Введение к работе
Актуальность темы. Одномерное волновое уравнение является математической моделью большого числа физических процессов, имеющих первостепенное значение. Оно описывает колебания струны, крыла самолета, стрелы подъемного крана и многие другие процессы интересные не только с теоретической, но и с практической точки зрения. В связи с этим, большую актуальность приобретают задачи о граничном управлении процессом колебаний, который описывается волновым уравнением. Особенно важную роль в практических приложениях играет задача об успокоении процесса колебаний, т.е. задача о переводе колебательной системы из некоторого начального состояния в состояние полного покоя с помощью граничного управления.
Исследованию задач граничного управления для волнового уравнения посвящены работы многих математиков. Особенно хорошо были изучены условия, при которых процесс колебаний струны может быть переведен из одного состояния, характеризуемого начальным смещением и начальной скоростью точек струны, в некоторое наперед заданное состояние. Разработанный Ж.-Л. Лионсом в работе [1] гильбертов метод единственности (Hilbert uniqueness method) позволил исследовать не только одномерное, но и многомерное волновое уравнение.
Предметом исследований Лионса является задача граничного управления для волнового уравнения, описывающего колебания струны с закрепленным правым концом и граничным управлением на левом конце.
Vtt(x, () - ин(г, t) = 0 bQt, (і)
и(,х,0) = ір{х),щ(х>О)=і>(іх)пря0<х<1, {2)
u(f},t) = (i(i),u(l,t) = 0 приО<*<Т, (3)
где Qr = [4,1] х [0,Т],ф) Є Li[0J), 1>&) H-l[Q,l], ft{t) Є Lj{0,T), а u{x,t) является
обобщенным решением.
Задача заключается в нахождении такого (t(t) Є j[0,T], которое переводит процесс колебаний из начального состояния {<р(х),І>(х)} в наперед заданное конечное состояние {фі{х),фі{х)} за время Т. Таким образом, необходимо найти /i(t) Є з[0,Т], для которого выполнялись бы равенства:
и (х, Т\ ц) - ірі(х), «[{т, Т; р) = jj/i (х), (4)
где Vl(s) q і2[0Д <0і(») Є Я-%1].
В работе [1] было показано, что при Т > 21 задача (4) разрешима для любого конечного состояния {v?i(x),^i(x)}.
В работе [2] гильбертов метод единственности был распространен на случай квазилинейного волнового уравнения с асимтотически линейной нелинейностью. Частным случа-
ем этой задачи является задача граничного управление МЬ^ЧЙЧЙИ^Щ^^ИУ'
з | БИБЛИОТЕКА
СП«« О» «О
Таким образом, метод Лионса оказался достаточно удобным инструментом для доказательства существования решения задачи о граничном управлении процессом колебаний.
В работе [3] задача граничного управления исследуется с помощью метода Фурье и метода моментов, который применен для построения искомого граничного управления в виде ряда Фурье, а в работе [4] для конструктивного решения задачи используется метод падающих и отраженных волн.
Конструктивному решению задачи о граничном управлении процессом колебаний посвящены также работы [5] и [6], в которых построены эффективные численные алгоритмы построения искомого граничного управления. Работа [5] основана на использовании конечномерной аппроксимации задачи граничного управления, а работа [6] использует метод Фурье. Отметим однако, что обе эти работы существенно опираются на развитый Лионсом гильбертов метод единственности.
Исчерпывающее решение задачи о граничном управлении процессом колебаний струны с закрепленным правым концом было получено В.А. Ильиным в работе [7]. В более ранней работе [8] ВА. Ильиным и была также рассмотрена задача об управлении процессом колебаний струны на двух концах. Отметим, что в работе [7] показано, что задача (4) разрешима для любого конечного состояния {рі(я) Є 1 [0,^,^(1) Є ^2[0>Ч} не только при Т > 21, но и при Т = 21. Кроме того, впервые был изучен случай, к о Т & 21 и получены конструктивно проверяемые необходимые и достаточные условия возможности перевода колебательного процесса из одного состояния в другое с помощью граничного управления /i(t) Є H^IOjT]. В работе [7] В.А. Ильиным получены также явные аналитические формулы для искомого граничного управления ц((). Более того, в случае, когда Т> 21 установлено существование континуума граничных управлений, решающих задачу (4) и получено исчерпывающее их описание.
В свете работы [7] особую актуальность приобретают следующие задачи. Во-первых, важным представляется рассмотрение случая, когда невозможен переход из начального состояния системы в конечное состояние в силу нарушения необходимых и достаточных условий управляемости. В этом случае, необходимо найти оптимальное управление, переводящее процесс колебаний в некоторое состояние системы, которое наиболее близко (по норме некоторого гильбертова пространства) к потенциально недостижимому желаемому состоянию системы. Во-вторых, важной с практической точки зрения может оказаться проблема об управлении процессом колебаний с помощью малых по модулю управлений.
Эти и другие задачи рассматриваются в настоящей диссертационной работе на примере задачи о граничном управлении процессом колебаний струны на одном конце при свободном втором конце.
Цель работы.
(1) Доказательство теорем существования и единственности для начально-краевых и нелокальных задач для волнового уравнения.
Выяснение необходимых и достаточных условий, при выполнении которых существует граничное управление на левом конце, переводящее процесс колебаний струны со свободным правым концом из заданного начального состояния {
Вывод явных аналитических формул для граничного управления процессом колебаний при выполнении необходимых и достаточных условий управляемости.
В случае нарушения необходимых и достаточных условий управляемости вывод явной аналитической формулы для оптимального граничного управления, переводящего процесс колебаний из заданного начального состояния {<р(х) Є W^O,!], ^(х) Є г[0,/]} в такое состояние {ф.[х) Є Wj-jO,!], Фі(х) Є І?[0,Щ, которое наименее уклоняется от потенциально недостижимого состояния {ifii(x) Є VKaJO,!],
-фі(х) Є Li[d,l]} в норме гильбертова пространства ^[0,(] х ^ї[М]-
(5) Явное аналитическое представление малых по модулю граничньж управлений
/j(t), которые переводят процесс колебаний из одного заданного состояния в другое.
Методика исследований. Используются методы функционального анализа, дифференциальных уравнений и теории оптимизации.
Научная новизна. В диссертационной работе получены следующие результаты:
Доказаны теоремы существования и единственности обобщенного решения из класса ВА. Ильина W^iQr) решения начально-краевых и нелокальных задач для волнового уравнения.
Установлены необходимые и достаточные условия управляемости процесса колебаний и получены явные аналитические формулы для искомых граничньж управлений
В явном аналитическом виде построено оптимальное управление, переводящее процесс колебаний из начального состояния в состояние, наименее отклоняющееся от желаемого, но недостижимого состояния по норме пространства ^[0, Z] х
Изучена задача об е- управляемости процесса колебаний.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты могут найти приложение в математической физике и теории оптимизации. Разработанные методы могут быть использованы для решения аналогичных задач для более общих уравнений гиперболического типа. Например, изложенные в работе идеи могут оказаться полезными для решения задачи об оптимальном управлении процессом, описываемом телеграфным уравнением, которое описывает многие важные с практической точки зрения процессы.
Апробация работы. Основные результаты, полученные в данной диссертационной работе, докладывались на семинаре "Актуальные проблемы математической физики и
спектральной теории дифференциальных операторов"кафедры общей математики МГУ под руководством проф. В.А. Ильина, проф. Б.И. Моисеева и проф. А.А. Дезина, на международных конференциях студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов 200 Г'и "Ломоносов 2002", а также на ежегодной научной конференции "Тихоновские чтения"в 2002 и 2003 гг.
Публикации. Основные результаты, представленные в настоящей диссертации, опубликованы в работах, список которых представлен в конце автореферата.
Структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на 12 параграфов и списка литературы (21 наименование). Общий объем диссертации 72 страницы машинописного текста.
