Содержание к диссертации
Введение
1. Краевые задачи для одного дифференциально-операторного уравнения первого порядка 11
1.1. Вспомогательные сведения 11
1.2. Сильная разрешимость нелокальной краевой задачи 14
1.3. О гладкости решений нелокальной краевой задачи 23
1.4. Разрешимость одной нелокальной краевой задачи 28
2. Краевые задачи для дифференциально-операторного уравнения типа Шредингера с меняющимся направлением времени 35
2.1. Разрешимость первой краевой задачи 35
2.2. Гладкость решений первой краевой задачи 45
2.3. Разрешимость нелокальной краевой задачи 53
2.4. Гладкость решений нелокальной краевой задачи 55
3. Примеры 61
3.1. Решение одной спектральной задачи 61
3.2. Разрешимость нелокальной краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением времени 66
3.3. Разрешимость первой краевой задачи для одного уравнения типа Шредингера
3.4. Разрешимость нелокальной краевой задачи для одного уравнения типа Шредингера
Литература
- Сильная разрешимость нелокальной краевой задачи
- Разрешимость одной нелокальной краевой задачи
- Гладкость решений нелокальной краевой задачи
- Разрешимость нелокальной краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением времени
Введение к работе
Пусть ії-сепарабельное действительное (комплексное) гильбертово пространство. Работа посвящена исследованию краевых задач для дифференциально- операторного з'равне-ния вида
Au = But + Lu = Bf(t), teS = [0,T], (1)
и дифференциально - операторного уравнения типа Шредин-гера
Au = But+iLu = Bf{t), teS, (2)
где Х-самосопряженный и положительно определенный оператор с плотной в Н областью определения D(L), В - самосопряженный оператор в Н с областью определения D{B).
Уравнение (1) является уравнением неклассического типа, к нем}/ приводятся параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Первыми работами об уравнениях данного типа были статьи М. Жеврея [102, 103]. Новым этапом развития теорий краевых задач для параболических уравнений с меняющимся направлением времени явились работы, связанные с дифференциально-операторными уравнениями вида (1).
В случае, если спектр пучка L — ХВ содержится в одной из полуплоскостей вида. ДеА < а, Де А > а, или при выполнении условия D{B) С D{L)1 уравнение (1) обычно называют
уравнением Соболевского типа. Для уравнения такого типа часто корректна обычная задача Когпи или близкая к ней. Этот класс уравнений описывает значительное количество задач, возникающих в гидро- и газовой динамике, теории упругости [5, 21, 35, 51, 70, 95, 96, 108]. Среди работ, посвященных таким уравнениям, отметим [20, 29, 44, 65, 68, 71, 82, 101].
Мы рассматриваем уравнение вида (1), не являющееся уравнением Соболевского типа. Как правило, это означает, что спектр пучка L — XB содержит одновременно бесконечные подмножества положительной и отрицательной полуосей.
В класс уравнений не Соболевского типа входят так называемые кинетические уравнения [84, 104, 107, 124], описывающие диффузионные процессы, броуновское движение частиц, перенос нейтронов, рассеивание электронов и многие другие процессы в физике [83, 84, 85, 86, 97, 106], в геометрии, популяционной генетике [109, 110, 126]. Отметим также работы [91, 92, 93, 94, 104, 105, 122, 123], где возникали подобные задачи.
Краевые задачи для линейных уравнений с меняющимся направлением времени рассматривались в работах О.А. Олейник [50], Г. Фикеры [79], С.А. Терсенова [72, 73, 74], A.M. Нахушева [49], И.Е. Егорова [22, 23, 24, 99, 100], И.Е. Егорова, В.Е. Федорова [25], И.Е. Егорова, С.Г. Пяткова, СВ. Попова [26], А.А. Керефова [31], Н.В. Кислова [32, 33, 34], СТ. Пяткова [59, 60, 61, 62, 63, 120], СВ. Попова [56, 57, 58, 115, 116, 117], И.М. Петрушко, Е.В. Черных [52], В.Е. Федорова [76], Ф.М. Федорова [77, 78], Х.Х. Ахмедова [3], В. В Катышева [30], СП. Елазатова [15], Н.Л. Абашеевой [1], М.С. Боуенди, Е. Еривара [87], К.Д. Пагани [112, 113], К.Д. Пагани, Е. Таленти [114], О. Арены [81]
и других авторов.
Исследованиям по нелинейным уравнениям переменного типа посвящены работы Н.А. Ларькина, В.А. Новикова, Н.Н. Яненко [42], Т.И. Зеленяка, В.А. Новикова, Н.Н. Янен-ко [28], Т.И. Зеленяка [27], B.C. Белоносова, Т.И. Зеленяка [6], В.Н. Монахова [45, 46], В.Н. Монахова, СВ. Попова [47, 48] П.И. Плотникова [53], А.Г. Подгаева [54, 55], С.Г. Пяткова, А.Г. Под-гаева [64], С.Г. Пяткова [62] П.П. Ахмерова [4], М.М. Лаврентьева (мл.) [36, 37, 38, 39], В.Н. Гребенева [18], С.Н. Глазатова [16, 17], Н.Л. Абашеевой [2].
Краевые задачи для уравнения (2) мало изучены. В основном, ранее рассматривалась задача Копій для классического уравнения Шредингера [40, 41, 43, 69, 80, 98, 111, 118, 119, 125, 127].
Среди работ, наиболее близких к нашим, можно отметить работы [40, 41, 43]. В [40, 41] рассматривается задача Когни для уравнения Шредингера
Su = ut + iS\{t)u = f. (3)
u(0) = ср. (4)
Там доказана обобщенная разрешимость задачи (3), (4), если:
S\(t) - самосопряженный, сильно дифференцируемый по t оператор с областью определения D(Si), плотной в Я и не зависящей от t;
существз'-ет хотя бы одно число А = А| + гА-2, для которого Si(t) — \Е имеет обратный оператор, причем
||(5i(t) - ХЕ)~Л\\ + ||Si(*i)(Si(*) - ХЕГ[\\ + ||Su(Si - ХЕ)-[\\ < const.
Ж.Л. Лионе, Э. Мадженес [43] доказали существование
решения задачи (3), (4), рассматривая наряду с основной задачей сопряженную задачу, выяснили связь между решениями основной и сопряженной задач, исследовали регулярность решения.
Таким образом, тема данной работы, которая посвящена исследованию краевых задач для дифференциально-операторных уравнений первого порядка с меняющимся направлением времени является актуальной. Целью работы является получение более конструктивного способа решения краевой задачи (1), (5) в явном виде, исследование корректности нелокальной краевой задачи (1), (6), модифицирование функционального метода, предложенного О.А. Ладыженской в [40, 41], и его применение для доказательства разрешимости первой краевой задачи и нелокальной краевой задачи для дифференциально-операторного уравнения типа Шредингера с меняющимся направлением времени (2).
Результаты данной работы носят теоретический характер и могут быть использованы для дальнейшего развития качественной теории исследуемых задач. Практическая ценность результатов диссертации заключается в том, что они помогают получению в явном виде решений прикладных задач для конкретных уравнений, входящих в (1), (2).
В первой главе рассматривается уравнение (1). С помощью метода Фурье доказаны существование единственного сильного и гладкого решения краевой задачи для уравнения (1), удовлетворяющего условиям
Е+(и{0) - Хи(Т)) = Е+щ} Е-(и(Т) - /,ш(0)) = Е~ит, (5)
где |А|, |/і| < 1, Е+,Е~ - спектральные проекторы В, соответ-
ствующие положительной и отрицательной частям спектра [8, 9, 10].
Отметим, что сильная разрешимость и гладкость решения краевой задачи (1), (5) методами функционального анализа доказаны И.Е. Егоровым в [99, 100]. А при Л — \х = 0 результаты данной работы совпадают с результатами работы С. Г. Пятков а [61].
Рассматривается также краевая задача для уравнения (1) с краевым условием
и(0) - /ш(Т) = щ, (6)
где ^(-комплексное число, и операторы L,B определены в комплексном пространстве Н [11, 88].
Известно, что для нестабильных уравнений существуют корректные краевые задачи [19, 66, 67]. При определенных условиях уравнение (1) эквивалентно нестабильному уравнению [24]. В данной работе показано, что нелокальная краевая задача (1),(6) корректно поставлена, и имеет место ее гладкая разрешимость.
Основная идея доказательств разрешимости этих краевых задач состоит в том, что теоремы существования для них следуют из теорем единственности. Метод Фурье заключается в том, что решение краевых задач ищется в виде ряда Фурье. Изучается спектральная задача, соответствующая данной краевой задаче, затем, решая дифференциальное уравнение с соответствующими краевыми условиями, получаем решение в явном виде при выполнении некоторых условий.
Во второй главе рассматривается уравнение типа Шре-
дингера (2). Для уравнения (2) с краевыми условиями:
Е+(и(0) - щ) = О, Е-(и(Т) - ит) = 0. (7)
доказаны существование единственного решения краевой задачи (2),(7), удовлетворяющего условиям: и Є (7(5, Ло), щ Є С(5, iJ_2) [12, 89, 14], и гладкого решения задачи (2),(7) из класса и Є С(5, Н2к), ^GC(S,tf2,_2),fc = 0,l,2,... [13, 14, 90].
Исследовано существование единственного гладкого решения нелокальной краевой задачи для уравнения (2) [89, 90]:
г/,(0) - ци(Т) = щ, (8)
где fi - комплексное число, Н - комплексное пространство.
В третьей главе рассматриваются конкретные примеры уравнений, изученных в первой и второй главах; получены решения некоторых краевых задач в явном виде. Рассмотрен частный случай дифференциально - операторного уравнения (2) при В — signx, L = — ^2, f(t) = 0. Имеем уравнение
signxwt = iwXXl — 1 < х < 1, 0 < t < Т, (9)
решение которого удовлетворяет условиям:
w{x,0) = wQ(x), -і < х < 1, (10)
где wQ(x) Є Щ,
Ц-1, t) = w(l,t) = 0, 0 < t < Т. (11)
Сначала рассматривается спектральная задача, соответствующая данной краевой задаче, решения которой находятся явным образом. Это позволяет применить известный метод
Фурье к решению данной краевой задачи. Установлено существование единственного решения задачи (9)-(11), удовлетворяющего условиям: и Є C(S,Hq), щ Є С(5, ії"_2) [7].
Исследована разрешимость краевой задачи для уравнения (9) с нелокальным условием
w;(ic,0) — nw{x,T) = wq(x), — 1 < х < 1,
где /і -комлексное число, wq(x) Є Но-
Рассмотрен также частный случай дифференциально -операторного уравнения (1) при В = signx, L = —j^- Имеем уравнение
зідпхщ — ихх + signxf(t). — 1 < х < 1, 0 < t < Т. (12)
Для уравнения (12) с краевыми условиями:
и(х}0) — [ш(х,Т) = щ(х), —1<х< 1, (13)
где /і - комплексное число, мо Є і^о = Хг( — 1,1), ./ Є Z<2(5, і/о)?
u(-l, #) = Ці, *) = 0, 0 < * < Т, (14)
доказано существование единственного решения краевой задачи (12)-(14), удовлетворяющего условиям: и Є L2(S,H\), ^еЬ2(5,Я_:1).
Сильная разрешимость нелокальной краевой задачи
Краевые задачи для уравнения (2) мало изучены. В основном, ранее рассматривалась задача Копій для классического уравнения Шредингера [40, 41, 43, 69, 80, 98, 111, 118, 119, 125, 127].
Среди работ, наиболее близких к нашим, можно отметить работы [40, 41, 43]. В [40, 41] рассматривается задача Когни для уравнения Шредингера
Там доказана обобщенная разрешимость задачи (3), (4), если: a) S\(t) - самосопряженный, сильно дифференцируемый по t оператор с областью определения D(Si), плотной в Я и не зависящей от t; b) существз -ет хотя бы одно число А = А + гА-2, для которого Si(t) — \Е имеет обратный оператор, причем Ж.Л. Лионе, Э. Мадженес [43] доказали существование решения задачи (3), (4), рассматривая наряду с основной задачей сопряженную задачу, выяснили связь между решениями основной и сопряженной задач, исследовали регулярность решения. Таким образом, тема данной работы, которая посвящена исследованию краевых задач для дифференциально-операторных уравнений первого порядка с меняющимся направлением времени является актуальной. Целью работы является получение более конструктивного способа решения краевой задачи (1), (5) в явном виде, исследование корректности нелокальной краевой задачи (1), (6), модифицирование функционального метода, предложенного О.А. Ладыженской в [40, 41], и его применение для доказательства разрешимости первой краевой задачи и нелокальной краевой задачи для дифференциально-операторного уравнения типа Шредингера с меняющимся направлением времени (2). Результаты данной работы носят теоретический характер и могут быть использованы для дальнейшего развития качественной теории исследуемых задач. Практическая ценность результатов диссертации заключается в том, что они помогают получению в явном виде решений прикладных задач для конкретных уравнений, входящих в (1), (2). В первой главе рассматривается уравнение (1). С помощью метода Фурье доказаны существование единственного сильного и гладкого решения краевой задачи для уравнения (1), удовлетворяющего условиям ствующие положительной и отрицательной частям спектра [8, 9, 10]. Отметим, что сильная разрешимость и гладкость решения краевой задачи (1), (5) методами функционального анализа доказаны И.Е. Егоровым в [99, 100]. А при Л — \х = 0 результаты данной работы совпадают с результатами работы С. Г. Пятков а [61]. Рассматривается также краевая задача для уравнения (1) с краевым условием где (-комплексное число, и операторы L,B определены в комплексном пространстве Н [11, 88]. Известно, что для нестабильных уравнений существуют корректные краевые задачи [19, 66, 67]. При определенных условиях уравнение (1) эквивалентно нестабильному уравнению [24]. В данной работе показано, что нелокальная краевая задача (1),(6) корректно поставлена, и имеет место ее гладкая разрешимость. Основная идея доказательств разрешимости этих краевых задач состоит в том, что теоремы существования для них следуют из теорем единственности. Метод Фурье заключается в том, что решение краевых задач ищется в виде ряда Фурье. Изучается спектральная задача, соответствующая данной краевой задаче, затем, решая дифференциальное уравнение с соответствующими краевыми условиями, получаем решение в явном виде при выполнении некоторых условий. Во второй главе рассматривается уравнение типа Шредингера (2). Для уравнения (2) с краевыми условиями: доказаны существование единственного решения краевой задачи (2),(7), удовлетворяющего условиям: и Є (7(5, Ло), Щ Є С(5, iJ_2) [12, 89, 14], и гладкого решения задачи (2),(7) из класса и Є С(5, Н2к), GC(S,tf2,_2),fc = 0,l,2,... [13, 14, 90].
Разрешимость одной нелокальной краевой задачи
Исследованиям по нелинейным уравнениям переменного типа посвящены работы Н.А. Ларькина, В.А. Новикова, Н.Н. Яненко [42], Т.И. Зеленяка, В.А. Новикова, Н.Н. Янен-ко [28], Т.И. Зеленяка [27], B.C. Белоносова, Т.И. Зеленяка [6], В.Н. Монахова [45, 46], В.Н. Монахова, СВ. Попова [47, 48] П.И. Плотникова [53], А.Г. Подгаева [54, 55], С.Г. Пяткова, А.Г. Под-гаева [64], С.Г. Пяткова [62] П.П. Ахмерова [4], М.М. Лаврентьева (мл.) [36, 37, 38, 39], В.Н. Гребенева [18], С.Н. Глазатова [16, 17], Н.Л. Абашеевой [2].
Краевые задачи для уравнения (2) мало изучены. В основном, ранее рассматривалась задача Копій для классического уравнения Шредингера [40, 41, 43, 69, 80, 98, 111, 118, 119, 125, 127].
Среди работ, наиболее близких к нашим, можно отметить работы [40, 41, 43]. В [40, 41] рассматривается задача Когни для уравнения Шредингера Там доказана обобщенная разрешимость задачи (3), (4), если: a) S\(t) - самосопряженный, сильно дифференцируемый по t оператор с областью определения D(Si), плотной в Я и не зависящей от t; b) существз -ет хотя бы одно число А = А + гА-2, для которого Si(t) — \Е имеет обратный оператор, причем решения задачи (3), (4), рассматривая наряду с основной задачей сопряженную задачу, выяснили связь между решениями основной и сопряженной задач, исследовали регулярность решения.
Таким образом, тема данной работы, которая посвящена исследованию краевых задач для дифференциально-операторных уравнений первого порядка с меняющимся направлением времени является актуальной. Целью работы является получение более конструктивного способа решения краевой задачи (1), (5) в явном виде, исследование корректности нелокальной краевой задачи (1), (6), модифицирование функционального метода, предложенного О.А. Ладыженской в [40, 41], и его применение для доказательства разрешимости первой краевой задачи и нелокальной краевой задачи для дифференциально-операторного уравнения типа Шредингера с меняющимся направлением времени (2).
Результаты данной работы носят теоретический характер и могут быть использованы для дальнейшего развития качественной теории исследуемых задач. Практическая ценность результатов диссертации заключается в том, что они помогают получению в явном виде решений прикладных задач для конкретных уравнений, входящих в (1), (2).
В первой главе рассматривается уравнение (1). С помощью метода Фурье доказаны существование единственного сильного и гладкого решения краевой задачи для уравнения (1), удовлетворяющего условиям ствующие положительной и отрицательной частям спектра [8, 9, 10].
Отметим, что сильная разрешимость и гладкость решения краевой задачи (1), (5) методами функционального анализа доказаны И.Е. Егоровым в [99, 100]. А при Л — \х = 0 результаты данной работы совпадают с результатами работы С. Г. Пятков а [61]. Рассматривается также краевая задача для уравнения (1) с краевым условием где (-комплексное число, и операторы L,B определены в комплексном пространстве Н [11, 88]. Известно, что для нестабильных уравнений существуют корректные краевые задачи [19, 66, 67]. При определенных условиях уравнение (1) эквивалентно нестабильному уравнению [24]. В данной работе показано, что нелокальная краевая задача (1),(6) корректно поставлена, и имеет место ее гладкая разрешимость.
Основная идея доказательств разрешимости этих краевых задач состоит в том, что теоремы существования для них следуют из теорем единственности. Метод Фурье заключается в том, что решение краевых задач ищется в виде ряда Фурье. Изучается спектральная задача, соответствующая данной краевой задаче, затем, решая дифференциальное уравнение с соответствующими краевыми условиями, получаем решение в явном виде при выполнении некоторых условий.
Во второй главе рассматривается уравнение типа Шредингера (2). Для уравнения (2) с краевыми условиями: доказаны существование единственного решения краевой задачи (2),(7), удовлетворяющего условиям: и Є (7(5, Ло), Щ Є С(5, iJ_2) [12, 89, 14], и гладкого решения задачи (2),(7) из класса и Є С(5, Н2к), GC(S,tf2,_2),fc = 0,l,2,... [13, 14, 90].
Гладкость решений нелокальной краевой задачи
В этой главе методом Фурье получено более конструктивное решение в явном виде одной нелокальной краевой задачи для дифференциально-операторного уравнения первого порядка с меняющимся направлением времени; также показана корректность другой нелокальной краевой задачи для этого уравнения и доказана ее гладкая разрешимость.
В этом параграфе мы определим некоторые функциональные пространства, необходимые в дальнейшем. Пусть Н - сепарабельное действительное (комплексное) гильбертово пространство со скалярным произведением (.,.) и нормой .. Рассматривается спектральная задача вида Lu = XBu, (1.1.1) где L - самосопряженный и положительно определенный оператор с плотной в II областью определения Z)(L), В - самосопряженный оператор в Н с областью определения D(B). Пусть Н\ - замыкание D(L) по норме w#, = (Lu,u)1/ 2 (скалярное произведение в Н . (U,V)H1 = (\L\1//2u, L1//2v)), и Е+, і?0, і?""- спектральные проекторы ІЗ, соответствующие положительной, нулевой и отрицательной частям спектра. ПоложимПри Д\ П fcerJ3 = 0 введем пространство HQ как пополнение D(B) по норме мя0 — (Яг , г )1//2. Предположим, что D{B)nH\ плотно в Но и Hi, а также имеет место неравенство IMk 7ІМк, и Є (Я) П Ни 7 о. Определим пространство Я_] как замыкание Яо по норме Ц/Ня., = \\L-lBf\\Hi = В/ЯІ, где Я{ - пополнение Н по норме Будем считать, что выполнено условие [Яі,Я_і]1/2 = Я0, 0 Є pi, (1.1.2) где pi- резольвентное множество оператора L, [Яі,Я_і]і/2 пространство, полученное с помощью метода комплексной интерполяции [43]. В нашем случае Ні плотно вложено в Н-1, поэтому методы действительной и комплексной интерполяции приводят к одним и тем же пространствам [75], т.е. (Яі,Я_і) ,2 = [#!,#_,],,, 0Є[О,1]. Определим оператор A = B [L : HQ — HQ. Говорим, что и Є D(A), если существует элемент / є Яд такой, что Lu Bf] в этом случае по определению полагаем, что Аи = /. Предположим, что оператор А 1 — L lB : Н\ —» Н\ является вполне непрерывным. Обозначим через Р+ и Р спектральные проекторы А"1, соответствующие положительной и отрицательной частям спектра. Пусть cpf - собственные функции спектральной задачи (1.1.1), соответствующие положительным (А+) и отрицательным (Аг ) собственным значениям. Предположим, что {(А+)}, {(—А )} - неубывающие последовательности. В этом случае в работе С.Г. Пяткова [61] доказано, что собственные функции {(pf} спектральной задачи (1.1.1) образуют полную ортогональную систем} в пространстве HQ со скалярным произведением (?і,г/)о = (В(Р+ — P )u,v) тогда и только тогда, когда выполняется условие (1.1.2). Пусть Если s 0, мы получим из [121] Hs = {v Є HQ : H/-/S oo}, и если s 0, мы определяем Hs как пополнение HQ по норме Обозначим Обозначим через L S H) пространство сильно измеримых функций, определенных на S — [0,Г], со значениями в гильбертовом пространстве Я и с конечной нормой
Разрешимость нелокальной краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением времени
Следуя работе С.Г. Пяткова [61], введем операторы про о ектирования Pf : Hf — Hf, которые являются непрерывными. Имеет место лемма из [61]: Лемма. Существует интервал [0,70) (то 5о) такой, что для любого (/ (zHf найдется единственный элемент,акой, что Е±ф± = ip 1, причем соответствующие операторы Pf : непрерывны. В частности, будем иметь для любого Є Hf равенство PQ±E± 92і = . Для целого к О [121] определим множество Ак = {(9о,9т) 90,9т Є D{Ak), Е Акд0 = 0, Е+Акдт = 0}. Для целого к 2 введем пространство Заметим, что для к 2 нормы в Нк и І7, эквивалентны [115]. Оператор А осуществляет изоморфизм между пространствами Hk и Нк-2 с обратным оператором А г = Ь [В. Сильная разрешимость нелокальной краевой задачи Рассматривается дифференциально - операторное уравнение где L-самосопряженный и положительно определенный оператор с плотной в Н областью определения D(L), В - самосопряженный оператор в Я с областью определения D{B). Это уравнение является уравнением неклассического типа, к нему приводятся параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Краевая задача. Найти решение уравнения (1.2.1) такое, что Е+(и(0) - Хи(Т)) = Е+щ, Е {и(Т) - /ии(0)) = Е ит, (1.2.2) где А, 1 и щ,ит Є HQ. Предположим / Є 1 (5, іїо), тогДа ищем репіение задачи (1.2.1), (1.2.2) из пространтсва и Є 2(5, Ді), Щ Є 2(5, i_i). Любая функция и из этого пространства обладает следующими свойствами (см. [43], теорема 3.1) и Є C(S,HQ), решение которой имеет вид: Jo А для у ,к = 1,2,..., имеем следующую задачу Коши: Ее решение запишется в виде: »t-= at-e (r- - /Vw/rm. Тогда решение задачи (1.2.3),(1.2.4) можем символически записать в виде V = v+ + v , где J .т (1.2.5) г;" = ел-Р-%- [ e-A-Wp-№ %. Рассмотрим задачу (1.2.1),(1.2.2). Уравнение (1.2.1) перепишем в виде ut + B lLu = f. (1.2.6) Определение. Элемент и Є L/2(S,Hi) называется сильным решением краевой задачи (1.2.1),(1.2.2), если существует последовательность E-{ p- + e-A+V - M + + eA" V)) = Я "(-/ / e-4" ./- Jo Jo где /± = P±/. Имеет место Лемма 1.2.1. Решение системы (1.2.7) единственно.
