Сингулярные интегральные уравнения и уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью Асхабов, Султан Нажмудинович

Введение к работе

Актуальность темы. Решение нелинейных краевых задач и многих других задач современной математики, физики и биологии приводит к нелинейным сингулярным интегральным уравнениям, нелинейным интегральным уравнениям с ядрами типа потенциала, нелинейным интегральным уравнениям типа свертки и их дискретным аналогам. Все эти уравнения объединяет то, что их ядра зависят от разности аргументов. Интерес к нелинейным уравнениям с разностными ядрами вызван не только их многочисленными и разнообразными приложениями, но и тем, что методы и результаты теории линейных уравнений с разностными ядрами, которая достаточно хорошо разработана¹²³, не распространяются на соответствующие им нелинейные уравнения, т.е. имеются принципиальные различия как по методам исследования, так и по характеру получаемых результатов. В случае линейных уравнений основные результаты имеют место сразу для целой серии пространств (L_p, С, Со, М и др.),^{2 4} так как локальные свойства линейных операторов фактически полностью определяют их свойства во всем пространстве. В случае нелинейных уравнений картина принципиально меняется и зависит не только от выбора рассматриваемого пространства, но и от характера допускаемой нелинейности⁴, причем для них, в отличие от линейных уравнений, единственность решений неестественна. Как правило, однородное нелинейное уравнение всегда имеет одно очевидное (тривиальное) решение, а интерес (теоретический и практический) представляют другие решения. Например, в теории волн на поверхности идеальной несжимаемой тяжелой жидкости, разработанной А.И. Некрасовым, решения соответствующего нелинейного интегрального уравнения описывают поверхность движущейся жидкости. При этом тривиальное решение соответствует движению жидкости без волн, а условия существования нетривиальных непрерывных решений являются условиями, при которых могут возникать волны.

Существует большое число работ по нелинейным интегральным уравнениям, в основном относящихся к уравнениям типа Вольтерра, Гаммерштей-на и Урысона. Значительно меньше работ посвящено нелинейным сингулярным интегральным уравнениям и, особенно, нелинейным уравнениям с ядрами типа потенциала, нелинейным интегральным и дискретным уравнениям типа свертки. В этих работах, в зависимости от характера допускаемой нелинейности, исследование основано, как правило, либо на принципе

¹Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М: Наука, 1968. - 512 с. ²Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.: Мир, 1979. - 496 с. ³Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978. - 296 с. ⁴Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А. и др. Интегральные уравнения. СМБ. М.: Наука, 1968. - 448 с.

Шаудера или принципе сжимающих отображений, либо на теореме существования неявной функции или на некоторых их модификациях. При этом на нелинейность и параметры приходится накладывать жесткие ограничения. Например, при исследовании нелинейных сингулярных интегральных уравнений с помощью принципа сжимающих отображений или принципа Шаудера предполагают, что нелинейность удовлетворяет условию Липшица, а параметр перед ней является достаточно малым по абсолютной величине. В результате линейный случай если и охватывается, то лишь частично (ограничения на параметр зачастую оказываются излишними). Если же такие уравнения исследовать на основе теоремы о неявной функции, то необходимое для ее применения условие о дифференцируемости нелинейности в случае пространств Лебега приводит к вырождению нелинейности, т.е. уравнение становится фактически линейным, а в случае пространств Гельдера приводит к жестким и мало обозримым ограничениям на нелинейность⁵. В некоторых случаях приходится даже согласовывать рост нелинейности и характер особенности ядра.

Таким образом, естественно возникает проблема установления для нелинейных сингулярных интегральных уравнений, нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала, нелинейных интегральных уравнений типа свертки и их дискретных аналогов нелокальных теорем о существовании, единственности и способах нахождения решений без ограничений на абсолютную величину параметров и область существования решений, охватывающих, в частности, линейный случай. В этой связи представляется также весьма актуальной задача выделения из них таких классов нелинейных уравнений, которые могут быть исследованы единым методом. Решение этой задачи позволяет выявить их общие свойства и отличительные особенности, а также в определенной степени систематизировать и классифицировать результаты в этой области.

Цель работы. Целью диссертационной работы является установление единым методом нелокальных теорем о существовании, единственности и способах нахождения решений для различных классов нелинейных сингулярных интегральных уравнений, нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала, нелинейных интегральных уравнений типа свертки и нелинейных дискретных уравнений типа свертки при достаточно широких и легко обозримых предположениях относительно нелинейности без ограничений на абсолютную величину параметров и область существования решений. В этой связи изучаются важные (в том числе для гармонического анализа) вопросы о положительности, симметричности или кососим-

⁵Забрейко П.П. Неявные функции и монотонные по Минти операторы в банаховых пространствах. Докл. АН Беларуси. 1995. Т. 39, N 2. С. 17-21.

метричности сингулярных интегральных операторов, операторов с ядрами типа потенциала, операторов дробного интегрирования, интегральных операторов свертки и их дискретных аналогов.

Методика исследования. Ранее нелинейные сингулярные интегральные уравнения, нелинейные интегральные уравнения с ядрами типа потенциала, нелинейные интегральные и дискретные уравнения типа свертки исследовались, как правило, либо на основе топологического принципа Шаудера, либо на основе принципа сжимающих отображений Банаха при наличии малого параметра перед нелинейной частью. В данной работе исследование проводится на основе метода монотонных (по Браудеру-Минти) операторов, метода весовых метрик (аналог метода Белецкого) и некоторых их модификаций. Благодаря тому, что монотонные операторы (подобно монотонным функциям) обладают только им присущими свойствами (обратимость, сюръективность, потенциальность и др.), метод монотонных операторов обладает, по сравнению с другими, тем преимуществом, что позволяет, при достаточно легко обозримых ограничениях на нелинейность, доказать существование и единственность решения различных классов уравнений без ограничений на область существования решений и абсолютную величину параметров, что имеет важное значение для приложений. Полученные результаты отличаются от ранее известных как по характеру вводимых ограничений, так и по структуре доказательств. В отличие от традиционных методов, основанных на обращении линейных интегральных операторов, обращаются нелинейные операторы суперпозиции, входящие в эти уравнения. Такой подход позволяет минимизировать ограничения на ядра рассматриваемых уравнений за счет дополнительных ограничений на их нелинейности, что в свою очередь позволяет выявить общие свойства нелинейных сингулярных интегральных уравнений, нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала, нелинейных интегральных и дискретных уравнений типа свертки. Вместе с этим, теории таких уравнений имеют и существенные особенности, связанные прежде всего с тем, что сингулярные операторы являются положительными и кососимметрическими, операторы типа потенциала являются строго положительными и симметрическими, а операторы типа свертки, вообще говоря, не обладают ни одним из перечисленных свойств.

Известно⁶⁷⁸, что метод монотонных операторов является одним из наи-

⁶Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. - 336 с.

⁷Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. М.: Наука, 1972. - 416 с.

⁸Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. -588 с.

более плодотворных методов нелинейного анализа и нашел широкое применение в различных вопросах математики и ее приложений. Важными и основополагающими в этой области являются исследования Г. Минти, Ф. Браудера, Ж. Л ере и Ж.-Л. Лионса. Следует отметить также исследования М.И. Вишика, который еще до построения этой теории использовал свойство монотонности сильно эллиптического оператора, М.М. Вайнберга и Р.И. Качуровского, получивших основные результаты этой теории при дополнительном условии потенциальности операторов, и многих других (см.^6-8). В настоящее время, теория монотонных операторов разделилась на два параллельных направления: уравнения с коэрцитивными операторами, обладающими свойством (М)⁶, и уравнения с нечетными (по СИ. Похожаеву) возрастающими операторами⁹.

Научная новизна.

1. Построены новые классы сингулярных интегральных операторов, действующих из (вещественных и комплексных) весовых пространств Лебега L_p(q), р > 1, не в себя, а в сопряженные с ними пространства L_ry(g^l~^p ) и обладающих свойством положительности. Такого вида операторы имеют важные приложения, например, в теории дифференциальных уравнений (уравнение Пенлеве V) и определителей Фредгольма, теории случайных матриц (модели случайно-матричного типа) и других^{10 п 12 13}.

2. Без ограничений на абсолютную величину параметров доказаны глобальные теоремы существования и единственности для трех различных классов нелинейных сингулярных интегральных уравнений в (вещественных и комплексных) пространствах L_p(g) с общим (не обязательно степенным) весом д(х) как в случае конечного, так и (впервые) бесконечного контура интегрирования. Условия, накладываемые на нелинейность, являются необходимыми и достаточными для того, чтобы порождаемый ею оператор суперпозиции был непрерывным и монотонным.

3. Впервые доказано, что решения нелинейных сингулярных интегральных уравнений с ядрами Гильберта и Коши могут быть найдены в пространствах -^2(Г) (как в вещественных, так и в комплексных) методом последовательных приближений пикаровского типа при любых (по абсолютной величине) значениях параметров. Без дополнительных ограничений

⁹Лаптев Г.И. Возрастающие монотонные операторы в банаховом пространстве. Матем. заметки. 2002. Т. 71, N 2. С. 214-226

¹⁰Mehta M.L. Random matrices. Acad. Press, Boston, MA, 1991. - 562 p.

ⁿTracy C.A., Widom H. Fredholm determinants, differential equations and matrix models. Comm. Math. Phys. 1994. V. 163, N 1. P. 33-72

¹²Wolfersdorf L.v. Eininge klassen quadratischer integralgleichungen. Sitz. Sach. Akad. Wiss. Leipzig. Math.-naturwiss. Klasse. 2000. B. 128, H 2. S. 1-34.

¹³Faour N.S. The Fredholm index of a class of vector-valued singular integral operators. Indian J. Pure and Appl. Math. 1980. V. 11, N 2. P. 135-146.

получены также оценки скорости сходимости последовательных приближений. Эти результаты охватывают и линейные сингулярные интегральные уравнения (в частности уравнения, возникающие при описании процесса обтекания двух проницаемых профилей потоком несжимаемой жидкости).

4. В случае вещественных и комплексных пространств L_P(R, ) теоремы о существовании, единственности, оценках и способах нахождения решения для всех рассматриваемых классов нелинейных сингулярных интегральных уравнений доказаны различными методами, имеющими самостоятельный интерес. При этом, в отличие от случая отрезка [а, &], последовательные приближения и оценки скорости их сходимости получены в терминах исходного нелинейного оператора F, а не обратного к нему оператора F~^l.

5. Получены новые теоремы о строгой положительности операторов

B^au = b(x)J^b^^U^}_adt, 0<а< 1, Р*и = j

где —оо<а<6<оо, частными случаями которых являются риссовы потенциалы и логарифмические потенциалы. При этом обобщаются некоторые результаты С. Геллерстедта, Ф. Трикоми и A.M. Нахушева¹⁴, имеющие важные приложения в теории рядов Фурье и дробном исчислении, и дополняются некоторые результаты К. Андерсена, Э. Сойера¹⁵, Д.В. Прохорова и В.Д. Степанова¹⁶, касающиеся операторов Римана-Лиувилля.

6. Доказаны глобальные теоремы о существовании, единственности и оценках решений для трех различных классов нелинейных интегральных уравнений, содержащих операторы типа потенциала >^а, Р^ и операторы дробного интегрирования Римана-Лиувилля. При этом ограничения на нелинейность, касающиеся строгой монотонности, снимаются, а оставшиеся имеют тот же вид, что и в случае соответствующих нелинейных сингулярных интегральных уравнений, однако ограничения на р меняются на противоположные.

7. Установлена потенциальность операторов >^а, Р^ (т.е. что они являются градиентами некоторых функционалов), на основании чего исследован вопрос об оптимизации приближенных методов решения уравнений, содержащих эти операторы. В результате удалось, в частности, улучшить, по сравнению с нелинейными сингулярными интегральными уравнениями, оценки скорости сходимости последовательных приближений.

¹⁴Нахушев A.M. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. - 272 с.

¹⁵Andersen K.F., Sawyer Е.Т. Weighted norm inequalities for the Riemann-Liouville and Weyl fractional integral operators // Trans. Amer. Math. Soc. 1988. Vol. 308. N2. P. 547-558.

¹⁶Прохоров Д.В., Степанов В.Д. Весовые оценки операторов Римана-Лиувилля и приложения // Труды Матем. ин-та им. В.А. Стеклова. 2003. Т. 243. С. 289-312.

8. Впервые без ограничений на параметры доказано, что решения нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала могут быть найдены приближенными методами градиентного типа не только в ^(а, Ь) (как в случае нелинейных сингулярных интегральных уравнений), но и в L_p(a,b)_: и даже в L_p(g) с общим (не обязательно степенным) весом д(х).

9. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых операторы свертки по оси R¹, полуоси [0, оо) и отрезку [а, Ь] являются положительными, строго положительными и потенциальными в L_p.

10. Впервые методом монотонных операторов без ограничений на параметры доказаны теоремы о существовании, единственности и способах нахождения решений для различных классов нелинейных интегральных уравнений типа свертки. Из этих теорем следует, что по своим свойствам такие уравнения ближе к нелинейным уравнениям с ядрами типа потенциала, нежели к нелинейным сингулярным интегральным уравнениям.

11. Методом весовых метрик в конусах пространства С[0,оо) изучены интегральные уравнения со степенной нелинейностью в случаях вырожденных и невырожденных, монотонных и почти монотонных, разностных, суммарных и общего вида ядер. Впервые рассматриваются такие уравнения с почти монотонными (по С.Н. Бернштейну) ядрами и используются неравенства Чебышева. Получены точные нижние и верхние оценки решений и на их основе без ограничений на область существования решения доказаны теоремы о приближенном решении таких уравнений. Показана необходимость как нижних, так и верхних априорных оценок в определении классов решений для корректности вводимых метрик.

12. Доказана непрерывная зависимость решений уравнений типа свертки со степенной нелинейностью относительно изменений ядер и правой части в терминах одной и той же, в отличие от других работ, метрики.

13. Впервые методом монотонных операторов исследованы конечные системы нелинейных сингулярных интегральных уравнений, нелинейных интегральных уравнений с ядрами типа потенциала и нелинейных интегральных уравнений типа свертки в пространствах вектор-функций Лебега. В случае систем уравнений типа свертки со степенной нелинейностью и почти возрастающими ядрами, рассматриваемых в конусах пространства непрерывных вектор-функций, показано, что решение является неубывающим (а не почти возрастающим) и получены неулучшаемые априорные оценки решения. В отличие от предшествующих наших совместных работ [12] и [16] показано, что рост нелинейности не зависит от числа уравнений.

14. Впервые методом монотонных операторов изучены различные классы нелинейных дискретных уравнений типа свертки как в вещественных, так и в комплексных пространствах _р. Найдены необходимые и достаточ-

ные условия положительности дискретных операторов типа свертки. Такие условия возникают при решении задач статистической физики.

15. Получены оценки решений нелинейных (интегральных и дискретных) неравенств, отличающиеся от известных (Willett-Wong, Pachpatte и др.), как по виду, так и по методу их доказательства.

Приведены конкретные примеры ядер, нелинейностей и пространств, удовлетворяющих предъявляемым требованиям, и тем самым иллюстрирующие все полученные в диссертации результаты.

Практическая и теоретическая ценность. Работа имеет теоретический характер. В ней единым методом получены новые нелокальные теоремы о существовании, единственности и способах нахождения решений для различных классов нелинейных интегральных и дискретных уравнений, а также найдены условия положительности операторов, содержащихся в этих уравнениях. Методы и результаты работы позволили построить достаточно полную теорию уравнений с монотонными нелинеиностями и разностными ядрами. Такие уравнения и операторы возникают как при решении задач из многих разделов самой математики (нелинейные краевые задачи, конформные отображения, теория вероятностей, гармонический анализ, дробное исчисление и др.), так и при решении прикладных задач гидравлики (определение дебитов нефтяных скважин), гидроаэродинамики (определение распределения скоростей фильтрации на поверхности цилиндра при его обтекании потоком жидкости, поля возмущенных скоростей и давлений вокруг крыла самолета, распространения ударных волн в трубах, наполненных газом), теории упругости (определение контактного давления жесткого штампа на упругую полосу, деформации кругового цилиндра двумерным потоком жидкости, упруго-жестко-пластичного кручения цилиндрического стержня), теории сервомеханизмов (следящих систем), биологии, статистической физики и других.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались:

на международном Российско-Китайском симпозиуме «Комплексный анализ и его приложения» (Белгород, 2009),

на международной конференции «Дифференциальные уравнения и топология», посвященной столетию академика Л.С. Понтрягина (Москва, МГУ, 2008),

на I, II, III и IV международных конференциях «Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания» (Обнинск, 2002, 2004, 2006 и 2008 гг.),

на международной конференции «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», посвященной столетию академика СМ. Никольского (Москва, МИ РАН, 2005),

на международных Российско-Узбекском, Российско-Казахском, Российско-Азербайджанском и Российско-Абхазском симпозиумах «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» (Нальчик-Эльбрус, 2003, 2004, 2008 и 2009 гг.),

на международной конференции «Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений» (Воронеж, 2003 г.),

на международных конференциях «Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения XII» и «Современные методы в теории краевых задач. Понтрягинские чтения XV» (Воронеж, 2001 и 2004 гг.),

и на семинарах академика РАН СМ. Никольского и члена-корр. РАН Л.Д. Кудрявцева (МИАН, 2009), профессора А.Л. Скубачевского (РУДН, 2009), профессора А.П. Солдатова и профессора A.M. Мейрманова (БелГУ, 2009), профессора А.Б. Шабата (КЧГУ, 2007 и 2009), профессора A.M. Нахушева (НИИ ПМА КБНЦ РАН, 2004 и 2007).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[37]. Из результатов, полученных в совместных работах [8-13, 15, 16, 18, 19, 21-24], на защиту выносятся только полученные лично автором. Работы [4, 8-11, 13, 16, 18-21, 23, 33, 37] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов докторской диссертации.

Структура и объем работы. Диссертация объемом 294 страницы состоит из введения, восьми глав, разбитых на 41 параграф, списка литературы из 235 наименований и набрана с использованием пакета LaTeX.

Похожие диссертации на Сингулярные интегральные уравнения и уравнения типа свертки с монотонной нелинейностью

Некоторые задачи теории дифференциальных уравнений с нелинейностями диодного типаСевастьянова, Елена Владимировна

Резонансные краевые задачи для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностямиВинокур Вадим Вильямович

Задачи на собственные значения для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностямиПотапов Дмитрий Константинович

О решениях уравнения типа Эмдена-Фаулера с сингулярной нелинейностью Лысова Татьяна Викторовна

Эволюционные дифференциальные уравнения с нелипшицевыми нелинейностямиЗубелевич Олег Эдуардович

Эллиптические уравнения с разрывными нелинейностями и некоторые вопросы оптимального управленияЦибулис, Андрей Брониславович

Динамика системы дискретных уравнений с квадратичной нелинейностьюПанкратова, Ирина Николаевна

О глобальном поведени решений задачи Коши для полулинейных дифференциально-операторных уравнений с нелокальными нелинейностямиГумбатов, Фуад Дурсун оглы

Асимптотические свойства решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малой нелинейностьюКрыжевич, Сергей Геннадьевич

Дифференциальные уравнения со сложными нелинейностямиБорздыко Вероника Ивановна