Введение к работе
Актуальность темы. Задачи рассеяния акустических и электромагнитных волн играют важную роль во многих областях прикладных наук. Акустические и электромагнитные волны используются и исследуются в таких разных областях, как медицина, ультразвуковая томография, оптика, материаловедение, неразрушающее тестирование, удаленное обследование, радиолокация, аэронавтика, сейсмические исследования.
К 50-м годам XX века основные вопросы, касающиеся линейных эллиптических уравнений второго порядка в ограниченной области с гладкими коэффициентами и границами области были изучены практически полностью. Далее вопросы решения таких задач стали рассматриваться с позиции функционального анализа в работах Г. Вейля, К.О. Фридрихса, С.Г. Михлина, М.И. Вишика, О.А. Ладыженской, Д. Гилбарга, Н. Тру-дингера.
Дальнейшие исследования были направлены в сторону изучения нелинейных задач, обратных задач и позднее задач оптимального управления для эллиптических уравнений. Одной из первых монографий по математической тореии оптимального управления уравнениями и системами уравнений в частных производных была монография Ж.-Л. Лионса. Среди других авторов по этой тематике следует отметить V. Barbu, А.Г. Бут-ковского, А.И. Егорова, J. Zabczyk, В.Г. Литвинова, А.В. Фурсикова.
Краевые задачи для уравнения Гельмгольца и Максвелла наиболее полно исследовались начиная с 60-ых годов XX века. Наиболее полная теория классических краевых задач, а затем обратных задач и задач управления для уравнения Гельмгольца и уравнений Максвелла изложена в монографиях Д. Колтона, Р. Кресса, а также Angell T.S., Kirsch А. В дальнейшем это направление развивали многие авторы: Г.В. Алексеев, Ж.-Л. Лионе, О.И. Панич, СИ. Смагин, Н. Ammari, A. Buffa, F. Cakoni, S.N. Chandler-Wilde, D. Colton, M. Costabel,F. Hettlich, A. Kirsch, R. Kress, Kriegsman, C. Latiri-grouz, P. Monk, J.-C. Nedelec, T. Senior, D. Sheen, Bo Zhang.
Наряду с прямыми краевыми задачами важную роль в ряде прикладных наук играют задачи управления волновыми полями. Разработке методов и численных алгоритмов решения указанных задач посвящено большое количество работ (см. выше). В гораздо меньшей степени изучены теоретические вопросы, связанные с анализом разрешимости и других качественных свойств решений задач управления.
Задачи управления для уравнения Гельмгольца в случае гладких областей и постоянного волнового числа изучались, с использованием теории потенциалов, начиная с 80-ых годов прошлого столетия. Отметим основных авторов, работающих в этом направлении: Т. Angell, R. Kleinman, A. Kirsch, F. Criado, G. Meladze, N. Odisehlidze, A. Habbal, Cao Yanzhao, D. Stanescu, G. Feijoo, A. Oberai, P. Pinsky, E. Divo, A. Kassab, M. Ingber. Большинство работ посвящено изучению задач управления источниками излучения или оптимизации формы и свойств материала рассеивающего объекта.
Говоря о задачах оптимизации и управления для уравнений Маквел-ла, можно отметить работы J. Е. Lagnese, К. A. Kime, V. Komornik , S.S. Krigman, C.E. Wayne по граничной управляемости для нестационарных уравнений Максвелла, работы A. Jiischke, J. Jahn, A. Kirsch, С. Wagner о многоцелевой оптимизации для уравнений Максвелла с постоянными коэффициентами.
Задачи оптимального управления для уравнений в частных производных, в случае когда отображение управление^состояние является линейным или афинным, изучены достаточно полно и являются классическими задачами в этой области, тогда как нелинейность отображения приводит к возникновению трудностей, не решаемых стандартными методами. В данной работе изучается задача граничного мультипликативного управления для двух математических моделей — уравнения Гельмгольца и уравнений Максвелла (соответственно, распространение акустических и электромагнитных волн в гармоническом режиме), то есть функции состояния и управления входят в основную постановку задачи как множители, что и приводит к возникновению нелинейных эффектов в зада-
че, другими словами, отображение отображение управление^состояние не является линейным.
Цель работы. Целью диссертационной работы является постановка задач управления для скалярного и векторного уравнения Гельмгольца, анализ разрешимости задач мультипликативного граничного управления для уравнений Гельмгольца и Максвелла в гармоническом режиме, изучение свойств решений этих задач, разработка асимптотических алгоритмов для решения задач мультипликативного управления.
Методы исследования. Результаты диссертации получены с использованием следующих основных методов: теория функциональных пространств Соболева и теоремы вложения, методы исследования разрешимости краевых задач в пространствах Соболева, методы регуляризации, метод априорных оценок и метод компактности, методы теории оптимального управления уравнениями в частных производных (теория разрешимости экстремальных задач, принцип множителей Лагранжа).
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты.
Исследована задача оптимального мультипликативного управления для уравнения Гельмгольца в ограниченной области. Доказаны теоремы о разрешимости, на основании принципа множителей Лагранжа выведена система оптимальности (необходимые условия экстремума) , получены достаточные условия единственности решения системы оптимальности.
Исследована задача оптимального мультипликативного управления для уравнения Гельмгольца в неограниченной области. Доказана разрешимость, выведена система оптимальности и достаточные условия единственности ее решения. Изучены свойства множества решений, получен результат типа принципа bang-bang для оптимального
управления, построена асимптотика решения по параметру регуляризации.
3. Исследована задача оптимального мультипликативного управления для уравнений Максвелла в гармоническом режиме в ограниченной области. Доказаны существование и единственность слабого решения краевой задачи, выведены условия, обеспечивающие регулярность решения. На основании принципа неопределенных множителей Лагранжа построена и исследована система оптимальности для задачи управления, установлены достаточные условия локальной единственности и устойчивости ее решения.
Теоретическая и практическая ценность работы. Все результаты работы носят теоретический характер. Использованные в диссертации подходы к доказательству разрешимости и выводу свойств задач оптимального управления могут быть успешно распространены на другие задачи оптимального (мультипликативного) управления эллиптическими уравнениями и системами. Практическая ценность работы следует из возможных приложений результатов диссертации для построения и теоретического обоснования численных алгоритмов решения задач оптимизации гармонических волновых полей (акустических, электромагнитных). Работа была поддержана следующими грантами: проект РФФИ-«Дальний Восток» №06-01-96003 р_восток_а; грант Президента РФ по государственной поддержке ведущих научных школ, проекты НШ-9004.2006.1 и НШ-2810.2008.1; гранты ДВО РАН 09-Ш-В-01-018, 09-I-OMH-08, 09-П-СО-01-002; грант ректора ДВГУ, 2008; интеграционный грант СО РАН+ДВО РАН+УрО РАН (проект N116); грант АВЦП «Развитие научного потенциала высшей школы» №2.1.1/1502/.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Открытой молодежной конференции ДВГУ (Владивосток, 2004), на Дальневосточной конференция студентов, аспирантов и молодых ученых по математическому моделированию (Владивосток, 2004), на Дальневосточ-
ных математических школах-семинарах им. академика Е.В. Золотова (Владивосток/Хабаровск, 2004, 2005, 2006, 2007, 2008, 2009), на международной конференции «Тихонов и современная математика» (Москва, 2006), на семинарах в Институте прикладной математики ДВО РАН.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ, основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-7]. Статьи [1], [2], [3], [5] опубликованы в журналах, входящих в список ВАК. Из результатов статей, опубликованных в соавторстве, в диссертацию включены результаты, полученные лично автором.
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 97 страницах машинописного текста, состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 94 наименования работ отечественных и зарубежных авторов.
