкций и решение на этой базе новых практически значимых задач. Разработка численно-аналитического метода решения задач о продольно-поперечном движении упругих стержней и цилиндрических оболочек при продольном импульсном воздействии силой.
Настоящая работа посвящена разработке и реализации методики численного исследования, моделирования динамических процессов, возникающих в сложных, тонкостенных и стержневых конструкциях: при произвольных закреплениях и силовых нагрузках. Решение ведётся методом конечных элементов в перемещениях и методом конечных разностей по явной схеме "крест", применяется аппарат интегрального преобразования Лапласа.
Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения и списка использованной литературы. Изложена на 192 стр, машинописного текста, содержит 20 таблиц, иллюстрированна 103 рисунками. Список литературы насчитывает 214 наименований. Распределение материала по главам следующее.
В первой главе даётся постановка задачи нахождения динамических характеристик сложных тонкостенных и стержневых конструкций МКЭ. Для вывода разрешающих уравнений задач динамики используется принцип виртуальных перемещений в сочетании с принципом Даламбера. Описываются особенности и метод решения задачи определения частот и форм собственных колебаний. Для нахождения динамических характеристик при вынужденных колебаниях используется метод пошагового интегрирования Ньюмарка. Приводится описание структуры программных комплексов расчёта конструкций. Далее на основе трехузлового изопараметрического элемента бруса выводятся основные соотношения МКЭ расчёта стержневых конструкций; сложной геометрии; строятся матрицы жёсткости и масс элемента. При этом учитываются гипотезы теории Тимошенко без депланации поперечного сечения. Для расчёта тонкостенных конструкций сложной геометрии применяется 9-ти узловой изопараметрический конечный элемент, представляющий из себя трёхмерное тело, у которого один из размеров меньше двух других. Гипотезы, характеризующие механику деформирования оболочек, закладываются на уровне построения матрицы жёсткости элемента. Узловыми неизвестными служат проекции вектора перемещений на орты глобальной декартовой системы координат и углы поворота нормального волокна относительно базовых векторов касательной плоскости. Приводится вывод матриц жёсткости и масс конечного элемента.
Во второй главе последовательно приводятся многочисленные тестовые задачи нахождения частот и форм собственных колебаний стержневых и тонкостенных конструкций. Полученные результаты решения задач по методике, описанной в первой главе, сравниваются с известными экспериментальными, численными, аналитическими решениями. Приводятся частоты и формы собственных колебаний для сферической панели, сферической панели с квадратным в плане вырезом, швеллера. На примере: тестовой задачи о вынужденных колебаниях показывается работоспособность алгоритма пошагового интегрирования. Также, для нагрузки, изменяющейся по гармоническому закону, с частотой собственных колебаний, в задаче о вынужденных колебаниях квадратной пластинки, получен эффект биения, предшествующий резонансу и говорящий, что запрограммированный алгоритм адекватно описывает физический процесс. На примере тонкой узкой полосы прямоугольного поперечного сечения приводится сравнение МКЭ расчётов для стержневого и оболочечного КЭ. Пятый параграф главы посвящен определению динамических характеристик реальных строительных сооружений. На основе оболочечного КЭ и конечного элемента бруса приводится расчёт конструкции типа рекламный щит на частоты и формы собственных колебаний. Определяются по стержневой модели частоты и формы собственных колебаний для башни Шухова, состоящей из 10 однополостных гиперболоидов вращения.
В третьей главе представлены результаты исследований поведения упругих стержней и цилиндрических оболочек при продольном мгновенном приложении силы. В первом параграфе даётся постановка задачи о продольном нагружении элементов типа стержней и цилиндрических оболочек. Предполагается,, что прикладываемый к торцу элементов импульс силы мгновенно достигает своего максимального значения и остаётся постоянным в течении некоторого промежутка времени. Учитывается волновой характер передачи продольных напряжений по длине элементов. Для цилиндрической оболочки рассматриваются осесимметричные формы движения. Обсуждаются возможные способы интегрирования системы дифференциальных уравнений движения. В главе делается попытка интегрирования системы численно-аналитическим методом, который заключается в аналитическом интегрировании уравнения продольных движений и численном интегрировании методом конечных разностей других уравнений системы. Это возможно, если сделать некоторые допущения, что приводит к упрощению системы уравнений. Во втором параграфе на основе интегрального преобразования Лапласа приводится решение в рядах волнового уравнения распространения продольных: перемещений. Ценность полученного решения в том, что оно позволяет получить формулу для распределения нормальных напряжений по длине в любой момент времени. На примере импульсов силы разной продолжительности даётся иллюстрация решения. Обсуждаются полученные результаты. В третьем параграфе рассматривается применение метода конечных разностей к интегрированию системы дифференциальных уравнений движения стержней. Значения искомых функций в законтурных точках на каждом временном слое определяются исходя из уравнений движения с учётом граничных условий методом простых итераций решения системы нелинейных уравнений. Для начала счёта задаётся начальная по гибь. Показана картина выпучивания для стержней с начальной погибью по пяти и трём полуволнам синусоиды. Делаются выводы о характере процесса выпучивания и проводятся сопоставления с результатами работ Лаврентьева М.А., Ишлинского А.Ю., Гордиенко Б.А. Если ввести предположение о том, что при продольном приложении импульса силы изгибные и сдвиговые деформации в начальный период времени незначительно влияют на; напряжённо-деформированное состояние стержня, то система дифференциальных уравнений в частных производных предыдущего параграфа принимает более простой вид, что позволяет применить к первому уравнению аналитическое решение, полученное во втором параграфе. С физической точки зрения введение упрощений разбивает процесс движения на два этапа: накопление осевых деформаций и последующее поперечное движение. Полученное решение в рядах учитывается при интегрировании второго и третьего уравнений, для чего используется явная схема метода конечных разностей. Этот способ интегрирования системы дифференциальных уравнений назван: численно-аналитическим методом. На многочисленных примерах в разные моменты времени показано, что решения, получаемые интегрированием полной системы уравнений движения стержня методом конечных разностей, что было рассмотрено в третьем параграфе, и применением численно-аналитического метода практически совпадают как качественно, так и количественно. В пятом параграфе главы рассматривается применение численно-аналитического метода к исследованию осесимметричного выпучивания защемлённой цилиндрической оболочки конечной длины. Этот процесс описывается системой 3-х дифференциальных уравнений. Как и в случае продольного нагружения стержней, рассматривается возможность при некоторых допущениях упрощения системы уравнений движения и её раздельного интегрирования. Картина выпучивания оболочек при этом иллюстрируется рисунками. Делаются соответствующие выводы. В шестом параграфе главы рассматривается интегрирование системы дифференциальных уравнений движения цилиндрических оболочек методом конечных разностей, при этом учитываются все члены системы уравнений. На проведённых численных экспериментах показано, что даже при больших временах решения, полученные методом конечных разностей интегрирования полной системы уравнений, и численно-аналитическим методом интегрирования упрощённой системы практически совпадают.
Научная новизна результатов. I,. Разработаны конечно-элементные модели динамического расчёта произвольных стержневых и тонкостенных конструкций. Дана реализация этих моделей в виде расчётной методики и пакета прикладных программ. Указанная методика позволяет исследовать динамические характеристики тонкостенных и стержневых конструкций произвольной геометрии при свободных и вынужденных колебаниях.
2. С использованием разработанной методики решены новые задачи динамики для пространственных тонкостенных и стержневых конструкций.
3. Разработан численно-аналитический метод расчёта стержней и цилиндрических оболочек с учётом геометрической нелинейности при продольном импульсном нагружении и решены новые задачи.
Достоверность основных научных результатов обеспечивается строгим математическим обоснованием предлагаемых методик расчёта, использованием признанных в литературе дифференциальных уравнений продольно-поперечных движений стержней и цилиндрических оболочек, сравнением полученных решений для тестовых примеров с известными из литературы аналитическими и экспериментальными данными, совпадением решений, полученных на разных конечно-элементных и конечно-разностных сетках.
Трёхузловои изопараметрический конечный элемент бруса
Такая задача в линейной алгебре называется обобщенной задачей на собственные значения, и ее целью является нахождение ряда значений o)it при котором выполняется (1.10) и векторов \q.}t удовлетворяющих уравнению (1.10). Число таких значений а)( равно порядку системы уравнений (1.10), их последовательность в порядке возрастания называется спектром собственных значений, и соответствующие вектора { ?,} называются собственными векторами. С точки зрения механики, б}{ являются частотами свободных колебаний, а {д,} характеризуют формы соответствующих колебаний.
Для решения обобщенной проблемы (1.10) в общем случае существует довольно большое количество методов [169]. Однако их прямое применение вряд ли оправдано в задачах рассматриваемого класса (исследование свободных колебаний деформируемых тел МКЭ):
Во-первых, точность представления той или иной частоты колебаний зависит от того, насколько хорошо используемая сетка КЭ описывает соответствующую форму колебаний. Опыт исследователей МКЭ показывает, что удовлетворительное описание имеет место, когда в полуволну колебаний укладывается несколько КЭ (2-3 квадратичных или 5-8 линейных). Однако в системе (1.10) содержатся и такие формы, в которых полуволна колебаний описывается одним линейным элементом или в пределах: квадратичного элемента укладывается 2-3 полуволны. Очевидно, что говорить о точности представления таких форм не имеет смысла, так как полученные значения частот (тем более форм) от реальных могут отличаться в десятки раз [50].
Во-вторых, величина частоты колебаний зависит от формы таким образом, что чем сложнее форма колебаний, т.е. больше число волн образуется, тем выше соответствующая частота. Таким образом, наиболее точно конечно-элементная сетка описывает нижнюю часть спектра частот, у которой формы колебаний простейшие, и в каждую полуволну колебаний укладывается достаточное количество конечных элементов. Точно провести границу хорошо и плохо определяемых частот затруднительно и приходится судить об этом по виду полученных форм [50].
В третьих, на практике чаще всего представляет интерес не весь спектр колебаний (который, вообще говоря, бесконечный), а лишь часть его и, как правило, нижняя [50].
Таким образом, сложная задача определения всего спектра собственных частот задачи (1.10) является излишней и вполне достаточно ограничиться определением лишь части спектра, которая соответствует минимальным &»,.
Для решения этой частичной проблемы собственных значений разработано семейство методов, известных в литературе как методы итераций подпространств. Рассмотрим один из вариантов такого метода (алгоритм Рутисхаузера) [50], который в виде пакета прикладных программ решения задачи (1.10) реализован в данной работе.
Используя симметричность. и положительную определённость матрицы жёсткости, введем в рассмотрение факторизацию матрицы жесткости вида:
Если ввести новый вектор неизвестных то задача (1.10) сводится к проблеме собственных значений где
Задача (1.13) отличается от (1.10) тем, что теперь необходимо искать максимальные собственные значения вместо минимальных, причем матрица \р\ остается симметричной. Для решения этой задачи строится итерационный процесс, в котором участвуют т векторов, объединяемых в матрицу [R] размером N хт , где N - размерность задач (1.10), (1.13). В процессе итераций компоненты этой матрицы, определяющие базис пространства, будут меняться, и пусть на к -ой итерации имеем [Rk ]. Тогда: 1) вычисляется матрица [G] размером N хт: 2) проводится ортогонализация Грамма-Шмидта матрицы [G], т.е. где [У] - ортогональная матрица размером Nxm, [К] - верхняя треугольная матрица т х т ; 3) вычисляется матрица (квадратная) \Q] размером тхт: 4) методом Якоби находится ортогональная матрица преобразования [S] размером тхт,с помощью которой производится преобразование о Итерационный процесс осуществляется до достижения заданной точности для разности на двух соседних итерациях либо собственных значений Л;, либо собственных векторов, которыми являются столбцы матрицы [R]. При этом первым условию сходимости удовлетворяет наибольшее значение Х{, а затем следующее за ним по величине и т.д. Для получения с заданной точностью всех т собственных значений может потребоваться значительное число итераций, поэтому обычно проверяются на сходимость не все Я(, а лишь часть из них [47]. Итерационный процесс останавливается по достижении сходимости по собственным значениям Л,- (и в случае необходимости по собственным векторам p()j, образующих столбцы матрицы [/?]). Собственные значения исходной задачи (1.1.10) определяются как а собственные вектора находятся из решения систем Стоит отметить, что строить в явном виде матрицу [й] (1Л4) нет необходимости, так как на каждой итерации требуется лишь операция умножения этой матрицы на другую (1.15). Выполнение этой операции удобно производить поэтапно, а именно: - решается система Так как [b] - нижняя треугольная матрица, решение систем вида (1.22), (1.24) не является трудоемким, результатом получаем искомую матрицу [G] [50]. Найденные собственные значения соп и собственные векторы \l \ удовлетворяют условиям ортогональности относительно матрицы масс и весовой ортогональности относительно матрицы жесткости. Эти условия имеют вид где ду - символ Кронекера. По причинам, упомянутым выше, число итерируемых векторов т необходимо брать больше количества необходимых собственных значений. Зависимость между числами т и р в работе бралась аналогично [47] в виде
Девятиузловой изопараметрический конечный элемент оболочек малой и средней толщин
Для решения задач нахождения динамических характеристик стержневых. и тонкостенных конструкций на базе программных комплексов, созданных Головановым А.И., Бережным Д.В., Песошиным А.В. и др., развиты два самостоятельных пакета прикладных программ (ГШП): 1) ППП1 - для расчёта стержневых конструкций, 2) 1Ц1І12 - для расчёта тонкостенных конструкций.
Нахождение динамических характеристик стержневых конструкций
Вычисления проводились в ППП1, развитом соискателем и ЯкушинымС.А. Развитый 1111111, написанный; на алгоритмическом языке FORTRAN 90, позволяет решать задачи статического и динамического деформирования разветвлённых пространственных стержневых конструкций произвольно ориентированных в пространстве, состоящих из стержневых элементов произвольного поперечного сечения с различными видами закрепления.
Для расчёта в ГТГТШ реализована модель пространственно ориентированного стержня. Описание математической модели строится на базе трёхузлового элемента бруса с шестью степенями свободы, для чего используется локальная система координат, далее с помощью направляющих косинусов производится переход к глобальной системе координат. При решении практических задач ППГТ1 позволяет учитывать произвольно ориентированные в пространстве нагрузки, сосредоточенные моменты. Матрица, масс строится с учётом; воздействия сосредоточенных сил от присоединённых масс и равномерно-распределённой нагрузки силы тяжести. ППП1 позволяет решать два типа задач, а именно: 1) задачи статического деформирования; 2) нахождение частот и форм собственных колебаний конструкции. Результаты, полученные с помощью ППП1 просматриваются в графическом модуле. Ввод исходных данных осуществляется с помощью текстовых файлов, откуда затем информация автоматически считывается программой. В исходных файлах задаются: 1) число стержневых подконструкций всей конструкции; 2) для каждой подконструкций последовательно необходимо определить: - число элементов (сетку разбиения), - координаты Х[ всех узлов, - координаты уі всех узлов, - координаты Zi всех узлов; 3) Физические параметры: - модуль упругости, модуль сдвига, плотность материала стержня; 4) Геометрические параметры: - площадь сечения элемента стержня, - моменты инерции сечения элемента стержня относительно главных центральных осей сечения, - момент инерции сечения элемента стержня при свободном кручении. При использовании подконструкций с разными физическими и геометрическими параметрами, пункты 3), 4) необходимо повторить. 5) для каждой подконструкций задаются номера закреплённых узлов и тип закрепления - граничные условия; 6) при решении статических задач необходимо задать файл с нагрузками; 7) в случае решения задач с сосредоточенными массами, создаётся отдельный файл, в котором указываются номера подконструкций, узлов и сосредоточенная масса в этом узле. При решении практических задач число переменных ограничено лишь возможностями языка программирования и используемого компилятора FPS 4.0, для этого используются динамические массивы. Нахождение динамических характеристик тонкостенных конструкций Пакет прикладных программ (ППП2) предназначен для решения на компьютере статических и динамических задач определения напряжённо-деформированного состояния (НДС), нахождения динамических характеристик пространственных тонкостенных конструкций, элементами которых являются оболочки произвольной геометрии. Объектами исследования могут быть элементы конструкций которые представляют собой тонкие и средней толщины пластины и оболочки, соединённые произвольным образом. Допускается переменная толщина и дискретно заданная.. поверхность оболочек, что позволяет моделировать сложные штампованные детали. Результатами расчёта являются характеристики НДС лицевых поверхностей оболочек в узловых точках, формы и частоты собственных колебаний конструкций.. Исходная конструкция представляется в виде набора пересекающихся между собой искривлённых оболочек (подконструкций). На каждую из них наносится топологически прямоугольная сетка четырёхугольных конечных элементов (КЭ). Для однозначности вводится некоторая (в общем, случае произвольная) нумерация отдельных оболочек, которая далее используется на многих этапах. Для: примера на рис. 1.1 изображена некоторая пространственная конструкция, состоящая из четырёх оболочек, каждая из которых разбита на соответствующее число КЭ, а номер каждой подконструкций обозначен римской цифрой. Основой расчёта является 9-ти узловой изопараметрический. искривлённый КЭ оболочки с 5-ю степенями свободы в каждом узле. Поэтому сетка узлов, для которых необходимо определить радиус-вектор срединной поверхности г ив которых вводятся узловые неизвестные получается вдвое большей, чем сетка КЭ. На рис.1.2 приведён пример сетки КЭ 4 3 и сетки узлов 9 7 для одного из возможных вариантов оболочки.
Определение динамических характеристик при свободных колебаниях оболочек
Исходные данные по геометрии должны быть определены в виде файла последовательного доступа, который имеет следующую структуру: 1) первая строка содержит параметр К, определяющий число подконструкций, из которых состоит исследуемая конструкция; 2) вторая строка содержит два числа nlv п2х, которые определяют параметры сетки КЭ первой подконструкций; 3) следующие строки содержат построчно: х — координаты всех L х узлов первой подконструкций, у - координаты всех L\ узлов первой подконструкций, z - координаты всех Z, узлов первой подконструкций, h- значения толщин во всех L\ узлах первой подконструкций, q- значения нормального давления (вдоль орта К3) во всех Lx узлах первой подконструкций, где Lx = (2и1, +1)(2гс2, +1), 4) далее следуют строки, аналогичные пунктам 2), 3) для остальных подконструкций (их число равно (К-1)); 5) последние К строк содержат значения модуля упругости Е, коэффициента Пуассона fi, плотности материала р последовательно для всех подконструкций. Исходные данные по граничным условиям (кинематические) данные должны быть определены в виде файла последовательного доступа с целочисленной информацией следующей структуры; 1)
Первая строка содержит число граней К у разных (или одних и тех же) подконструкций с одинаковыми перемещениями (условия периодичности или циклической симметрии); 2) Последующие К строк содержат номера оболочек п,(), nk\l) и номера граней ng\, ng\ (здесь / = 1: К) с одинаковыми перемещениями; 3) Последующие строки несут информацию о закреплении узлов поочерёдно по подконструкциям 4) Следующие строки содержат информацию, аналогичную пункту 3), для последующих подконструкций (К{, К2 и т.д.); Исходные данные по граничным усилиям (статические граничные условия) определяются в виде файла последовательного доступа, в котором для всех граней (в соответствии с нумерацией рис. 1.3) всех подконструкций приводятся величины граничных усилий TV, S, Q, М7 Н. Предполагается, что на каждой грани подконструкций имеет место лишь один вариант заданных граничных усилий, которые действуют на несколько КЭ. Номера этих КЭ задаются двумя числами (параметрами) m\k и m2k (здесь k = 1; 4), которые являются нижней и верхней границей нагруженных КЭ. Для решения проблемы на собственные значения используется метод одновременных итераций в подпространстве, запрограммированный в виде набора подпрограмм. Программа решения задачи на собственные значения состоит из следующих основных этапов: 1) считывание геометрии конструкции; 2) задание глобальной нумерации узлов; 3) расчёт матрицы жёсткости элементов конструкции, формирование матрицы жёсткости конструкции в целом; 4) коррекция матрицы жёсткости, удовлетворение граничным условиям закрепления; 5) расчёт матрицы масс элементов конструкции, формирование матрицы масс конструкции в целом; 45 6) процедура метода итерации в подпространстве (метод Рутисхаузера). Время, затрачиваемое для нахождения частот и форм собственных колебаний определяется мощностью компьютера, числом неизвестных, свойствами самой конструкции (спектром собственных значений). Наиболее быстро в процессе итераций уточняются самые низкие частоты. При увеличении числа итерируемых векторов скорость сходимости уменьшается. Для решении задачи динамики на вынужденные колебания используется процедура пошагового интегрирования (метод Ньюмарка), запрограммированный в виде отдельной подпрограммы. Решая эту задачу, необходимо в вышеприведённом алгоритме вместо процедуры метода Рутисхаузера подключить процедуру метода Ньюмарка. Оба пакета прикладных программ представляют собой набор отдельных модулей - подпрограмм SUBROUTINE с головной программой вызова.
Применение численного метода к исследованию поведения упругих стержней под действием осевого прямоугольного импульса силы
Научная новизна результатов. I,. Разработаны конечно-элементные модели динамического расчёта произвольных стержневых и тонкостенных конструкций. Дана реализация этих моделей в виде расчётной методики и пакета прикладных программ. Указанная методика позволяет исследовать динамические характеристики тонкостенных и стержневых конструкций произвольной геометрии при свободных и вынужденных колебаниях.
2. С использованием разработанной методики решены новые задачи динамики для пространственных тонкостенных и стержневых конструкций.
3. Разработан численно-аналитический метод расчёта стержней и цилиндрических оболочек с учётом геометрической нелинейности при продольном импульсном нагружении и решены новые задачи.
Достоверность основных научных результатов обеспечивается строгим математическим обоснованием предлагаемых методик расчёта, использованием признанных в литературе дифференциальных уравнений продольно-поперечных движений стержней и цилиндрических оболочек, сравнением полученных решений для тестовых примеров с известными из литературы аналитическими и экспериментальными данными, совпадением решений, полученных на разных конечно-элементных и конечно-разностных сетках.
Таким образом, на защиту выносятся следующие основные положения диссертации: 1. Конечно-элементная реализация динамического расчёта произвольных стержневых и тонкостенных конструкций. 2. Исследование динамических характеристик с определением частот и форм собственных колебаний пространственных стержневых и тонкостенных конструкций МКЭ при свободных колебаниях. 3. Исследование динамических характеристик пространственных тонкостенных конструкций МКЭ при вынужденных колебаниях. 4. Разработка численно-аналитического метода расчёта стержней и: цилиндрических оболочек при продольном импульсном нагружении с учётом геометрической нелинейности. 5. Решение новых задач определения динамических характеристик " тонкостенных и стержневых конструкций. Практическая значимость работы состоит в том, что она позволяет, пользуясь отечественным расчетным комплексом, исследовать частоты и формы свободных колебаний тонкостенных и стержневых конструкций, применяемых в строительстве и машиностроении. Разработанный численно-аналитический метод исследования движений стержней и цилиндрических оболочек при продольных воздействиях ударного типа делает расчет более наглядным и привлекательным для проектировщиков. Материалы диссертации нашли отражение в учебном пособии, которое в 2003/2004 учебном году внедрено в учебный процесс на кафедре теоретической механики Казанского государственного университета для выполнения дипломных работ. Результаты расчёта и методика исследования частот и форм свободных колебаний введены в действие на кафедре металлических конструкций и испытаний сооружений Казанской государственной архитектурно-строительной академии, о чем имеется акт. Основные положения диссертации докладывались: на итоговых студенческих конференциях КГУ 2000-2002 гг.; на Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам (МГУ 2000); на Международной молодёжной конференции Н. Челны, 2000; на Международной конференции "Актуальные проблемы механики оболочек" (Казань, 2000); на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, Пермь 2001; на Международной- конференции "Актуальные проблемы динамики и прочности в теоретической и прикладной механике" (Минск 2001 г); на конференции Лобачевские чтения (Казань 2001, 2002, 2003 гг.); на республиканском конкурсе научных работ среди студентов и аспирантов на соискание премии им. Н.И. Лобачевского (Казань 2002 г.) на VIII Четаевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань 2002); на XX Международной конференции по теории оболочек и пластин (Н.Новгород, 2002 г.) на XV Всероссийской межвузовской научно-технической конференции, (20 — 22 мая 2003 г., Казань); на конференциях Summer School "Advanced Problems in І Mechanics", St. Petersburg, Russia, 2002, 2003; на Международной конференции BEM-FEM, Санкт-Петербург, 2003; на НТК КГАСА (1997-2003 гг.); на итоговых конференциях (КГУ 2003, 2004 гг.); на городских научных семинарах по теории пластин и оболочек КГУ (2002, 2003 гг.); на городском научно-методическом семинаре кафедр теоретической механики КГТУ 2003; на итоговой научной конференции 2003 г. Казанского научного центра РАН; на Х-ом Международном симпозиуме "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред", МАИ, Ярополец, 2004; Основное содержание диссертации опубликовано в работах [42, 56-60, 74-77, 174-184, 197,198, 213, 214]. Работы [74-77] выполнены совместно Жигалко Ю.П., работы [42, 56-60, 213, 214] - совместно с Головановым А.И., [60, 213, 214] - совместно с Якушиным С.А.. Вклад соавторов в эти работы заключается в следующем:
