Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Формулы типа Даламбера для колебаний, описываемых телеграфным уравнением, в случае системы, состоящей из двух участков разной плотности и разной упругости 9
1.1. Формула типа Даламбера для случая поперечных колебаний 11
1.2. Формула типа Даламбера для случая продольных колебаний 14
Глава 2. Смешанные задачи с граничным управлением 17
2.1. Решение задачи в случае управления упругой силой на одном конце при закрепленном другом 17
2.2. Решение задачи в случае управления упругой силой на одном конце при свободном другом 23
2.3. Решение задачи в случае, когда управление упругими силами производится на обоих концах 29
2.4. Решение задачи в случае управления смещением на одном конце при закрепленном другом 31
2.5. Решение задачи в случае управления смещением на одном конце при свободном другом 35
2.6. Решение задачи в случае управления смещением на двух концах 37
2.7. Решение задачи в случае управления смещением на одном конце и упругой силой на другом 38
Глава 3. Смешанные задачи для телеграфного уравнения, в случае системы, состоящей из двух участков, имеющих разные плотности и разные упругости, но одинаковые импедансы 40
3.1. Решение задачи в случае одностороннего управления 40
3.2. Решение задачи в случае двухстороннего управления 47
3.3. Обобщенные решения смешанных задач для разрывного телеграфного уравнения при условии равенства импедансов . 54
Глава 4. Задачи граничного управления для телеграфного уравнения, в случае системы состоящей из двух участков, имеющих разные плотности и разные упругости, но одинаковые импедансы 63
4.1. О приведении из произвольно заданного состояния в состояние покоя системы, состоящей из двух разнородных участков, колебания которой описываются телеграфным уравнением 63
Заключение
Выводы
- Формула типа Даламбера для случая продольных колебаний
- Решение задачи в случае управления упругой силой на одном конце при свободном другом
- Обобщенные решения смешанных задач для разрывного телеграфного уравнения при условии равенства импедансов
- О приведении из произвольно заданного состояния в состояние покоя системы, состоящей из двух разнородных участков, колебания которой описываются телеграфным уравнением
Введение к работе
Актуальность работы
Одномерное телеграфное уравнение является математической моделью большого числа физических процессов, имеющих важное практическое значение. Телеграфное уравнение описывает давление нефти или газа в трубопроводе, характеризует динамику силы тока при распространении электромагнитных волн в длинных линиях, свободные колебания геологической среды (пластовые давления и смещения).
Исследованию решений задач управления распределенными системами и их оптимизации посвящены работы многих математиков. Основной целью исследований является изучение условий, при которых процесс колебаний распределенной системы под воздействием некоторого граничного локального или нелокального управления может быть переведен из одного состояния, заданного начальными смещениями и скоростями системы, в наперед заданное финальное.
В математическом плане такие задачи граничного управления формируются в терминах краевых задач для уравнения, описывающего процесс колебаний. Во многих работах доказывается существование промежутка времени, который, следуя литературе, мы будем называть критическим (Т&),например, для уравнений колебаний струны было показано, что если промежуток времени, за который проводится управление, не превосходит Т&, то задача граничного управления не имеет решения для произвольных начальных и финальных условий. При промежутках, строго больших Т&, существует бесконечно много решений задачи граничного управления при любых начальных и финальных условиях.
Одним из первых задачу об управлении колебаниями в форме смешанных задач для волнового уравнения рассмотрел в цикле своих работ Ж.Л.Лионе (1988г.). В его работах изучалась задача успокоения с граничными условиями
типа смещения. Им же в работе была доказана неединственность решения полученной задачи при Т& > С * 21.
В работе Е. Zuazua2 гильбертов метод единственности был обобщен на случай квазилинейного волнового уравнения с асимптотически линейной нелинейностью. Частным случаем этой задачи является задача граничного управления для телеграфного уравнения. Таким образом, метод Лионса оказался достаточно удобным инструментом для доказательства существования решения задачи о граничном управлении процессом колебаний.
В работе А.Г. Бутковского3 задача граничного управления была исследована с помощью метода Фурье и метода моментов, который был применен для построения искомого граничного управления в виде ряда Фурье, а в работе А.И. Егорова4 для конструктивного решения задачи был использован метод падающих и отраженных волн.
В статье Ф.П. Васильева5 была предложена трактовка основ теории двойственности в линейных задачах управления и наблюдения. Конструктивному решению задачи о граничном управлении процессом колебаний посвящены также его соместные с учениками работы6, в которых построены эффективные
1 J.L.Lions,Exact Controllability, Stabilization and Perturbations for Distributed Systems // SIAM Re
view, Vol. 30, No. 1. (Mar., 1988), pp. 1-68.
2 Zuazua E. Exact Controllability for the Semilinear Wave Equation.// J. Math, pures et appl., 69, 1990,
pp. 1-31
3 Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами.
4 Егоров А.И. Управление упругими колебаниями. // ДАН УССР, серия физ-мат. и техн. наук.
1986. №.5 с. 60-63
5 Васильев Ф. П., О двойственности в линейных задчах управления и наблюдения// Дифференц.
уравнения. 1995. Т 31, № 11. С. 1893 - 1900
6 Васильев Ф. П., Куржанский М.А., Потапов М.М. Метод прямых в задчах граничного управления
и наблюдения для уравнений колебаний струны.// Вестник МГУ, сер. 15, вычисл. матем. и киберн. 1993. №3. С. 8 - 15
Васильев Ф. П., Куржанский М.А., Разгулин А.В. О методе Фурье для решения одной задачи управления колебанием струны. // Вестник МГУ, сер.15, вычисл. матем. и киберн. 1993. №2. С. 3 - 8
численные алгоритмы нахождения искомого граничного управления. Первая работа основана на
использовании конечномерной аппроксимации задачи граничного управления в виде ряда Фурье, а вторая, — использует метод Фурье. Отметим, однако, что обе эти работы существенно опираются на развитый Лионсом гильбертов метод единственности.
В работе В.А. Ильина и Е.И. Моисеева7 для процесса колебаний, описываемых телеграфным уравнением, в случае однородной системы, был получен явный аналитический вид решений задачи об управлении смещением на одном конце при закрепленном другом для критического промежутка времени Tk = 21.
Затем, в работе В.А. Ильина и Е.И. Моисеева8 для процесса колебаний, описываемых телеграфным уравнением, в случае однородной системы, был получен явный аналитический вид решений задачи об управлении смещением на обоих концах для критического промежутка времени Т& = I.
В работах В.А. Ильина 2009 года для системы, состоящей из двух разнородных участков, т.е. участков разной плотности и разной упругости, разработана теория управления процессом колебаний, описываемых волновым уравнением. В своих работах9 В.А. Ильин вывел формулы типа Даламбера для бесконечного стержня, состоящего из двух участков разной плотности и упругости в случаях продольных и поперечных колебаний, а в последующих работах10 для системы,
7 Ильин. В.А. Моисеев Е.И. О Граничном управлении на одном конце процессом, описываемым
телеграфным уравнением. // Доклады Академии Наук. 2002. Т.387, № 5. С.600-603.
8 Ильин. В.А. Моисеев Е.И. О Граничном управлении на двух концах процессом, описываемым
телеграфным уравнением. // Доклады Академии Наук. 2004. Т.394, № 2. Стр.154-158.
9 Ильин В.А. Формула типа Даламбера для продольных колебаний бесконечного стержня,
состоящего из двух участков разной плотности и разной упругости. //Доклады РАН. 2009. Том 427.
№ 4. Стр.466-468.
Ильин В.А. Формула типа Даламбера для поперечных колебаний бесконечного стержня, состоящего из
двух участков разной плотности. //Доклады РАН. 2009. Том 427. № 5. Стр.609-611.
10 Ильин В.А., Луференко П.В.. Смешанные задачи, описывающие продольные колебания стержня,
состоящей из двух разнородных участков, были получены формулы для решения смешанных начально-краевых задач а также аналитический вид оптимальных граничных управлений (т.е. доставляющих минимум интегралу граничной энергии) для большого промежутка времени Т > Tk-
Цель диссертационной работы
В диссертационной работе построена теория управления процессом колебаний, описываемых телеграфным уравнением Клейна-Гордона-Фока, в случае системы, состоящей из двух участков разной плотности и упругости. Цель работы — получить явный аналитический вид решений для всех рассматриваемых задач.
Научная новизна
В диссертации впервые получены следующие основные результаты:
Получены формулы типа Даламбера для бесконечного стержня, состоящего из двух участков разной плотности и разной упругости, колебания которого описываются телеграфным уравнением Клейна-Гордона-Фока. Гассмотрены случаи продольных и поперечных колебаний такой системы.
Вешены 7 смешанных начально-краевых задач в случае граничного управления упругой силой и смещением для процесса, описываемого уравнением Клейна-Гордона-Фока, в терминах обобщенного решения телеграфного уравнения
Utt{x, t) - ихх(х, t) + с2и(х, t) = 0
состоящего из двух участков, имеющих разные плотности и разные упругости, но одинаковые импедансы.
// Доклады Академии Наук. 2009. Т.428, № 1. С.12-15.
Ильин В.А., Луференко П.В. Обобщенные решения смешанных задач, для разрывного волнового
уравнения при условии равенства импедансов. // Доклады Академии Наук. 2009. Т.429, № 3. С.317-321.
Ильин В.А., П.В. Луференко П.В. Аналитический вид оптимальных граничных управлений продольными
колебаниями стержня, состоящего из двух участков, имеющих разные плотности и упругости, но
одинаковые импедансы. // Доклады Академии Наук. 2009. Т.429, № 4. С.455-458.
Ильин В.А. О продольных колебаниях стержня, состоящего из двух участков разной плотности и
упругости, в случае совпадения времени прохождения волны по каждому из этих участков. // Доклады
Академии Наук. 2009. Т.429, № 6. С.742-745.
с конечной энергией для любого промежутка времени Т. Для любого промежутка времени Т получен явный аналитический вид решения u(x,t).
3. Получены актуальные для проведения оптимизации граничных
управлений выражения через функции, входящие в граничные условия первого
и второго родов, решений семи смешанных задач, которые описывают продольные колебания системы, задаваемые телеграфным уравнением, состоящей из двух участков, имеющих разные плотности и разные упругости, но одинаковые импедансы. На левом конце рассматривается управление силой или смещением, при условии, что правый конец либо закреплен, либо свободен, либо управляется силой или смещением.
4. Решена задача о граничном управлении на двух концах смещением
процессом колебаний, описываемым уравнением Клейна-Гордона-Фока, в случае
системы, состоящей из двух участков, имеющих разные плотности и разные
упругости, но одинаковые импедансы.
Практическая значимость
Диссертация носит теоретический характер. Учитывая, что телеграфным уравнением описывается давление нефти или газа в трубопроводе, сила тока при распространении электромагнитных волн в длинных линиях, явный аналитический вид решений, полученных в диссертации, может быть использован для моделирования указанных выше процессов, с целью существенного сокращения объемов вычислений.
На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:
1. Формулы типа Даламбера для бесконечного стержня, состоящего из двух участков разной плотности и разной упругости, колебания которого описываются телеграфным уравнением Клейна-Гордона-Фока. Рассмотрены случаи продольных и поперечных колебаний такой системы.
2. В терминах обобщенного решения телеграфного уравнения
Utt{x, t) - ихх(х, t) + с2и(х, t) = 0
с конечной энергией для любого промежутка времени Т решены 7 задач граничного управления упругой силой и смещением для процесса, описываемого уравнением Клейна-Гордона-Фока. Для любого промежутка времени Т получен явный аналитический вид решения u(x,t).
3. Получены актуальные для проведения оптимизации граничных
управлений выражения через функции, входящие в граничные условия первого
и второго родов, решений семи смешанных задач, которые описывают продольные колебания системы, задаваемые телеграфным уравнением, состоящей из двух участков, имеющих разные плотности и разные упругости, но одинаковые импедансы. На левом конце рассматривается управление силой или смещением, при условии, что правый конец либо закреплен, либо свободен, либо управляется силой или смещением.
4. Гешена задача о граничном управлении на двух концах смещением
процессом колебаний, описываемым уравнением Клейна-Гордона-Фока, в случае
системы, состоящей из двух участков, имеющих разные плотности и разные
упругости, но одинаковые импедансы.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:
Молодежном симпозиуме с международным участием "Теория управления: новые методы и приложения Переславль, сентябрь 2009 г.;
конференции Ломоносов-2010 в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова,Москва, июль 2010 г.;
конференции Тихонов-2010 в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова,Москва, октябрь 2010 г.;
Публикации
Материалы диссертации опубликованы в 4 печатных работах, из них 3 работы - в ведущих математических журналах (Доклады РАН, Дифференциальные уравнения) и 1 работа — тезисы докладов. Список основных публикаций помещен в конце автореферата.
Личный вклад автора
Формула типа Даламбера для случая продольных колебаний
В работе Е. Zuazua [2] гильбертов метод единственности был обобщен на случай квазилинейного волнового уравнения с асимптотически линейной нелинейностью. Частным случаем этой задачи является задача граничного управления для телеграфного уравнения. Таким образом, метод Лионса оказался достаточно удобным инструментом для доказательства существования решения задачи о граничном управлении процессом колебаний.
В работе А.Г. Бутковского [3] задача граничного управления исследуется с помощью метода Фурье и метода моментов, который применен для построения искомого граничного управления в виде ряда Фурье, а в работе [4] для конструктивного решения задачи используется метод падающих и отраженных волн. В статье [5] Ф.П. Васильева была предложена трактовка основ теории двойственности в линейных задачах управления и наблюдения. Конструктивному решению задачи о граничном управлении процессом колебаний посвящены также работы [6] и [7], в которых построены эффективные численные алгоритмы нахождения искомого граничного управления. Работа [6] основана на использовании конечномерной аппроксимации задачи граничного управления в виде ряда Фурье, а работа [7] использует метод Фурье. Отметим, однако, что обе эти работы существенно опираются на развитый Лионсом гильбертов метод единственности. В работе В.А. Ильина и Е.И. Моисеева [8] для процесса колебаний, описываемых телеграфным уравнением, в случае однородной системы, был получен явный аналитический вид решений задачи об управлении смещением на одном конце при закрепленном другом для критического промежутка времени Tfc = 21. В работе В.А. Ильина и Е.И. Моисеева [9] для процесса колебаний, описываемых телеграфным уравнением, в случае однородной системы, был получен явный аналитический вид решений задачи об управлении смещением на обоих концах для критического промежутка времени Тк = I. В работах В.А. Ильина [10]-[18] для системы, состоящей из 2-ух разнородных участков, т.е. участков разной плотности и разной упругости, разработана теория управления процессом колебаний, описываемых волновым уравнением. В работах [10] и [11] получены формулы типа Даламбера для бесконечного стержня, состоящего из двух участков разной плотности и упругости в случаях продольных и поперечных колебаний. В работах [12]-[15] для системы, состоящей из 2-ух разнородных участков, были получены формулы для решения смешанных начально-краевых задач а также аналитический вид оптимальных граничных управлений (т.е. доставляющих минимум интегралу граничной энергии) для большого промежутка времени Т Т Цель диссертационной работы В диссертационной работе построена теория управления процессом колебаний, описываемых телеграфным уравнением Клейна-Гордона-Фока в случае системы, состоящей из двух участков разной плотности и упругости. Для всех задач будет получен явный аналитический вид решений. Научная новизна В диссертации впервые получены следующие основные результаты: 1. Получены формулы типа Даламбера для бесконечного стержня, состоящего из двух участков разной плотности и разной упругости, колебания которого описываются телеграфным уравнением Клейна-Гордона-Фока. Рассмотрены случаи продольных и поперечных колебаний такой системы. 2. В терминах обобщенного решения телеграфного уравнения utt(x, t) - ихх(х, t) + с2и(х, і) = 0 с конечной энергией для любого промежутка времени Т решены 7 задач гра ничного управления упругой силой и смещением для процесса, описываемого уравнением Клейна-Гордона-Фока. Для любого промежутка времени Т получен явный аналитический вид решения u(x,t). 3. Получены актуальные для проведения оптимизации граничных управлений выражения через функции, входящие в граничные условия пер вого и второго родов, решений семи смешанных задач, которые описывают продольные колебания системы, задаваемые телеграфным уравнением, состоящей из двух участков, имеющих разные плотности и разные упругости, но одинаковые им-педансы. На левом конце рассматривается управление силой или смещением, при условии, что правый конец либо закреплен, либо свободен, либо управляется силой или смещением. 4. Решена задача о граничном управлении на двух концах смещением процессом колебаний, описываемым уравнением Клейна-Гордона-Фока, в слу чае системы, состоящей из двух участков, имеющих разные плотности и раз ные упругости, но одинаковые импедансы. Практическая значимость Диссертация носит теоретический характер. Учитывая, что телеграфным уравнением описывается давление нефти или газа в трубопроводе, сила тока при распространении электромагнитных волн в длинных линиях, явный аналитический вид решений, полученных в диссертации, может быть использован для моделирования указанных выше процессов, для существенного сокращения объемов вычислений.
Решение задачи в случае управления упругой силой на одном конце при свободном другом
В данном разделе получены актуальные для проведения оптимизации граничных управлений выражения через функции, входящие в граничные условия первого и второго родов, решений трех смешанных задач, которые описывают продольные колебания стержня, задаваемые телеграфным уравнением, состоящего из двух участков, имеющих разные плотности и разные упругости, но одинаковые импедансы.
Пусть расположенный на отрезке 0 х I первоначально покоящийся стержень обладает следующими свойствами: 1. имеет на участке 0 х х линейную плотность р\ = const и модуль Юнга к\ = const, о 2. имеет на участке х . х I линейную плотность р% — const и модуль Юнга &2 = const, 3. импедансы указанных двух участков равны друг другу. Изучение колебаний такого стержня, происходящих под воздействием тех или иных граничных условии на его концах, сводится к отысканию при а и a i = J у решения и(х, t) смешанной задачи для разрывного телеграфного уравнения а\ихх (х, t) + с2и(х, t) в прямоугольнике Q1 = [0 : х 4,х\ х [0 Т], а\ихх (х, t) + С2и(х, t) в прямоугольнике Q2 = [ж х 1} х [0 t Т], (1) с нулевыми начальными условиями и (ж, 0) = 0, и (ж, 0) = 0, У (2) о с условиями сопряжения в точке х стыка участков и (x-0,t\ =u(x+0,t\ , (3і) hux (x -0, tj = k2ux (x +0, tj (32) и одной из следующих трех пар граничных условий: и (О, ) =/ ( ), и(1, 0 = 1/(0. (41) (смещение на двух концах), и (0,0= МО» ММ) = М ) (42) (упругая сила на двух концах), u (0,0= М0 u{l,t) = u(t), (43) (упругая сила на одном конце и смещение втором конце). Для упрощения будем искать решение u(x,t) каждой из рассматриваемых трех задач, принадлежащее классу W% в каждом из прямоугольников Q1 = [0 х х] х [0 t Г] и Q2 = [ж х /] х [0 t Т] и удовлетворяющее почти всюду в каждом из этих прямоугольников соответствующему телеграфному уравнению, нулевым начальным условиям (2), условиям сопряжения (З1), (З2) и одной из пар граничных условий (41) — (43). При этом естественно предполагать все функции, задающие граничные смещения, принадлежащими классу ТУ2[0,Т] и обращающимися вместе с первой производной в нуль при t = 0, а все функции, задающие граничные упругие силы, принадлежащими классу VV OjT] и обращающимися в нуль при t — 0. Поскольку импеданс левого участка стержня 0 х х по определению равен р\а\ = Pi\ = vPi&i, а импеданс правого участка стержня х х I равен Р20.2 = Р2\/ = у/р2 2, и эти импедансы предполагаются равными, то pik\ — / 2&2- Это равенство позволяет нам переписать условие сопряжения (З2) в виде ахих (х -0,tj = а2их (х +0,tj . (5) Именно вид (5) условия сопряжения (З2) позволяет свести каждую из трех рассматриваемых смешанных задач к соответствующей смешанной за-даче для однородного стержня, рассматриваемого на отрезке 0, — + - - . Если и(х, t) - решение одной из рассматриваемых нами трех смешанных задач, то, положив при 0 х х, а, + ПРИ Х Х 1 х , х—т и обозначив символом / число получим, что функция и{у. t), определяемая равенством «(ац/, t) при [0 у М х [0 t С Г], "(»- ) = 0 в [и(а2у+ х -{ x,t) при [ у /] х [0 і Г], является в прямоугольнике [0 у I] х [0 Т] решением из класса Wf соответствующей смешанной задачи для однородного телеграфного уравнения utt(y, t) - їїуу(у, t) - c2u(y, t) = 0, (Ґ) с нулевыми начальными условиями и (у, 0) = 0, (у, 0)=0, (2 ) и с одной из трех пар граничных условий u(Q,t)=fi(t), u(l,t) = v{t), (7і) ux{0,t) = —Li(t), ux(l,t) = —v(t), (72) ux(0,t) = -fi(t), u(l,t) = v(t). (73) Используя представления для решения и(у, t) каждой из указанных трех смешанных задач и учитывая, что искомое решение и(х, t) выражается через и(у, t) с помощью соотношения \u( -,t) B[0 x x]x[0 t T], и[х, t) = мы придем к следующим представлениям для решения и(х, t) каждой из рассматриваемых трех смешанных задач. Обозначим через (t), u(t) функции, совпадающие с fi(t) и u(t) соответственно при t 0 и равные нулю при t 0.
Обобщенные решения смешанных задач для разрывного телеграфного уравнения при условии равенства импедансов
В этом разделе в терминах, обеспечивающих существование конечной энергии обобщенных решений, изучаются смешанные задачи для разрывного телеграфного уравнения, описывающего продольные колебания стержня, состоящего из двух участков, имеющих разные линейные плотности и разные упругости, но одинаковые импедансы.
Будут установлены выражения для обобщенных решений всех рассматриваемых четырех смешанных задач через установленные ранее во второй главе обобщенные решения соответствующих смешанных задач для простейшего телеграфного уравнения utt(x, t) — ихх{х, t) + с2и{х, і) = 0.
Для правильного определения обобщенных решений изучаемых смешанных задач для разрывного телеграфного уравнения будет использоваться впервые введенный в [20] и [25] на прямоугольнике Q = [х\ х жг] х [0 t Т] класс функций W iQ), который определяется как множество функций двух переменных и(х, t), непрерывных в замкнутом прямоугольнике и имеющих в нем обе обобщенные частные производные первого порядка ux{x,t) и щ(х, t), принадлежащие не только классу L,2(Q), но и классу L x\ х х\ при всех t Є [0,Т] и классу Ьг[0 t Т] при всех х Є [жі, хо]. Если расположенный вдоль отрезка [0 х I] стержень имеет на участке 0 х ж, где 0 х /, линейную плотность р\ = const и модуль Юнга к\ = const, а на участке х х I - линейную плотность рг = const и модуль Юнга /с2 = const, причем импедансы этих участков л/рі&ї и у/р Щ, равны друг другу, то математическая задача сводится к отысканию при а,\ — w-11 и а2 = л I -f обобщенного решения разрывного телеграфного уравнения a\uxx{x,t) + c2u(x,t), в прямоугольнике Q\ — [0 х х] х [0 t Т], (1) a,2Uxx(x,t) + c2u(x,t), в прямоугольнике Q2 = [х х I] х [0 t Т], с условиями сопряжения на прямойсс = X и(х —0, t) = и(х +0, t). aiux(x —0, t) = a,2Ux(x +0, t), ( ) с начальными условиями и(х,0) = /?(х), щ{х,0) = ф(х) (2) и с одной из следующих четырех пар граничных условий u(0,t)=fi(t), u{l,t) = v(t), (ЗО ux(0,t)=fii(t), ux{l,t) = vi{t), (32) ux{Q,t)=m{t), u{l,t) = v{t), (Зз) u(0,0=M ), wx(/,i) = i(t). (34) Отметим, что второе условие сопряжения ( ), являющееся равенством элементов г[0 і Т], из физических соображений определяется соотношением kiux(x—0,t) = k2Ux(x +0,t), но при равенстве импедансов это соотношение переходит В CLiUx(x — 0, t) = U2Ux(x +0, t). Определение 1. Обобщенным из класса W в каждом из прямоугольников Q\ = [0 х х] х [0 t Т] и Q2 = [х х 1} х [0 t Т] решением смешанной задачи для разрывного телеграфного уравнения (1) с условиями сопряжения ( ), с начальными условиями (2) и с одной из четырех пар граничных условий (Зі) - (3 ) называется функция и(а;,), принадлежащая классу W\ в каждом из прямоугольников Q\ и Qi и удовлетворяющая интегральному тождеству хТ и(х, /) [Фи(х, t) - а2хФхх(х, t) + с2Ф(х, t)] dxdt + и(х, t) [Фи{х, t) - а\фхх(х, t) + с2Ф(х, t)] dxdt и(х,0)Фь{х, 0)dx u{x,0 t{x,0)dx + щ(х, 0)Ф(гк, 0)dx + щ{х, 0)Ф(х\ Q)dx + ( т т а\ Iu(0,t x(0,t)dt - а\ J u(l,t x(l,t)dt для условия (Зі), о о т т -а\ J 1 (0, )Ф(0, t)dt + al$ux(l, t (l,t)dt для условия (32), т г —а\ ux(ti,t ( d,t)dt — а\ u{l,t x{l,t)dt для условия (Зз), о о т т а\Jгі(0,і)Фх(0,t)dt + aJux(l,)Ф(/,t)dt для условия (З4) о о для любой пробной функции Ф(х,); принадлежащей классу С в каоюдом из замкнутых прямоугольников Qi и Q2, удовлетворяющей условиям сопряжения а1Ф(х-0,і) = а2Ф(х+0,і), а\Фх(х-0,і) = a$px(x+0,i), ( ) нулевым финальным условиям Ф(х,Т) = 0, Ф (х-,Т) = 0 и однородным гра ничным условиям Ф(0, і) = О, Ф(/, t) = О для условий (Зі), Фх(0,г) = О, Фх(/,) = О для условий (32), Фх(0, ) = О, Ф(/, t) = О для условий (33), Ф(0, i) = О, Ф-ДМ) = О для условий (34). При этом принадлежность обобщенного решения u(rc, і) классу Wg1 в каждом из прямоугольников Qi и Q2 и удовлетворение условиям согласования ( ) с необходимостью устанавливают следующие требования гладкости и условия согласования на функции начальных и граничных условий:
О приведении из произвольно заданного состояния в состояние покоя системы, состоящей из двух разнородных участков, колебания которой описываются телеграфным уравнением
В этой главе для стержня, состоящего из двух разнородных участков, имеющих одинаковые импедансы, будет установлен явный аналитический вид граничного управления смещением на обоих концах этого стержня, которое за минимально возможный промежуток времени переводит процесс его колебаний из произвольно заданного начального состояния в финальное состояние покоя.
Для произвольных положительных чисел 1\ и І2 рассмотрим стержень, расположенный вдоль отрезка —l\ = х и состоящий из двух участков: участка —1\ х 0, имеющего линейную плотность р\ = const и коэффициент упругости к\ = const, и участка 0 х = I2, имеющего линейную плотность / = const и коэффициент упругости &2 = const.
Если обозначить через u(x,t) смещение точки стержня х в момент времени t, то процесс колебаний такого стержня, протекающий за промежуток времени 0 t : Т, описывается разрывным телеграфным уравнением а\ихх{х, t) — с2и{х, t) в прямоугольнике \—h а; 0]х[0 Т], а ет т, /.) — r2u(.T, А) в прямоугольнике [0 .Т I2] х [0 t Т], (1) в котором а\ = Л/ -, а2 = л/ 2- Пусть управление процессом колебаний ведется посредством смещения левого конца х — —її и правого конца х = /2 u(l2,t) = v{t), (2) «Hi,t) = M )- (з) При этом, поскольку в финальный момент t — Т стержень покоится, то заданы нулевые финальные условия и(х,Т)=0, щ(х,Т) = Ог (4) а в точке х = 0 стыка двух участков выполнены условия сопряжения u(0-0,t) = u(0 + 0,i), (51) klUx(Q - 0, t) = /сзи О + 0, і). (52) Поскольку импеданс левого участка стержня — її х 0 по определению равен р\а\ = Р\\ -г = л/рїкї, а импеданс правого участка стержня 0 х І2 равен р2а2 = Р2\/ %/Р2 2, и эти импедансы предполагаются равными, то pi&i = Р2&2- Это равенство позволяет нам переписать условие сопряжения (52) в виде № (0-0, ) = 2 (0 + 0,0- (53) Основная цель данной главы — при произвольных її, І2, pi, р2, fci, 2, за минимально возможный промежуток времени Т найти явный аналитический вид граничных управлений (2) (3), обеспечивающих перевод колеблющегося стержня из начального состояния в финальное состояние покоя Отправным пунктом является смешанная задача для разрывного телеграфного уравнения (1) с граничными условиями (2) и (3), с начальными условиями (6) и с условиями сопряжения (5). При классической постановке этой задачи естественно требовать, чтобы ее решение u(x,t) принадлежало введенному в [25] классу W$ в прямоугольнике Qi — [—її х 0] х [0 t Т] и почти всюду в Q\ удовлетворяло уравнению utt = aiuxx(x,t), принадлежало классу W в прямоугольнике Q2 — [0 х /2] х [0 t Т] и почти всюду в Q\ удовлетворяло уравнению utt = ci2Uxx(x,t), а также удовлетворяло в классическом смысле равенствам (2) — (5) и необходимому для отыскания граничного управления равенству (6). Принадлежность и(х, t) в прямоугольнике Q = [х\ х ГЕ2] х [0 t Т] классу W% означает, что u(x,i) непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого порядка в замкнутом прямоугольнике Q и имеет в нем обобщенные частные производные второго порядка, каждая из которых принадлежит классу L2[xi : х :с2] при всех t Є [0, Т] и классу L2[0 t Т] при всех х Є [жь г]. Классическая постановка задачи накладывает жесткие и не вызванные существом дела требования согласования на функции граничного управления ДІ(), v(t) и на функции начального состояния р(х) и ф(х): эти функции должны принадлежать классам fi(t) є И 22[0,Г],і/() Є ІУ[0,Т], ір{х) Є W%[—h,0], ір(х) Є И [0, 12], Ф(х) Є W2 [— і) 0],-0(ж) Є WjfO, /2] и удовлетворять следующим условиям согласования в точках х — —її, х = 12, и х = 0: м(т)=о, м СП = о, /1(0) = (- 1), //(0) = но, Ї/(Т) = 0, i/(T) = 0, 1/(0) = (). (0)= 2), р(12) = 0, ф(12)=0 р(0-0) = р(0 + 0), fci (0 - 0) = fc2y (0 + 0), v(o - 0) = v(o + 0). В данной главе будем отталкиваться от обобщенной трактовки решения смешанной задачи (1) — (6), что позволит нам снизить до минимума требования на функции финального состояния, граничную функцию и на их согласование. Для определения обобщенного решения задачи (1)-(6), будем использовать впервые введенный в работе В.А. Ильина [21] в прямоугольнике Q класс функций H/21(Q)-(CM. Определение 2.1)
Как и в главе 3 (см раздел 3.3) обобщенное решение смешанной задачи (1) — (6) определяется как функция u(x,t), принадлежащая классу W2l{Q) в прямоугольнике Q, являющемся объединением прямоугольников Qi = [—її . х 0] х [0 t Т] и Q2 = [0 х 12] х [0 t Г], и удовлетворяющая интегральному тождеству.
