Асимптотические разложения решений шестого уравнения Пенлеве Горючкина Ирина Владимировна

Содержание к диссертации

Введение 6

1. О плоской степенной геометрии 18

1.1. Вычисление степенных асимптотик решения 18

1. Основные определения и постановка задачи 18

2. Выделение укороченных уравнений 19

3. Решение укороченного уравнения 21

4. Критические числа укороченного решения 23

5. Асимптотики с комплексными показателями степени. 25

1.2. Разложения решений со степенными асимптотиками: сте
пенные и степенно-логарифмические разложения 26

6. Постановка задачи 26

7. Носитель разложения решения 27

8. Вычисление разложений 28

9. Степени логарифмов в разложении 30

10. Решетка носителя разложения 31

11. Вычисление второго приближения 31

12. Комплексные показатели 32

13. Существование решений 32

1.3. Нестепенные асимптотики решений 33

14. Основные определения и постановка задачи 33

15. Случай вертикального ребра Г^- 35

16. Случай горизонтального ребра П 37

17. Случай вершины Г,- 38

1.4. Разложения решений с нестепенной асимптотикой: сложные

разложения 40

18. Постановка задачи 40

19. Вычисление критических чисел 41

20. Вычисление носителя разложения 42

2. Разложения решений шестого уравнения Пенлеве в случае

а-ЬфО вблизи нуля и бесконечности 44

2.1. Общие свойства уравнения 44

21. Постановка задачи 44

22. Носитель и многоугольник 45

23. Нормальные конусы 46

24. Симметрии 46

25. Исключительные решения 48

2.2. Разложения решений вблизи нуля, соответствующие вер
шинам 48

26. Выбор вершин 48

27. Разложения решений, соответствующие вершине if. 48

2.3. Разложения решений вблизи нуля, соответствующие ребру

if 52

28. Предварительный анализ 52

29. Разложения решений при а ф с ф 0 53

30. Разложения решений при а = с ф 0 59

31. Разложения решений при а ф 0, с = 0 62

32. Сводка результатов и их обсуждение 66

2.4. Разложения решений вблизи нуля, соответствующие ребру

if 67

33. Разложения решений при Ь ф d — 1/2 Ф 0 68

34. Разложения решений при Ь = d— 1/2 ф 0 70

35. Разложения решений при d = 1/2, b ф0 71

36. Сводка результатов и их обсуждение 71

2.5. Разложения решений вблизи бесконечности 72

37. Разложение, соответствующее вершине Г^ 72

38. Разложения решений, соответствующие ребру Г^ . 74

39. Разложения решений, соответствующие ребру Гд . . 77

40. Сводка результатов 80

3. Разложения решений шестого уравнения Пенлеве в случа
ях а = 0, 6 ^ 0 и а ^ 0, b = 0 вблизи нуля и бесконечности 82
3.1. Общие свойства уравнения 82

41. Постановка задачи 82

42. Носители и нормальные конусы 82

'3.2. Разложения решений вблизи нуля, соответствующие вер
шине if* 86

43. Разложения решений со степенной асимптотикой. ... 86

44. Нестеиенные асимптотики 88

3. Разложения решений, соответствующие ребру Г^ 88

4. Разложения решений вблизи нуля, соответствующие ребру

Г^^1} 88

1. Предварительный анализ 88

2. Разложения решений при а = 0, b с Ф" 0 89

3. Разложения решений при а = с = 0, b Ф" 0 92

3.5. Разложения решений вблизи бесконечности при а = 0, b Ф" 0 96

4. Разложения решений вблизи бесконечности, соответствующие вершине Г₂ 96

5. Разложения решений вблизи бесконечности, соответствующие ребру Г[' 97

6. Сводка результатов в случае а = 0, b ^ 0 98

7. Разложения решений в случае а ^ 0, b — 0 100

1. Разложение, соответствующее вершине Г₆ 100

2. Разложение, соответствующее вершине Г^ 101

3. Разложения решений, соответствующие 1 102

3.7.4. Разложения решений, соответствующие Г\' 102

3.7.5. Сводка результатов в случае а ф 0, Ь = 0 103

4. Разложения решений шестого уравнения Пенлеве в случае

a = b = 0 вблизи нуля и бесконечности 105

5. Разложения решений шестого уравнения Пенлеве вблизи
единицы 107

5.1. Разложения решений вблизи единицы при а с ф 0 107

4. Двупараметрическое семейство разложений 107

5. Разложения решений при аф —ЬфО 108

6. Разложения решений при а = — Ъ ф 0 109

7. Разложения решений при 6 = 0 НО

8. Разложения решений при —с ф d — 1/2 ф 0 111

9. Разложения решений при —с = d — 1/2 ф 0 112

10. Разложения решений при d — 1/2 113

5.2. Разложения решений вблизи единицы при а с — 0 114

1. Одпопараметрические семейства разложений вблизи единицы, симметричные семействам Bi и Лі 114

2. Разложения решений при a = b = 0, с ф 0 115

3. Разложения решений при а ф 0, с = 0, d = 1/2. . . . 115

4. Разложения решений при а = с = 0 115

5.3. Сводка результатов 115

Литература 118

Введение к работе

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В 1884-1885 годах Л. Фукс [31] и А. Пуанкаре [48-50] предложили искать нелинейные дифференциальные уравнения, решения которых не имеют критических подвижных особых точек и не выражаются через ранее известные функции.

В 1889 году С. Ковалевская [21] в работе "Задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки" показала, что отсутствие подвижных критических особых точек в решениях позволяет построить решения в аналитическом виде. Открытие этого факта вдохновило исследователей на изучение нелинейных дифференциальных уравнений.

Особая точка х = xq функции у{х) комплексной переменной х называется критической особой точкой, если при обходе этой точки значение функции у(х) меняется. Подвижной особой точкой решения дифференциального уравнения называется такая особая точка, положение которой зависит от начальных данных задачи. Так, для решения у = l/\/:r — xq, где xq ~ произвольная постоянная, точках = 3 является подвижной критической особой точкой.

В 1887 году французский математик Э. Пикар [47] предложил исследовать класс обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

у" = F(x,y,y'), (0.0.1)

где F — рациональная функция от у и у' и мероморфная функция от х, и найти среди уравнений (0.0.1) те уравнения, решения которых не имеют подвижных критических особых точек.

Мезоморфной функцией называют всякую однозначную функцию не

имеющую в конечной части плоскости особых точек, кроме полюсов.

В начале XX века французский математик П. Пенлеве [44-46], его ученики: Р. Гарнье [33, 34] и Б. Гамбье [35], решили задачу, поставленную Фуксом и Пикаром. Они нашли 50 канонических уравнений вида (0.0.1) с решениями, не имеющими подвижных критических особых точек. При этом решения 44-х уравнений из этих 50-ти выражались через известные (элементарные или специальные) функции, а решения оставшихся шести уравнений определяли новые специальные функции, которые теперь называются трасцендентами Пеплеве.

Шестое уравнение Пенлеве впервые было опубликовано в работе Р. Фукса [32]. Р. Гарнье [34] впервые изучал его решения.

Новая волна интереса к уравнениям Пенлеве возникла в 70-е годы XX века после обнаруженния М. Абловицем, А. Рамани и X. Сегуром [1, 27] связи интегрируемых нелинейных уравнений в частных производных с уравнениями Пенлеве. Так шестое уравнение Пенлеве является точной редукцией уравнения Эрнста, описывающего движение солитонов.'

В настоящее время для уравнений Пенлеве рассматриваются задачи: об асимптотическом поведении их решений вблизи особых точек; локальные и глобальные свойства решений; рациональные и алгебраические решения; дискретизация; приложения уравнений Пенлеве (в основном в физике).

В этой диссертационной работе изучаются асимптотические разложения решений шестого уравнения Пенлеве.

Подобные исследования проводились многими авторами. Например, в книгах В. Громака, И. Лэйне, С. Шимомура [38], Н. Кудряшова [22] описаны асимптотические разложения транцендентов Пенлеве по целым степеням независимой переменной. С. Шимомура [51 - 54], М. Жимбо [40], X. Кимура [41], К. Окамото [43] доказали разными методами существование и сходимость двупараметрических семейств разложений решений шестого уравнения Пенлеве. При специальных значениях параметров шестого уравнения Пенлеве Б. Дубровин и М. Маззокко [30, 42] получили разложения решений но целым степеням независимой переменной и пер-

вые несколько членов нестепенных асимптотик. Разложения более общего вида не рассматривались.

Цель работы. Шестое уравнение Пенлеве имеет вид

// (ї/)²Л 1 1 \ ,/1 1 1 \

у =^-1- + —7 + — )-у (- + —? + — +

2 \у у-\ y-xj \х х-1 y-xj

у(у - ¹)(у - ^х)

х²(х — I)²

(0.0.2)

, х х — I ,х(х — 1)
а + Ь-т + с- — + d-^K '

у² (у-\)² (у-х)²

где а, 6, с, J - комплексные параметры, хну- комплексные переменные, у' = dy/dx. Оно имеет три особые точки х = 0, х = 1 и х = оо. Выделим при х —» 0 три типа асимптотических разложений вида

у = c_r^r + ^c_s2:^s, (0.0.3)

где показатели степени г и s - комплексные числа, Res > Re г, Res возрастают и число показателей s с одинаковой Res конечно; комплексные коэффициенты с_г и c_s таковы:

1. с_г и с, - постоянные (степенные разложения);

2. с_г - постоянный, c_s - многочлены от In х (степенно-
логарифмические разложения);

3. с_г и с, - степенные ряды по убывающим степеням In а; (слож
ные разложения).

При этом предполагается, что аргумент комплексной переменной х остается в некотором интервале.

Аналогично определяются типы асимптотических разложений прих —> 1 и х —> оо.

В диссертации решается Задача. При всех значениях комплексных параметров а, Ь, с, d уравнения (0.0.2) вблизи всех трех особых точек найти все асимптотические разложения его решений типов 1-3.

Уравнение имеет три симметрии, переводящие особые точки друг в друга. Поэтому сначала решается задача вблизи х = О, а затем с помощью симметрии получаются асимптотические разложения решений вблизи х = оо и х = 1.

Общая методика исследования. В диссертации используются методы степенной геометрии (см. [2 - 15, 28]). Первый член асимптотического разложения вычисляется из упрощенного уравнения, состоящего из тех членов исходного уравнения, которые являются ведущими для этого разложения (вносят больший вклад в окрестности рассматриваемой точки). Эти уравнения выделяются при помощи графиков. Показатели степени s дальнейших членов разложения c_sx^s находятся алгоритмически. Для этого используется первая вариация упрощенного уравнения. Коэффициенты c_s вычисляются последовательно.

Научная новизна. В диссертационной работе при всех значениях параметров а, Ь, с, d получены все асимптотические разложения рассматриваемых типов. Найдены все степенные разложения, в том числе, и все ранее известные. Получены все степенно-логарифмические разложения, все они являются новыми. Найдены все сложные разложения, все они являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Она может представлять интерес для специалистов в области специальных функций (трансцендентов Пенлеве).

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре математического отдела ИПМ им. М.В. Келдыша иод руководством д.ф.-м.н. А.Д. Брюно (2003 г.), на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений МГУ иод руководством проф. В.А. Кондратьева, проф. В.М. Миллионщикова и проф. Н.Х. Розова (2004 г.), на семинаре кафедры высшей математики МЭСИ под руководством доц. И.В. Асташовой и доц. В.А. Никишкина (2005 г.), на се-

минаре "Дифференциальные уравнения" МЭИ (ТУ) под руководством проф. А.А. Амосова и проф. Ю.А. Дубинского (2006 г.), на семинаре по математической физике ИПМ им. М.В. Келдыша под руководством проф. В.В. Веденяпина, проф. В.А. Дородницына и проф. М.В. Масленникова (2006 г.).

Результаты докладывались также на Международной молодежной конференции "Гагаринские чтения - XXIX" (Москва, МАТИ-РГТУ им. К.Э. Циолковского, 2003 г.) на XXVI конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2004 г.), Воронежской весенней математической школе "Понтрягин-ские чтения — XV" (Воронеж, 2004 г.), на Международных конференциях по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2004, 2006 гг.), на Международной конференции по приложениям компьютерной алгебры (Варна, 2006 г.).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 56 наименований, включая работы автора. Объем диссертации составляет 124 страницы машинописного текста.

Содержание работы

Во введении излагается история возникновения проблемы, обосновывается ее актуальность, дан краткий обзор работ, связанных с темой диссертации, формулируется цель исследования, приводятся основные результаты.

В главе 1 излагаются те методы и результаты плоской степенной геометрии [2-15], которые используются в диссертационной работе.

В параграфе 1.1 описывается методика выделения упрощенных уравнений и построение степенных асимптотик решений исходного уравнения.

В параграфе 1.2 излагаются алгоритмы: вычисления показателей степени всех членов асимптотического разложения, имеющих первым членом степенную функцию; и коэффицентов такого разложения.

В параграфе 1.3 рассматривается вопрос существования нестепенных асимптотик решений исходного уравнения, и описывается алгоритм их нахождения.

В параграфе 1.4 предлагается способ вычисления сложных разложений (разложений с нестепенной асимптотикой).

В главе 2 для шестого уравнения Пенлеве при a-b^O, х —» 0 и # —» со ищутся асимптотические разложения всех трех типов. А именно, степенные, степенно-логарифмические и сложные.

В параграфе 2.1 исследуются основные свойства уравнения: многоугольник уравнения, симметрии и исключительные решения: Х\ : у = О при 6 = 0, І2 ' У = 1 при с = 0, Із ' У = х при d = 1/2, J4 : у = 00 при a — 0. Многоугольник уравнения и обозначения семейств асимптотических разложений, соответствующих вершинам и ребрам многоугольника, показаны на рис. 1.

Рис. 1.

В параграфе 2.2 изучаются асимптотические разложения решений вблизи нуля, соответствующие вершинам многоугольника. Показано, что они имеются только для вершины с координатами (qi, 2) = (0, 3). Основной результат:

Теорема 2.2.1. При х —> 0 существует двупараметрическое семейство разложений решений

Л: y = c_rx^r + Y^c_sx^s, (2.2.4)

где комплексные показатели степени таковы: г - произвольный и удовлетворяет неравенствам 0 < Re г < 1, s Є {г + lr + m(l — г); /, m > 0; /+m > 0; /, га G Z}, комплексный коэффициент, c_r Ф 0, c_r - произвольная постоянная, остальные комплексные коэффициенты c_s постоянны и однозначно определены.

Разложения (2.2.4) сходятся для малых \х\. Семейство Ло и его сходимость были известны. Оно имеется при всех значениях параметров и исчерпывает все разложения типов 1-3, соответствующие вершине (0, 3).

В параграфе 2.3 изучаются асимптотические разложения решений вблизи нуля, соответствующие левому вертикальному ребру многоугольника (рис. 1). Основной результ:

Теорема 2.3.1. (а) При афсф0их->0 существует семейство разложений В\, , которые в зависимости от значений в\ = у/2с — л/2а и #2 = \/2с + \/2а имеют 0 или 1 параметр; и определяются одной из формул (2.3.10), (2.3.14), (2.3.15). Если Re 0{ — О, то семейство В[ определяется формулой

00 8=1

где коэффициент

c_oi = 1 + (-1)'\ Д (2.3.3)

V а

остальные комплексные коэффициенты c_st постоянны и однозначно определены.

Пусть Re в і Ф 0 и / = 0 і sgn (Re#;).

Если Redi^Q и 9( $1j, то семейство В{ определяется формулой

Вц y = c_0i + Y,^csi^xS> (²-³'¹⁴)

где s пробегает множество {I + тк\, 1,т Є Z, l,m > 0, I + m > 0}, комплексные коэффициенты таковы: ( определен формулой (2.3.3), ( - произвольный, остальные c_Si постоянны и однозначно определены. Если 0і Є Z\{0}_; mo семейство Ві определяется формулой

Ві: y = c_di + J2c_si(\nx)x^s₁ (2.3.15)

где коэффициенты таковы: cqi определен формулой (2.3.3), c_Si с s < k{ -постоянны, Ckj = a^i -f /?^1пж, ( - произвольная постоянная, коэффициент P^i постоянный и однозначно определенный, остальные c_s{ с s > кг - многочлены orn 1пх, которые однозначно определяются. Семейство $2 существует также при а = с Ф" 0.

(Ь) При а-с^Оих—>0 существуют три одпопараметрических семейства сложных разложений.

А именно, семейство В$, которое существует при а Ф¹ с и определяется формулами

Вз: У = <Ро + 2^<Р*^> (²-³-²⁶)

(7=1

П = —А- + Гз¹ + Г^> (2-³-²⁴)

с-а\п²_х In³ я ^-flnV

комплексные коэффициенты таковы: с_з — произвольная постоянная, остальные C-_s — постоянны и однозначно определены; (р_а ряды по убывающим степеням логарифлюв;

семейства / и В$, которые существуют при а = с Ф" О и определяются формулами

Вз+j У = Фъз + ^' І = *' ²> (²'³'³⁴)

(7=1

^-, j = 1, 2, (2.3.33)

^v s=3

комплексные коэффициенты таковы: c_2j — произвольная постоянная, остальные c__SJ- — постоянны и однозначно определены; ф_а^ ряды по убывающим степеням логарифмов.

(с) При с = 0 и х —> О существует однопараметрическое семейство разложений Bq, которое определяется формулой

В₆: y = l + c_px^p + J2 ^c*x^S, (2.3.40)

где с_р ф 0, с_р - произвольная постоянная, р = у/2а, Rc\/2a > 0, s пробегает множество {р + lp + т; 1,т > 0; / + т > 0; 1,т Є Z}, комплексные коэффициенты c_s постоянны и однозначно определены.

Ряды (2.3.10), (2.3.14), (2.3.15) и (2.3.40) сходятся для достаточно малых \х\.

Для семейств Bi, Bi были известны только подсемейства с постоянными коэффициентами и целыми показателями степени. Семейства В% - Bq -новые.

Семейства В\ - Bq исчерпывают все разложения типов 1-3, соответствующие левому вертикальному ребру многоугольника (рис. 1).

Семейства Aq, Bi - Bq являются базовыми. С помощью основных симметрии уравнения из них получаются другие семейства разложений.

В параграфе 2.4 при х —» 0 из базовых семейств разложений Bi - Bq с помощью симметрии уравнения получаются семейства Hi - Hq, соответствующие нижнему наклонному ребру многоугольника (рис. 1).

В параграфе 2.5 из асимптотических разложений решений при х —> 0, образующих семейства Aq, В\ - Bq, TL\ - Hq, с помощью другой симметрии уравнения получаются семейства асимптотических разложений Аоо, Q\ -Qq, V\ - Vq при x —> со.

В главе 3 для шестого уравнения Пеплеве при а = 0, Ь ф 0 и а ф 0, Ь — 0 ищутся асимптотические разложения всех трех типов: степенные, степенно-логарифмические и сложные.

В параграфе 3.1 обсуждаются в каждом из случаев a = О, Ъ ф 0 и а ф 0, b = О свойства уравнения: многоугольник и симметрии. Так, при a = О, b ф 0 многоугольник уравнения показан на рис. 2.

Рис. 2.

В параграфе 3.2 при а = 0, b ф 0 изучаются асимптотические разложения решений вблизи нуля (отличные от разложений имеющихся в случаеа-6 ф 0), соответствующие вершине (0, 4). Основной результат: Теорема 3.6.1. (а) При х —» 0 и a = 0, b ф 0, Re \/2с > 0 существует одиопараметрическое семейство разложений решений

Вт: у = c_rx^r + V, Cs#^s> 5 Є К,

(3.2.7)

где с_г — ненулевая комплексная произвольная постоянная, комплексные показатели степени таковы: г = — у/2с, s пробегает множество {г — 1г + т\ I, т > 0; I + га > 0; І, т Є Z}, комплексные коэффициенты c_s постоянны и однозначно определены.

Семейство Бі исчерпывает все разложения типов 1-3, соответствующие вершине (0, 4) (рис. 2).

В параграфе 3.3 при a = 0, 6 ф 0 показано отсутствие асимптотических разложений решений вблизи нуля, соответствующих горизонтальному ребру.

В параграфе 3.4 при a = 0, b ф 0 изучаются асимптотические разложения решений вблизи нуля (отличные от разложений имеющихся в случае

a b ф 0), соответствующие вертикальному ребру. Основной результат: Теорема 3.6.1. (Ь) При х-*0иа = с = 0, ЬфО существует одиопа-раметрическое семейство разлооїсений решений

+00

В₈: y = c_Q + Y,^c*^xS' (³-^4Л7)

5=1

где комплексный коэффициент cq Ф О, 1 — произвольная постоянная, остальные комплексные коэффициенты c_s — постоянны и однозначно определены.

При а = О ф с имеется также семейство /.

Семейства Бз и #8 исчерпывают все разложения типов 1-3, соответствующие левому вертикальному ребру рис. 2.

Ряды (3.2.7) и (3.4.17) сходятся для достаточно малых \х\.

Семейство В₈ известно. Известно также семейство B-j для целых г.

Семейства B-j и $8 также являются базовыми. С помощью симметрии уравнения из базовых семейств Ао, В\ - В% получаются все остальные семейства разложений решений в окрестностях всех особых точек.

В таблице 1 показано существование базовых семейств В\ - В$ в зависимости от значений параметров уравнения.

Таблица 1.

В параграфе 3.5 при а = 0, b Ф О с помощью симметрии из базовых семейств разложений B-j и В% получаются семейства асимптотических разложений решений Q-j и Q% вблизи бесконечности (отличные от семейств разложений имеющихся в случае а b ф 0), соответствующие вершине и наклонному ребру.

Параграф 3.6 это подведение итогов и обсуждение результатов, полученных в случае а = 0, b фО.

В параграфе 3.7 из случая а = О, b ф О с помощью одной из симметрии уравнения получаются разложения решений в случае b = 0, а ф 0.

В главе 4 рассматривается случай, когда в уравнении Пенлеве параметры a = b = 0. Она не содержит новых результатов. В ней перечислснны асимптотические разложения сохранившиеся из случаев а = 0, b ф 0 и а ф 0, b = 0.

В главе 5 с помощью симметрии уравнения и асимптотических разложений решений при х —> 0, имеющих место при всех значениях параметров уравнения, получаются асимптотические разложения решений прих —-> 1.

Основные результаты диссертации опубликованы в 14 работах автора [10-20, 25, 36, 37).

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 05-01-00050.

Похожие диссертации на Асимптотические разложения решений шестого уравнения Пенлеве

Асимптотические разложение решений волнового уравнения для сингулярно возмущенных смешанных задачГанжа, Мария Ивановна

Асимптотические разложения решений третьего уравнения ПенлевеГриднев, Алексей Владимирович

Асимптотические разложения решений пятого уравнения ПенлевеПарусникова, Анастасия Владимировна

Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений с двумя малыми параметрамиКоврижных Ольга Олеговна

Асимптотические разложения и устойчивость решений функционально-дифференциальных уравнений второго порядка в гильбертовом пространствеАлиева, Людмила Марковна

Асимптотические разложения, ограниченность и устойчивость решений функционально-дифференциальных уравнений n-го порядка с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве Айгубов Сайдархан Занкуевич

Инвариантные подмодели и точные решения уравнений термодиффузииРыжков Илья Игоревич

Качественные и спектральные свойства решений уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения и их примененияКарамова, Альфира Авкалевна

Оценки числа периодических решений уравнений Абеля и ЛьенараПанов Андрей Алексеевич

Возмущение двухсолитонного решения уравнения Кортевега - де ФризаЛазарев Владимир Анатольевич