Введение к работе
Актуальность теми. Многие проблемы естествознания и техники связаны с изучением явлений, присущих, нелинейным процессам. Ш исследование выявило ряд общих закономерностей, которые стимулировали развитие самостоятельной математической дисциплины - теории динамических систем. Решающую роль в изучении нелинейных процессов сыграла теория одномерных полудинамических систем, о-Зладающих сложной динамикой и допускающих достаточно полное качественное их описание. Аппарат для эффективного исследования многомерных полудинамичвских систем находится оща в стадии становления. Поэтому распространение методов одномерной теории на многомерные объекты представляет собой актуальную задачу.
Цель роботи- изучить асимптотическое поведение траекторий системы разностных уравнений с квадратичной нелинейностью; свойства предельных множеств; зависимость динамики системы от параметров.
Научную новизну диссертации определяют следующие результаты.
-
Доказано, что и- предельное множество любой траектории системы расположено на коночном числа отрезков лучей, определяемых матрицей параметров.
-
Рассмотрены классы систем, зависимость динамики которых сводится к однопараметрической. Изучены структура, типы предельных множеств, характер усложнения динамики, бифуркации системы при изменении параметра.
-
Проведен анализ математической модели возрастной структуры популяции с лимитированием. Установлено, что ее структура либо стабилизируется, либо асимптотически периодическая. Дано описание динамики плотностей популяции и каждой из оо групп при некоторых условиях однородности популяции.
Методы исследования, используемые в работе,- это метода теории нелинейных разностных уравнений, теории динамических систем, теории положительных операторов, теории матриц.
Теоретическая и приапическая цетостъ. Результаты диссертации имеют теоретическое значение; они могут найти применение при исследовании математических моделей биологических систем.
Апробация работ, основино результата диссертации докладывались на отчетной конференции Института космических исследований
.4
HAH РК (1992г.), Международной конференции "Экомониторинг-93'* (Алмати, 1993г.), семинаре по дифференциальным уравнениям Института теоретической и прикладной математики НАН РК под руководством чл.-корр. НАН РК Д.У.Умбетжанова и д.ф.-м.н. М.И. Рахимбердиева, семинаре Института космических исследований НАН РК Под руководством акад. НАН РК У.М. Султангазина, а также семинаре лаборатории математического моделирования биологических систем Института космических исследований НАН РК.
Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в Ц-3].
Структура и объел диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 45 наименований. Объем работы - 74 страницы машинописи.
. Основой качественной теории дифференциальных и разностных уравнений, а также теории динамических систем (ТДС), послужили работы А. Пуанкаре и A.M. Ляпунова, устанавливающие возможные типы предельного поведения траекторий системы дифференциальных уравнений и их устойчивость, и позволивиш9~получитк-дост8точно—содержа=_ тельную теорию в случае двумерной дискретной динамической системы.
Свое развитие теория получила в работах Дж. Биркгофа и его
учеников, построивших с использованием топологических методов об
щую теорию динамических систем. Дк. Биркгофу принадлежит понятие
динамической системы. .
Современное состояние ТДС таково, что лишь для сравнительно узких классов динамических систем получена довольно полная информация кок о характере фазового портрета, так, иногда, и о возможной связи последнего с топологией фазового пространства. В качестве примера можно назвать системы Морса-Смейло с "простым" поведением траекторий и Аносова - с гиперболическим. Описание фазовых портретов многомерных ДС, модолирунцих реальные процоосн и явления такие, как турбулентность, самоорганизация, деторминировошшЯ хаос, образование структур, автомодельность, явленно перемежаемости, бифуркации и другие, встречает пиачитпльше трудности, по^г-мплсу
система в этом случав имеет аттракторы, отличные от многообразий, с хаотическим характером движений на них, либо со сложным строени ем их элементов.
Для понимания и анализа нелинейных эффектов, возникающих в таких.системах, были обнаружены и в последнее время широко используются простые нелинейные системы, обладающие сложной динамикой и допускающие вместе с тем достаточно полное качественное описание.
К ним в первую очередь следует отнести одномерные полудинами-ческие системы, хорошо разработанная теория которых является сегодня одним из наиболее эффективных методов качественного исследования универсальных свойств, т.е. таких,, которыми обладают многие нелинейные системы.
Первые систематизированные результаты по теории одномерных ДС появились в начале 60-х годов и связаны с именем А.Н. Шарковского. В 1964 г. была опубликована теорема о сосуществовании циклов, которая объясняла механизм появления бесконечного числа циклов через удвоение периода в любом семействе непрерывных отображений интервала в себя и механизм усложнения динамики отображений в зависимости от периодов имеющихся у них циклов. Американский математик М. Фбйгенбоум в 1978г. обнаружил и исследовал некоторые универсальные свойства бифуркаций циклов, которые впоследствии получили название теории универсальности Фейгенбаума.
Многие свойства динамических систем являются прямым следствием развитых А.Н. Шарковским/ и М. Фейгенбаумом теорий, например, характер появления стохастических аттракторов, канторовнх множеств и другие.
Актуальным остается вопрос о достаточно полном качественном описании динамики полугруппы непрерывных многомерных отображений.
Исследования, проводимые в диссертации, связаны с основными понятиями теории динамических систем такими, как предельное множество, его структура и тип, спектральное разложение, бифуркации, аттрактор?, поремешиваемость, устойчивость, периодичность, почти периодичность, рекуррентность и распространяют некоторые результаты, относящиеся к теории одномерных отображений, на многомерные системы.
