Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 6
I. ФРАКТАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ В БОЛЬШИХ СИСТЕМАХ И ДРОБНЫЕ
ПРОИЗВОДНЫЕ И ИНТЕГРАЛЫ 12
Введение . 12
Дробные производные Римана-Лиувилля 13
Фрактальные множества и дробные производные Римана-Лиувилля.... 15
Обобщенные дробные производные и интегралы для функциональных фрактальных размерностей 16
Обобщенные дробные производные для случая малых отличий функциональных фрактальных размерностей от целочисленных (обобщенные дробные производные для d{f{t),t)--> 1) 18
Связь с ковариантными производными 21
1.6. Заключение 22
2.ФРАКТАЛЬНЫЕ СТРУКТУРЫ В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ И БОЛЬШИХ
СИСТЕМАХ 23
2.0. Введение 23
2.0.1 Диффузия к фрактальным поверхностям для случая разных ФР
электролита и электрода 24
2.0.2. Заключение 28
2.1. Элемент постоянной фазы (ЭПФ). Эксперимент. Температурная
зависимость ЭПФ 28
Введение 28
Экспериментальные данные по ЭПФ и температурной зависимости ЭПФ 29
2.2. Эффективные адмиттанс, емкость и сопротивление поверхности
твердого электролита электрод/образец и их скейлинговые свойства.
Фрактальные теории ЭПФ 29
Введение 29
Модель эффективных емкостей и сопротивлений ...31
2.2.2. Фрактальные теории ЭПФ 35
2.2.3 Выводы 36
2.3. Фрактальная теория температурной зависимости ЭПФ 37
2.3.0.Введение 37
2.3.1 Фрактальная модель для описания электрических свойств
поверхности твердого электролита 40
Статистический метод вычисления полного адмиттанса образца....43
Выбор пределов интегрирования и зависимость параметра распределения Р от характеристик образца 47
Модель a, = d,-. Зависимость элемента постоянной фазы от температуры в модели а, = d,- 49
2.4. Температурная зависимость ЭПФ для разных фрактальных моделей
поверхности контакта электролит/образец 52
2.4.0. Введение 52
2.4.1 Фрактальные теории элемента постоянной фазы работ [47-55] как
частный случай результатов работы [56] 52
2.4.2. Сравнение с экспериментом 55
2.5. Температурные зависимости ЭПФ для разных моделей [47-55]
поверхности контакта образец/электролит 60
2.5.1. Зависимость ЭПФ от характеристического параметра /? в различных
фрактальных моделях 60
Фрактальная теория ЭПФ Никоши-Пайкоши 60
Фрактальная модель ЭПФ Лиу 62
Фрактальная модель ЭПФ Ле Мео и Крепи 62
Фрактальная модель ЭПФ Халсея, Болла и Бланта 64
2.5.2. Сравнение зависимостей ЭПФ от р в разных фрактальных теориях64
2*5.3.Температурные зависимости ЭПФ в различных фрактальных теориях68
2.5.4. ВЫВОДЫ 68
2.6. Модели диффузии в нелинейных средах 69
Введение 69
Автоволновые процессы при нелинейной фрактальной диффузии..70
Нелинейное уравнение диффузии в фрактальной среде 71
Автоколебательные процессы 72
Заключение 74
2.7. Модели диффузии в фрактальных средах. Кинетическое уравнение
Климонтовича в фрактальной среде 74
2.7.0. Введение 74
Начальные условия и точное решение уравнения (2.7.1) 75
Асимптотическая оценка решения при больших временах 76
Выводы 77
2.8. Броуновское движение в системах с дробной размерностью 78
2.8.0. Введение 78
2.8.1 Броуновское движение в фрактальных средах и уравнение
Смолуховского 78
Управляющее уравнение 79
Уравнение Фоккера-Планка 81
Выводы 84
2.9. Броуновское движение в системах с памятью 85
Введение 85
Броуновское движение с учетом памяти 86
Управляющее уравнение 87
Уравнение Фоккера-Планка 88
Выводы 91
2.10. Заключение 91
3. ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ ПОВЕРХНОСТИ КАК ПАРАМЕТР
ПОРЯДКА 94
3.0. Введение 94
3.1.Фрактальная размерность как параметр порядка 95
3.2. .Принцип минимума фрактальной размерности. Уравнения для
фрактальной размерности 96
3.3. Выводы 101
4. КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ БОЛЬШИХ СИСТЕМ С
ФРАКТАЛЬНЫМИ СТРУКТУРАМИ 103
Введение 103
Появление фрактальной размерности в больших системах 106
Фрактальная размерность и дробные производные 109
Кинетические уравнения в системах с фрактальными структурами.... 110
Кинетические уравнения плазмы с фрактальными структурами 111
Результаты и выводы 114
5. ОПИСАНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ МЕТОДАМИ
СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ОТКРЫТЫХ СИСТЕМ 116
Введение 116
Пространство экономических функций и пространство экономических
переменных 116
Формулировка реакционно-диффузионных уравнений в экономическом пространстве с топологическими размерностями 118
Формулировка уравнений реакционно-диффузионного типа в фрактальных экономических пространствах 124
Введение 124
Уравнения реакционно-диффузионного типа в дробных производных 124
Уравнения типа Фоккера-Планка для описания экономических систем 128
Некоторые заключения 129
5.4. О зависимости валютного курса от времени и величин национального
дивиденда, инвестиций, разности спроса и предложений 129
5.5. Выводы 136
ВЫВОДЫ 138
ЛИТЕРАТУРА 140
Введение к работе
1. Актуальность темы исследования
В последние годы теоретическим и экспериментальным исследованиям линейных и фрактальных характеристик больших систем (физика твердого тела, физика магнитных материалов, плазма, биологические объекты, твердые электролиты, диффузия в нелинейных и фрактальных средах, экономика и т.д.) посвящено большое число работ. Это обусловлено существенным (часто определяющим) влиянием нелинейных возбуждений, типа солитонов, и фрактальной размерности системы (зависящей от внешних параметров) на поведение многих физических характеристик системы. В связи с этим исследование различных моделей описания физических свойств больших систем для выяснения вклада в их поведение, при различных условиях, нелинейных и фрактальных структур является важной и актуальной задачей современной физики твердого тела и молекулярной физики. Диссертационная работа посвящена исследованию нескольких моделей описания влияния фрактальных характеристик поверхности контакта твердый электролит/электрод на процессы диффузии, недебаевский импеданс, исследованию нелинейной диффузии в фрактальных средах, влиянию фрактальных структур на кинетику больших систем, описанию поведения экономических структур на основе методов и уравнений статистической физики открытых структур и, в связи с этим, является актуальной.
2. Цель и задачи работы.
Диссертационная работа посвящена теоретическому описанию некоторых физических явлений, происходящих на поверхности контакта твердый электролит/электрод (в частности, скейлинговых процессов, некоторых видов диффузии в фрактальной среде, описанию температурной
зависимости ЭПФ в ряде фрактальных теорий), описанию влияния фрактальных структур на поведение больших систем, исследованию автоволновых решений уравнения диффузии с нелинейным коэффициентом диффузии в фрактальной среде, описанию методами статистической физики открытых систем ряда проблем математической экономики.
Для достижения поставленной цели было необходимо решить следующие основные задачи:
На основе разработанных (при участии Л.Я.Кобелева, В.Л.Кобелева и О.Л.Кобелевой) феноменологических моделей недебаевского импеданса в твердых электролитах, модельного описания поверхностного слоя контакта электролит/образец в рамках представлений фрактальной геометрии о температурной зависимости элемента постоянной фазы проверить применимость разработанных моделей для фрактальных теорий элемента постоянной фазы в теориях ЭПФ Никоши и Пайкоши, Лиу, Ле Мео и Крепи, Халсея, Болла и Бланта, не содержащих температурной зависимости ЭПФ;
Построить модель диффузии ионов к двум поверхностям с разной ФР;
Исследовать существование решений автоволнового типа для диффузии в фрактальной среде с нелинейным коэффициентом диффузии;
Найти точное решение кинетического уравнения Климонтовича в фрактальной среде с постоянным коэффициентом диффузии;
Разработать модель описания фрактальной размерности поверхности твердого тела как параметра порядка;
Сформулировать метод учета влияния фрактальных структур на поведение больших систем, допускающих описание их динамики с помощью кинетических уравнений;
Рассмотреть в качестве примера учет влияния фрактальных структур на поведение электронно-ионной плазмы в рамках уравнений Власова;
8. Рассмотреть в качестве примера учет влияния фрактальных структур в уравнениях математической экономики.
Работа выполнена по темам исследований, проводимых на кафедре физики низких температур Уральского государственного университета в Проблемной лаборатории "Физика экстремальных воздействий на вещество", совместной учебно-научной лаборатории ИВТЭХ УрО РАН и Уральского университета, в рамках федеральной целевой программы "Интеграция" и исследований, проводимых по теме "Синтез многокомпонентных кристаллов и пленок, теоретическое и экспериментальное исследование твердых тел с целью создания материалов с новыми физическими свойствами", при поддержке РФФИ (грант № 97-02-16212 "Разработка физических принципов и экспериментальных методов получения твердых электролитов для работы при криогенных температурах", грант № 00-02-16285 "Теоретические и экспериментальные исследования сложных полупроводниковых халькогенидов для синтеза и конструирования на их основе низкотемпературных твердых электролитов, сегнетоэлектриков и составов с большим магнетосопротивлением, пригодных для научных и прикладных целей"), при поддержке НОЦ "Перспективные материалы" и гранта CRDF 2000г.
3. Научная новизна
1 .Впервые проведено применение фрактальной теории температурной зависимости ЭПФ для моделей ЭПФ разработанных Никоши и Пайкоши, Лиу, Ле Мео и Крепи, Халсеем, Боллом и Блантом;
2.Найдены формулы для диффузии к двум фрактальным поверхностям с различной ФР;
3.Найдено автоволновое решение для диффузии в фрактальной среде с нелинейным коэффициентом диффузии;
Впервые найдено решение кинетического уравнения Климонтовича в фрактальной среде;
Разработана, на основе идеи работы Гинзбурга-Ландау, модель описания фрактальной размерности поверхности твердого тела как параметра порядка;
Впервые разработан метод учета в больших системах, описываемых кинетическими уравнениями, влияния фрактальных структур на поведение системы;
Получены поправки к спектру элементарных возбуждений электронно-ионной плазмы от фрактальных структур;
Впервые сформулирован общий метод описания кинетическими уравнениями статистической физики открытых систем экономических моделей.
4. Практическая ценность работы
1. Работа выполнена по темам исследований, проводимых на кафедре физики низких температур Уральского государственного университета в Проблемной лаборатории "Физика экстремальных воздействий на вещество", совместной учебно-научной лаборатории ИВТЭХ УрО РАН и Уральского университета, в рамках федеральной целевой программы "Интеграция" и исследований, проводимых по теме "Синтез многокомпонентных кристаллов и пленок, теоретическое и экспериментальное исследование твердых тел с целью создания материалов с новыми физическими свойствами", а также в рамках тематики грантов РФФИ: грант № 97-02-16212 "Разработка физических принципов и экспериментальных методов получения твердых электролитов для работы при криогенных температурах", грант № 00-02-16285 "Теоретические и экспериментальные исследования сложных полупроводниковых халькогенидов для синтеза и конструирования на их основе низкотемпературных твердых электролитов,
сегнетоэлектриков и составов с большим магнетосопротивлением, пригодных для научных и прикладных целей"), при поддержке НОЦ "Перспективные материалы" и гранта CRDF 2000г.
Проведенные теоретические исследования влияния фрактальных структур на температурную зависимость недебаевского импеданса, поведения больших систем способствует более глубокому пониманию физических процессов происходящих в сложных системах.
Методика учета влияния фрактальных структур на поведение больших систем позволяет находить вклад от фрактальных структур в ряде важных задач физики твердого тела и физики плазмы.
Предложенная методика описания экономических явлений методами статистической физики открытых систем является полезной для решения конкретных экономических задач.
На защиту выносятся:
1.Анализ скейлинговых свойств электрических параметров поверхности электрод/образец;
Диффузия к фрактальным поверхностям для случая разных ФР электролита и электрода;
Применение фрактальной теории температурной зависимости ЭПФ в моделях ЭПФ Никоши и Пайкоши, Лиу, Ле Мео и Крепи, Халсея, Болла и Бланта;
Формулирование уравнения и получение автоколебательного решения уравнения диффузии в фрактальной среде с нелинейным коэффициентом диффузии;
Формулирование и решение кинетического уравнения Климонтовича в фрактальной среде;
Модель описания фрактальной размерности поверхности как параметра порядка;
7. Метод учета влияния фрактальных структур на динамику поведения больших систем допускающих описание с помощью кинетических уравнений.
Апробация работы
Материалы диссертации докладывались и представлялись на семинарах КФНТ УрГУ, института электрохимии УрО РАН, на Всероссийских и Международных конференциях: "Проблемы фундаментальной физики", 7-12 октября 1996 г., Саратов; 9 International Meeting on Ferroelectricity, 24-29 August, 1997, Seoul, Korea; Joint International Meeting of ECS and ISE, 31Aug.-5 Sept. 1997, Paris, France; "Физика конденсированного состояния", Стерлитамак, 22-25 сентября 1997 г.; 11 International Conference on Solid State Ionics, Honolulu, USA, 16-21Nov 1997; 8 Международной конферен-ции по физике полупроводников при высоких давлениях, 8 HPSP, Салоники, 1998; "Оксиды. Физико-химические свойства и технология", Екатеринбург, 27-31 января, 1998; январь 2000; "Фазовые переходы и критические явления в конденсированных средах", Махачкала, 7-11 сентября, 1998г; "Фазовые переходы и нелинейные явления в конденсированных средах" Махачкала, 6-9 сентября 2000.и опубликованы в 23 статьях и тезисах конференций.
Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 23 публикации в виде статей и тезисов докладов на конференциях .
Структура и объем диссертации
Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, заключения, списка цитированной литературы, изложена на 156 страницах текста, содержит 11 рисунков. Список цитированной литературы содержит 129 наименований.
Похожие диссертации на Феноменологические модели описания больших систем с фрактальными структурами
