Введение к работе
Объектом исследования диссертационной работы являются нелинейные эволюционные уравнения, встречающиеся при описании волновых процессов в средах с неголономным уравнением состояния, и их свойтсва.
Актуальность работы. Математические модели, состоящие из обобщенных законов сохранения массы и импульса и неголономного уравнения состояния, используются при описании многих явлений в физике, химии, биологии и ряде других наук. Такие модели возникают при исследовании волновых процессов в газовой динамике и нелинейной акустике, при описании волн на мелкой воде, гидромагнитных волн в холодной плазме, ионно-акустических волн в холодной плазме, электромагнитных волн в ферромагнетиках и в ряде других приложений.
Под неголономным уравнением состояния в диссертационной работе понимается уравнение, связывающее обобщенное давление с переменными, характеризующими состояние среды, содержащее нелинейные слагаемые и производные высоких порядков. Построение численных и аналитических решений для математических моделей нелинейных волновых процессов в средах с неголономным уравнением состояния представляется затруднительным. В связи с этим для анализа таких математических моделей в диссертационной работе используется асимптотический метод — метод многих масштабов. Он позволяет выделить характерные времена и длины волновых процессов и получить соответствующие модельные нелинейные эволюционные уравнения. Применение техники метода многих масштабов делает возможным учет нелинейности исследуемой математической модели и эффектов, связанных с производными высоких порядков. При этом в нулевом порядке теории возмущений, как правило, получается известное линейное приближение данной математической модели, из которого можно найти характерную скорость распространения возмущений в исследуемой среде.
Таким образом, нелинейные эволюционные уравнения играют важную роль в исследовании волновых процессов в средах с неголономным уравнением состояния и позволяют аналитически описать эти процессы.
В диссертационной работе получены и исследованы новые нелинейные эволюционные уравнения, описывающие волновые процессы в вязко-эластичных трубках и в жидкости с пузырьками газа при учете вязкости и межфазного теплообмена.
Система жидкость - пузырьки газа представляет собой сложную, диссипативно-дисперсионную нелинейную среду, распространение волн в которой до сих пор недостаточно хорошо изучено. Подобные двухфазные модели описывают множество явлений в физике, химии, биологии. В частности, такие модели полезны при изучении динамики контрастных агентов, вводимых в кровеносные сосуды при ультразвуковых исследованиях. Отметим, что в жидкости, содержащей пузырьки газа, могут возникать уединенные и периодические волны, характерные для многих нелинейных эволюционных уравнений.
Во многих экспериментальных и теоретических исследованиях отмечена важность влияния межфазного теплообмена на эволюцию нелинейных волн в газожидкостных смесях. Однако в настоящее время нелинейные волновые процессы в жидкости с пузырьками газа с учетом межфазного теплообмена недостаточно изучены. В связи с этим важной задачей является построение и асимптотический анализ математической модели нелинейных волновых процессов в жидкости с пузырьками газа, в которой учитывается межфазный теплообмен.
В диссертационной работе пузырьковая жидкость рассмотрена как однородная сжимаемая среда, и для описания ее течения использованы уравнения непрерывности и Эйлера совместно с соотношением, связывающим плотность смеси с плотностями жидкости и газа. Для получения уравнения состояния такой среды использовано обобщение уравнения Рэлея совместно с уравнением состояния газа в пузырьке и уравнением, выражающим
закон сохранения энерегии для газа пузырьке. Полученное таким способом уравнение состояния является неголономным. Для анализа системы уравнений, описывающей нелинейные волновые процессы в жидкости с пузырьками газа, использован метод многих масштабов, который позволяет получить набор редуцированных нелинейных эволюционных уравнений.
Изучение математических моделей нелинейных волновых процессов в вязко-эластичных трубках также представляет большой интерес поскольку такие математические модели используются в различных приложениях, в частности в биомеханике.
Известно, что вязко-эластичные трубки отражают некоторые особенности сосудов кровеносной системы. Следовательно для биомеханических приложений важно рассмотреть математическую модель, учитывающую специфические механические свойства стенки трубки, такие как вязко-эластичность и нелинейную упругость. При выводе уравнения движения стенки трубки это приводит к возникновению в нем нелинейных слагаемых и слагаемых с производными высоких порядков.
Основой математических моделей нелинейных волновых процессов в вязко-эластичных трубках являются классические уравнения гидродинамики, сопряженные с уравнением движения стенки трубки. При этом уравнение движения стенки трубки играет роль неголономного уравнения состояния такой среды. Поэтому представляет интерес проведение асимптотического анализа математической модели нелинейных волновых процессов в вязко-эластичных трубках, учитывающей нелинейную упругость и вязко-эластичность и получение набора редуцированных нелинейных эволюционных уравнений.
Целью диссертационной работы является исследование нелинейных эволюционных уравнений для описания волновых процессов в средах с неголономным уравнением состояния, в частности в нелинейно-упругих вязко-эластичных трубках и в жидкости, содержащей пузырьки газа.
Методы исследования. В диссертационной работе использовано сочетание аналитических методов анализа математических моделей и дифференциальных уравнений. Для анализа и упрощения полученных систем уравнений применены подходы теории возмущений и метод многих масштабов. Для анализа свойств нелинейных эволюционных уравнений использованы методы аналитической теории нелинейных дифференциальных уравнений. Для поиска точных решений нелинейных дифференциальных уравнений применялся метод "простейших" уравнений и метод многоугольников Ньютона.
В диссертационной работе решены следующие задачи:
Разработана математическая модель распространения нелинейных волн в жидкости, содержащей пузырьки газа, при учете вязкости и теплообмена между жидкостью и газом в пузырьках;
Получены нелинейные эволюционные уравнения для описания волн давления в вязко-эластичных трубках и в жидкости, содержащей пузырьки газа;
Исследованы аналитические свойства нелинейных эволюционных уравнений для описания волн давления в вязко-эластичных трубках и в жидкости с пузырьками газа;
Построены точные решения нелинейных эволюционных уравнений для описания волн давления в вязко-эластичных трубках и в жидкости с пузырьками газа;
Найдены точные решения обобщенных нелинейных эволюционных уравнений, встречающихся при описании волновых процессов в средах с неголономным уравнением состояния;
Проведено численное моделирование процесса распространения нелинейных волн в жидкости с пузырьками газа.
Научная новизна работы:
Получены нелинейные эволюционные уравнения для описания волновых процессов в жидкости с пузырьками газа при учете вязкости и теплообмена между жидкостью и газом в пузырьках;
Найдены точные решения для описания нелинейных волн давления в жидкости с пузырьками газа при учете вязкости и теплообмена;
Изучено влияние межфазного теплообмена на эволюцию нелинейных волн в жидкости с пузырьками газа;
Получено семейство нелинейных эволюционных уравнений, используемых при описании волн в вязко-эластичных трубках;
Построены точные решения для описания нелинейных пульсовых волн в вязко-эластичных трубках;
Доказана неинтегрируемость нелинейных эволюционных уравнения для описания волн давления в вязко-эластичных трубках и в жидкости с пузырьками газа;
Получены точные решения обобщенных нелинейных эволюционных уравнений, встречающихся при описании волновых процессов в средах с неголономным уравнением состояния;
Предложено обобщение преобразования Коула-Хопфа, которое может применяться для построения точных решений иерархии уравнения Бюргерса;
Предложена модификация метода простейших уравнений, позволяющая находить точные решения нелинейных дифференциальных уравнений широкого класса.
Обоснованность и достоверность результатов работы определяется выбором математических моделей, основанных
на законах сохранения массы, импульса и энергии, а также подтверждается сравнением результатов численных расчетов с тестовыми точными решениями.
Апробация работы. Основные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях:
Семинар кафедры прикладной математики НИЯУ МИФИ «Современные проблемы математики», 2007, 2008 и 2009 годы.
Международная конференция Математическое моделирование и вычислительная физика, Дубна, 7-11 июля 2009 года.
Международная научная конференция «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики» посвященная памяти академика А.А.Самарского, Москва, 16-18 июня 2009 года.
XVI Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2009», МГУ, Москва, 13-18 апреля 2009 года.
Ежегодная Научная Сессия НИЯУ МИФИ, Москва, январь 2006, 2007, 2008 и 2009 годов.
Практическая значимость работы. Полученные в диссертационной работе нелинейные эволюционные уравнения могут быть использованы для изучения динамики волновых процессов в вязко-эластичных трубках и в жидкости с пузырьками газа. Модификация метода простейших уравнений, предложенная в диссертационной работе, может быть применена для построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений широкого класса.
На защиту выносятся:
Нелинейные эволюционные уравнения для описания волн давления в жидкости с пузырьками газа при учете вязкости и теплообмена;
Нелинейные эволюционные уравнения для описания волн давления в вязко-эластичных трубках;
Доказательство неинтегрируемости нелинейных эволюционных уравнений, описывающих волновые процессы в вязко-эластичных трубках и в жидкости с пузырьками газа;
Точные решения семейств нелинейных эволюционных уравнений для описания волн давления в вязко-эластичной трубках и в жидкости содержащей пузырьки газа;
Доказательство применимости обобщенного преобразования Коула-Хопфа для уравнения иерархии Бюргерса;
Результаты численного моделирования нелинейных волновых процессов в жидкости, содержащей пузырьки газа.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения, приложения и списка литературы. Диссертация содержит 136 машинописных страницы и 30 рисунков. В список литературы включено 150 наименований.
