Введение к работе
Актуальность темы. Начало исследований краевых задач для уравнений смеианного типа было полохено в классических работах Ф.Трикоми, М.Чибрарио и С.Геллерстедта, где впервые были поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа. Важные результаты для таких уравнений были получены в работах Ф.И.Франкля, К.И.Бабенко, А.В.Бицадзе, М.В. Келдыша, К.Моравец и других.
В последующие годы количество работ, посвященных примерам неклассических уравнений, возросло. Однако наибольшее развитие теория краевых задач для уравнений смеианного типа получила з последние 2 лот в связи с использованием методов функционального анализа. В.Н.Враговым и рядом других авторов было начато построение общей теории краевых задач для уравнений смеианного типа второго порядка с произвольным многообразием изменения типа. Здесь необходимо отметить работы Г.Д.Каратопраклиеяа, Н.А.Ларькина, А.Н.Терехова, Г.Л.Дачева, Б.А.Бубнова, И.Е. Егорова, А.Г.Кузьмина и других. Достаточно полная библиография по этим вопросам содержится в монографии А.Г.Кузьмина.
Краевые задачи для некоторых классов уравнений с частными производными иоклассического типа высокого порядка изучались в работах С.Л.Соболева, В.П.Михайлова, В.П.Глушко, И.А.Киприяно-ва, Ю.А.Дубинскогс, М.С.Салахитдинова, Т.Д.Джураева, В.Н.Враго-ва, В.В.Катрахова, В.А. Брюханова, И.Е.Егорова, А.И.Коханова, Хе Кан Че'ра, А.Г.Подгаева, С.Г.Пяткова и других.
В работе В.Н.Врагова впервые дана постановка корректной краевой задачи для уравнения смешанного типа порядка 2т. Затем эти результаты были обобщены И.Е.Егоровым на случай, когда уравнение имеет разный порядок по времени и по пространственным переменным.
Большое число работ посвящено сингулярным уравнениям. Краевые задачи для таких уравнений изучались в работах В.В.Ка-трахова, Ха Кан Чера и многих других. Вырождающиеся дифференциально-операторные уравнения рассматривались в работах С.Г. Крейна, В.П.Глушко, И.Е.Егорова и других. В частности, сингулярная задача Коши для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с частными производными исследовались С.А.Терсеновым, Ф.Т.Барановским, М.А.Куприяновым, Л.Л.Ивановым и другими.
Цель работы - изучение разрешимости краевых задач для одного класса уравнений смешанного типа высокого порядка в пространствах С.Л.Соболева, исследование гладкости их решений, а такхе задачи Коши для сингулярных дифференциально-операторных уравнений.
Методика исследования. Основным методом исследования является метод "с - регуляризации " уравнения смешанного типа высокого порядка уравнением эллиптико-параболического типа четного порядка в сочетании с методом Галеркина, а в задаче Коши - метод интегральных представлений.
Научная новизна и практическая ценность. В диссертации получены следующие основные результаты :
1. Установлены достаточные условия существования и единственности обобщенных решений первой краевой задачи для уравнений
смешанного типа высокого порядка в анизотропных пространствах Соболева. Указаны условия однозначной регулярной разремнмостн данной краевой задачи.
2. Провалено исследование гладкости решений краевом задачи.
Получены теоремы повышения гладкости решений по времени и по
пространственным переменным. Рассмотрен такхе вопрос о сущест
вовании сильных решений и распространении особенностей решения
в случае s=ra.
3. Доказана однозначная разренимость задачи Коти для уравнения
Зйлера-Пуассона-Дарбу в банаховом просгранстве, а такхе для од
ного сингулярного уравнения четвертого порядка, не разреаенпо-
го относительно старшей производной по времени.
Результаты диссертации имеют теоретическое значение.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференции молодых ученых Сибири и Дальнего Востока ( г.Новосибирск, 1988 г.), на конференции по неклассическим уравнениям математической физики ( г. Новосибирск, )989 г.), :іа кон-ференции " Условно-корректные задачи математической физики и анализа " ( г. Новосибирск, 1992 г.), на семинаре в Института математики СО РАН " Неклассические уравнения математической Физики " под руководством д.ф.-м.н., профессора З.Н.Врагова.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы з работах /1-5/, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и обьем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 7 параграфов, списка литора-ры из 71 наименования и изложена на 58 страницах.
