Содержание к диссертации
Введение
1 Основной объект исследования и постановка задачи 24
1.1 Понятие связного геометрического графа 24
1.2 Классы функций, определённых на геометрическом графе 25
1.3 Уравнение гиперболического типа на декартовом произведении геометрического графа и R 28
1.4 Постановка задачи и её обсуждение 30
2 Результаты вспомогательного характера 34
2.1 Достаточные условия существования и непрерывности вторых производных у решения характеристической задачи для гиперболического уравнения с двумя независимыми переменными 34
2.2 Теорема 2.1.1 для частного случая коэффициента с 38
2.3 Неулучшаемость достаточных условий без дополнительных предположений 42
2.4 Достаточное условие корректности формулы Римана в случае гиперболического уравнения во второй канонической форме 48
2.5 Вспомогательные оценки 52
3 Метод Римана для уравнения гиперболического типа на Г х R, где Г - геометрический граф-звезда 57
3.1 Постановка задачи, аналогичной задаче Гурса 57
3.2 Некоторые преобразования задачи (1.3.1), (3.1.1) и дополнительные предположения на коэффициенты 60
3.3 Случай симметричных коэффициентов уравнения (1.3.1) 63
3.4 Нелокальное условие разрешимости аналога задачи Гурса в общем виде для уравнения (1.3.1) 69
3.5 Случай несимметричных коэффициентов уравнения (1.3.1) 75
3.6 О существовании и непрерывности (Я4)^ и (Rl)r)t 95
3.7 Метод Римана 100
Литература 108
- Уравнение гиперболического типа на декартовом произведении геометрического графа и R
- Достаточные условия существования и непрерывности вторых производных у решения характеристической задачи для гиперболического уравнения с двумя независимыми переменными
- Достаточное условие корректности формулы Римана в случае гиперболического уравнения во второй канонической форме
- Некоторые преобразования задачи (1.3.1), (3.1.1) и дополнительные предположения на коэффициенты
Введение к работе
Настоящая работа посвящена исследованию уравнения гиперболического типа
(р(х)их(х, t))x - q(x)u(x, t) + f(x, t) = p(x)utt(x, t) + ^{х)щ{х, t)
(z Є Г, * Є E),
в котором Г - геометрический граф (в смысле [17]). Основная цель, которая преследуется в работе, состоит в перенесении метода Римана на уравнение данного вида.
Несколько слов об истории исследований линейных дифференциальных уравнений на геометрических графах и месте настоящей работы в этих исследованиях.
Интенсивное изучение дифференциальных уравнений на геометрических графах (в других терминах - пространственных сетях, одномерных стратифицированных множествах, одномерных клеточных комплексах) началось сравнительно недавно, около 25-30 лет назад. К подобным уравнениям приводит моделирование самых разных явлений: процессов в сетях волноводов (см., например, [17, 74, 77]), деформаций и колебаний стержневых решёток (см., например, [17, 77, 41, 71, 76]), деформаций упругих сеток (см., например, [17, 77]) и струнно-стержневых систем [3, 48], диффузии в сетях [17, 77, 25], распространения электрического потенциала в нейроне и нейронных сетях [79, 73, 66], бифуркаций вихревых течений в жидкости [68], гемодинамики (см., например, [42]), колебаний сложных молекул (см., например, [43, 13, 17]), расчёт гидравлических сетей (см., например, [15]); приводят к таким уравнениям и задачи вычислительного характера: например, задача о приближении
спектра лапласиана и операторов более высокого порядка на триангулируемом римановом многообразии спектрами дифференциальных операторов на геометрических графах (топологических сетях) (см., например, [44, 27, 76, 26]).
Мы не будем подробно останавливаться на результатах исследований обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на геометрических графах. Отметим лишь, что для таких уравнений достаточно полно изучен вопрос о разрешимости задачи с краевыми условиями типа Штурма-Лиувилля при условиях трансмиссии во внутренних вершинах графа, адекватных закону Кирхгофа, а так же вопрос о структуре спектра (условия простоты, оценки геометрической и алгебраической кратностей, асимптотики, оценки резольвенты, существования полугруппы); построена теория функции Грина, исследованы свойства неосцилляции уравнений и неравенств, доказаны аналоги теорем Штурма о сравнении и перемежаемости, установлены условия осцилляционности спектра в случае геометрических графов без циклов - см. [17] и цитированную там литературу. Часть этих результатов была получена и в случае обобщения условий Кирхгофа, которые могут быть проинтерпретированы как 5-й '—взаимодействие в узлах сети [17, 55, 67, 1].
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка на геометрических графах могут рассматриваться как частный случай уравнений эллиптического типа на стратифицированных множествах, теория которых к настоящему времени развита до аналогов неравенства Пуанкаре, принципа максимума, неравенства Гарнака, теоремы о среднем, формулы Пуассона, метода Перрона - см., например, [46, 45, 47, 7, 34, 17].
Аналоги классических результатов (разрешимость, существование сильно непрерывной полугруппы) получены и для уравнений параболического типа - см., например, [25, 75].
На результатах исследований уравнений гиперболического типа на геометрическом графе1 остановимся более подробно. Прежде всего, если говорить о волновом уравнении на геометрическом графе (т.е. об уравнении (1) при р = 1, q — О, р = 1, / = 0, /і = 0), то, помимо исследования структуры и ассимптотики спектра и оценок резольвенты (об этом выше уже шла речь), следует сказать о получении аналогов формулы Даламбера [50, 69, 70, 5, 31, 30, 57, 72]. Эти аналоги позволили для смешанной задачи с краевыми условиями первого и/или второго родов на геометрическом графе с соизмеримыми по длине рёбрами: 1) описать решение (а значит, и соответствующие операторные косинус-функции и синус-функции) в конечной форме, означающей квазипериодичность -см. [57, 29, 31, 32, 78, 51], 2) обосновать корректность начальной задачи [28], 3) создать эффективную вычислительную схему, основанную на теореме о среднем [59]. Аналог формулы Даламбера позволил также свести решение смешанной задачи (для, по-прежнему, волнового уравнения) на геометрическом графе с рёбрами, вообще говоря, несоизмеримыми, к системе (недифференциальных) уравнений с конечным числом запаздываний [52, 53, 54, 58]. Предприняты и первые попытки исследования задач управления [56, 14] и задач управляемости [б] (последнее в духе работ [20]-[24], [63, 64]) при краевых условиях пока только первого рода. На повестке дня и перенесение методов задач наблюдения (см., например, [19, 18]) на волновые уравнения на геометрических графах. В случае
1 Точнее, на декартовом произведении геометрического графа и R1.
волнового уравнения на геометрическом графе при условиях трансмиссии, описывающих S— и 6'—взаимодействие в узлах сети, для некоторых классов геометрических графов, краевых условий и условий трансмиссии получены формулы, содержащие конечное число арифметических операций, элементарных функций, квадратур и простейших преобразований начальных данных, означающих сдвиг графика и его симметричное отображение (см. [37, 38, 39]).
В свете вышеизложенного изучение возможности перенесения метода Римана на уравнение (1) (на декартовом произведении геометрического графа и R) представляется и актуальным, и естественным продолжением уже проведённых исследований для волнового уравнения на геометрическом графе. Настоящую работу можно рассматривать как один из шагов в этом направлении, но полностью задачу о перенесении метода Римана на случай уравнения (1) на геометрическом графе не решающий: например, остался не изученным случай геометрического графа с циклами. Во многом это объясняется тем, что перенос метода Римана на уравнение (1) (на геометрическом графе) реализуется не столь легко, как это казалось в начале предприятия, и основных причин здесь две. Первая: условия трансмиссии в вершинах геометрического графа не удалось преодолеть путём поочерёдного применения классического метода Римана сначала на одном ребре, затем, "перевалив"через вершину, на другом и так далее - и это не смотря на то, что условия трансмиссии рассматриваются в работе адекватные закону Кирхгофа2 - самые, пожалуй, изученные и популярные у большинства исследователей дифференциальных уравнений на геометрических графах. Вторая причина и вовсе неожиданна:
2В [49] эти условия названы условиями а—гладкости.
изучение литературы показало, что обоснование корректности метода
v Римана для уравнения (1) даже в случае, когда Г есть отрезок, или пря-
мая, или луч, отсутствует по той причине, что излагается метод Римана только для уравнения
иху + а(#, у)их + Ь(х, у)иу + с(х, у)и = F(x, у)
- гиперболического уравнения с двумя независимыми переменными в так называемой первой канонической форме. Исключение составляет лишь хорошо известная монография [65], в которой, однако, данное обоснование не является исчерпывающим. Эту недосказанность в настоящей работе мы были вынуждены устранить.
Перейдём к краткому описанию основных результатов данной диссертации.
Первая глава посвящена постановке задачи. В ней делаются основные предположения, вводятся понятия, используемые в ходе исследования. Даётся подробное описание всех объектов исследования.
В пункте 1.1 определяется конечный и связный открытый геометрический граф Г в Шп (следуя [17]), представляющий собой связное объединение конечного числа интервалов {Ха + (1 — Л)6 | а, 6 Є Кп, 0<А< 1} и открытых лучей {a + Xh | а Є Rn, Л > О, h - единичный вектор в Rn } и некоторого подмножества множества концов этих интервалов и лучей. Данные интервалы и лучи мы назовём рёбрами Г и обозначим 7г (г = 1,т, где т - количество рёбер Г), а их концы, вошедшие в Г, -внутренними вершинами Г. Граничными вершинами Г называются кон-
3Доступной и известной, в которой упоминается метод Римана - см. [60, Введение, 2], [33, Часть
« I, глава II], [2, глава II, п.42], [4, глава III, 4], [16, глава XXVI], [35, глава V, 5], [36, глава V, 4],
[61], [62, лекция V].
цы рёбер, не вошедшие в Г. Также предполагается, что 7» П Ї] ~ ПРИ і ф j. Степенью вершины будем называть количество примыкающих к ней рёбер.
Объединение рёбер 7t обозначим через Л (Г), множество внутренних вершин Г обозначается через ^Г(Г).
На Г рассматривается топология, индуцированная из Rn евклидовой нормой. Циклом геометрического графа будем называть его подмножество, гомеоморфное окружности. Геометрический граф без циклов будем именовать деревом. Если некоторая вершина дерева является концом каждого из его рёбер, то такой геометрический граф мы будем называть звездой.
Всюду далее будем рассматривать только связные открытые геометрические графы-деревья, не имеющие граничных точек и степень каждой внутренней вершины которых превышает единицу.
В пункте 1.2 определяются функциональные пространства на связном открытом геометрическом графе. На Г вводятся в рассмотрение веще-ственнозначные непрерывные функции. Множество равномерно непрерывных функций на каждом из рёбер Г (если ребро - луч, то на каждом его подынтервале) обозначается через C(R(T)).
На Г вводится ориентация рёбер: каждому ребру 7г графа Г ставится в соответствие один из двух коллинеарных ему единичных векторов hi (для луча - сонаправленный с ним).
Определение 1.2.1. Будем говорить, что функция и, действующая
из Г в Е, дифференцируема на ЩГ), если для любого г = 1, т и любого х Є 7г существует конечный предел
и(х + ehi) — и(х)
є->0 є
естественно определить в этом случае производную функции и(-) в смысле заданной ориентации Г как функцию
и(х + ehi) — и(х)
и'(х) = lim — (х Є 7is і — 1,тп).
4 ' є->о є
Пространство функций непрерывных на Г и обладающих на каждом ребре 7г (для луча 7г - на каждом его подынтервале) равномерно непрерывной производной) обозначим через C\R(T))] через С2(ЩГ)) обозна-чим пространство функций из С (R(T)), обладающих на каждом ребре 7і (для луча 7і _ на каждом его подынтервале) равномерно непрерывной производной второго порядка.
Определение 1.2.2. Вектор h Є Rn единичной длины назовём допустимым в вершине а графа V, если (a + eh) Є Г для достаточно малых положительных є.
Множество допустимых в вершине а векторов обозначим через D(a).
Если и Є С1(і2(Г)), то для любой вершины а и любого h Є D(a) существует правосторонняя производная функции и в вершине а по направлению /і, т. е. существует
, u(a + eft) - и(а)
и? (а) — lim —* і—.
По аналогии вводится понятие правосторонней производной второго порядка, для функции из С2(ЩГ)).
В пункте 1.3 приводится основной объект исследования - уравнение гиперболического типа на декартовом произведении геометрического графа и R:
(р(х)их(х, t))x - q(x)u(x,t) + f{x, t) = p(x)utt(x, t) -f ц(х)щ(х, t)
{xT,te R), (1)
где функции р(х), q(x), р(х), р,(х) определены и непрерывны на #(Г), причем выполнено: 1) для любой а Є і7(Г) геометрического графа Г и любого h D(a) пределы р(а + 0 /г), q(a + 0 /г), р(а + 0 h), р,(а + 0 h) существуют и конечны; 2) функции р{х) и р{х) положительны на Я(Г), и их пределы p(a+0-h) и р(а+0- h) также положительны, У (а Є «/(Г), h Є )(а)); 3) функция f определена и непрерывна на R{T) х М, причем её
сужение на 7г X К (г = 1,ттг) доопределяемо по непрерывности в точках вида (а, ), где а - любой из концов 7-
Уравнение (1) при х Є Д(Г) понимается в соответствии с введённым дифференцированием функций, определённых на Г. А при х = а Є *7(Г) как выполнение равенства
heD(a)
Для любого t 6 1 функция u(x,i), как функция переменного ж, принадлежит С2(#(Г)); для любого t Є Ш функция ut(x,t), как функция переменного х, непрерывна на Г; все частные производные utt, ихх и uxt
непрерывны на 7» х R (Vi = 1, m), причём сужение любой из этих функций на 7і х Л доопределяемо по непрерывности в точках вида (а, ), где а - любой из концов 7ї-
Для уравнения (1) рассматривается следующая начальная задача:
u{x,t) =
ип{х, t) =
где G С (Гхі) есть график функции t = Ф(#), принадлежащей
1р(х\ Cl(R(T)) и такой, что |Ф'(ж)| < \ -j-r. Через п обозначена нормаль
к G в точке (ж, і), а через ип - производная u(x,t) по направлению п (при фиксированном ).
Относительно функций іро и ірі предполагается, что: 1) lpo(x) =
Vi ~ Vo ' cos а cos/3 — cos а- Ч?'(х)
непрерывна на Г и выполено:
Р(а + 0 h){
В пункте 1.4 сформулирована основная цель настоящей работы - перенесение метода Римана на уравнение (1). Точнее говоря, эта цель состоит в получении описания решения u(x,t) задачи (1), (2) через начальные данные сро и (р\.
Коротко напоминается идея метода Римана для линейного гиперболического уравнения с двумя независимыми переменными вида
/т-ч/ ч д2и . .ди ,, sdu . ч _, . , . (Lu){x,y) = -^- + a(x'y}fa + Ь(ж'у^ + с(хіУ>и = F\xiV)i (5)
(жЄІ,уЄЕ),
Также обсуждаются проблемы, связанные с перенесением метода Римана на уравнение вида (1) и определяющие тем самым структуру работы.
Вторая глава содержит результаты, которые в первую очередь носят вспомогательный характер, представляя, впрочем, и самостоятельный интерес. В данной главе исследуются условия применимости метода Римана для уравнения вида (1), а также содержатся некоторые вспомогательные оценки.
В начале Главы 2 ищутся достаточные условия существования и непре-
v рывности вторых производных у решения характеристической задачи
для гиперболического уравнения с двумя независимыми переменными. Рассматривается задача
иху -f аих -f buy -f си = F (0 < х < xq, О < у < уо)
< и\х=о - (pi(y) 0 < у < уо (3)
и\у=о — <Р2(х) 0 < X < х0
и доказывается следующая теорема:
Теорема 2.1.1. Пусть в задаче (3) а, 6, с, F обладают непрерывными производными как по ж, так и по у, а щ и <р2 - дважды непрерывно дифференцируемы. Тогда у решения задачи (3) все вторые частные производные существуют и непрерывны в прямоугольнике П = [0; xq] х [0; уо].
Существование и непрерывность производных ихх и иуу даёт возмож-ность реализовать метод Римана для уравнения вида (1).
Дальнейшие исследования вынуждают искать пути реализации метода Римана для уравнения (1) в случае лишь непрерывного коэффициента с(х,у). Исходя из этого доказывается следующее утверждение.
Утверждение 2.2.1. Если в задаче (3) функция с имеет вид с(х + у) или с(х — у), то для выполнения утверждения Теоремы 2.1.1 достаточно потребовать от с только непрерывность (оставляя остальные требования к коэффициентам неизменными).
Далее показывается неулучшаемость указанных достаточных условий без дополнительных предположений на коэффициенты. Поочереди мы уменьшаем предполагаемую регулярность коэффициента и показываем, что в этом случае у решения характеристической задачи может не суще-ствовать одной из вторых частных производных.
Кроме вопроса о существовании вторых частных производных у решения задачи Гурса, в Главе 2 обсуждается достаточное условие корректности формулы Римана в случае гиперболического уравнения во второй канонической форме.
Рассматривается задача Коши
UXx - Uyy -f
< и\у=ц{х) = 4>{x) , (4)
k uy\y=li{x) = Ф{х) в которой ог, /?, 7 и Ф обладают непрерывными производными по х и по у, функции (л и (р дважды, а функция ф - один раз непрерывно дифференцируемы, причём |/*'(ж)| < 1. Под решением данной задачи понимаем функцию, у которой все производные второго порядка непрерывны. На основании предыдущих результатов главы доказывается следующие две теоремы.
Теорема 2.4.1 Задача (4), при оговорённых только что условиях на коэффициенты а, /?, 7 и Ф и начальные данные /і, <р и -0, имеет единственное решение, определяемое равенством:
и(х,у) ~v(x + y,x~y),
где v = v(, г]) есть решение задачи
г V& + ctV + for, + 7^ = Ф
< <=№ = Ш (2-4-2)
, vv\v=№ = ^W
где а, /?, 7 и Ф есть, соответственно функции |(а + /3), |(а — /?), J(7) и |(Ф) при ж = ^2 и ?/ = у*, Д - функция, неявно определяемая как
зависимость rj от из равенства -1 = ц (Цг1J, а ф и ф даются формулами <р() = <р (^рМ и ф() = -ф (). При этом для v имеет место формула Римана:
-#Й, туї; 6, г/2) + Ц я(Г, т/; , г/)Ф(Г, t/KW,
где (i,»?i) есть решение системы
^=/^)
2 — 2 2^2
(относительно f, V), a (2^2) - решение системы
^-..^ +±2 4-^ '
2 ~ 2^2^2
R{i',r}'\ ,77) - функция Римана для уравнения из (4).
Теорема 2.4.2. Пусть в задаче (4) функция Ф имеет вид
Ф = Ф1(х,у)Ф2{х) + Ф3{х,у)Ф4(у),
где Фі и Фз обладают непрерывными первыми частными производными, а Фг и Ф4 - непрерывны. Пусть все остальные предположения о коэффициентах неизменны. Тогда утверждение Теоремы 2.4.1 выполнено.
Так же в Главе 2 выводятся оценки на решение краевой задачи и его частные производные, которые (оценки) используются при доказательстве теорем из Главы 3.
Третья глава посвящена описанию аналога метода Римана для задачи (1), (2) в случае, когда Г - геометрический граф-звезда. Данный
метод позволяет выразить в явном виде решение задачи (1), (2) в произвольной точке области ГхМ. Результаты главы с одной стороны носят самостоятельный характер, а с другой - могут служить базой индукции при перенесении метода Римана на случай произвольного графа-дерева.
В начале третьей главы осуществляется постановка задачи, аналогичной задаче Гурса.
Уравнение (1) рассматривается на Г х R, где Гс1п- геометрический граф-звезда, представляющий собой объединение трёх различных лучей с общим началом. Г можно представить в виде Г = {a} (J71UT2 UT3 > где а - точка из En, ji - соответствующие лучи.
Рассматривается следующая задача для уравнения (1):
и{а + xhi, t)\t=to-xi(x) = тг(х), 0 < х < хи г = ЇД (5)
ГДЄ to -ЛЮбое Вещественное ЧИСЛО, Хг(х) = [ \ Г~? TT^sj т% Є С2[0; #t]j
І \Jp(a + shi) причём rl(0) = r2(0) = r3(0); Xi > 0, і — 1,3. Ставится вопрос о существовании и единственности решения задачи (1), (5) на множестве (для определенности считаем, что х1{х\) < тпіп{х2(х2)] Х3іхз)})'
n = n1Un2Un3,
Пг- = {(a + xhi] t)\0
t-Xi(x)e[tQ-2Xi(x1)]to]} і = ЇД
Уравнение t — to — хг(\\х ~ a\\) является уравнением характеристики для уравнения (1), рассматриваемого на ({aJUji) X К. Задача (5) представляет собой специальный случай аналога задачи Гурса: характеристики t = tо — хг(\\х - а\\), ї = 1,3 пересекаются в точке (а, ^о),
лежащей на оси ; однако, этот специальный случай является главным, т.к. к нему легко сводится вопрос о существовании и единственности решения аналога задачи Гурса общего вида. Далее задача (1), (5) сводится к задаче:
(LV)(y, *) := t4(y, t) - vly(y, t) + A%K(2/, t)+
-l/
+?Шу(у, t) + q\y)v\y, t) = f(y, t) (((ХГШ) Є inffl), » = 1,3,
(6) 3
f=i.
v\Q,t) = u2(0,*) = u3(0,) (-2y0 < * < 0), (8)
t% -2/) = 6%) (0 < у < 2/0), і = ЇД (9)
в которой
rj(y) = -КЧрУЖх'ГЧї/)))', /Чу,<) = /((х'ГЧг/),*).
'«-Ш
v\y,t) = «*((x*)"1(y),*), ** = vV-^)(0)
для г = 1,3 (/ij - направляющий вектор луча 7і) рг(ж) = р(а+ж/ії), г(#) = g(a + xhi), рг(х) — р(а + xhi), /хг(ж) = /i(a + я/ij), /г(я,i) = f(a + а?Лг-,*) - для х > 0, а также уг(ж, ) = n(a + xhi, і) ~ для х > 0, г = 1,3.
При этом мы, конечно, считаем, что функции (рг рг)(х) дифференцируемы.
В пункте 3.3 рассматривается задача (6)-(9) в предположении, что
q^z) = (*), /г'0М) = fj(z,t), ?{z) = rJ{z), fr{z) = fi(z)
гє[0;+оо),г = 1,3,і = 1,3. (S)
Данное предположение используется по существу. Доказательство существования и единствености решения такой упрощённой задачи является этапным перед доказательством общего случая.
Доказывается теорема:
Теорема 3.3.1 Пусть
(а) коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют условиям 1)-3) из
пункта 1.3 и заданы таким образом, что выполнены условия симметрич
ности (S), приведённые выше в настоящем пункте
(б) функции (рг)', (рг)г, (//)', ql и (ргрг)" непрерывны на [0; +оо) для
каждого і,
(в) для каждого і = 1,3 функция fl(x,t) принадлежит классу F
функций вида {/іі(ж> *) /г^аг) + /у(я, t) faj(t)}} где сумма по j конеч-
i на, Vj выполнено: /у, /з;- - функции, обладающие в {(ж, і) | х > 0, t Є Щ
непрерывными частными производными первого порядка, а Д/, fy -
непрерывны: Д,- - на [0; -foo), a /у - на Ж,
(г) (ру)'(0) = о (t = v5),
(д) для каждого і = 1,3 выполнены равенства (рг) (0) = 0 и
()>> = о,
(е)р'(о) = «(»' = їТз).
Тогда задача (1), (5) имеет определённое на П решение, причём единственное.
В пункте 3.4 выводится условие на характеристические данные, необходимое и достаточное для разрешимости аналога общего вида задачи Гурса для уравнения (1); это условие носит нелокальный характер. Под аналогом общего вида задачи Гурса понимается характеристическая за-
дача в области, заключенной между кривой, на которой заданы начальные условия и характеристиками, опущенными на неё из произвольной точки Г х К, а не из точки, принадлежащей {а} х R, как рассматривалось в предыдущих пунктах.
Пусть G С (Г х R) есть график функции t = Ф((х)-1(з/))> а & Є [0;+оо) х R - график её сужения t = Ф*((хг')-1(у)) на (WUlO х к-Для точки М(ум,Ьм), лежащей в области определения v1, определим область, в которой нам потребуется существование функции Римана. Для этого проведём через неё характеристики t = у + їм — Ум, t = —у-Ым + Ум- Пусть характеристика t = у Л-Ьм — Ум не пересекается с G1, а заканчивается точкой Б(0, в). Точку пересечения характеристики t = —y + tM + Ум и G1 обозначим Л. В областях определения v2 и г;3 проведём из точки В характеристики t = — у -f ів до пересечения с G2 и G3 в точках R2(y2, —У2 + ів) и R?(yz, —уз -f #)> соответственно, эти линии можно интерпретировать как продолжение характеристики t — у + ЇМ — Ум- Также проведем линию t = — у + їв в области определения vl до пересечения с G1 в точке В}(уі, —у\ + #) (см. Рис. 3 на стр. 71). Под функцией Римана мы в данном случае понимаем набор функций v\ г = 1,3, удовлетворяющих системе (б) на Q,\ \ BR, Г^2, ^з> соответственно, условиям сопряжения (7), (8) и краевым условиям
vl\t=y+tM-yM = 6}(у), 0<у<ум
vl\t=-y+tM+yM = КЛ УМ <У<УА
V2\t=-y+tB = 2Ы> 0<у<у2
к Л=-у+ів = Є3(у), 0 < у < г/з
fil := {(У, *) I 0 < У < УЛ, ^((Х1)"1^))
y\(xlY\y)) <* < -У + ім + Ум} ,
Пі := {(У, *) І 0 < у < Уи ЩхТЧу))
Доказывается, что условие гладкости функции Римана на Qi выглядит следующим образом:
-10 —щ в
- f c(s)ds г fc(t)dt
3(ej)'(0) + 2(Є2)'(0) + 2(Є3)'(0) = є < \ & /(5) ds+
-чо - / c(s)ds
+(1)'(Ум)е «>
где /() и с() - функции, определяемые по данным задачи.
Замечание: Функциями 9} и Q\ "жестко"(однозначно) определяется только сумма (62)'(0) + (в3)'(0).
Полученное нелокальное условие является самостоятельным результатом и не участвует в дальнейших исследованиях, т.к. оказалось, что для получения формулы Римана для уравнения (1) достаточно гладкости функции Римана на области, рассматриваемой в пункте 3.3.
В пункте 3.5 снимается условие (S) симметричности коэффициентов и доказывается
Теорема 3.5.1. Пусть выполнены условия Теоремы 3.3.1, за исключением условия (S). Тогда утверждение Теоремы 3.3.1 сохраняется. Доказательство Теоремы 3.5.1 основано на результатах Главы 2 и вспомогательных результатах Главы 3, устанавливаемых в п. З.б.
В заключительной части третьей главы выводится формула, аналогичная формуле Римана для начальной задачи (1), (2). Предполагая, что коэффициенты (1) удовлетворяют условиям Теоремы 3.5.1 и переходя к новым независимым переменным = y + t, г] = у — t, получим задачу, единственное решение которой будет также единственным решением (1),
(2):
|^ + Ь% v)9-~ + c% 7,)^ + g% n)u* = F% ,),
К + ту>0), І=ЇД (10)
з
^^[^,-2:) + ^,-^)1 = 0 zeR, (11)
u1(z,-z) = u2(z,-z)=u3(z,-z) 2l, (12)
> + V -v
(13)
«'«> ?) = 0о(^> ^). К, Й Є Я', г = 1,3
<(t,r>) = Й(^Ч^), «,»/) Є Я», (Є + »7 > 0), г = 1,3
«К, 17) = « ^-, —j,
b%r]) = ^((^)-42)) + АЧ(х')-1(^а))| <№,») = я< ((хГ1 (5)) , П.ч) = f ((хГ1 (^) ,^
Вводится оператор, формально сопряженный оператору Ьг, г = 1,3: и доказывается следующая теорема.
Далее, следуя обозначениям, введённым в пункте 3.4, обозначаем область, заключенную внутри контура ARlKBM через Qi, область внутри KBR2 - через Пг, область внутри КВВ? - через Г2з- Отрезок BR1 разбивает Г2і на две области, которые мы обозначим через Q[ (ту, что лежит внутри контура KBR1) и через П'/ (ту, что лежит внутри контура AMBR1).
Теорема 3.7.1. Пусть ul(,rj) (і = 1,3)- решения задачи (10)-(13)
при всех сделанных выше предположениях. Пусть
к к к
Ф = У (РХЧ - Р» - J{P?dt - Pidrj) - f(P*dt - P*dri),
r?
В?
1 / ди1 дуг\
где для і = 1,3
Рі =
5 ~2
\№-<%)+
пусть v\ г = 1,3- решение задачи
м1г/1к,і7) = о, (к.їйєплвд1),
MV(, 7/) = 0, (К,»/)ЄП,- t = 2,3), з
г=1
= 0 j/Є л
dv%, . dvl, N ej-(-4.4)+ ^(-4,4)
v1 (-rj, rj) = v2(-r], rj) = -и3(-Г7, rj) t]eR
J cl{t'mW
її-1 — o?M
m
г]м<'П< Vr?
m < v < m*
І=-т?м
їГк=-я„ = &M
4 "^M
/ &{-riM,T/)drf J c4?,4i*)df
. е«м
причем vl и -7— непрерывны на Qj. Тогда
ОТ]
Замечание. Все рассуждения, проведённые для геометрического графа-звезды с тремя рёбрами, очевидным образом переносятся на случай лю-
бого числа рёбер - надо лишь заменить "г = 1,3" на "г = 1, т" и "2"
г=1 т
на *'".
г=1
Основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в [8]-[12].
Эти результаты докладывались на: Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XIII" - "Современные методы в теории краевых задач" в г. Воронеже, в 2002 году; на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XV" - "Современные методы в теории краевых задач" в г. Воронеже, в 2004 году; на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения -XVII" - "Современные методы в теории краевых задач" в г. Воронеже, в 2005 году; на Крымской осенней математической школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам, в 2005 году; на научной сессии ВГУ в 2005 году; на семинаре по качественной теории краевых задач Воронежского госуниверситета под руководством профессора Ю.В. Покорного.
Об организации текста. Диссертация состоит из введения, трёх глав, объединяющих в общей сложности 16 пунктов и списка литературы. Объём диссертации 119 стр. Библиография содержит 79 наименований. Текст иллюстрируют четыре рисунка. Нумерация формул организована по порядку, в соответствии с номером главы и пункта.
В заключение, автор хотел бы выразить глубокую признательность своему научному руководителю профессору Ю.В. Покорному и доценту (ВГУ) В.Л. Прядиеву — за постановку задач и полезные советы в ходе исследования.
Уравнение гиперболического типа на декартовом произведении геометрического графа и R
Несколько слов об истории исследований линейных дифференциальных уравнений на геометрических графах и месте настоящей работы в этих исследованиях.
Интенсивное изучение дифференциальных уравнений на геометрических графах (в других терминах - пространственных сетях, одномерных стратифицированных множествах, одномерных клеточных комплексах) началось сравнительно недавно, около 25-30 лет назад. К подобным уравнениям приводит моделирование самых разных явлений: процессов в сетях волноводов (см., например, [17, 74, 77]), деформаций и колебаний стержневых решёток (см., например, [17, 77, 41, 71, 76]), деформаций упругих сеток (см., например, [17, 77]) и струнно-стержневых систем [3, 48], диффузии в сетях [17, 77, 25], распространения электрического потенциала в нейроне и нейронных сетях [79, 73, 66], бифуркаций вихревых течений в жидкости [68], гемодинамики (см., например, [42]), колебаний сложных молекул (см., например, [43, 13, 17]), расчёт гидравлических сетей (см., например, [15]); приводят к таким уравнениям и задачи вычислительного характера: например, задача о приближении спектра лапласиана и операторов более высокого порядка на триангулируемом римановом многообразии спектрами дифференциальных операторов на геометрических графах (топологических сетях) (см., например, [44, 27, 76, 26]).
Мы не будем подробно останавливаться на результатах исследований обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на геометрических графах. Отметим лишь, что для таких уравнений достаточно полно изучен вопрос о разрешимости задачи с краевыми условиями типа Штурма-Лиувилля при условиях трансмиссии во внутренних вершинах графа, адекватных закону Кирхгофа, а так же вопрос о структуре спектра (условия простоты, оценки геометрической и алгебраической кратностей, асимптотики, оценки резольвенты, существования полугруппы); построена теория функции Грина, исследованы свойства неосцилляции уравнений и неравенств, доказаны аналоги теорем Штурма о сравнении и перемежаемости, установлены условия осцилляционности спектра в случае геометрических графов без циклов - см. [17] и цитированную там литературу. Часть этих результатов была получена и в случае обобщения условий Кирхгофа, которые могут быть проинтерпретированы как 5-й —взаимодействие в узлах сети [17, 55, 67, 1].
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка на геометрических графах могут рассматриваться как частный случай уравнений эллиптического типа на стратифицированных множествах, теория которых к настоящему времени развита до аналогов неравенства Пуанкаре, принципа максимума, неравенства Гарнака, теоремы о среднем, формулы Пуассона, метода Перрона - см., например, [46, 45, 47, 7, 34, 17]. Аналоги классических результатов (разрешимость, существование сильно непрерывной полугруппы) получены и для уравнений параболического типа - см., например, [25, 75].
На результатах исследований уравнений гиперболического типа на геометрическом графе1 остановимся более подробно. Прежде всего, если говорить о волновом уравнении на геометрическом графе (т.е. об уравнении (1) при р = 1, q — О, р = 1, / = 0, /І = 0), то, помимо исследования структуры и ассимптотики спектра и оценок резольвенты (об этом выше уже шла речь), следует сказать о получении аналогов формулы Даламбера [50, 69, 70, 5, 31, 30, 57, 72]. Эти аналоги позволили для смешанной задачи с краевыми условиями первого и/или второго родов на геометрическом графе с соизмеримыми по длине рёбрами: 1) описать решение (а значит, и соответствующие операторные косинус-функции и синус-функции) в конечной форме, означающей квазипериодичность -см. [57, 29, 31, 32, 78, 51], 2) обосновать корректность начальной задачи [28], 3) создать эффективную вычислительную схему, основанную на теореме о среднем [59]. Аналог формулы Даламбера позволил также свести решение смешанной задачи (для, по-прежнему, волнового уравнения) на геометрическом графе с рёбрами, вообще говоря, несоизмеримыми, к системе (недифференциальных) уравнений с конечным числом запаздываний [52, 53, 54, 58]. Предприняты и первые попытки исследования задач управления [56, 14] и задач управляемости [б] (последнее в духе работ [20]-[24], [63, 64]) при краевых условиях пока только первого рода. На повестке дня и перенесение методов задач наблюдения (см., например, [19, 18]) на волновые уравнения на геометрических графах. В случае
Точнее, на декартовом произведении геометрического графа и R1. волнового уравнения на геометрическом графе при условиях трансмиссии, описывающих S— и 6 —взаимодействие в узлах сети, для некоторых классов геометрических графов, краевых условий и условий трансмиссии получены формулы, содержащие конечное число арифметических операций, элементарных функций, квадратур и простейших преобразований начальных данных, означающих сдвиг графика и его симметричное отображение (см. [37, 38, 39]).
Достаточные условия существования и непрерывности вторых производных у решения характеристической задачи для гиперболического уравнения с двумя независимыми переменными
Основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в [8]-[12]. Эти результаты докладывались на: Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XIII" - "Современные методы в теории краевых задач" в г. Воронеже, в 2002 году; на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения - XV" - "Современные методы в теории краевых задач" в г. Воронеже, в 2004 году; на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения -XVII" - "Современные методы в теории краевых задач" в г. Воронеже, в 2005 году; на Крымской осенней математической школе-симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам, в 2005 году; на научной сессии ВГУ в 2005 году; на семинаре по качественной теории краевых задач Воронежского госуниверситета под руководством профессора Ю.В. Покорного.
Об организации текста. Диссертация состоит из введения, трёх глав, объединяющих в общей сложности 16 пунктов и списка литературы. Объём диссертации 119 стр. Библиография содержит 79 наименований. Текст иллюстрируют четыре рисунка. Нумерация формул организована по порядку, в соответствии с номером главы и пункта.
В заключение, автор хотел бы выразить глубокую признательность своему научному руководителю профессору Ю.В. Покорному и доценту (ВГУ) В.Л. Прядиеву — за постановку задач и полезные советы в ходе исследования.
В настоящей главе осуществляется постановка задачи, делаются основные предположения, вводятся понятия, используемые в ходе исследования. Дается подробное описание всех объектов исследования. В этом пункте приводится понятие геометрического графа, его вершин, рёбер и т. п. Здесь мы следуем терминологии, вводимой и используемой в [17]. Определение 1.1.1. Пусть 7ь 72 7m открытые интервалы и открытые лучи из Rn (под интервалом в Ш.п понимается множество вида {Ха + (1 — Х)Ь а, Ъ Є Rn, 0 Л 1}, под открытым лучом из W1 - множество вида {a-\-\h\a Є Мп, Л 0,h принадлежит множеству единичных векторов в Rn} ) такие, что ji QTJ = 0 при і ф j (здесь у] -замыкание jj в Rn). Пусть Л - некоторое подмнооюество множества концов интервалов и лучей 71, 72 17т- Если множество связно, то его мы будем называть связным открытым геометрическим графом. Интервалы и лучи 7г будем называть рёбрами геометрического графа Г, обозначая их объединение через R(T). Концы рёбер Г, вошедшие в Г (т. е. точки из Л), будем называть внутренними вершинами Г, обозначая их множество через ч7(Г), а концы рёбер, не вошедшие в Г, будем называть граничными вершинами Г, обозначая их множество через дГ. Вершины а и Ъ геометрического графа Г будем именовать смежными, если они являются различными концами некоторого его ребра. Будем говорить, что ребро 7 примыкает к вершине а, если у Э а. Степенью вершины а будем называть количество примыкающих к ней рёбер. Всюду далее для любого множества F из Rn через F будем обозначать замыкание множества F вШп. Договоримся для определённости рассматривать в дальнейшем в Жп только евклидову норму и порождаемую ей топологию. Всегда, когда речь будет идти о топологии геометрического графа Г (или она будет иметься ввиду), то будем подразумевать, что на Г рассматривается топология, индуцированная из Rn. Циклом геометрического графа будем называть его подмножество, го-меоморфное окружности. Если геометрический граф не имеет циклов, то его мы будем именовать геометрическим графом-деревом. Если некоторая вершина геометрического графа-дерева является концом каждого из его рёбер, то его мы будем называть геометрическим графом-звездой. Всюду далее мы будем рассматривать только связные открытые геометрические графы-деревья, не имеющие граничных точек и степень каждой внутренней вершины которых превышает единицу.
Достаточное условие корректности формулы Римана в случае гиперболического уравнения во второй канонической форме
В данной главе будет описан аналог метода Римана для задачи (1.3.1), (1.3.3) в случае, когда Г - геометрический граф-звезда. Данный метод позволяет выразить в явном виде решение задачи (1.3.1), (1.3.3) в произвольной точке области Г х R. Для уравнения (1.3.1) будет рассмотрена задача, аналогичная задаче Гурса и дан ответ на вопрос о существовании и единственности её решения. Результаты главы с одной стороны носят самостоятельный характер, а с другой - могут служить базой индукции при перенесении метода Римана на случай произвольного графа-дерева.
Пусть уравнение (1.3.1) задано на Г х R, где Г С Rn - геометрический граф-звезда, представляющий собой объединение трёх различных лучей с общим началом. Г можно представить в виде Г = {a} (J71 U72 U73 где а - точка из Rn, 7» соответствующие лучи. причём тг(0) = т2(0) = т3(0); ХІ 0, і = 1,3. Ставится вопрос о существовании и единственности решения задачи (1.3.1), (3.1.1) на множестве (для определенности считаем, что х1 (xi) {х2(ж2); Х3(жз)}): На нём декартово произведение Г х R представленно в виде объединения трех полуплоскостей из R3 с общей границей (осью t), по отношению к которой лучи Гі, Гг И Гз перпендикулярны (хотя, вообще говоря, эти лучи могут и не лежать в одной плоскости). Точка М имеет координаты (a, to) (здесь и далее первая координата - это точка плоскости, в которой лежат 7i) 72 и 7з)- Точка Pi принадлежит полуплоскости 7г xl, а уравнение линии МРІ есть t = to — хг(\\х — а\\), где (х, t) - точка линии МР{. При этом Pi имеет координаты (a + Xihi;to — хг{хі))- Значение координаты t для точек Pi, Q, Р2 и Р3 одинаково (точки Р 2 и Р3 в описании задачи (1.3.1), (3.1.1) не фигурируют, но они понадобятся нам в дальнейшем). Кривые РІ МІ (і = 17З), Pi Mi (г = 2,3), МІ Mi (і = 2,3) есть отрезки характеристик с уравнениями, соответственно, Пі, П2 и Пз на рисунке - это, соответственно, криволинейные треугольник МР\Мі и прямоугольники МР2М2М1 и МР3М3М1. Условие (3.1.1) означает, что если (x;t) Є МРІ, ТО u(x,t) = тг(\\х — а\\).
Здесь необходимо сделать несколько замечаний. Во-первых, уравнение t = to — xl{\\x — а\\) является уравнением характеристики для уравнения (1.3.1), рассматриваемого на ({a}U7i) х К. Во-вторых, задача (3.1.1) представляет собой специальный случай аналога задачи Гурса: характеристики t = to — хЧНх — П) г = 1,3 пересекаются в точке (a, to), лежащей на оси t; однако, этот специальный случай является главным, т.к. к нему легко сводится вопрос о существовании и единственности решения аналога задачи Гурса общего вида - это будет показано ниже в п. 3.4.
В дальнейшем нам будет удобно рассматривать вместо уравнения (1.3.1) систему из трех уравнений с соответствующими условиями сопряжения. А именно, для г = 1,3 положим (h{ - направляющий вектор луча 7г) рг(х) — р(а+жЛ{), Чг(ж) = q{a+xhi), рг(х) = р(а+жЛ»), ц1(х) - {a+xhi), fl(x, t) — /(а -f xhi, і) - для x 0, а также иг(х, t) = и(а + xhi, t) - для х 0, г = 1,3. В этих обозначениях уравнение (1.3.1) перепишется в виде системы уравнений
Некоторые преобразования задачи (1.3.1), (3.1.1) и дополнительные предположения на коэффициенты
Объединение рёбер 7t обозначим через Л (Г), множество внутренних вершин Г обозначается через Г(Г).
На Г рассматривается топология, индуцированная из Rn евклидовой нормой. Циклом геометрического графа будем называть его подмножество, гомеоморфное окружности. Геометрический граф без циклов будем именовать деревом. Если некоторая вершина дерева является концом каждого из его рёбер, то такой геометрический граф мы будем называть звездой. Всюду далее будем рассматривать только связные открытые геометрические графы-деревья, не имеющие граничных точек и степень каждой внутренней вершины которых превышает единицу. В пункте 1.2 определяются функциональные пространства на связном открытом геометрическом графе. На Г вводятся в рассмотрение веще-ственнозначные непрерывные функции. Множество равномерно непрерывных функций на каждом из рёбер Г (если ребро - луч, то на каждом его подынтервале) обозначается через C(R(T)). На Г вводится ориентация рёбер: каждому ребру 7г графа Г ставится в соответствие один из двух коллинеарных ему единичных векторов hi (для луча - сонаправленный с ним). Определение 1.2.1. Будем говорить, что функция и, действующая из Г в Е, дифференцируема на ЩГ), если для любого г = 1, т и любого х Є 7г существует конечный предел естественно определить в этом случае производную функции и(-) в смысле заданной ориентации Г как функцию Пространство функций непрерывных на Г и обладающих на каждом ребре 7г (для луча 7г - на каждом его подынтервале) равномерно непрерывной производной) обозначим через C\R(T))] через С2(ЩГ)) обозна-чим пространство функций из С (R(T)), обладающих на каждом ребре 7І (для луча 7І _ на каждом его подынтервале) равномерно непрерывной производной второго порядка. Определение 1.2.2. Вектор h Є Rn единичной длины назовём допустимым в вершине а графа V, если (a + eh) Є Г для достаточно малых положительных є. Множество допустимых в вершине а векторов обозначим через D(a). Если и Є С1(і2(Г)), то для любой вершины а и любого h Є D(a) существует правосторонняя По аналогии вводится понятие правосторонней производной второго порядка, для функции из С2(ЩГ)). В пункте 1.3 приводится основной объект исследования - уравнение гиперболического типа на декартовом произведении геометрического графа и R: где функции р(х), q(x), р(х), р,(х) определены и непрерывны на #(Г), причем выполнено: 1) для любой а Є і7(Г) геометрического графа Г и любого h D(a) пределы р(а + 0 /г), q(a + 0 /г), р(а + 0 h), р,(а + 0 h) существуют и конечны; 2) функции р{х) и р{х) положительны на Я(Г), и их пределы p(a+0-h) и р(а+0- h) также положительны, У (а Є «/(Г), h Є )(а)); 3) функция f определена и непрерывна на R{T) х М, причем её сужение на 7г X К (г = 1,ттг) доопределяемо по непрерывности в точках вида (а, ), где а - любой из концов 7 Уравнение (1) при х Є Д(Г) понимается в соответствии с введённым дифференцированием функций, определённых на Г. А при х = а Є 7(Г) как выполнение равенства heD(a) Для любого t 6 1 функция u(x,i), как функция переменного ж, принадлежит С2(#(Г)); для любого t Є Ш функция ut(x,t), как функция переменного х, непрерывна на Г; все частные производные utt, ихх и uxt непрерывны на 7» х R (Vi = 1, m), причём сужение любой из этих функций на 7І х Л доопределяемо по непрерывности в точках вида (а, ), где а - любой из концов 7Ї
