Содержание к диссертации
ОБОЗНАЧЕНИЯ 2
ВВЕДЕНИЕ
Глава I. СУЩЕСТВОВАНИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ
§ I. Основные обозначения, термины и предположения 3
§ 2. Определение обобщенного решения 1
§3 принадлежности решения к С (S1) 21
§ 4. Априорная оценка 2.
§ 5. Разрешимость сглаженной задачи JS
§ б. Вспомогательные предложения 3 8
§ 7. Обоснование предельного перехода S3
§ 8. Сильная сходимость в пространстве Wz решений сглаженных задач &
§ 9. О разрешимости термодиффузионной задачи 61
§ 10.Некоторые обобщения
Глава II. ВОПРОСЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕШЕНИЯ
§ I. Обсуждение некоторых методов доказательства теорем единственности 8G
§ 2. Примеры не единственности 91
§ 3. Некоторые классы единственности
Глава Ш. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С РАЗРЫВНЫМ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ
§ I. Существование оптимального управления
§ 2. Постановка экстремальной задачи для сглаженного уравнения
§ 3. Дифференцируемость по Фреше
§ 4. Необходимые условия экстремума для сглаженной задачи
ЛИТЕРАТУРА
Введение к работе
Термин "разрывные нелинейности", вошедший в литературу в последние годы, употребляется для подчеркивания того факта, что функции, входящие в уравнение (или в граничное условие) могут быть не только нелинейными, но и разрывными по U.
Изложение ведется в терминах вариационных равенств, соответствующих определению обобщенных решений краевых задач для уравнения (0.1) в смысле книги О.А. Ладыженской и Н.Н. Уральцевой [23J.
В рамках уравнений с РН могут быть изучены многие физические процессы (процессы кристаллизации и плавления, фильтрации, широкий круг задач со свободными границами). До сих пор уравнения с РН, несмотря на их практическую важность, изучены недостаточно. Это отчасти объясняется математической сложностью таких уравнений, которая, разумеется, зависит от характера нелинейностей и разрывов, а также от того, каким образом разрывные нелинейности входят в рассматриваемое уравнение.
В настоящей работе основное внимание уделяется эллиптическим уравнениям, разрывная нелинейность в которых входит под знаком дифференцирования. Такие уравнения возникают, например, при изучении процессов кристаллизации.
В литературе обычно различают две постановки задач с фазовыми переходами (задач типа Стефана) - классическую, когда неизвестная граница раздела фаз ищется в виде однозначной, достаточно гладкой поверхности, и обобщенную, в которой (в отличие от первой) допускается существование так называемой двухфазной зоны (дисперсной области), т.е. множества ненулевой меры точек пространства, где температура среды совпадает с равновесной температурой.
Имеется обширная литература, посвященная задачам с фазовыми переходами. Так задачи (типа) Стефана в классической постановке изучались, например, в работах Б.В.Базалий[2/3J М.А.Бородин [7,8] , И.И.Данилюк \11, /2] , А.М.Мейрманов[2б] У.Фельгенхауэр[3 4]; /. CaffateMt [36] , A. Frfedtoa п, Л KiHclerPehrer [37J, 3.-F. ftoc/rtgues [ j. Теория обобщенного решения задач Стефана для описания процессов кристаллизации развита в монографии Н.А.Авдонина [/] . В частности, в этой работе указывается, что в задачах кристаллизации при возникновении двухфазной зоны классическое решение перестает существовать, а обобщенное решение достаточно полно описывает двухфазную зону. А.М.Мейрмановым [2 7] построен пример нестационарной двухфазной задачи Стефана (с достаточно гладкой правой частью), которая имеет только обобщенное решение в смысле О.А.Олейник [2f] (для одномерных эллиптических уравнений, как это следует из результатов § 3 главы П, построение примеров, для которых существует лишь обобщенные решения, совсем несложно). Этим обосновывается целесообразность исследования многих физических процессов с точки зрения неклассических (обобщенных) постановок.
Вкратце остановимся на некоторых методах исследования уравнений с РН.
В литературе имеется множество работ (.например, А.Д.Ляшко, И.Б.Бадриев, М.М.Карчевский [2S] , В.Н.Павленко [30] ), в которых уравнения с РН изучаются методом монотонных операторов. Систематическое изложение этого метода дано в монографии М.М.Вайнберга [fo] . В частности, этим методом в [5 0] доказаны теоремы разрешимости абстрактных уравнений с разрывными операторами, которые затем применяются при изучении задачи Дирихле для уравнений вида (0.2).
К методу монотонных операторов тесно примыкает интенсивно развивающийся метод применения вариационных неравенств (Г.ДЪ-во и Ж.-Л.Лионе \1€] , Ж.-Л.Лионс [2 4j ,A/frW /VW[3 ?J). Как показывают работы М.А.Бородина, то (основываясь на предложенной К.Байокки и Э.Мадженесом [5] идее - подходящим образом заменить неизвестную функцию), к вариационному неравенству с монотонным оператором удается свести также некоторые эллиптические краевые задачи, разрывная нелинейность в которых входит под знак дифференцирования. Так в работе [8J этим методом установлены существование и единственность решения двумерной однофазной квазистационарной задачи Стефана. Кроме того, показана также аналитичность свободной границы. Этим же методом изучена аналогичная трехмерная однофазная квазистационарная задача Стефана ЭгЕ foc/n-ejvts [ОД • Здесь уместно отметить, что одним из классов задач с РН, для изучения которого методика применения вариационных неравенств разработана наиболее полно, являются краевые задачи с разрывной нелинейностью, входящей лишь в граничное условие. Вопросы регулярности решения таких краевых задач для общего квазилинейного эллиптического уравнения рассмотрены А.Домаркасом [15 Для исследования (как теоретического, так и численного) задач (типа) Стефана применяется предложенный И.И.Данилюком и В.Е.Кашкахой [/з] вариационный метод (см.также Б.В.Базалий и В.Ю.Шелепов Ці] , И.И.Данилюк [/ /] , В.Е.Кашкаха [/?] ). Этот метод основан на сведении исходной задачи к задаче отыскания стационарных точек интегрального функционала с переменной областью интегрирования. Однако применение этого метода требует некоторой гладкости границы раздела фаз.
Необходимость введения решений типа П обосновывается примерами С А. и 2Г1 [42} , показывающими, что решение типа I существует далеко не всегда. В этой же работе приводятся условия, при выполнении которых задача (0.3)-(0.4) имеет решение С/ б Щ/ъ
- типа I,
- типа П, но не имеет решения типа I.
Таким образом, обобщенное решение той или иной краевой задачи для столь общего уравнения - как (0.1) - следует понимать как решение типа П.
Здесь уместно отметить, что в литературе, как правило, считается, что разрывные функции, входящие в рассматриваемое уравнение или в граничное условие, имеют лишь конечное число точек разрыва первого рода по функциональному аргументу .
