Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Процессы переноса, возникающие при воздействии на материалы концентрированными потоками энергии и способы их описания 7
1.1. Введение 7
1.2. Основные этапы и направления развития теории переноса 11
1.2.1. Локально-равновесные теории 11
1.2.2. Феноменологические модели 15
1.2.3. Локально-неравновесные теории 22
1.3. Анализ явлений переноса с учетом временной нелокальности 29
1.3.1. Высокоскоростная кристаллизация 30
1.3.2. Формирование микроструктуры 32
1.4. Постановка задач исследования 34
Глава 2 Вывод уравнений переноса в рамках расширенной необратимой термодинамики с учетом пространственно-временной нелокальности 36
2.1. Эволюционные уравнения для диссипативных потоков 36
2.2. Обобщенные уравнения массопереноса 38
Глава 3 Общие свойства решений локально-неравновесных уравнений диффузии с разными краевыми условиями 44
3.1. Решение уравнения диффузии с учетом временной нелокальности 44
3.2. Локально неравновесный массоперенос в полуограниченном твердом теле 47
3.2.1. Краевая задача для концентрации примесных атомов 47
3.2.2. Краевая задача для плотности потока частиц 52
3.2.3. Результаты моделирования и их анализ 53
3.3. Локально-неравновесный массоперенос в образце конечной толщины 59
3.3.1. Постановка краевой задачи и методы ее решения 59
3.3.2. Результаты моделирования 65
Глава 4 Описание высокоскоростной перекристаллизации бинарных сплавов с учетом пространственно—временной нелокальности 70
4.1. Математическая модель высокоскоростной кристаллизации 70
4.2. Общие закономерности массопереноса при высокоскоростном затвердевании 73
4.3. Размер формирующейся микроструктуры 78
Заключение 88
Приложение Вывод эволюционных уравнений для диссипативных потоков 91
Литература 104
- Локально-равновесные теории
- Формирование микроструктуры
- Обобщенные уравнения массопереноса
- Краевая задача для концентрации примесных атомов
Введение к работе
Одним из перспективных направлений получения материалов с качественно новыми свойствами является модифицирование их приповерхностных слоев концентрированными потоками энергии (КПЭ) высокой мощности. В качестве КПЭ используется лазерное излучение, мощные (сильноточные) электронные пучки, мощные ионные пучки [1-6]. В настоящее время в той или иной степени развиваются все эти направления. Изменения свойств металлов и сплавов при использовании методов КПЭ-технологий в большинстве случаев обусловлены одновременным или раздельным действием теплофизических (термообработка), металлургических (легирование) и ударно-волновых (деформация) процессов, вызывающих структурно-фазовые превращения в металлических материалах. При этом могут быть созданы экстремальные условия прохождения этих процессов.
Из основных процессов, которые приводят к модификации поверхностных свойств материала при данном виде радиационной обработки, можно выделить изменение микроструктуры при перекристаллизации и интенсивный массоперенос примесных атомов и компонентов сплава вглубь обрабатываемого материала. Решающие значение при формировании свойств материала имеют условия процесса затвердевания, к которым, в частности, относится скорость охлаждения тонкого приповерхностного слоя после оплавления. По проведенным количественным оценкам [2, 7—11] она может достигать значений 10 -101 К/с в зависимости от удельной мощности поглощенного потока, длительности облучения и теплофизических характеристик обрабатываемого материала. Кроме того, расчеты температурных полей в металлических системах показывают [9, 12, 13], что средняя скорость затвердевания расплава по порядку величины совпадает со скоростью распространения концентрационных возмущений VD в среде (для расплавов металлов Ко~1-10 м/с [14]). В этой ситуации массоперенос при высокоскоростном плавлении и затвердевании протекает, по-видимому, в локально-неравновесных условиях, что, в результате, позволяет получать материалы с уникальными физико-химическими свойствами, представляющими боль-
шой практический интерес. При таких высокоскоростных процессах, когда скорость возмущений внутри системы сравнима со скоростью распространения концентрационных или тепловых возмущений (что имеет место в подобных экспериментах по модифицированию свойств материалов), состояние системы может значительно отличаться от локального равновесия. Этот факт ставит под сомнение корректность применения моделей, основанных на решении классических параболических уравнений переноса, пригодных для описания достаточно медленных процессов и не учитывающих конечную скорость распространения возмущений в среде [15]. Локально неравновесные модели переноса, опирающиеся на уравнения гиперболического типа с учетом только временной нелокальности, в последние годы интенсивно развиваются в работах Соболева, Га-ленко и их коллег [14-21], а также в работах зарубежных авторов [22-24]. Однако, высокая неравновесность процессов, возникающих при облучении материалов КПЭ, приводит к необходимости учитывать влияние не только временной, но и пространственной нелокальности на явления переноса.
Фундаментальные исследования локально-неравновесных структурно-фазовых превращений, механизмов массопереноса в металлических хматериалах должны способствовать углублению представлений о состоянии вещества в экстремальных условиях (сверхвысокие температуры и давления, короткие промежутки времени). Наличие подобных знаний позволит эффективно использовать КПЭ для создания материалов с заданным комплексом физико-механических свойств и для разработки методов упрочняющей обработки материалов. В связи с этим развитие теории переноса в металлических твердых телах при условии отсутствия локального равновесия является актуальной задачей физики конденсированных сред и материаловедения. Следует заметить, что важную роль в фундаментальных и прикладных задачах исследования взаимодействия КПЭ с веществом играет математическое моделирование процессов массопереноса с учетом пространственно—врехменной нелокальности.
В связи с этим целью данной работы являлось установление общих закономерностей локально-неравновесного массопереноса в бинарных металличе-
ских системах при воздействии концентрированными потоками энергии, учитывая пространственно-временную нелокальность процессов.
Научная новизна работы заключается в том, что в ней впервые:
Исследовано влияние пространственной нелокальности на массоперенос в бинарных металлических системах при воздействии КПЭ. Установлено, что учет пространственной нелокалыюсти сглаживает поверхность сильного разрыва в концентрационном поле, которое имеет место при учете только временной нелокальности, и предсказывает усиленный перенос примесных атомов на большие глубины.
Аналитическими и численными методами решения обобщенных уравнений переноса, учитывающих пространственно-временную нелокальность, установлено, что ненулевая начальная скорость изменения потока субстанции (массы, температуры) при определенных значениях обусловливает появление удаленных от поверхности облученных образцов максимумов в пространственных распределениях потока субстанции и самой субстанции.
Установлено, что учет пространственной нелокальности в уравнениях массопереноса предсказывает диффузионный механизм затвердевания при любых скоростях движения фронта раздела фаз при высокоскоростной кристаллизации.
Исследовано влияние модельных параметров затвердевания на размеры микроструктуры при высокоскоростной кристаллизации. Показано, что увеличение вклада пространственной нелокальности, градиента температуры, коэффициента поверхностного натяжения и уменьшение градиента концентрации приводят к росту размеров микроструктуры. Немонотонное изменение последних наблюдается при варьировании коэффициента диффузии в жидкой фазе.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения, изложенных на 118 страницах текста, и включает 23 рисунка, 1 таблицу, 145 библиографических наименований.
Локально-равновесные теории
Традиционное изложение теории тепломассопереноса, принятое во многих монографиях, учебниках и учебных пособиях [43—46], исходит из положений классической термодинамики необратимых процессов (КНТ) [47-49], опирающейся на ряд основополагающих принципов (аксиом), которые, с одной стороны, способствуют установлению ясности в формулировках основных понятий и принципов теории, а с другой стороны, накладывают серьезные ограничения на область применимости теории.
Фундаментальным предположением, на котором построена теория КНТ, является предположение о состоянии локального равновесия. Оно гласит, что локальные и мгновенные соотношения между тепловыми и механическими свойствами физической системы являются теми же соотношениями, которые свойственны однородной системе в состоянии равновесия.
Помимо принципа локального термодинамического равновесия в основе метода термодинамики необратимых процессов лежат еще два принципа: линейный закон и соотношение взаимности Онзагера. Согласно линейному закону поток тепла, массы или импульса J\ пропорционален термодинамическим дви жущим силам Хк, которые могут быть выражены через градиент соответствующего потенциала: Л=ЕАЛ (1-2) где Llk - кинетические коэффициенты. Линейный закон является обобщением эмпирических закономерностей, установленных для системы, состояние которой приближается к состоянию равновесия. Следовательно, линейный закон является экспериментальным законом и не имеет строгой теоретической основы. Вторым принципом термодинамики необратимых процессов является соотношение взаимности A = Lki, (1.3) из которого следует, что перекрестные кинетические коэффициенты Llk равны. Это соотношение было доказано Онзагером с помощью самых общих положений статистической механики.
Кроме принципа локального термодинамического равновесия при построении классической термодинамики необратимых процессов используется принцип локальности, который предполагает, что основные законы механики справедливы не только для системы в целом, но и для каждой из ее частей, какой бы малой она ни была. Отсюда следует, что в интегральных законах сохранения для таких систем можно совершать предельный переход при стремлении объема интегрирования к нулю и получать эквивалентные законы сохранения в форме дифференциальных уравнений в частных производных. С физической точки зрения такая процедура некорректна, так как среда состоит из микрообъектов (атомов, молекул, кластеров и т.д.), которые обладают качественно новыми свойствами, несовместимыми с классическими представлениями механики сплошной среды. Однако, если характерный макромасштаб рассматриваемого процесса L много больше характерного масштаба микроструктуры среды h, т.е. Здесь a - коэффициент температуропроводности, W - источник тепла, D - коэффициент диффузии, Wj - источник массы (частиц). Как и следовало ожидать, классические уравнения переноса (1.5-1.6) локальны, т.е. они не содержат характерного масштаба, присущего данной системе и, следовательно, справедливы для любой ее части, какой бы малой она ни была. Кроме того, уравнения переноса не содержат также и характерных временных масштабов данной системы (времени релаксации). Это означает, что классические уравнения переноса локальны во времени. Таким образом, классические уравнения переноса параболического типа (1.5-1.6) локальны как во времени, так и в пространстве. Из анализа этих уравнений следует, что возмущения в среде распространяются с бесконечно большой скоростью. Такое поведение несовместимо не только с экспериментальными данными, но и противоречит теории, поскольку явления, свойственные коллективному движению молекул, должны распространяться с конечной скоростью. Прежде всего, это связано с тем, что частица переносит энергию или массу из одной точки пространства в другую, причем этот перенос происходит не мгновенно, а требует конечного промежутка времени г.
Таким образом, с физической точки зрения приближение локального равновесия справедливо, если время релаксации т, в течение которого устанавливается равновесие в макроскопичесіш малых, но содержащих большое число частиц областях, намного меньше характерного времени рассматриваемого процесса to. Иными словами, состояние локального термодинамического равновесия может установиться в системе, если скорость изменения ее макропараметров за счет внешних воздействий, т.е. скорость разрушения равновесия, много меньше скорости релаксации системы к локальному равновесию.
Скорость (1.8), представляющая собой отношение макромасштабов рассматриваемого процесса, характеризует линейную скорость изменения параметров системы, вызванную внешними причинами. Например, это может быть скорость перемещения изотерм при движении источника тепловыделения в теплопроводя-щей среде. Отношение микропараметров hїх в формуле (1.9) является внутренней характеристикой самой системы и не зависит от внешних условий. Величина V — скорость распространения возмущении потенциала переноса, т.е. скорость распространения тепловой или диффузионной волны.
Если выполняются приближения локального равновесия и принцип пространственной локальности (1.7), то эффектами, связанными с конечностью скорости распространения возмущений, можно пренебречь и описывать процесс переноса классическими уравнениями параболического типа (1.5-1.6) с бесконечно большой скоростью распространения возмущений. В противном случае, т.е. когда t(f х и/или L -h, процесс переноса нелокален и не может быть адекватно описан классическими (локальными) уравнениями переноса параболического типа. В такой ситуации для описания процессов переноса следует пользоваться какой-либо локально-неравновесной моделью, не опирающейся на приближение ло- кального термодинамического равновесия и принцип пространственной локальности.
Подводя итог можно отметить, что классическое описание, безусловно, полезно и обеспечивает получение впечатляющих научных результатов при описании достаточно медленно протекающих явлений [51, 52], однако при высокоскоростных процессах приближение локального термодинамического равновесия, и, соответственно, описание массопереноса в рамках классического подхода становится не корректным.
Как уже отмечалось, основным недостатком классической теории является бесконечно большая скорость распространения возмущений, которая следует из свойств решений параболических уравнений переноса, полученных в рамках классической неравновесной термодинамики. Более корректно отражает картину переноса гиперболическое уравнение, которое подразумевает конечную скорость процесса переноса. Отметим, что уравнение гиперболического типа, в частности волновое уравнение, было получено разными путями рядом исследователей при анализе процессов диффузии, теплопроводности, турбулентной диффузии и т.д. [53-74]. На ранних этапах развития теории переноса уравнение гиперболического типа (учитывающие конечную скорость процесса) обычно получалось феноменологически в рамках термодинамического подхода.
Формирование микроструктуры
Условия процесса затвердевания расплава, полученного после облучения КПЭ, имеют решающее значение при формировании микро- и макроструктуры образующейся твердой фазы и, в конечном итоге, влияют на ее физико-химические свойства. [95, 96].
Как в чистых металлах, так и сплавах формирующаяся структура во многом определяется величиной переохлаждения [92]. В чистых металлах возникает только термическое переохлаждение расплава, в сплавах же переохлаждение может быть вызвано как изменением температуры расплава, так и его состава. Таким образом, формирование структуры при кристаллизации напрямую зависит от условий затвердевания расплава. Гладкая плоская поверхность раздела сохраняет устойчивость только до некоторых критических значений скорости роста и градиента температуры [97]. Концентрационное и термическое переохлаждение поверхности раздела фаз может привести к его неустойчивости и, как следствие, к возникновению дендритной и ячеистой структур в затвердевающем материале.
Для расчета характерного размера кристаллической структуры может быть использован подход, развитый в работах [98], согласно которому формирование кристалла прогнозируется ростом возмущений вдоль поверхности раздела жидкость - твердая фаза. Этот метод базируется на решении проблемы тепломассо-переноса при кристаллизации с дополнительным условием морфологического отбора характерного размера структуры. Одно из таких условий - гипотеза маргинальной устойчивости [99-101], согласно которой отбираемый масштаб структуры равен наименьшей длине волны морфологической (не)устойчивости Мал-линза-Секерки. Таким образом, отбираемый масштаб структуры связан с маргинальной (пограничной) устойчивостью между устойчивым и неустойчивым состояниями растущего кристалла и равен критической длине волны возмущения, наложенного на поверхность раздела фаз.
Анализ морфологической устойчивости плоской поверхности раздела фаз в концентрационном поле, описываемом гиперболическим уравнением (1.17), совместно с гипотезой маргинальной устойчивости приведен в работах [102]. В этом случае может быть получено соотношение, определяющее характерный размер d структуры с учетом временной нелокальности.
Вышеприведенные модели учитывают только временную нелокальность процесса массопереноса при кристаллизации и формировании микроструктуры. Локально-неравновесная модель затвердевания Соболева приводит к появлению бездиффузионного механизма затвердевания при скоростях фронта превышаю щих диффузионную скорость, однако, большинство экспериментов указывает на диффузионные процессы при перекристаллизации. На экспериментальных профилях на поверхности образца наблюдается повышение или понижение концентрации примеси, что обусловлено диффузионными процессами при любых скоростях.
Локально-неравновесная модель формирования микроструктуры Гален-ко использует локально-неравновесные параметры, введенные в модели Соболева (коэффициент диффузии, коэффициент сегрегации, тангенс угла наклона линии ликвидус). Представляет интерес проанализировать эти процессы с учетом как временной, так и пространственной нелокальности. И выявить влияние пространственной нелокальное! и в формировании микроструктуры и концентрационных профилей при высокоскоростной перекристаллизации.
Анализ экспериментальных данных приводит к необходимости разработки локально-неравновесной теории для описания высокоскоростных процессов, имеющих место при облучении материалов КПЭ, т.к. классические локально-равновесные теории применимы только для достаточно медленных процессов.
Феноменологические модели процессов высокоскоростного переноса являются достаточно грубыми. Усложнение исходных соотношений (законов Фурье и Фика) проводится лишь постулативно. В результате новые уравнения оказываются несовместными с классической неравновесной термодинамикой, т.к. в некоторых случаях это приводит к получению отрицательного значения величины производства энтропии [75]. Дискретная и интегральные модели позволяют получить уравнения переноса в нелокальной формулировке, однако с их помощью нельзя учесть перекрестные слагаемые, т.е. взаимовлияние потока тепла, массы и тензора напряжений.
Наиболее последовательной и детально разработанной локальнонерав-новесной термодинамической теорией является расширенная необратимая термодинамика, формализм которой позволяет учесть как пространственно временную нелокальность процессов переноса, так и перекрестные эффекты. Локально-неравновесные модели Соболева и Галенко учитывают только временную нелокальность процесса массопереноса при кристаллизации и формировании микроструктуры. Представляет интерес проанализировать эти процессы с учетом не только временной, но и пространственной нелокальности.
В соответствии с целью диссертационной работы были поставлены следующие задачи: 1. Вывести уравнения массопереноса в бинарной системе с учетом пространственно-временной нелокальности и перекрестных эффектов в рамках формализма расширенной необратимой термодинамики. На основе эволюционных уравнений для обобщенных потоков развить физико-математическую модель локально-неравновесного массопереноса в бинарных системах, подвергаемых воздействиям КПЭ. 2. Определить влияние локально-неравновесных эффектов на массопе-ренос в металлических системах при облучении КПЭ, опираясь на модельные расчеты. 3. Применить развитую модель массопереноса с учетом пространственной и временной нелокальности в бинарных системах для исследования общих закономерностей высокоскоростной перекристаллизации, возникающей при облучении материалов КПЭ. 4. Исследовать в рамках развиваемой модели высокоскоростного затвердевания и гипотезы маргинальной устойчивости влияние различных параметров на формирование кристаллической микроструктуры при перекристаллизации, обусловленной воздействием КПЭ.
Обобщенные уравнения массопереноса
В связи с тем, что диаметр пучка заряженных частиц обычно существенно превышает длины пробега налетающих частиц в конденсированных средах, а зоны релаксации энергии при торможении частиц перекрываются, так как плотность излучения велика, можно использовать одномерное приближение [12]. В случае лазерного облучения одномерное приближение справедливо, если диаметр лазерного пучка d много больше оптической длины поглощения of [3].
Выражение (2.11) известно как закон Максвелла-Каттанео [15, 75, 81] для потока массы, и представляет собой модифицированный закон Фика, учитывающий релаксационные процессы (релаксацию диффузионного потока к локально-равновесному значению). В законе Максвелла-Каттанео, по сравнению с классическим уравнение Фика, появляется дополнительное слагаемое т2 dJx/dt, которое отражает временную нелокальность процесса массопереноса, т.е. показывает, что изменение градиента концентрации приводит к появлению диффузионного потока не в тот же момент времени t, как в классическом законе Фика, а на время релаксации т2 позже.
Уравнение для потока массы имеет аналогичный вид. По сравнению с классическим уравнением диффузии выражение (2.14) содержит дополнительное слагае мое т2 д c/dt и является уравнением гиперболического типа, которое, в отли чиє от классического уравнения параболического типа, подразумевает конечную скорость распространения концентрационных возмущений [55, 110].
Учет влияния вязкоупругих напряжений на процесс массопереиоса при-водит к появлению дополнительного члена д Jx/dx в модифицированном законе Фика. Из выражения (2.19) видно, что поток массы Jх и градиент концентрации дс/дх связаны между собой не в одной пространственной точке с координатой х, как в классическом законе Фика, а в некоторой окрестности этой точ-ки с характерным размером / = J32T(D rje) . Таким образом, можно сделать вывод, что учет влияния вязкоупругих напряжений приводит к пространствен ной нелокальности массопереноса.
Уравнение (2.25) содержит два дополнительных (по сравнению с классическим локально-равновесным законом Фика) параметра: временной т3 и пространственный /. Соотношение между этими микропараметрами, характеризующими внутренние свойства системы, и характерными макропараметрами иі процесса переноса [15] определяет форму соответствующего уравнения диффузии. С течением времени соотношение между характерными масштабами массоперено-са и характерными масштабами нелокальности могут изменяться. Это, в свою очередь, приводит к изменению роли, которую играют релаксационные и перекрестные эффекты в процессе диффузии, меняя тем самым характер протекания процесса. Здесь следует обратить внимание на то, что при учете перекрестных слагаемых при описании явлений тепломассопереноса в локально неравновесных теориях [75, 81, 103] обычно пренебрегают релаксацией потока массы или тепла (полагают г/=0), а учитывают только релаксацию вязкоупругих напряжений (г 0).
С учетом закона сохранения массы и энергии (без учета внутренних источников) выражение (2.3) позволяет записать в одномерном случае еще одно диффузионное уравнение (2.27). Отсюда следует, что для нахождения, например, концентрационного профиля, необходимо решить систему дифференциальных уравнений в частных производных (2.27), (2.28), (2.9), которая связывает между собой перенос массы, тепла и импульса.
Следует заметить, что при больших временах наблюдения полученные уравнения диффузии сводятся к классическим. Это свидетельствует о том, что рассмотренная локально—неравновесная модель процессов переноса, с одной стороны, находится в соответствии с существующими версиями локально-равновесной термодинамики, а с другой стороны, расширяет круг возможных объектов исследований.
Краевая задача для концентрации примесных атомов
Для случая, когда на поверхности поддерживается постоянная концентрация частиц с0 для всех t 0, а начальная концентрация частиц внутри образца с,, зададим начальные условия для уравнения (3.8) в виде: c(x,0) = cQ, (x,0)=0, хє[0,ао). (3.9) от Граничные условия можно записать следующим образом: c(0,t)=c0, c(co,t)=cl3 t 0. (ЗЛО) Первое граничное условие означает, что на поверхности будет поддерживаться постоянная концентрация, второе — то, что на бесконечно далеком расстоянии от поверхности концентрация остается постоянной, равной начальной. Для безразмерной концентрации U(x,t) — (c(x,t) — cl)/(c0-c]) и безразмерных переменных т = //(2г ) и = х/\2 JDT[ J уравнение (3.8) перепишется в виде [117, 118]: d2U dU d2U d3U ,„11Л + 2-— = —_ + у -, (3.11) дт2 дт дС дтд2 где безразмерный параметр у = т 2 /(2г{) определяет отношение между вкладами пространственной и временной нелокальностями. При значении у = 0 уравнение (3.11) - гиперболическое, а при у = 0.5 {т 2 = т{) оно изменяет тип на параболический.
Приведенные выше выражения были положены в основу численного моделирования, которое велось на языке системы аналитических вычислений Maple. Встречающиеся неопределенности подынтегральных функций в граничных точках интегрирования по формулам (3.26), (3.32), (3.35), (3.37) раскрывались по правилу Лопиталя.
Из приведенного во второй главе анализа решаемых уравнений следует, что при больших временах наблюдения они сводятся к классическим уравнениям параболического типа. Поэтому для моделирования представляют интерес промежутки времен, когда система находится вне локального равновесия (г 0.5).
На рис.3.2 и 3.3 представлены пространственно-временные поля концентраций примесных атомов в бинарной металлической системе в изотермическом приближении, соответствующие рассмотренным выше решениям двух краевых задач для различных значений параметра у (т[ фиксировано, меняется т 2). Классическому уравнению переноса соответствует случай у = 0.5, представленный на рисунках рис. 3.2 d и 3.3 с. Как видно из рисунков, учет пространственно нелокальных эффектов приводит к существенному отличию локально-неравновесных концентрационных профилей, как от классических, так и от профилей полученных только с учетом временной нелокалыюсти.
Если телеграфное уравнение переноса предсказывает, что скачок концентрации на границе полубесконечного тела распространяется как поверхность сильного разрыва с постоянной скоростью, то пространственно нелокальный член сглаживает скачок концентрации и приводит к возникновению вместо сильного разрыва переходного фронта с непрерывным изменением концентрации. Толщина этого фронта постепенно увеличивается с ростом времени. Однако при относительно малых ;к(рисунки 3.2 a, b и 3.3 а) поля концентраций близки к предсказаниям гиперболического уравнения. С увеличением вклада пространственной нелокальности фронт сглаживается интенсивнее в том случае, если на поверхности образца поддерживается постоянная концентрация, а не поток частиц. Рис. 3.2. Пространственно временные поля безразмерной концентрации примесных атомов в полубесконечном образце, соответствующие решению краевой задачи с постоянным заданным числом частиц на поверхности для различных значений параметра у: а-0.001, b — 0.01, с-0.1, d-0.5 Рис. 3.3. Пространственно временные поля безразмерной концентрации примесных атомов в полу бес конечном образце, соответствующие решению краевой задачи с постоянной плотностью потока частиц на поверхности для различных значений параметра у: а-0.01, b — 0.1, с-0.5, d — 1.0 Дополнительную информацию о характере изменения концентрационных полей представляют результаты, приведенные на рисунках 3.4 и 3.5.
Кривые на рис.3.4 показывают изменение безразмерной поверхностной концентрации частиц V( =0, т) в зависимости от времени и значений параметра у 0.5 (а) и у 0.5 (Ь) для решения краевой задачи с заданной постоянной плотностью потока частиц на поверхности. Для гиперболического случая (/ =0 ) на поверхности образца при т = 0 наблюдается скачок концентрации, обусловленный эффектом запаздывания распространения концентрационной волны на время т[. При у 0 (г2 0) скачок концентрации исчезает, так как начинают действовать пространственно-нелокальные эффекты, способствуя проникновению примесных атомов в глубь материала, однако при малых у имеет место быстрое увеличение поверхностной концентрации вблизи г=0, приближающееся к гиперболическому случаю. Дальнейшее увеличение вклада пространственной нелокальности понижает скорость роста поверхностной концентрации. При больших временах т все концентрационные кривые стремятся к классическому пределу у=0.5.
Полученный ряд является знакопеременным, то есть, если взять некоторую частичную сумму, в ней будет примерно одинаковое число положительных и отрицательных слагаемых. Вдобавок к этому, слагаемые ряда монотонно стремятся к нулю с ростом номера. С учетом этого можно производить оценку остатка ряда, рассматривая достаточно большие группы слагаемых и усекать ряд с некоторой точностью. Значительное отклонение от прогнозируемых результатов классической и волновой теорий, показанное на рис.3.6. (а), означает, что эффекты, обусловленные пространственной и временной нелокалыюстями, нельзя рассматривать по отдельности, а необходимо учитывать их общий вклад в массоперенос. Результаты для ненулевой начальной скорости изменения потока массы приведены на рис.3.6 (Ь) - 3.6 (d) для xQ= 10, 20 и 40. Ненулевая начальная скорость изменения потока массы вносит новые коррективы в характер массопереноса [123, 128]. Эффекты начальной скорости потока в этом случае преобладают над влиянием пространственно-временной нелокальности. Однако, независимо от величины начальной скорости потока, пространственная нелокальность и в этом случае нарушает волновой характер массопереноса. Даже небольшое отклонение «сот нуля, как показано на рис. 3.6. (Ь), приводит к разрушению резкого волнового фронта и уменьшению максимального значения потока.
