Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Асимптотические формулы
1. Асимптотические формулы для собственных зна чений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля . 13
2. Регуляризованный след краевой задачи Штурма-Лиувилля 26
3. Асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций системы Дирака 31
Глава II. Одномерная система Дирака с периодическим потенциалом
1. Непрерывные решения системы (І.І) 40
2. Решение,принадлежащееX0) 43
3. Исследование нулей функции VIII 45
4. Спектр системы Дирака 51
5. Распределение чисел -Хп., ft/i 52
6. О лакунах в непрерывном спектре системы Дирака 54
Глава III. Спектр краевой задачи Штурма*Лиувилля
1. Функция Вейля краевой задачи 58
2. Вспомогательные утверждения 59
3. Основные определения 65
4. Теорема о резольвентном множестве 69
5. Теорема о точечном спектре 77
6. Теорема о непрерывном спектре 88
7. Теорема о точечно-непрерывном спектре 89
8. Пример 91
9. Спектр системы Дирака 92
10. Зависимость спектра от функции 98
Литература 101
- Регуляризованный след краевой задачи Штурма-Лиувилля
- Исследование нулей функции VIII
- О лакунах в непрерывном спектре системы Дирака
- Теорема о резольвентном множестве
Регуляризованный след краевой задачи Штурма-Лиувилля
Б.М.Левитаном в работе [3] был предложен метод регуляризации седа для краевой задачи Штурма-Лиувилля книге [2] приводится частный вариант этого метода. Метод основан на изучении асимптотического поведения функции при больших отрицательных значениях Л ; здесь Х) - решение уравнения (2.1), удовлетворяющее начальным условиям: Рассмотрим краевую задачу (І.І), (1.6): где &Фоо, ЦФОО , сЦхуєСі[ОіЗП, віСХ) - функции вида (1.4). Пусть Jo,J-f;...;Jtt;... - собственные значения задачи (2.4)-(2.6). Воспользуемся методом Б.М.Левитана для регуляризации следа задачи (2.4)-(2.6). Во-первых,заметим,что формулу (2.7) можно уточнить подобно тому,как это сделало в [2] . В результате получим Выражение (2.II) назовем регуляризованным следом задачи (2.4) -(2.6). Собственные значения Д/г являются нулями функции где f[%X) - решение уравнения (2.4), удовлетворяющее начальным условиям Пусть Л = -Д , Ц- О . Представим функцию (2.12) при больших U- в виде где А - некоторая постоянная, которая будет определена позже, % - полюсы функции (2.12/. Если \=0 , или ми 0 t то соответствующий множитель заменяется на -J . Корректность представления (2.14/ будет видна из дальнейших оценок.
Получим асимптотическую формулу для правой части равенства (2.14/ при больших ft . Имеем С другой стороны,используя известные асимптотические формулы для функции ЧІІїХ) ,в ІЗ J получена формула (см. [з] , форму Отсюда,принимая во внимание формулы (I.I2), находим: Сравнивая коэффициенты при И в формуле (2.26),получаем фор мулу (2.8). Сравнивая коэффициенты при -т==- , получим: Отсюда,применяя формулу (2.8),приходим к следующему результату двухкомпонентная вектор-функция, р(х) , z/Z) - действительные, непрерывные на функции, (9f(J) - функция вида (1.4), 1 х и. При изучении этой задачи мы пользуемся методом работы [2J . Выясним вид оператор-матрицы преобразования. Определение оператор-матрицы преобразования можно найти в [2J , 3, гл.9. Пусть OjQ) 00 . Положим где piftX ргіХ-)) 7f(Z),lz() - действительные функции,непрерывные на [0,Ж] . Пусть Zjf - совокупность непрерывно-дифференцируемых вектор-функций flX)=/ І /т\ ) определенных на[о,1] и удовлетворяющих краевому условию где "А/ - произвольное конечное действительное число ; ил - совокупность непрерывно-дифференцируемых вектор-функций 9/ (Q /г))» определенных на faff] и удовлетворяющих краевому условию: Найдем в этой ситуации вид оператор-матрицы преобразования Л . Так как OiQ) СХ} , при достаточно больших И \ , то мы можем включить SfW) в п\ и ах, и воспользоваться результатами 3 гл.9 книги [ZJ . Согласно этим результатам,оператор-матрица Ад имеет вид где (3.13) а матрица есть решение задачи Коши: Заметим,что так же,как и в I все собственные значения краевой задачи (3.1)-(3.3) - вещественные. Пусть ftu) 0 . Рассмотрим систему (3.1)+(3.2): Пусть х№ ) - ( ц fy )) J -решение системы уравнений (ЗЛ), удовлетворяющее начальным условиям: Очевидно, функция У(Х,Л) удовлетворяет краевым условиям (3.2). Решая задачу (3.1),(3.27) при , находим: Применим оператор преобразования к решению задачи (2.1)+(2.2). Положим Д= В +Qi(X)f 4= 6 , где Pt(xy-p(X), 1І(Х -ШХ Рі(Х-) 0} li(X)-0. Пусть в граничных условиях (3.6),(3.7) = ,. Тогда согласно формуле (3.13): J(X) і .
Поэтому из формул (3.10), (3.II) вытекает,что Из формулы (3.8) для решения flZlj lw fa х\) задачи (3.1)-(3.2) находим: Здесь Ду определяется по формуле (І.II). Лемма 3.2. Собственные значения краевой задачи (3.1)-(3.3) - простые. Доказательства этих утверждений аналогичны доказательствам соответствующих лемм из книги [2J . Переходим к выводу асимптотической формулы для собственных значений задачи (3.1)-(3.3). Так как функции %(х,Т) и zfe) удовлетворяют краевому условию (3.2),то собственные значения мы найдем из уравнения (3.3),подставив туда значения функций fr.V) и ЧІСХІХ) из формул (3.19). Имеем: В силу формул (3.19) последнее уравнение преобразуется к виду: где /. - целое число. Так же,как и в случае уравнения Штурма-Лиувилля (см. I) доказывается,что,начиная с некоторого доста точно большого ih .вблизи каждого / + j —е—лежит только один корень уравнения (3.23) и что Л lb должно находиться вблизи а не какого-нибудь другого числа такого же вида. (Здесь ро число всех полюсов функции Для того,чтобы оценить дп ,подставим Л/г из формулы (3.24) в уравнение (3.23): Отсюда Подставляя значение U/i из формулы (3.26) в формулы (3.19), находим асимптотические формулы для собственных вектор-функций: Следовательно,для нормированных собственных функций получаем следующие формулы
Исследование нулей функции VIII
Покажем,что в общем случае каждая из этих функций имеет бесчис ленное множество вещественных нулей. Обозначим через {Xi\ и ifaj нули функций ffi) и 1())+2. соответственно. Из формул (2.4), (2.5) вытекает,что при больших Ш : Если J вещественно (t=0) ,то при J -» - M\J колеблется, грубо говоря,между - 2. Из формулы (3.1) также следует,что в отличие от задачи Штурма-Лиувилля [б] , последовательность нулей не ограничена слева. Для более точных выводов о нулях функций JW)- 2 исследуем производную функции Jffl: Ш с + № . Имеем , Дифференцируя обе системы по Л. , получаем: Проверим,что решение системы: при условиях tyj(O)=0j уz(0) 0 имеет вид: юем: Аналогично проверяется справедливость второго равенства формулы (3.2). Начальные условия,очевидно,выполняются. Применяя теперь формулы (3.3) к задачам (3.2),находим: Если точка Л такова,что -2 Л/0 , то Отсюда имеют противоположные знаки. Отсюда и из формул (3.6),(3.7) вытекает,что и знаки "1 и Jz совпадают со знаком 7/ . Значит,в такой точке Jw не может иметь ни максимумами минимума. Отсюда уже следует,что XX) монотонно убывает до значе ния или возрастает до значения J(fl=2 ). В общем случае Ц-JCX) пересекает прямую у=_2 ,хотя возможно и каса ние. Следовательно,в общем случае последовательность нулей функций ДО- можно занумеровать следующим образом и лишь в исключительных случаях (касание) / =/ /,- = / / . Из приведенных рассуждений вытекает также,что Выясним необходимые и достаточные условия появления нуля второ го порядка. Пусть Л - нуль функции JflVX второго,или бо лее высокого порядка. Тогда @1+%,= «2, и если %f0 ,то из (3.6), (3.7) следует,что причем правая часть не равна нулю,так как подинтегральные выражения тождественно не равны нулю. Отсюда вытекает,что 0(УіШУО) . Аналогично ,если вг О , то и эта величина снова не равна нулю. Поэтому Э 0 Далее, w(№-Qi%-& ft-1, Ф&Н; Qi+% 1, или Si+ - -2 0, Qf-{ и,значит, %=/. Следовательно,условия являются необходимыми для появления у функции 7Ш / нуля второго порядка. Из формулы (3.5) видно,что эти условия являются и достаточными.
Аналогично можно установить,что необходимые и достаточные условия появления нулей второго порядка у функции jQj Z имеют вид Покажем,что функции не могут иметь нулей порядка выше второго. Для этого рассмотрим « Щ- (L i + " . Дифференцируя исходную систему два раза по X ,получаем: или,обозначая 2 «б тЪ-иг, =5 ъ 2-" z HMeeM: Так как правая часть этого равенства отрицательна,то функции Jt\)- 2 не могут иметь нулей порядка выше второго. Отсюда также видно,что в нуле второго порядка Тіл) имеет максимум, Непосредственно легко убедиться в том,что функция у(х})=( м /г\0» где удовлетворяет системе уравнений (4.1)-(4.2). Поэтому общее решение системы (4.1)-(4.2) имеет вид Из условия (ХЖ єІЇ [0," ), 4$,(Х,УЛ)& [О, оо) получаем,что Подберем постоянную Сі так,чтобы выполнялось граничное условие (4.3): В силу условия (4.3): по замкнутому контуру в Д - плоскости,можно получить разложе ние функции по собственным функциям краевой задачи (4,1)-(4.3), Мы не приводим здесь необходимые выкладки ввиду их громоздкости. Очевидно,интервалы Q2H-l,}in),(ft2ti,№m+lX (71=0, 1,-.. ); на которых tYlLX) принимает вещественные значе ния, служат лакунами в непрерывном спектре задачи (4.1)-(4.3). Следовательно,имеет место теорема. Теорема 4.1. Непрерывный спектр задачи (4.1)-(4.3) образуют интервалы На не прерывном спектре и на лакунах могут находиться точки дискретного спектра. Замечание. Из формулы (4.5) вытекает,что дискретный спектр задачи (4.1)-(4.3) образуют полюсы функции гу Ж Получим асимптотические формулы для X к и fi и, . Предварительную оценку проведем с помощью формул (2.4),(2.5). Согласно этим формулам
Применим теорему Руше,выбрав в плоскости Л контур в виде квадрата с центром в начале координат,одна из сторон которого проходит через точку где В результате получаем,что 7Ш Л/ имеет внутри данного конту-ра столько же нулей,сколько и функция МЛ —т . Последняя функция имеет двукратные нули в точках Общее число нулей . Следовательно,при вещественных Л оба нуля ЛШ-1 и ЛіП приближенно равны Для уточнения этой оценки положим Уравнение J(X) Z=0 согласно формулам (5.1),(5.2) принимает вид: откуда вытекает,что т.е. Заметим,что из формул (5.3),(5.4) следует,что длины лакун (\жч,}гіі) и (jjlin,flin+l) оцениваются как 0(щ) и,следовательно, стремятся к нулю при n toa . Аналогичное свойство имеет место для периодической задачи Штурма-Лиувилля на всей оси (см. [5j ). С другой стороны,согласно результатам работы [ij , имеет место следующая теорема. Теорема 6.1. Пусть вещественные функции (ЦХ) и №) определены на (- ,« ), q(X) е С( ,« ), ИШ УШ) Тогда последовательность длин лакун в спектре задачи является неограниченной. Теорема 6.1 говорит о том,что появление функции (6.1) в уравнении (6.2) приводит к тому,что нарушается свойство убывания длин лакун при удалении от начала координат вдоль вещественной оси. Покажем,что аналогичное явление наблюдается и в случае систем Дирака. Для этого рассмотрим следующий пример: $X+# ?(X), ЇЇСХ) - функция вида (6) Введения. В данной главе мы рассмотрели случай $()— j . Точно так же можно доказать, что и в случае $(T) oL 0 , имеющей ограниченную вариацию на [О,Ж] , непрерывный спектр краевой задачи: p(x),ifoe С Со,00 ), ptr+#)=p(x), 1(хЩ-г[х)} {х+Ю=№) состоит из бесконечного числа отрезков на вещественной оси. Числа J ft и fCft совпадают с нулями функций J()i)T 2- соответственно. Здесь
О лакунах в непрерывном спектре системы Дирака
Заметим,что из формул (5.3),(5.4) следует,что длины лакун (\жч,}гіі) и (jjlin,flin+l) оцениваются как 0(щ) и,следовательно, стремятся к нулю при n toa . Аналогичное свойство имеет место для периодической задачи Штурма-Лиувилля на всей оси (см. [5j ). С другой стороны,согласно результатам работы [ij , имеет место следующая теорема. Теорема 6.1. Пусть вещественные функции (ЦХ) и №) определены на (- ,« ), q(X) е С( ,« ), ИШ УШ) Тогда последовательность длин лакун в спектре задачи является неограниченной. Теорема 6.1 говорит о том,что появление функции (6.1) в уравнении (6.2) приводит к тому,что нарушается свойство убывания длин лакун при удалении от начала координат вдоль вещественной оси. Покажем,что аналогичное явление наблюдается и в случае систем Дирака. Для этого рассмотрим следующий пример: $X+# ?(X), ЇЇСХ) - функция вида (6) Введения. В данной главе мы рассмотрели случай $()— j . Точно так же можно доказать, что и в случае $(T) oL 0 , имеющей ограниченную вариацию на [О,Ж] , непрерывный спектр краевой задачи: p(x),ifoe С Со,00 ), ptr+#)=p(x), 1(хЩ-г[х)} {х+Ю=№) состоит из бесконечного числа отрезков на вещественной оси. Числа J ft и fCft совпадают с нулями функций J()i)T 2- соответственно. Здесь ul M / 02 (XiXj / и ЧУ л) - ip2 faд) J - решения системы уравнений (6.6),удовлетворяющие начальным условиям: Решениями системы (б.3)удовлетворяющими начальным условиям (6.7), являются функции: где Исследуем распределение нулей функции Применяя теорему Руше так же, как в [i] , убеждаемся, что функция Gj-(2) имеет на интервале два нуля. Полагая которое формально совпадает с соответствующим уравнением работы [I] .
Поэтому мы можем воспользоваться результатами анализа этого уравнения,проведенного в пунктах 2,3,4 статьи [i] . Таким образом,наше утверждение доказано. Замечание. Для задачи Штурма-Лиувилля (1.1)-(1.2) главы П с периодическим потенциалом и с функцией спектрального параметра вида (6) Введения в краевом условии непрерывный спектр,очевидно,описывается теми же формулами,что и в книге И . В работе [Ю] изучается спектр дифференциального оператора, порожденного обыкновенным дифференциальным выражением Основная теорема работы Гю] дает классификацию точек спектра на языке функции Вейля. В этой главе,пользуясь методом указанной работы,мы получим аналогичный результат для краевой задачи Штурма-Лиувилля на полуоси с параметром в краевом условии. мы будем рассматривать краевую задачу где С(Х) - вещественная функция,непрерывная на каждом конечном интервале, U(X) - функция вида (6) Введения. Функцию \НХ) можно представить в виде где l3jfl) и 1$) - целые функции,не имеющие общих нулей. Условие (1.2) можно переписать следующим образом: Пусть Yfcft и дОСл) .. решения уравнения (1.1),удовлетворяю-щие начальным условиям: Функции 0 и Ф являются линейно-независимыми при условии Мы будем рассматривать только случай предельной точки. В этом случае имеет место Теорема I.I. Для всех недействительных значений Л , при которых (5}(Х)+- Ui(X) О , существует решение уравнения (I.I; с интегрируемым квадратом на полуоси [0,ос?). Замечание. В случае предельного крута WfoDG ї [0io)t т.е. в этом случае каждое решение (I.I; принадлежит В дальнейшем относительно функции ttl(X) будем предполагать, что: Ї) при всех вещественных X 2) для любого компактного множества К комплексной плоскости существует постоянная М-М(К) такая, что где 4 =;f2[b,e o\ frfzftHl ft+0. Функция Ф(ЇД-,Л удовлетворяет уравнению и краевому условию (1.2).
Это проверяется непосредственно. Лемма 2.1. Если 1(х) и Ш](Х) принадлежат удовлетворяет краевому условию (1.2) и для невещественных ТО Лемма 2.2. Для любых невещественных л и і Леммы 2.1, 2.2 доказываются так же, как леммы 2.9 и 2.3 гл.П книги [б] . Лемма 2.3. Если Ш)е fa ) , то Доказательство. Пусть сначала цх)=0 при х Х Тогда ШХ) Гиммлль,- & со и согласно лемме 2.2, соответствующий предел равен нулю. Таким образом неравенство преобразуется к виду (2.7) Для финитных функций {(ос) лемма доказана. Окончание доказательства леммы такое же,как в классическом случае. Действительно, если Цх) Х [о, о) - произвольная функция,то введем в рассмотрение функцию tyfe) , совпадающую с fe) при 0С л и равную нулю при тъХ и соответствующую т\0О функцию Фу( Л) . Имеем: при фиксированном л , так как ч (Хл) равномерно стремится к ФСъХ) , когда Х 00 Второй член этого равенства стремится к нулю при ь- о , согласно лемме c.d.. Вычислим М0{ШЛ), ШЛ )] Лемма 2.5. Если Ли - полюс функции Вейля /7Й) с вычетом 2# , то имеют место формулы Доказательство: Доказательство аналогично выводу формул (2.5.3) и (2.5.5) книги [б] : умножая (2.12) на и устремляя у к нулю,получаем с помощью леммы 2.4 ( [5J ), что f&ifO fof ) и Пусть =Лп + № . Умножая обе части (2.13) на у- и устремляя " к нулю,получаем: Лемма доказана. Лемма 2.6. Если J# - полюс функции Вейля fllQ) с вычетом ЪЦ , то функция Ф(ХА} t) имеет в точке М простой полюс с вычетом Доказательство этой леммы аналогично доказательству соответствующего утверждения из книги f5j , 2.6. Определим оператор Тд , соответствующий задаче (I.D-(1.2) следующим образом: Ю(7ї) - это множество функций {(т)є ?[О/со) ,удовлетво рягощих условиям: 2) / - абсолютно непрерывна на любом конечном интервале ; Тху- 1&J для всех уеЯСЪ), где Ш- -jjfr.+ W)
Отметим,что число J является собственным значением краевой задачи (1.1)-(1.2) тогда и только тогда,когда J вещественно является собственной функцией краевой задачи,соответствующей собственному значению J Пусть Будем говорить,что До - регулярная точка краевой задачи (1.1)-( 1.2),если оператор (Tx0 }oJ) существует и является ограниченным линейным оператором,определенным на всем пространстве Н = ї [О,0 ) . Это эквивалентно условию Множество всех регулярных точек краевой задачи (1.1)-(1.2) назовем резольвентным множеством и обозначим через (Т) . (Символом I мы обозначаем семейство операторов Очевидно, Д (Т) , если ; вещественные точки могут принадлежать или не принадлежать $СО . Дополнение множества fUy в комплексной плоскости С назовем спектром краевой задачи (1.1)-(1.2) и обозначим через 6(Т). Разобьем множество ґП ) на три подмножества: называемые точечным спектром непрерывным спектром Сб(Т) и точечно-непрерывным спектром ЮЛ/краевой задачи (1.1)-(1.2). Определим эти спектры (пункты 2-4) в терминах множества значений оператора T\ lj следующим образом: 1)До(Т) тогда и только тогда,когда/}(50 о])=({(Тд0-До])= И ) тогда и только тогда,когда тогда и только тогда,когда тогда и только тогда,когда Резольвента flj uj краевой задачи (1.1)-(1.2) определяет ся , как (1}с 2а J) , когда } с Є 9 СО UCtiCT), т.е. когда } о не является собственным значением задачи (1.1)-(1.2). В случае, когда рассмотрим собственное многообразие f\0 оператора 7)о Пусть гу ортогональный проектор на подпространстве HJ-H&E)Q, Pi - ортопроектор на Е 0 . Тогда fyWxo) &Шо\ВЭДо аОдо)) если Т\о и Т)о определены по формулам Число До не является собственным значением оператора Т)0 в Hf . Определим резольвенту R 0(T) как оператор Теперь,когда резольвента краевой задачи (1.1)-(1.2) определена при любых значениях io U. ,мы можем дать классификацию точек комплексной плоскости в терминах резольвенты Kj0(T) эквивалентную предыдущей классификации: 1) До SCO тогда и только тогда,когда РдсгУ=(Тд0 ДоТ) есть ограниченный оператор,определенный во всем пространстве Н; 2) Др Рб (Т) тогда и только тогда,когда Кд0(Т)=(Т}о До 0 есть ограниченный оператор,определенный на всем пространстве 3) До СбСТ/ тогда и только тогда, когда Кл0СГ)в"5о ДсЗ") есть неограниченный оператор,определенный на множестве,плотном в Н) w _( 4) До rO U у тогда и только тогда,когда 0(Т)=С1ДО ДОЗУ есть неограниченный оператор,определенный на множестве,плотном В Н . В следующем параграфе нам потребуется Лемма 3.1. Для любых фиксированных элементов тЛ -Н функция JCQ определенная на (Т) по формуле
Теорема о резольвентном множестве
Теорема 4.1. До (Т") тогда и только тогда, когда fflQ) голоморфна в точке Хо ; резольвента в этой точке задается формулой РО для всех 2 2 Замечание. Точки,в которых 1 йо)- [ (\о) 0, являются невещественными и,следовательно,принадлежат $0")-Функции Ч(хТ) и 6(zX) в таких точках линейно зависимы. Резольвенту /гд (Т) в этом случае можно определить по формуле (1.20) работы [9/ . Доказатель ство. Пусть сначала do невещественно, т. е. Этло= УФО . Тогда,очевидно, }о9СО и ttl(X) регулярна в точке Ъ) 6Ш ) + ШХоЩхЛо) G 2 [Ot o п0 определению ttlQ) (см. I). Убедимся в том,что резольвента краевой задачи (1.1)-(1.2) определяется по формуле (4.1). Оче видно, определена на всем пространстве и удовлетворяет уравнению ЯФНФ- + . Согласно лемме 2.3, ФЛ [СІ00; ; Ф удовлетворяет условию (1.2) при }=1о , т.е. Ф є &(Ъо). Согласно лемме 2.1, 4 Ло;(Тд0-ДоЭД /2), и Х х . Следовательно, Тдо """"До J и Ф&йо} ) взаимно у обратны на % СЪо) и ы. [о, х ) соответственно,т.е. Согласно лемме 2.3, резольвента является ограниченным оператором. Формула (4.1) доказана. Пусть До - вещественно и . По кажем, что ЇЇІСА) регулярна в точке До . Рассмотрим формулу (2.12) при л= і Положим Тогда формулу (2.12) можно записать в виде где А - невещественное число,такое,что невещественном значении «л удовлетворяющем условию (4.5). Теперь выразим YfaX) в формуле (4.7),через &0 , Рассуждая так же,как в работе flOj ,получим: Вычислим вронскиан WCfCXityVfcX)) с помощью левой и правой части формулы (4.8), Принимая во внимание формулу (4.3), имеем Согласно формуле (1.6): Непосредственные вычисления поназывают,что Согласно формулам (4.8),(4.9),(4.10),(4.12): Применяя лемму 3.1, находим,что скалярное произведение в правой части формулы (4.20 ) определено и голоморфно при любом Дб?СГ). В силу условия (1.8) другие слагаемые также голоморфны при вещественных Д SCO . Таким образом,аналитическое продолжение tTiCX) голоморфно при любом }е$(Т) и,в частности, ҐН(\) голоморфна в точке До . Обратно,пусть ЇЇІСХ) голоморфна в точке І0 на вещественной оси. Во-первых,покажем,что Из формулы (2.12) вытекает,что если Д = До +CV", ЇЇФ0 , то:
Отсюда,так же,как в [б] , устремляя сначала У к нулю,затем Л к бесконечности,пользуясь голоморфностью ftlQ) в точке )(/f получаем: Теперь покажем,что,когда ttUX) голоморфна в точке До на вещественной оси,то 2оЄ$(Т) . Для этого достаточно установить, что резольвента /?д0(Т) есть ограниченный линейный оператор, определенный на всем пространстве of /А) . Из голоморфности fU(X) в точке 2о вытекает голоморфность lUQj в области К-комплексной плоскости,определенной условиями для некоторого Ь 0 .Из формулы (4.20) следует, что ЩХІмєХІРі/ при любом Л Л j ЧЇХгА) голоморфна при каждом фиксированном X в этой области. краевой задачи (І.І), (1.2) при U HXfl)+l 0. Если ЇЇПЇ 0 fT0 ранее было ус тановлено, что все свойства резольвенты для Ф(%1} ) выпол няются. Если J, - вещественного аналогично случаю комплек сного J, можно показать,что удовлетворяет краевому условию (І.2),Ф( Л(-А)т) = 4- для любого 4є 0Оя). Осталось показать,что Ф [iV и что ФС Л; ) есть ог раниченный линейный оператор в l0»00) . Для доказательства этих двух фактов нам потребуется следующее утверждение из рабо ты flOJ ,которое мы сформулируем здесь в виде леммы. Лемма 4.1. Пусть ТО.) - аналитическая функция Л; (hl/J-ІУ) , голоморфная в квадрате -& (/-Ло $,- У« & и пусть в этом квадрате Тогда существует такое 0 / ,что при Де HL »где Яь область,определяемая неравенствами lRsl-}ol t ЦтіІ о, выполняется неравенство: где К Определим функцию та) следующим образом: пусть і є f[o, 00), g є Ї2(Ь/ X J, X 0. Положим Известно,что ф(рС}) () - аналитическая и голоморфная в функция при фиксированных Of и f (см. f5J , 2.6).
Поэтому ЗШ голоморфна в ft и если ОШІФО ,то Для получения последнего неравенства мы воспользовались леммой 2.3. Здесь . . функция АСІ) - голоморфна в а, ; поскольку область /ь компактна, функция Ш) ограничена на А ; поэтому Применяя лемму 4.1 к функции j(л) ,получаем,что при Д &ь 7 2 X 7 где К - конечно и не зависит от X , / , . Возьмем 0 о 0 о Из формулы (4.22) вытекает,что и что ФСмс} ) есть ограниченный линейный оператор на of №і)
