Введение к работе
Актуальность темы. Теория уравнений смешанного типа за последние годы, благодаря своей практически значимости, превратилась в один из интенсивно развивающихся разцедов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Первым фундаментальным исследованием по уравнениям смешанного типа второго порядка явилась работа Ф.Трикомн.
Уравнения эллиптчко-параболического типа являются одним из основных разделов в теории уравнений смешанного типа. Они могут быть положены за основу математического моделирования ряда важных прикладных задач естествознания. Например, некоторые задачи, совместно - раздельного течения вязяоупругой и вязкой жидкостей, движения газа в канале, изучения движения жидкости со знакопеременным коэффициентом вязкости и др. сгодятся к изучению краевых задач для. эллиптико-параболичесних уравнений.
Бсльпинство основных результатов, имеющихся к настоящему времени в теории уравнений смешанного типа, можно найти в монографиях и работах А.В.Бицацзе, Л.Берса, М.С.Салахитдинова, Т.Д. Дяураева, М.М.Смирнова, Е.И.Моисеева, А.М.Нахушева, В,И.Врагова, В.Ф.ВолкодавоЕа, Т.Ш.КальыгноЕа, А.Г.Кузмкна, А.А.Дезяка и других.
Г- настоящее время достаточно много работ посвященных выявлению классов единственности н.существования решений локальных п нелокальных краевых задач для уравнений сыеягкного типа, как в ограниченных, так к в неограниченных областях. При этом используются различные подходы. Настоящая работа посвящена разни-
тип этого круга вопросов в следутщнх направлениях:
I) Доказать теоремы единственности и существования решений локальных краевых задач для вырождающихся эллиптико-аараболи-ческих ураьнеяий второго порядка в сграниче---кг областях, а также определить класс искомых функций и поведение границы области параболической части уравнения, в зависимости от степени вырождения.
2) Доказать единственность и существование решения нелокальных краевых задач для эллиптико-параболо-гиперболических уравнений второго порядка, в ограниченных областях.
3). Получить энергетические оценки, аналогичные неравенствам, вырожащим принцип Сен-Бена.та в теории упругости, и на их основе доказать теоремы единственности и существования решения нелокальных краевых задач для эллиптико-параболического уравнения второго порядка в неограниченных,областях в классах растущих функций, а также указать условия на свободные члены уравнений, при которых существует единственное решение соответствущей задачи из указанных классов.
Цель рабр-ы.
I. Установить теоремы единственности и существования решений локальных краевых задач для Еырождапцихся зллиптико-параболичес-ких уравнений в ограниченных областях, а также определить класс искомых функция в зависимости от степени вырождения.
П. Доказать теоремы единственности и существования решений нелокальных краевых задач для эллиптико-параболо-гиперболических уравнений в ограниченных областях.
EL Для решений зллштико-параболических уравнений получить пнергетические оценки, аналогичные неравенствам, выражающим
принцип Сен-Венана в теории упругости.
ІУ. Доказать теор'емы существования и едкнстве.чности решений нелокальных краевых задач в неограниченных областях для эллип-тико-параболических уравнений в классах растущих функций в зависимости от геометрических характеристик области и поведения правой части уравнения на бесконечности.
Методы исследования. Для решения локальных краевых задач в ограниченных областях единственность доказывается на основе принципов экстремума для эллиптических и параболичес-гкх уравнений. Разрешимость задачи устанавливается с помощью метода потенциалов и теоремы Шаудера о неподвижной точке.
Остальные результаты работы доказываются ме-одами функционального анализа с использованием теорем вложений, априорных оценок и методом весовых функций (см. О.А.Олейник, Г.А.Йосифь-ян, Принцип Сен-Венана в плоской теории упругости и краевые задачи для бигармонического уравнения в неограниченных областях, Сиб. матем.журнал, т.19, КЗ, 1978, с.1154).
Научная новизна. В работе исследованы вопросы разрешимости, единственности и гладкости решений некоторых локальных и нелокальных краевых задач для уравнений смешанного типа второго порядка в ограниченных областях. На основе энергетических оценок Сен-венановского типа, полученных методом весовых функций, для общего линейного эллиптико-параболического уравнения второго порядка с нелокальными краевыми условиями доказаны теоремы существования и единственности решений в неограниченных областях. Полученные при этом оценки учитывают геометрические свойства области. Б диссертации испольэутугся новые подходы к исследовании рассматриваемых задач.
.-6-
Практическая и теоретическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Результаты работы найдут применение в качественной теории уравнений с частными производными, а также могут быть использованы для дальнейшей разработки теории нелокальных краевых задач.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре "Дифференциальные уравнения с частными производными" Института математики имени В.И.Романовского АН РУз. (руководители акад.АН РУз. М.С.Салахитцинов, акад.АН РУз. Т.Д. Джураев), на конференциях молодых ученых г.Ташкента, посвященных памяти В.И.Романовского (1990, 1991 гг.), на Всесоюзной школе молодых ученых "функциональные методы в прикладной математике и математической физике" (г.Ташкент, 1988г.), на Всесоюзной конференции по дифференциальным уравнением й оптимальному управлении (г.Ашхабад,1990г.), на Всесоюзной конференции "Краевые задачи и их спектральные вопросы для дифференциальных уравнений" (г„Алма-Ата,1991г.).
