Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ состояния и история проблемы иследования 13
1.1. Моделирование колебательных процессов в сложных упруго деформируемых механических системах 13
1.1.1. Схематизация различных упруго-деформируемых механических систем при изучении колебательных процессов 13
1.1.2. Способы моделирования процессов собственных колебаний в упруго-деформируемых системах 15
1.2. Теоретические основы изучения свойств колебательных процессов в многосвязных динамических системах 19
1.2.1. Экспериментальные методы изучения колебательных процессов 20
1.2.2. Аналитические методы изучения колебательных свойств динамических систем 23
1.2.3. Метод разложения по нормальным формам собственных колебаний многомерных динамических систем 24
1.2.4. Дискретные методы моделирования динамических систем 25
1.2.5. Методы численного интегрирования в моделировании колебательных процессов 27
1.2.6. Метод динамических податливостей в изучении колебаний систем с распределенными и дискретными параметрами 30
1.3. Виды импульсных воздействий и их формализация 31
1.4. Аналитический обзор научных работ в области изучения колебательных процессов при импульсных воздействиях 35
1.4.1. Обзор работ по изучению реакций динамических систем на импульсные воздействия 35 1.4.2. Особенности колебательных процессов их трансформирование колебательных процессов при различных воздействиях 37
1.5. Выводы по первой главе 40
Глава 2. Особенности колебательных процессов динамических систем при однокатных и многократных импульсных воздействиях 43
2.1. Воздействия мгновенных импульсов на упругие динамические системы 44
2.1.1. Собственные колебания одномерных динамических систем при воздействии мгновенного импульса 44
2.1.2. Проявления мгновенных импульсов в собственных колебаниях многомерных динамических систем 46
2.2. Воздействия импульса в виде кинематического скачка на упругие динамические системы 50
2.2.1. Реакция одномерной динамической системы на воздействие импульса скачка 50
2.2.2. Собственные колебания многомерных динамических систем при воздействии импульса скачка 51
2.3. Динамические процессы в упругих системах при воздействии прямоугольного импульса 53
2.3.1. Собственные колебания одномерных систем при воздействии прямоугольного импульса 53
2.3.2. Колебания многомерных динамических систем при воздействии прямоугольного импульса 57
2.4. Проявление кратности частот собственных колебаний в свойствах многомерных динамических систем 60
2.5. Влияние неоднократных воздействий импульсов на колебательные многомерные динамические системы 65
2.5.1. Импульсное воздействие в регулировании собственных колебаний одномерной динамической системы 65
2.5.2. Влияние воздействий нескольких импульсов на колебания многомерных динамических систем 69
2.6. Выводы по главе 2 73
Глава 3. Методы математического моделирования в формировании многомерных динамических систем с заданными параметрами колебаний при импульсных воздействиях 75
3.1. Формирование многомерных систем с заданными низшими частотами собственных колебаний при импульсных воздействиях 76
3.2. Возможность аналитических способов определения форм собственных колебаний многомерных систем 80
3.3. Экстремальные амплитуды колебаний двухмерных динамических систем при импульсных воздействиях 81
3.3.1. Определение экстремальных амплитуд колебаний при воздействии мгновенного импульса 81
3.3.2. Определение экстремальных амплитуд колебаний при воздействии импульса – кинематического скачка 86
3.3.3. Определение экстремальных амплитуд колебаний при воздействии прямоугольного импульса 90
3.4. Компьютерные ориентированные методы формирования динамических систем с заданными свойствами собственных колебаний при импульсных воздействиях 96
3.4.1. Теоретические основы и алгоритмы определения параметров систем с необходимыми свойствами собственных колебаний при импульсных воздействиях 96
3.4.2. Описание программы определения параметров динамических систем с необходимыми свойствами собственных колебаний в условиях заданных ограничений 99
3.5. Выводы по главе 3 104
Глава 4. Экспериментальные и численные методы изучения трансформации колебаний при импульсных воздейсвиях 105
4.1. Описание экспериментального прибора - дальномерного виброметра RSV – 150 105
4.2. Описание экспериментальной колебательной стержневой системы с двумя степенями свободы 108
4.3. Результаты экспериментальных исследований влияния импульсных воздействий на колебания упругих систем 110
4.4. Численные исследования влияния импульсных воздействий на колебательный процесс стержневых систем 117
4.5. Выводы по главе 4 128
Заключение 129
Список литературы
- Способы моделирования процессов собственных колебаний в упруго-деформируемых системах
- Собственные колебания одномерных динамических систем при воздействии мгновенного импульса
- Влияние неоднократных воздействий импульсов на колебательные многомерные динамические системы
- Определение экстремальных амплитуд колебаний при воздействии прямоугольного импульса
Способы моделирования процессов собственных колебаний в упруго-деформируемых системах
При изучении колебательных процессах в сложных системах неизбежно приходится делать определенные обобщения. Для этого так или иначе приходится пользоваться некоторыми моделями, составленными на основе существующих теоретических знаний и математических методов. В основе математических моделей используемых при описании динамических систем и колебательных процессов, происходящих в них лежит понятие расчетной схемы. Расчтная схема динамических систем – упрощнное изображение динамических систем, принимаемых для расчта. При выборе этой схемы необходимо стремиться, чтобы она максимально отражала работу системы под воздействием нагрузок. Вместе с тем, расчетная схема должна быть по возможности упрощенной и четкой, чтобы не усложнять изучения процесса избегать возможных ошибок. Чем точнее модель и расчтная схема соответствуют действительным рассмотренным системам, тем более трудомок процесс моделирования.
Существует несколько видов расчтных схем, отличающихся основными гипотезами, положенными в их основу, а также используемым при этом математическим аппаратом. В зависимости от способа соединения элементов динамической системы различают следующие расчетные схемы положенные в основу математических моделей [54, 58, 85, 92]:
В зависимости от типа элементов и способа распределения инерционных параметров модели можно разделить на три группы: дискретные, дискретно-континуальные, континуальные. Связи соединяют между собой отдельные элементы, а также конструкцию с основанием. Они могут быть дискретные и распределнные (континуальные). Стержни и пластины, соединнные связями, называются составными стержнями и пластинами [15, 54].
В дискретных моделях неизвестные усилия или перемещения конечного количества узлов системы определяют путм решения систем алгебраических уравнений. Дискретные - конечномерные модели наиболее универсальны и позволяют гибко описывать разнородные граничные условия. Такие модели широко используют для моделирования не только стержневых систем, но и для пластин и оболочек.
В дискретно-континуальных моделях неизвестные силовые факторы или перемещения задают в виде непрерывных функций вдоль одной из координатных осей. Неизвестные функции определяются решением краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Широкое применение дискретно-континуальные модели получили в 60-80 годах прошлого века. Эти модели основаны на теории составных стержней, которую разработали известные ученые А.Р. Ржаницын, A.A. Dezin [84, 114]. Использование этой теории составных стержней достаточно распространено.
В континуальных моделях неизвестные силовые факторы или перемещения задают в виде непрерывных функций вдоль двух или трх координатных осей. Неизвестные функции определяются решением краевой задачи для системы уравнений в частных производных. В отдельных случаях применение континуальной расчтной схемы позволяет получить решение в виде конечных формул. Однако эти случаи весьма редки, поэтому континуальные модели применяются достаточно редко [58].
Проведенный анализ показал, что наиболее универсальными моделями пригодными для решения, подавляющего большинства задач являются дискретные конечномерные модели, позволяющие гибко аппроксимировать сложные границы расчетных областей и разнородные граничные условия, свойственные различным техническим объектам.
Способы моделирования процессов собственных колебаний в упруго-деформируемых системах
Конечномерные динамические модели, построенные на различных принципах дискретных аппроксимаций, являются в настоящее время наиболее популярными в исследовании и конструировании систем различного назначения. Решение задач, связанных с определением и формированием параметров собственных колебаний таких динамических систем, связано с решением проблемы собственных значений, позволяющей в ряде случаев осуществить разделение дифференциальных уравнений динамики исходной многосвязной модели. Представление исходной динамической системы в пространстве собственных векторов, определенных решением проблемы собственных значений, позволяет использовать результаты, полученные при воздействии импульса на одномерную колебательную систему. Преобразование аналитических выражений, описывающих колебания одномерной системы при импульсных воздействиях (обратные преобразования из пространства собственных векторов в исходное пространство), позволяет определить условия формирования систем с заданными свойствами [36, 40, 44, 47, 52, 55, 110].
Одномерная динамическая система характеризуется тем, что инерционные свойства описываются одним параметром. Аналитические решения, описывающие колебания одномерной системы при импульсных воздействиях, сводятся к анализу временных или фазовых функций изменения выбранных компонентов перемещений. Математические выражения (математические модели), определяющие динамические перемещения, называются уравнениями движения механических систем. В результате решения этих уравнений движения можно определить искомые функции изменения перемещений во времени [37, 105, 112].
Вывод уравнений движения динамической системы иногда является самым важным трудным этапом динамического анализа. Известны три метода составления уравнений динамики, каждый из которых имеет свои преимущества при решении задач определенного класса.
Принцип Даламбера. Уравнения движения любой динамической системы представляют собой выражения второго закона Ньютона, который устанавливает, что скорость изменения импульса любой массы равна действующей на нее силе. В математической форме это положение записывается в виде следующего дифференциального уравнения
Собственные колебания одномерных динамических систем при воздействии мгновенного импульса
Для сложных динамических систем, содержащих ряд взаимосвязанных точек сосредоточения масс или тел конечных размеров, непосредственный вывод условий равновесия всех действующих на систему сил затрудняется. Переменные силы зачастую можно выразить через перемещения по степеням свободы, но записать условия их равновесия очень сложно. В этих случаях для вывода уравнений движения вместо условий равновесия можно использовать принцип возможных (виртуальных) перемещений.
Принцип возможных перемещений формулируется следующим образом. Если система, находящаяся в состоянии равновесия под действием нескольких сил, получает возможное перемещение, т.е. любое перемещение, удовлетворяющее граничным условиям, то полная работа всех сил на этом перемещении равна нулю. Очевидно, что, согласно данному принципу, равенство нулю работы сил на возможном перемещении системы эквивалентно условию равновесия. Поэтому уравнения реакции динамической системы могут быть получены: 1) определением всех сил, приложенных к массам системы, включая силы инерции, которые определяются в соответствии с принципом Даламбера; 2) введением возможных (виртуальных) перемещений, соответствующих каждой степени свободы, и приравниванием нулю работы всех сил [21, 113].
Существенное преимущество этого подхода состоит в том, что слагаемые работ сил на возможных перемещениях есть скалярные величины и могут складываться алгебраически, между тем как силы, действующие на кон 18 струкцию, есть векторы и могут складываться только по правилам векторного анализа.
Принцип Гамильтона. Существует еще один метод, который не требует вывода векторных уравнений равновесия. Он заключается в использовании скалярных величин энергии в вариационной постановке. Наиболее распространенный вариационный метод - принцип Гамильтона, который можно выразить следующим образом: системы, включающая как энергию деформации, так и потенциал любых консервативных внешних сил; Wnc - работа, произведенная неконсервативными силами, действующими на систему, включая затухание и другие произвольные внешние нагрузки; д - вариация для определенного временного интервала.
Вариация кинетической и потенциальной энергии плюс вариация работы неконсервативных сил в течение любого интервала времени от ґ7 до t2 должны равняться нулю. Применение этого принципа позволяет непосредственно получить уравнения движения для любой заданной системы. Этот метод отличается от принципа возможных перемещений тем, что в его формулировку не включаются инерционные и упругие силы. Вместо них учитываются значения соответственно кинетической и потенциальной энергии. Таким образом, этот метод обладает тем преимуществом, что рассматривает только чисто скалярные величины энергий, в то время как в методе возможных перемещений все силы и перемещения являются по своему характеру векторами даже в том случае, когда работа характеризуется скалярными величинами.
Таким образом, аналитические решения одномерной динамической системы могут быть сформированы с помощью любого из трех методов. Самым простым является метод динамического равновесия всех сил в системе, включая инерционные силы, определяющие по принципу Даламбера. Однако для более сложных систем, особенно с распределенными массами и упругими силами, непосредственная запись условий равновесия векторных величин может оказаться затруднительной и более удобно определять скалярные величины работы или энергии. Более рациональный метод основан на принципе возможных (виртуальных) перемещений, согласно которому силы, действующие на систему, вычисляются непосредственно, а уравнения движения выводятся из выражений работы этих сил на возможных перемещениях. С другой стороны, в выражениях для энергии по принципу Гамильтона непосредственно не используются инерционные и консервативные силы в системе, вместо них учитываются вариации кинетической и потенциальной энергии системы. Все три метода абсолютно равноценны и сводятся к одним и тем же уравнениям движения. Обычно выбор метода для любого конкретного случая зависит от типа рассматриваемой динамической системы и определяется самим исследователем.
В большинстве случаев с достаточной степенью точности динамические системы можно рассматривать как конечномерные системы. Для изучения колебательных процессов анализа в таких системах используют математические модели в виде дифференциальных уравнений, передаточных функций, структурных схем, частотных и временных характеристик [18, 19, 51, 53,108].
Необходимой предпосылкой для изучения колебаний упругих механических систем и конструкций является понимание процесса динамического поведения систем при действии возбуждающих сил, приложенных в различных точках. Для решения этой задачи используются различные подходы, включая получение необходимой информации путем замеров, математическое моделирование, точное решение дифференциальных уравнений движения в частных производных, дискретное моделирование, энергетические методы. Все эти подходы имеют свои достоинства и недостатки, и ни один из них сам по себе не может считаться наилучшим. Поэтому возникает необходимость кратко пояснить суть представлений о динамическом поведении конструкций и охарактеризовать особенности некоторых используемых методов и приемов.
Выбор подхода определяется наличием средств и времени, опытом исследователя. Для определения динамических свойств подобных систем используют различные методы исследования и моделирования. Рассмотрим более подробно существующие варианты.
Экспериментальные методы изучения колебательных процессов Экспериментальные исследования являются основой для установления основных закономерностей физических явлений и процессов. Такие методы изучения физических явлений основаны на методы измерения. Изменяя одну из переменных (независимую), исследователь, проводящий эксперимент, наблюдает за изменением другой переменной (зависимой), с которой не производится никаких манипуляций. Полученные в результате эксперимента данные показывают, что является ли независимая переменная причиной изменений зависимой переменной.
Одним из эффективных экспериментальных методов определения динамических характеристик упруго-деформируемых систем на основе результатов измерений и анализа вынужденных механических колебаний является модальный анализ. Соединенные с анализатором датчик силы и акселерометр позволяют проводить одновременные измерения вынуждающей динамической силы и результирующих механических колебаний исследуемой конструкции. В результате обработки данных, осуществляемой анализатором, получается информация, необходимая для определения динамических характеристик исследуемой конструкции. Этот метод эффективен в широкой облас 21 ти и используется при исследовании разного рода конструкций от лопаток турбин до железнодорожных вагонов.
Существует два метода модального анализа - традиционный и операционный. В традиционном модальном анализе создается контролируемое входное возбуждение и проводится анализ между выходным откликом и входным возбуждением. Источником входного возбуждения является ударный молоток со встроенным датчиком силы или электродинамический возбудитель со встроенным датчиком силы. Такой метод эффективен на этапе проектирования и изготовления какого-либо изделия, когда каждый элемент конструкции, может подвергнуть контролируемому воздействию. В реальных условиях эксплуатации для сложных многомерных систем ( с многомодальными колебаниями), как правило невозможность провести традиционный модальный анализ. Операционный модальный анализ позволяет провести модальный анализ, используя только выходной отклик конструкции. Он сильно отличается от традиционного экспериментального модального анализа, который основывается на частотной характеристике между входным возбуждением и выходным откликом. Это означает, что испытательная установка для операционного модального анализа относительно проста. Достаточно измерить по времени отклик при нормальных эксплуатационных режимах. В результате усовершенствований алгоритма вычисления и огромного увеличения производительности рабочей станции, операционный модальный анализ превратился в высоко эффективный инструмент для авиационных приложений, при возбуждении конструкций внутренними и окружающими силами. Определение модальных параметров в рабочем режиме обладает огромной пользой, поскольку полученная модальная модель показывает фактические силы и уровни вибрации при истинных граничных условиях. Это также позволяет проводить испытание механической системы, когда ее трудно возбудить искусственно и когда невозможно непосредственно измерить входные силы.
При изучении колебательных процессов используются методы, обеспечивающие прямое измерение амплитуды колебаний. Наиболее простыми в реализации являются контактные методы. Для проведения измерений широко применяются разнообразные виды акселерометров, называемых иначе датчиками вибрации или вибродатчиками. Среди разнообразных моделей можно выделить основные датчики вибрации, различающиеся конструкцией, параметрами и характеристиками, а также областью применения. Миниатюрные модели вибродатчиков измеряют ударное и вибрационное ускорение в диагностических системах и при лабораторных исследованиях.
Бесконтактные методы измерения колебаний обладают большей точностью и не оказывают влияния на объект измерения. Бесконтактное измерение широко применяется при исследованиях и разработке ленточных приводов, ультразвуковых ножей и скальпелей, фотокопировальных устройств, ременных передач и других подвижных элементов, в которых могут быть проблемы со скольжением, вибрацией и нагрузкой. Поскольку прибор не контакти-руется с объектом, то нет необходимости учитывать влияние эффекта присоединенной массы, как для контактных датчиков. В то же время количество точек измерения не ограничено числом доступных датчиков и измерительных каналов, что позволяет иметь высокую плотность точек измерения.
Влияние неоднократных воздействий импульсов на колебательные многомерные динамические системы
Поведение наиболее простой динамической системы, подверженной воздействиям с достаточно низкой частотой, можно моделировать в виде упруго опертого твердого тела, или системы, состоящей из набора сосредоточенных масс и упругих элементов и имеющей количество степеней свободы. В большинстве случаев такие модели описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений с последующим решением их в аналитическом виде. Это применимо также и в том случае, если модель предполагается для дальнейшего использования: скажем, в качестве подконструкции или для определения качественных эффектов, обусловленных изменением некоторых представляющих интерес параметров. Однако приемлемость модели зависит от соотношений параметров внешнего воздействия и некоторых собственных параметров, получаемых, например, из точных решений, конечно - элементных подходов или экспериментальных исследований. Проблемность выбора заключается в том, что с одной стороны необходимо обеспечить точность решения, а с другой – не завышать неоправданно размерность задачи, тем более что в действительности достаточное количество необходимых колебательных форм (и частот) редко превышает десяток [2, 89, 93].
Очевидно, что методы, основанные на дискретизации деформируемой части системы с последующим решением дискретной модели, являются наиболее универсальными способами расчта в динамике деформируемых систем. К таким методам относятся методы конечного элемента (МКЭ) и метод перемещений в задачах динамики стержневых систем.
В задачах динамики эти методы используется для определения жестко-стных параметров упругой системы, разрешенных относительно некоторой дискретной системы точек - узлов элементной сетки. Использование такого приема позволяет производить сшивку решений для модели в виде ансамбля конечных элементов с априорно сформированными жесткостными и дискре-тизированными инерционными параметрами. Дискретизация инерционных параметров деформируемой системы в этих узлах позволяет исходные уравнения в частных производных, описывающие бесконечномерные модели, заменить некоторым приближением в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнении, составленных, как правило, на основе принципа Да-ламбера относительно конечного числа узлов сетки. В ряде случаев требования точности, размеры и нерегулярность задачи приводят к решению систем уравнений очень высокого порядка, а искомые решения представляются в виде числовых массивов большой размерности. Очевидно, что численные решения затрудняют анализ результатов исследованных систем, подверженных импульсным и нестационарным динамическим воздействиям и успешных традициях, которых преимущественно расчетные схемы малой размерности.
Разработке и развитию методов основанных на дискретизации расчетных областей в изучении колебаний динамических систем посвящены работы многих ученых. К ним относятся: А.С. Сахаров, Н.С. Бахвалов, К. Бате, Е. Вильсон, Дж. Фикс, Н.С. Бахвалов, И. Сегерлинд, Р. Галлагер, О. Зенкевич и другие [12, 25, 42, 44, 75, 89]. Можно назвать известные пакеты отечественных программ: Лира, SCAD, ProFe-Star и зарубежных: PATRANS, NASTRAN, ANSУS,... использующие дискретные расчетные схемы в решении различных задач динамики деформируемых систем. Очевидно, что анализ численных результатов решения задач анализа динамики многомерных систем, подверженных импульсным воздействиям, может быть осуществлен при помощи процедур аппроксимации. Однако большие размерности решаемой задачи при использовании дискретных моделей и затраты времени в ряде случаев заставляют отдавать предпочтение аналитическим или числено-аналитическим методам их решения. 1.2.5. Методы численного интегрирования в моделировании колебательных процессов
Численными методами решения дифференциальных уравнений принято называть методы, основанные на конечно-разностной аппроксимации производных, позволяющей заменять некотором интервале времени исходные уравнения алгебраическими. В настоящее время под таким общим названием объединено большое количество различных вариантов, подробное описание которых приведено в работах [11, 39, 45, 87]. Численное моделирование колебательного процесса часто является единственно возможным методом решения поставленной задачи. Такой способ часто применим при расчете систем на динамические воздействия нестационарного характера, а также при расчете быстро протекающих процессов в нелинейных системах. Кроме того, численные методы позволяют решить задачу с какой угодно высокой степенью точности, с учетом реальных условий эксплуатации и уточненных характеристик исследуемых объектов. Последнее обстоятельство делает возможным использование численных методов для оценки точности других способов, требующих приближенной интерпретации динамического процесса. Решения дифференциальных уравнений их представляют в форме Коши, т.е. в виде системы п дифференциальных уравнений первого порядка с заданными начальными условиями [108].
Определение экстремальных амплитуд колебаний при воздействии прямоугольного импульса
Таким образом, выражение (2.66) может быть использовано в случае комбинированных воздействий импульсов. Если известен момент времени, при котором воздействуют импульсы, то можно регулировать интенсивность колебаний за счет изменения величин импульсов. С другой стороны, можно подобрать момент времени, при котором действуют импульсы по заданным направлениям.
По результатам исследования этого раздела остается открытым вопрос о том, как изменяются амплитуды перемещений многомерных динамических систем при однократных или повторных действиях одиночных или при комбинации воздействия нескольких видов импульсов, а также отображения перемещений по времени. Для решения этой задачи автором разработана программа «Трансформация колебаний многомерной динамической системы при многократных импульсных воздействиях».
1. При воздействии мгновенного импульса на конечномерную линейную динамическую модель размерности п попытка устранения собственных колебаний по некоторому направлению с номером j, не совпадающему с направлением воздействия с номером і, приводит к необходимости обеспечения п кратных собственных значений матрицы D, что в свою очередь приводит к необходимости устранения перекрестных связей.
2. Доказана невозможность достижения нулевых амплитуд собственных колебаний по любым направлениям в упруго-деформируемых многосвязных механических системах с конечным числом степеней свободы посредством варьирования параметров систем.
3. При воздействии мгновенного импульса на конечномерную систему порядка п, имеющую ненулевые перекрестные связи, присутствуют собственные колебания по всем направлениям.
4. При воздействии прямоугольного импульса на одномерную систему минимальное значение амплитуды собственных колебаний недиссипативной одномерной системы может быть тождественно равно нулю и достижение этого значения, зависит только лишь от соотношения длины кинематического импульса Аги периода собственных колебаний Г, а эффект отсутствия колебаний достигается
5. Максимальные величины амплитуд собственных колебаний достигаются при условиях, когда продолжительность воздействия импульса равна нулю, то есть прямоугольный импульс приводит к импульсу в виде кинематического скачка с двойным начальным перемещением основания.
6. Полученные аналитические условия регулирования интенсивности собственных колебаний многомерной системы позволяют положить их в основу при создании прибора, регулирующего колебательный процесс с помощью импульсного воздействия.
Формирование динамических систем с заданными свойствами – одна из наиболее актуальных задач конструирования технических устройств различного назначения. Такие задачи могут возникать при решении проблем подавления вибраций, обеспечения точности движения, обеспечения заданных параметров вибрационного процесса, решении задач вывода из резонансных зон и многих других задач. Так или иначе, подобные задачи приходится решать в условиях определенных ограничений, накладываемых на различные параметры систем. При этом возможны решения, основанные на формализованных численных подходах, реализующих различные методы оптимизации. К таковым относятся методы линейного программирования, экстремальные методы, методы множителей Лагранжа и многие другие. При всей универсальности подобных математических методов за рамками рассмотрения остаются физические процессы, отражающие взаимосвязь различных параметров и причины достижений значений параметров, удовлетворяющих поставленным условиям.
Очевидно, что установление таких зависимостей в некоторой степени возможно при рассмотрении динамических систем малого порядка, для которых возможны аналитические решения. Полученные закономерности в некоторых случаях могут быть перенесены на системы более высокой мерности. Конечномерная интерпретация динамической системы может быть представлена в виде конечного числа упругосвязанных масс. Очевидно, что соответствующим подбором ее параметров можно обеспечить ту или иную (ограниченную) интенсивность колебаний некоторого узла системы. Выбор и оптимизация параметров динамических систем в таком случае обусловлена стремлением к достижению заданных условий. Такими условиями, например, может быть низшая частота собственных колебаний; собственные частоты, не входящие в некоторый интервал ограничений; минимальные амплитуды по некоторому заданному направлению [71, 97, 98].
