Введение к работе
Актуальность темы. В силу своей прикладной важности теория уравнений смеаанкого типа является однш из важязйиях разделов современной теории дифференциальных уравяеаяй с частными дрояз-водными. Это обусловлено тем, что указанные уравнения находят многочисленные приложения в ряде задач трансзвуковой газовой динамики, магнитной гидродинамики, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, безмоментной теории оболочек я других областях механики.
Начало теории уравнений смешанного типа было положено известными работами Ф.Грякомя я С.Геллерстедта. Дальяейиее развитие эта теория получила в работах А.В.Ездадзе, К.Я.Еабеяко, М.А.Давреятьева, В.Н.Врагова, А.М.Кахуаева, Т.Ш.Калылеяова, Б.А.Бубнова, Т.Д.Джураова, М.С.Салахитдинова и других.
В последнее время внимание ряда математиков привлекли краевые задачи для таких уравнений высокого порядка, которые не подходят под обычную классификацию.
Исследованию таких неклассичеаких задач посвящены работы В.П./Михайлова, Ю.А.Дубияского, В.Н.Врагова, Б.А.Бубнова, С.Г. Пятвова, В.Н.Валицкого, С.А.Алдакева я других.
Имеется много работ, где предлагаются различные постановки задач с нелокальными условиями для неклассических уравнений.
Впервые нелокальные краевые условия для получения расширений цекоторих типов неклассических операторов предложил А.А.Де-зин. Этот подход получил.дальнейшее развитие з работах В.И.Іе-галова, А.Ы.Нахушева, Т.Д.Джураева, М.С.Салахитдинова, Т.Ш.Каль-менова и их учеников. Различные классы нелокальных краевых задач для уравнений 2-го порядка рассмотрены в работах В.А.Ильина и Е.И.Моисеева.
Интерес к нелокальным краевым задачам для некяассических уравнеялй возрос после установления взаимосвязи вопроса о разре-шимостинелокальнкх краевых задач с вопросом о разрешимости линейных обратных задач. Следует отметить здесь работы С.З.Джама-лоза, А.В.Врагова, где была показана эквивалентность вопросов о разрешимости двух классов таких задач. Учитывая эту связь, следует подчеркнуть, что нелокальные краевые задачи имеют важное практическое применение, поскольку линейные обратные задачи являются математическими моделям геофизических, биологических и физических процессов.
Цель работы. Цель настоящей диссертации - исследование класса локальных и нелокальных краевых задач для уравнений смешанного типа высокого порядка при определённых условиях на младшие коэффициенты, исследование вопроса о разрешимости и корректности задач, поставленных в работе.
Методика исследования. В работе применяется метод априорных оценок исследования краевых задач, используются метода общей теории дифференциальных уравнений о частными производными я функционального анализа, в частности, метод Галёркина, метод предельного перехода по малому параметру. При этом используются теоремы вложения.
Научная новизна, теоретическая и практическая деянооть. В работе предлагаются постановки новых корректных краевых задач для уравнений смешанного типа высокого порядка.
В главе I диссертации изучена серия локальных и нелокальных задач в прямоугольвой области для линейных и нелинейных уравнений смешанного типа с различными краевыми условиями. Доказана обобщенная разрешимость в пространстве Соболева с весом рассматриваемых задач при определенных условиях на коэффициенты.
В главе П изучается подобные краевые задачи для уравнений смешанного типа в цилиндрической области D пространства N На основе априорных оценок, при тех же ограничениях на коэффициенты , что и б главе I , доказывается существование'! обобщенных решений рассматриваемых краевых задач в весозых пространствах Соболева.
Получение в диссертации результаты имеют теоретическое значение, представляя определённый интерес в развитии общей теории краевых задач для уравнений неклассического типа. Они могут такка служить теоретической основой при исследовании процессов, описываемых подобными уравнениями.
Ка заикту автор вннооит следтоляе результату:
доказаны теоремы об обобщенной разрешимости нелокальных задач для линейных уравнений сметанного типа високого порядка;
доказана обобщенная разрешимость краевых задач для нелинейных уравнений смешанного типа высокого порядка с различными крае- вымя условиями;
доказаны теоремы об обобщенной разрешимости ряда локальных и нелокальных краевых задач для некоторых многомерных уравнений смешанного типа высокого порядка.
Апгобания работы. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзной студенческой научной конференции в г.Новосибирске в 1390г.» на Всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи математической физики и анализа", посвященной 60-летию акад. {.(.«.Лаврентьева (г.Новосябирск, 1992г.); на научных семинарах: по уравнениям математической физики членоз-корр. НАД FK Е.И.Кима, С.Н.Іарина и доц.М.О.Орынбасарова, по теории фунгаїкй и функциональному анализу члена-корр. НАН Ел Н.К.Елк-ева, по дифференциальным уравнениям и функциональным простракст-
вам члена-корр. HAH КС Д.У.Умбетя&нова при йясгитуте теоретической и прикладной математика ИіШ FK, по уравнениям математической физики дроф.С.Е.Темирбулатова и проф. С.А.Алдашева при КазНГУ нм.Аль-Фарабг.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах (1-4).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введеная, двух глав , разделенных на & параграфов , и списка литературы , содержащего 55 наименований. Работа изложена на 77 страницах машинописного текста.
