Введение к работе
Актуальность темы. Задача об условной устойчивости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений по первому приближению, рассматриваемая в настоящей работе, является одной из классических проблем теории обыкновенных дифференциальных уравнении, исследовавшихся еще Ляпуновым и Пуанкаре. В частности, А. М. Ляпунов [1] рассмотрел системы, аналитические по фазовым переменным, в случае, когда линейная часть является правильной. В 20-е годы О. Перрон [2] исследовал ситуацию, когда линейная часть исходной системы гиперболична, а нелинейное возмущение удовлетворяет в некоторой окрестности нуля условию Липшица по фазовым переменным с достаточно малой константой. Важный результат был установлен Д. М. Гробманом [3] в 1952 году. Было показано, что положение равновесия дифференциальной системы с правильной линейной частью условно устойчиво по первому приближению, если нелинейное возмущение удовлетворяет условию Липшица по фазовым переменным, но на этот раз соответствующая «константа» экспоненциально стремится к нулю при возрастании времени, причем скорость этого убывания больше коэффициента неправильности линейной части.
Вскоре после этого были получены необходимые и достаточные условия грубости линейной системы при малых в метрике С1 возмущениях. Было показано, что свойствами грубости обладают линейные системы, приводимые некоторым ляпуновскпм преобразованием к блочно-диагональному виду с такими интегрально разделенными блоками, что верхний и нижний показатели каждого блока совпадают [4, теорема 15.2.1]. Обратный результат был получен В. М. Миллнонщпковым [5], а также Б. Ф. Быловым и Н. А. Пзобовым [6]. Многочисленные работы посвящены вопросам подвижности характеристических показателей негрубых линейных систем при линейных возмущениях, удовлетворяющих различным специальным условиям. В частности, Н. А. Изобов [7,8] определил точные границы подвижности старшего и младшего показателей линейной системы при экспоненциально малых линейных возмущениях и при нелинейных возмущениях с нелпнейностями порядка
малости выше первого. Были установлены условия, достаточные (В. М. Миллионщиков [9,10]) и необходимые (А. М. Нурматов [11]) для сохранения спектра линейной системы при таких возмущениях. Однако до последнего времени оставались нерешенными задачи об условной устойчивости и асимптотическом поведении решений неанатштических систем с негрубой линейной частью. Также был открытым важный в теоретическом смысле вопрос о возможности связать воедино утверждения теорем Ляпунова и Перрона. Кроме того, оставалось неясным, можно ли привести критерий условной устойчивости по первому приближению, аналогичный утверждению об асимптотической устойчивости по первому приближению, доказанному Н. А. Пзобовым [8].
Цель работы. Введение классификации линейных систем и возмущений, позволяющей описывать поведение решений линейных неоднородных и нелинейных (возмущенных) систем. Формулировка и доказательство новых теорем об асимптотических свойствах решений дифференциальных систем.
Методы. Автором вводится и используется новый метод последовательных приближений, обобщающий тот, при помощи которого доказана теорема Перрона, и сходящийся при более общих предположениях. Этот метод также может быть применен для численного нахождения решений нелинейных систем. Кроме того, использован ряд классических методов теории линейных систем, качественной теории дифференциальных уравнений, а также различные методы доказательства существования ограниченных решений у линейных неоднородных систем, предложенные В. М. Мнллион-щиковым, В. А. Плпссом [12] и другими авторами.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Выделим следующие основные.
1. Доказан ряд теорем о зависимости показателей линейных неоднородных систем от свойств матриц коэффициентов и не-однородностей. Для этого введены новые классы так называемых слабо гиперболичных систем, включающие в себя гиперболичные и правильные системы. Исследованы свойства
таких систем, приведен ряд примеров.
-
С использованием построенной теории слабо гиперболичных систем доказаны теоремы об условной устойчивости нулевого решения нелинейной системы по первому приближению в зависимости от свойств линейной части и нелинейности, обобщающие теоремы Ляпунова, Перрона и Гробмана.
-
Обобщены классические теоремы о поведении решений нелинейных систем, начинающихся вне устойчивых поверхностей.
-
Решена задача, обратная к той, о которой шла речь в пункте 2, то есть получены условия на линейную систему, необходимые для условной устойчивости нулевых решений возмущенных систем с нелннейностями порядка малости, большего единицы, по первому приближению.
-
Получены необходимые и достаточные условия сохранения спектра линейной системы при .экспоненциально малых возмущениях.
Теоретическая и практическая значимость работы. Работа носит теоретический характер. Введена классификация линейных однородных систем в зависимости от поведения решений систем, получающихся из данной при добавлении различных неод-нородностей. Приведен новый метод последовательных приближений для отыскания решения нелинейных систем. Выяснены условия его сходимости. Доказаны теоремы об условной устойчивости нулевых решений нелинейных систем по первому приближению, обобщающие классические результаты и устанавливающие связь между утверждениями теорем Ляпунова и Перрона. При достаточно общих предположениях на линейную часть и нелинейное возмущение дифференциальной системы исследовано асимптотическое поведение решений, проходящих через окрестность начала координат. Доказан ряд новых теорем о неустойчивости и условной неустойчивости по первому приближению. Показана эффективность применения полученных в диссертационной работе результатов по сравнению с известными ранее.
Апробация работы. Основные результаты были изложены на следующих конференциях и семинарах.
-
Вторая международная научно-практическая конференция "Дифференциальные уравнения и их применения" (Санкт - Петербург, 1998).
-
Третья ассамблея молодых ученых и специалистов (Санкт -Петербург, 1998).
-
XXVII летняя школа-семинар "Анализ и синтез нелинейных механических колебательных систем" (Санкт - Петербург, 1999).
-
Городской семинар по дифференциальным уравнениям проф. В. А.Плисса (Санкт - Петербург, 1999).
5) Третья международная научно-практическая конференция
"Дифференциальные уравнения и их применения" (Санкт - Петер
бург, 2000).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1 - 7], приведенных в конце автореферата.
Объем и структура диссертации. Диссертация содержит 120 страниц машинописного текста и состоит из введения, трех глав, разделенных на 13 параграфов, заключения и списка литературы из 62 наименовании.
