Введение к работе
Актуальность темы. В диссертации изучаются качественные вопросы осцилляционной теории краевых задач для негладких линейных дифференциальных уравнений второго порядка на на связных графах. Граф понимается геометрически, как множество из Rn, включающее в себя ие только вершины, но и все точки ребер (в других терминах граф — одномерное клеточное пространство или топологическая сеть). Уравнение на графе скалярно на каждом ребре, решение склеивается во внутренних вершинах из решений на ребрах в соответствии с условиями непрерывности и специальными условиями согласования. Уравнения на графах моделируют целый ряд физических явлений: колебания механических систем, составленных из упругих континуумов (струн, стержней), электронные колебания в сложных молекулах (в теории рассеяния), процессы в электрических цепях.
Изучение дифференциальных уравнений на графах и краевых задач для них началось в первой половине 80-х годов. Первые результаты по данной тематике связаны с именами Павлова B.C., Фаддеева М.Д. (1983), Покорного Ю.В., Провоторовой Е.Н. (1983), Авдонина С.А. (1983), Nicaise S. (1986). Вторая половина 80-х и начало 90-х сопровождались появлением в теории линейных ДУ второго порядка на графах ряда важных результатов, из которых следует выделить аналог теоремы сравнения Штурма (Покорный Ю.В., Пенкин О.М.), существование и представление функции Грина (Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Карелина И.Г.), исследование асимптотики спектра (Завгород-ний М.Г.). Перечисленные результаты (прежде всего аналог теоремы Штурма) создали почву для изучения осцилляционных свойств спектра краевой задачи на графе (Покорный Ю.В., Пря-диев В.Л., Аль-Обейд А,). Настоящая диссертация посвящена исследованию осцилляционных свойств решений негладких дифференциальных уравнений второго порядка на графе (моделирующих, например, колебания сетки из струн с упругими опорами в узлах) и применению результатов этих исследований
к изучению соответствующей спектральной краевой задачи.
Цель работы состоит 1) в доказательстве аналогов теорем Штурма для выделяемого в диссертации класса негладких линейных дифференциальных уравнений второго порядка на графах; 2) в установлении достаточного условия неосцилляции таких уравнений и пологкительности функции Грина соответствующей краевой задачи; 3) в изучении (на осцилляционность) структуры спектра соответствующей краевой задачи на собственные значения.
Методика исследования. В диссертации используются качественные методы как классической теории ОДУ, так и теории ОДУ на графах.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. В числе наиболее важных следует отметить:
в доказательство аналогов теорем Штурма о перемежаемости и о сравнении для указанного в диссертации класса негладких линейных дифференциальных уравнений на графе;
о доказательство аналога триады Якоби для этих уравнений;
в вывод условий положительности функции Грина для соответствующей краевой задачи и Uq-положитєльности интегрального оператора, обращающего эту задачу;
« доказательство вещественности спектра соответствующей спектральной задачи в случае графа-дерева;
в вывод условия простоты собственного значения спектральной краевой задачи в терминах распределения нулей соответствующей собственной функции;
9 вывод соотношений, связывающих геометрическую кратность собственного значения А спектральной краевой задачи на графе с геометрическими кратностями А, как собственного значения задач на подграфах;
о доказательство перемежаемости спектра краевой задачи на графе со спектрами краевых задач на ребрах (в случае графа-пучка);
описание зависимости количества зон энакопостоянства соб
ственной функции краевой задачи от ее номера (в случае
графа-пучка);
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти применение при изучении различных вопросов спектральной теории краевых задач для негладких ДУ на графах.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:
в школе " Понтрягинские чтения - V". - Воронеж, 1994,
на Воронежской Зимней Математической Школе. - Воронеж, 1995, а также на семинаре по качественной теории краевых задач под руководством проф. Ю.В.Покорного (НИИ математики Воронежского университета).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы, отражающие основное ее содержание (см. литературу в конце автореферата). В третьей работе соавтору принадлежит только доказательство равномерной непрерывности функции Грина на компонентах связности ее области определения.
Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 136-ти страницах и состоит из введения и четырех глав, разбитых на 16 параграфов. Библиографический список содержит 53 наименования.
