Введение к работе
Актуальность темы. Б диссертации изучаются качественные войства нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка а связных графах. Граф понимается геометрически, как множество з К. , включающее не только вершины, но и все точки ребер (в ругих терминах граф - одномерное клеточное пространство или опологическая сеть). Уравнение на графе скалярно на каждом ре-ре, решение склеивается во внутренних вершинах из решений на ебрах в соответствии с условиями непрерывности и специальными словиями гладкости, /равнения на графах моделируют целый ряд изических явлений: колебания механических систем, составленных з упругих континуумов (сгрун, стержней), электронные колебания сложных молекулах (в теории рассеяния), процессы в электриче-шх цепях.
Изучение дифференциальных уравнений на графах и краевых ідач для них началось в первой половине 80-х годов. Первые ре-гльтагы по данной тематике связаны с именами Павлова Б.С, а-іеева М.Д. (1983), Покорного Ю.В., Провоторовой Е.Н. (1983), здонина С. А. (1983), tilcalse. >. (1966). Вторая половина 80-х и ічало 90-х сопровождались появлением в теории линейных ДУ вто-іго порядка на графах ряда ввжных результатов, из которых сле-гет выделить аналог теоремы сравнения Штурма (Покорный Ю.В., !нкин О.М.), существование и представление функции Грина (Полный Ю.В., Пенкин СМ., Карелина И.Г.), исследование асимптоти спектра (Завгородний М. Г.). Ряд аналогичных результатов а исключением асимптотики спектра) получен и при исследовании нейных уравнений на графах, допускающих разрывы решений (Ad-
дульмаджид М., Прядиев В.Л.). Перечисленные результаты (прежде всего, аналог теоремы Штурма) создали почву для успеиного изуче ния осцилляционных свойств спектра краевой задачи на графе (Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев B.I., Аль-Обейд А.).
Эффективное применение аналога теоремы Штурма при исследовании . линейных спектральных краевых задач на графах по елужило стимулом к поиску нелинейных аналогов теорем сравнения на графе, открывающих перспективу для изучения структуры спектра нелинейных спектральных краевых задач (на графах). Первые шаги в этом направлении были сделаны Покорным Ю.В. и Карелиной И.Г. (1989-91 гг.). Этой же проблеме посвящена и настоящая диссертация.
Цель работы состоит І) в доказательстве аналогов теорем Штурма о сравнении и о перемежаемости для нелинейных дифференци' альных уравнений второго порядка на огрезке; 2) в доказательств! эффективности использования этик аналогов, во-первых, при изучении соответствующей спектральной краевой задачи, во-вторых, для получения априорных оценок на положительное решение соответствующей краевой задачи; 3) в доказательстве аналогов теорем Штурма для нелинейных дифференциальных уравнении второго порядка на графах.
Методика исследования. В диссертации используются качественные методы как классической теории ОДУ, гак и теории ОДУ на графах.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. В числе наиболее важных следует отметить: а) доказательство аналогов теорем Штурма о перемежаемости и о сравнении для выделяемого в работе класса нелинейных дифференци-
іьннх уравнений второго порядка на отрэзке; і описание спектра соответствующей краевой задачи через спектры сдельных (в смысле замени нелинейностей их предельными значе-іями) линейных краевых задач;
1 вывод априорных оценок на положительное репение соответствую->й краевой задачи; доказательство аналогов указанных выше теорем Штурма для вы-ляемого в диссертации класса нелинейных уравнений на графе.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит тео-тический характер. Результаты могут найти применение при ис-едовании спектров как нелинейных краевых задач на графах, так нестандартных краевых задач на отрезке, решения которых могут рять гладкость или непрерывность.
Апробация работы. Основные результаты диссертации доклады-лись:
на ІУ Уральской региональной конференции "$ункционально-диффе-нциальные уравнения и их приложения". - Уфа, 1989, в ХІУ школе по теории операторов в функциональных пространст-х. - Новгород, 1989,
на III Всесоюзной конференции "Новые подходы к решению диффе-кциальных уравнений". - Дрогобыч, 1991,
в школе "Теория функций. Дифференциальные уравнения в матема-ческом моделировании". - Воронеж, 1993,
иа конференции "Современные проблемы механики и математической зики". - Воронеж, 1994,
іа весенней Воронежской математической иколе "Понтрягинские гния - У". - Воронеж, 1994, также на семинаре по качественной теории краевых задач (проф.
- б -
Ю.В.Покорный, НИИ математики ВГ7).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ.
Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 145-ти страницах и состоит из введения и трех глав, разбиты в целом на II параграфов. Библиографический список содержит kk наименования.
