Содержание к диссертации
Введение
1 Степенные разложения решений третьего уравнения Пенлеве 15
1.1 Степенная геометрия 15
1.1.1 Термины и определения 15
1.1.2 Выделение укороченных уравнений 16
1.1.3 Решение укороченного уравнения 19
1.1.4 Критические значения укороченного решения . 21
1.1.5 Носитель разложения (1.5) 24
1.1.6 Вычисление коэффициентов разложения 26
1.1.7 Вычисление второго приближения 27
1.1.8 Вопросы сходимости 28
1.1.9 Вспомогательные утверждения 29
1.2 Степенные разложения решений модифицированного третье го уравнения Пенлеве в окрестности точки ZQ = 0 29
1.2.1 Носитель и многоугольник уравнения 30
1.2.2 Симметрия 31
1.2.3 Нормальные конусы граней 32
1.2.4 Разложения решений, соответствующих вершинам . 33
1.2.5 Разложения решений, соответствующих ребрам . 34
1.2.6 Сводка результатов и их обсуждение 38
1.3 Степенные разложения решений модифицированного третье го уравнения Пенлеве в окрестности точки ZQ 39
1.3.1 Объекты степенной геометрии для уравнения (1.47) . 39
1.3.2 Разложения решений, соответствующие вершинам . 40
1.3.3 Разложения решений, соответствующие ребрам . 40
1.3.4 Сводка результатов 41
1.4 Степенные разложения решений третьего уравнения Пенлеве в окрестности точек = 0 и = оо 42
1.4.1 Объекты степенной геометрии для уравнения (1.52) 42
1.4.2 Степенные разложения решений, соответствующие вершинам 44
1.4.3 Степенные разложения решений, соответствующие ребрам 47
1.4.4 Сводка результатов и их обсуждение 51
1.5 Степенные разложения решений третьего уравнения Пенлеве в окрестности точки о ф 0 52
1.5.1 Объекты степенной геометрии для уравнения (1.77) . 53
1.5.2 Степенные разложения решений, соответствующие вершинам 55
1.5.3 Степенные разложения решений, соответствующие ребрам 56
1.5.4 Сводка результатов 58
1.6 Экспоненциальные добавки к степенным разложениям решений третьего уравнения Пенлеве 59
1.6.1 Добавки к степенным разложениям решений уравнения (1.4) 59
1.6.2 Экспоненциальные добавки к разложениям решений третьего уравнения Пенлеве 64
2 Степенно-логарифмические разложения решений третьего уравнения Пенлеве 68
2.1 Степенно-логарифмические разложения решений уравнения (1.4) 68
2.2 Разложения, соответствующие ребру Г^ 71
2.3 Разложения, соответствующие ребру Т^ 75
2.4 Сводка результатов и их обсуждение 75
3 Сложные разложения решений третьего уравнения Пенлеве 76
3.1 Сложные разложения решений уравнения (1.4) 76
3.1.1 Случай вертикального ребра П 77
3.1.2 Случай наклонного ребра rf] 79
3.1.3 Случай вершины Г^ 80
3.1.4 Решение задачи 5 81
3.2 Разложения решений, соответствующие ребру
3.3 Разложения, соответствующие ребру Г2 92
3.4 Сводка результатов и их обсуждение 93
Литература
- Критические значения укороченного решения
- Степенные разложения решений модифицированного третье го уравнения Пенлеве в окрестности точки ZQ
- Степенные разложения решений, соответствующие вершинам
- Разложения решений, соответствующие ребру
Введение к работе
Актуальность темы. В 1887 году французский математик Э. Пикар предложил исследовать класс обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка
w" = R(z,w,w'), (0.1)
где R — рациональная функция от w и w' и аналитическая функция от z, и найти среди уравнений (0.1) те уравнения, решения которых не имеют подвижных критических особых точек (Особая точка z = zq функции w(z) называется критической особой точкой, если при обходе этой точки значение функции w(z) меняется. Подвижной особой точкой решения дифференциального уравнения называется такая особая точка, положение которой зависит от начальных данных задачи. Например, для решения
1
w = ,
Z - Zq
где zq — произвольная постоянная, точка z = zq является подвижной особой точкой).
Реализация этой идеи принадлежит французскому математику П. Пе-нлеве и его ученикам. В результате многолетних исследований школе Пен-леве удалось найти 50 канонических уравнений вида (0.1) с решениями, не имеющими подвижных критических особых точек. При этом решения 44-х уравнений из этих 50-ти выражались через известные (элементарные или специальные) функции, а решения оставшихся шести уравнений определя-
ли новые специальные функции, которые теперь называются трасценден-тами Пенлеве.
Из работ Пенлеве и его учеников, посвященных классификации уравнений второго порядка (0.1), следует, что отсутствие подвижных критических особых точек в решениях уравнений является признаком существования решений. При этом оказалось, что решения уравнений Пенлеве являются существенно трансцендентными функциями относительно постоянных интегрирования.
Во второй половине XX века интерес к уравнениям Пенлеве возрос из-за обнаруженной М. Абловицем, А. Рамани и X. Сегуром связи нелинейных уравнений в частных производных, имеющих солитонные решения, с уравнениями Пенлеве. Уравнения Пенлеве находят свое применение в таких областях современной физики, как общая теория относительности, физика плазмы, нелинейные волны, нелинейная оптика, волоконная оптика и другие.
В настоящий момент уравнения Пенлеве изучаются в нескольких аспектах:
асимптотическое поведение трансцендентов Пенлеве;
анализ Пенлеве, условия интегрируемости;
геометрия уравнений Пенлеве, алгебраическая структура и дискретизация;
приложения уравнений Пенлеве, в основном в физике. Исследование, представленное в диссертации, относится к первой группе.
Многие авторы, такие как В. Громак, X. Умемура, Ш. Шимомура, П. Кларксон, Н. Кудряшов и другие, искали асимптотические разложения
транцендентов Пенлеве, которые являлись разложениями по рациональным степеням (см., например, [2], [5], [23], [36] и библиографии к этим работам). Разложения более общего вида не рассматривались.
Цель работы. Третье уравнение Пенлеве имеет вид
w2 w aw2 + Ъ о d /л лЧ
w = + + cw3 + -, (0.2)
w t t w
где t Є С — независимая переменная, w(t) — неизвестная функция, а, 6,
cud — комплексные параметры, bd ф 0, w = dw/dt. У этого уравнения
имеется две особых точки: = 0 и = оо. В работе для случая общего
положения, когда все параметры а, Ь, си d отличны от нуля:
abed ф 0, (0.3)
ищутся асимптотические разложения решений уравнения (0.2) в окрестности t = 0 и t = со вида
w = crf + y"csts,
где г, s 6l;r > s, если t -» со, г < s, если t —у 0; cr, cs — либо постоянные, либо многочлены от lnt, либо ряды по убывающим степеням Int. А именно, будем различать три типа таких разложений:
cr, cs — комплексные постоянные (степенные разложения);
сТ — постоянная, cs — могут быть многочленами от lnt [степенно-логарифмические разложения);
3) cr, cs — ряды по убывающим степеням lnt (сложные разложения).
Аналогичная задача решена и для модифицированного третьего урав
нения Пенлеве, которое имеет вид
/\2
„»=^
+ ez (aw2 + 6) + e2z (cw3 + \ (0.4)
и получается из уравнения (0.2) заменой t = ez, w' = dw/dz.
Общая методика исследования. В диссертации используются методы степенной геометрии см. [12], [13]). Для получения первого члена асимптотического разложения из исходного уравнения выделяются несколько упрощенных уравнений, состоящих из тех членов исходного уравнения, которые являются ведущими для этого разложения (вносят больший вклад в окрестности рассматриваемой точки). Выделение этих уравнений удобно делать графически. Дальнейшие члены разложения csts находятся также алгоритмически с использованием первой вариации упрощенного уравнения.
Научная новизна. В диссертационной работе для случая общего положения (когда все параметры а, Ъ, с и d в уравнении отличны от нуля) получены все асимптотические разложения рассматриваемых видов. Найдены все степенные разложения, в том числе, и все ранее известные. Получены все степенно-логарифмические разложения, все они являются новыми. Найдены все сложные разложения, все они являются новыми.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 41 наименования, включая работы автора. Объем диссертации составляет 99 страниц машинописного текста.
Содержание работы. В первой главе для уравнения (0.2) исследуются степенные разложения решений вида
w = Crf + ^2 csts, г Є R, s Є К (0.5)
где сг ф 0, cs — комлексные постоянные, г > s, если t —> со, и г < s в противном случае, К — дискретное множество на вещественной прямой,
не имеющее точек накопления.
В 1 вводятся основные понятия степенной геометрии, которые используются в последующих параграфах и главах, а также методы нахождения степенных разложений для решения обыкновенного дифференциального уравнения. В 2 рассматриваются степенные разложения решений уравнения (0.4) в окрестности точки z = 0. В 3 приводится обобщение результатов 2 на случай окрестности произвольной (неособой) точки z = zq. В 4 рассматриваются степенные разложения решений уравнения (0.2) в окрестности точек = 0и = оо.В5 исследуются степенные разложения решений уравнения (0.2) в окрестности произвольной точки t = to ф 0, со. Основными результатами первой главы являются следующие теоремы. Теорема 1.10 Степенные разложения решений модифицированного третьего уравнения Пенлеве (0.4) в окрестности произвольной точки z = zq представляют собой следующие семейства:
1) двупараметрическое (по cq ф 0 и с\) семейство разложений
w = co + ^2ck(z- z0) , (1.36)
где со Ф 0, с\ — произвольные постоянные, а остальные Ck однозначно определены;
2) два одиопараметрических (по сз) семейства разложений
w = ±ezV^d (z - *о) + ^ cfc (z - z0)h , (1.49)
где сз — произвольная постоянная, а остальные Ck однозначно определены;
3) два одиопараметрических (по с\) семейства разложений
— Zn
w = ±t—r (z - zo)-1 + J^ck(z- zQ)k , (1.51)
где с\ — произвольная постоянная, а остальные Ск однозначно определены.
Замечание. Все разложения, указанные в теореме 1.10, сходятся для
малых \z — zq\.
Теорема 1.12 Степенные разложения решений третьего уравнения Пе-
нлеве (0.2) в окрестности точки t = 0 представляют собой следующие
семейства:
1) Двупараметрическое (по Ст ф 0, г Є (—1,1)) семейство разложе
ний
w = Crf + ^2 C^S' s є К' (L57)' (L58)' (L59)
где r Є (—1,1), cr ф 0 — произвольная постоянная, остальные cs однозначно определены, К = {г+ Z(l + r) + га(1 — г), целые I, т > 0, 1 + т>0}.
2) Пусть = hjyf^d.
а) Если Im() ф 0, то в окрестности t = 0 имеется следующее разлоэ/се-
ние решения уравнения (0.2)
, 00
w = ~t + J2c2k+it2k+1, (1.67)
k=l
где все C2k+i однозначно определены.
б) Если Im() = 0 и || ф 2п, п Є N, то в окрестности t = 0 име
ется следующее однопараметрическое (по с\+щ) семейство разлооїсепий
решений уравнения (0.2)
w = --t + ^2csts} sGK, (1.68)
где c1+|| — произвольная постоянная, а остальные cs однозначно определены; К = {1 + 21 4- ||т, целые I, т > О, I + т > 0}.
3) Пусть г] = а/у/с. а) Если 1т(т7) фО, то в окрестности t = О имеется следующее разложение решения уравнения (0.2)
= --*_1 + E^+i*M+1. (1-70)
а.-л .
г.
к=0
где все C2k+i однозначно определены.
б) Если Im(77) = 0 и \ц\ ф 2п, п Є N, то в окрестности t = 0 имеется следующее однопараметрическое {по c_i+|^|) семейство разложений решений уравнения (0.2)
w = -Vі + Y, с^> s є К> С1-71)
С*
где с _1+1^1 — произвольная постоянная, а остальные cs однозначно определены; К = {—1 + 21 + \т]\т, целые I, т > 0, I + т > 0}. Замечание. Все разлооїсения, указанные в теореме 1.12, сходятся для малых \t\.
Теорема 1.13 Степенные разложения решений третьего уравнения Пе-нлеве (0.2) в окрестности точки t = оо представляют собой следующие четыре разлооїсеиия:
, 00
= iJy — + J2c-kt~^ І = 0,1,2,3, (1.76)
с *=і
где г2 = — 1, коэффициенты с_& однозначно определены. Замечание. Разлооїсения (1.76) являются формальными. Теорема 1.14 Степенные разложения решений третьего уравнения Пе-нлеве (0.2) в окрестности точки t = to ф 0, оо представляют собой следующие семейства:
1) двупараметрическое (по cq ф 0 и с\) семейство разложений
w = c0 + YJck(t~ to)k, (1.81)
где cq ф 0, с\ — произвольные постоянные, а остальные Ck однозначно определены;
2) два однопараметрических (по сз) семейства разлооїсений
w = ±V^d (t - t0) + Y^ ck (t - to)k, (1.86)
k=2
где сз — произвольная постоянная, а остальные с& однозначно определены;
3) два однопараметрических (по с\) семейства разлооїсений
w = ±-= (t - to)'1 + ^ck(t- t0)k , (1.89)
VC fc=0
где c\ — произвольная постоянная, а остальные ck однозначно определены. Замечание. Все разложения, указанные в теореме 1.14, сходятся для малых \t — to\.
Во второй главе для уравнения (0.2) исследуются степенно-логарифмические разложения решений вида
w = crf + ]Г (3sts, г Є R, s Є К (0.6)
где сг ф 0, — комлексная постоянная, (3S — многочлены от In t с комплексными коэффициентами, г > s, если f -f оо, и г < s в противном случае, К — дискретное множество на вещественной прямой, не имеющее точек накопления.
В 1 описываются методы нахождения степенно-логарифмических разложений для решения обыкновенного дифференциального уравнения. В 2 рассматриваются степенно-логарифмические разложения решений уравнения (0.2).
Основным результатом второй главы является следующая теорема. Теорема 2.2
1) Пусть = b/\f^d. Если Im() = 0 и || = 2п, п Є N, то в
окрестности t = 0 имеется следующее семейство степенно-логарифми
ческих разлооісепий решений уравнения (1.52);
, -1+ІЄІ/2 оо
" = -* + Е
fc=l *=lfl/2
где C2jt+i ~~ однозначно определенные постоянные, fak+i — многочлены от hit, А+|| — многочлен первой степени с произвольным свободным членом.
2) Пусть п = а/у/с. Если Im(7/) = 0 и \г)\ = 2п, п Є N, mo е окрест
ности t = 0 имеется следующее семейство степенно-логарифмических
разлооісепий решений уравнения (1.52):
-1+М/2 оо
w = --crl+ Ё ^-і^-Ч Ё /W*"1, (2.11)
fc=l *=|ч|/2
где C2fc-i — однозначно определенные постоянные, fak-i ~ многочлены от hit, fi-\+\n\ — многочлен первой степени с произвольным свободным членом.
Замечание. Все разложения, указанные в теореме 2.2, являются формальными.
В третьей главе для уравнения (0.2) исследуются сложные разложения решений вида
w = iprtr + ^2 где (pr, (ps — ряды по убывающим степеням \nt, г > s, если t —> ОО, И Г < S в противном случае, К — дискретное множество на вещественной прямой, не имеющее точек накопления. В 1 описываются методы нахождения сложных разложений для решения обыкновенного дифференциального уравнения. В 2 рассматриваются сложные разложения решений уравнения (0.2). Основным результатом третьей главы является следующая теорема. Теорема 3.5 Сложные разложения решений уравнения (0.2) в окрестности точки t = 0 представляют собой следующие семейства: і) w = 2*+i*2fc+\ (3.34) fc=l где (p2k+\ — ряды по убывающим степеням In t, (Pi = -- (ІП t)2 + Сі In* + J2 C~s (Ь*Р ' где c\ — произвольная постоянная, а остальные постоянные c_s однозначно определены. s) w = <Р-іГ1 + J2 V2k+it2k+\ (3.35) A;=0 где (f2k+i — ряды no убывающим степеням In t, a A s=4 где с_з — произвольная постоянная, а остальные постоянные c_s однозначно определены. Замечание. Все разложения, указанные в теореме 3.5; являются формальными. Рассмотрим по отдельности два случая: вершины Г - и ребра П . Вершине Т = {Q} соответствует укороченное уравнение (1.11) с точечным носителем Q. Положим g(X) = X-Qff\x), тогда решение (1.7) уравнения (1.11) удовлетворяет уравнению д(Х) = 0. Подставляя w = czr в д(Х), получаем, что g(z, czr) не зависит от z и с, и является многочленом от г, т.е. g(z,czr) = xir)i гДе x(r) — характеристический многочлен диффе-ренциальной суммы / {X). Следовательно, для решения (1.7) уравнения (1.11) показатель г является корнем характеристического уравнения x(r)d g(z,zr)=0, (1.12) а коэффициент cv — произвольный. Из корней Г{ уравнения (1.12) надо отобрать только те, для которых один из векторов ш(1,г), где UJ = ±1, лежит в нормальном конусе "Ш вершины Ij- . При этом согласно предложению 1.1. значение и определяется однозначно. Соответствующие выражения (1.7) с произвольной константой Сг являются кандидатами на роль укороченных решений,уравнения (1.4). При этом если ш = — 1, то z -) 0 и в разложении (1.5) s г, а если си = 1, то z —)-ооив (1.5) s г. Укороченное уравнение (1.11) называется алгебраическим, если оно не содержит производных. Замечание 1.1 (см. [13]). Если укороченное уравнение (1.11) с d = 0 является алгебраическим, то оно не имеет решений вида (1.7). Поэтому укорочения, состоящие из одного алгебраического монома, можно не рассматривать. Ребру соответствует укороченное уравнение (1-11), нормальный конус Uj которого является лучом {Р = Au/(l,r ),A 0}, где вектор u/(l,r ) является внешней нормалью ребра П . Нормальный конус u = {Р = Хсо(1,г), А 0} решения (1.7) пересекается с ІЛ только если эти лучи совпадают, т.е. из = из и г = г . Согласно предложению 1.2. этим однозначно определяется показатель степени г укороченного решения (1.7) и значение из. Для определения коэффициента сг надо (1.7) подставить в укороченное уравнение (1.11). После сокращения на некоторую степень z получаем алгебраическое уравнение для коэффициента Сг }{c) z-sff\z,czr) = V. (1.13) Каждому его корню с = срф 0 соответствует свое выражение (1.7), которое является кандидатом на роль укороченного решения уравнения (1.4). При этом, если получилось, что из = — 1, то z — 0 и в (1.5) s г, а если из = 1, то z —»-ооив (1.5) s г. Итак, каждое укороченное уравнение (1.11) имеет несколько подходящих решений (1.7) с и С XJj . Объединим их в непрерывные ПО 07, г, Сг и параметрам уравнения (1.4) семейства, которые обозначим Т- к, где к = 1, 2,... Если нас интересуют не все решения (1.5) уравнения (1.4), а только те решения (1.5), у которых нормальный конус и лежит в некотором заданном конусе /С, то /С называется конусом задачи [13, гл. I, 6]. Например, для укороченного уравнения (1.11) нормальный конус \], является конусом задачи, если нет других ограничений. где f(z,u) — дифференциальная сумма, все точки Q = (1,52) ее носителя S(/) имеют целую неотрицательную координату qi. К уравнению (1.15) можно применить описанные выше вычисления (то есть носителя, многоугольника, укорочений и т.д.) и получить следующий член разложения (1.5) cSoxs, у которого SQ г, если z — 0, и so г) если z - со. Следовательно, получилась основная задача для уравнения (1.15), но теперь с конусом задачи p2/pi г, pi О, если Р= (pi, р2) : I Р2/Р1 г, р\ 0, если z — со Согласно (1.8) для s = Р2/Р1 этот конус задачи /С можно записать в виде К = {s = Р2ІР1 sw ru} . (1-16) Однако во многих случаях дифференциальная сумма f(z, и) имеет специальный вид, что позволяет существенно сократить вычисления разложений (1.5). Предположим, что уравнение (1.15) имеет вид /(г, и) = C(z)u + h(z, и) = О, (1.17) где C{z) — линейный дифференциальный оператор и носитель S(u) состоит из одной точки (г , 1), являющейся вершиной Т[ многоугольника Г(/), у всех точек Q = (qi,q2) носителя S(/i) координата q i 0 и нет точки (v, 1), нормальный конус вершины Г содержит вектор Р = (рьРг) с Р\ш 0. Напомним, что дифференциальная сумма f(z, w) имеет первую вариацию [39] —-г-2—, которая обладает следующими свойствами. 6(cz w ) „ п , 5(dlw/dzl) dl — = cq2z4lw42 , — = —, 5w 5w dz1 Теорема 1.2 (см. [14], [1]). Пусть (1.7) — решение укороченного уравнения (1.11) cueUJ . Тогда в уравнении (1.17) оператор , ч /jd)(z,w) М-2) — —г иа w = Cr j (1-18) 0 mo есть равен первой вариации, вычисленной на кривой (1.7). Следовательно, после подстановки (1.14) уравнение (1.4) принимает вид (1.17), если C{z) ф 0. Пусть v(k) — характеристический многочлен дифференциальной суммы C(z)u, т.е. i/(jfe) = z-v-kC(z)zk. (1.19) Корни ki,...,ks многочлена (&) называются собственными значениями укороченного решения (1.7). Те из вещественных собственных чисел /: , которые лежат в конусе задачи, т.е. удовлетворяют неравенствам (1.16), называются критическими числами. Они играют важную роль при нахождении разложения (1.7), что будет показано в следующем пункте. Характеристический многочлен и (к) дифференциальной суммы C(z)z имеет вид и{к) = z v-kC{z)zk = -сок{к - 1). Уравнение и(к) = 0 имеет два корня: к = 0, к = 1. Первый корень к = О не лежит в конусе задачи /С = {s 0}, а второй к = к\ = 1 — лежит в множестве /С, то есть является критическим числом. Сумма /, полученная из исходной суммы / заменой w = CQ + w имеет носитель S(/), который состоит из точек Q : (—2,2), (—2,1), (к,1), к = 0,1,2, ...,/ = 0,1,2,3,4. Здесь вершина Г это точка (—2,1). Поэтому сдвинутый на этот вектор носитель S (/) состоит из точек (0,1), (0,0), (к + 2,1 — 1). Все эти точки получаются сложением из точек Q[ = (0,1), Q 2 = (2, —1), 2з — (3, —1). Поэтому все точки Q = {q q?) множества S + имеют вид Q = jQ[ + mQ2 + nQ 3, где целые j,m,n 0, j-\-m-\-n 0. При этом q\ = 2ra + 3n, qi = j — m — n. На прямой #2 — — 1 имеем j = m + n — 1, т.е. m + n 0. Следовательно, К = {к 2}. Множество K(h) = K(l) = {1} U К = {к = qx : к 1}. Таким образом, согласно теореме 1.4 вершине Г2 соответствует семейство решений Q2 1 w = c0 + J2ckzk (1.36) к=\ с двумя произвольными постоянными со Ф 0 и с\. Остальные Ck однозначно определены. Разложения решений, соответствующих ребрам Ребрам Гі и Г\ соответствуют укороченные уравнения f[ = de2z = 0 и /] = ce2zwA = 0. Они не имеют подходящих решений. Ребро І2 . Ему соответствует укороченное уравнение Согласно (1.33) нормальный конус U2 = {—Л(1,1), Л 0} поэтому г = 1, ш = — 1, z - 0, степенные разложения являются разложениями по возрастающим степеням z и первое приближение решения имеет вид w = cxz, сі ф 0. (1.38) Для нахождения коэффициента с\ подставим в уравнение (1.37) первое приближение (1.38). Мы получим алгебраическое уравнение cf + d — 0. Оно имеет два корня Вычислим критические числа укороченных решений (1.38). Первая вариация снова есть (1.35). По теореме 1.2 на укороченном решении w = c\z она дает оператор Ы-Ъ -ъг О. (1.41) Характеристический многочлен и (к) имеет вид v(k) = zl kC{z)zk = 2схк - Cl{k - l)k = -cYk{k - 3). (1.42) Уравнение и (к) = 0 имеет два корня: к\ = 3, &2 = 0. Критическим числом является только один из этих корней: к\ = 3, так как только s = к\ удовлетворяет (1.40). Носитель S(/) И СМеЩеННЫЙ НОСИТеЛЬ уКОрОЧеННОГО решеНИЯ W = C\Z, то есть точка (1,-1), лежат в целочисленной решетке Z2. Конус задачи /С = {s 1}. Согласно замечанию 1.3 К = Z П {q2 = -1} П /С = {к = qi : qx = 2,3,4,...} . Множество K(&i) = К(3) = К. Это значит, что условие теоремы 1.4 не выполнено. Вычислим согласно (1.25) начальный отрезок разложения W = C\Z + C2Z2 + C3Z3. Вычислим сперва его второе приближение (см. п. 1.1.7). Для этого сначала определим ближайшую к г = 1 точку so множества К. По теореме 1.6 имеем so = 2 (в нашем случае д = 0, fj/ = —1), следовательно, Теорема 1.9 Степенные разлооїсения решений уравнения (1.29) в окрестности нуля представляют собой следующие семейства: 1. одно двупараметрическое (по со, с\) семейство д\ 1, определяемое соотношением (1.36); 2. два однопараметрических (по сз) семейства g\ \ и Q\ 2, определяемые соотношением (1.44); 3. два однопараметрических (по с\) семейства д\ 1 и Q\ 2, определяемые соотношением (1.46). Замечание 1.6 По теореме 1.7 все эти степенные разлоэюения сходятся для малых \z\ 0. Существование, единственность и аналитичность разложения (1.36) следует из теоремы Коши [23, гл. I, 5]. Разложение (1.44) получено в [35, гл. I, пример 4.6] с помощью перехода от уравнения (1.29) к системе двух уравнений первого порядка. При этом проверка выполнения условия совместности &з = 0 там делалась с помощью сложных вычислений на компьютере. Здесь же разложение находится прямо по уравнению (1.29) и проверка выполнения условия совместности тривиальна. Это случай 2 замечания 1.5. Условие совместности (1.27) здесь есть b = ±V d (1.85) При условии (1.85) коэффициент 6з = 0, коэффициент сз — произвольная постоянная. Таким образом, при условии (1.85) по теореме 1.4 имеется семейство разложений Q\ \ вида = ci + с2Р + сз? + 2 ktk (1-86) где с\ и С2 определяются соотношениями (1.83) и (1.84) соответственно, сз — произвольная постоянная, а все остальные с& однозначно определены. Ребру Г3 соответствует укороченное уравнение /3(1) = - t0ww + t0w2 + t0cw4 = 0. (1.87) Используя симметрию теоремы 1.8, из разложений (1.86), соответствующих ребру Т2 , для ребра Г3 при условии разрешимости a = TVc (1-88) мы получили следующие разложения (?з 1 = с-іГ1 + с0 + сгї + J2 ckt\ (1.89) где c_i = ±1/А/С, СО = 1/(2о) [—а/с± 1/у/с\, с\ — произвольная постоянная, а все остальные с& однозначно определены. Таким образом, в пункте 1.5 была доказана следующая теорема. Теорема 1.14 Степенные разложения решений уравнения (1.77) в окрестности точки toj O представляют собой следующие семейства: 1. двупараметрическое (по со ф 0 и с\) семейство Q\ 1, определяемое соотношением (1.81); 2. при условии (1.85) однопараметрическое (по сз) семейство Q\ І, определяемое соотношением (1.86); 3. при условии (1.88) однопараметрическое (по с\) семейство @\ 1 оп ределяемое соотношением (1.89). Замечание 1.8 Разложения семейств 1-3 сходятся для малых \t — to\ по теореме 1.7. Ранее было показано, как для каждой грани многоугольника Г(/) уравнения (1.4) находить степенные разложения решений вида w = cTzr + 2_\ cszS — (-2)) (1-5) s где коэффициенты сг, cs = const Є С, сг ф 0, показатели степени г, s Є М и не имеют в К точек накопления; г s, если z — 0, и г s, если z — со. В данном пункте рассмотрим следующую задачу. Задача 2. Найти все разложения вида ф(г) = exp Y Ts ) ws const, (1.90) s такие, что сумма w = (p(z) + ip(z) соответствует разложению решений уравнения (1.4). Здесь 7s — многочлены от lnz, ш из (1.6) Теорема 1.15 [19, 7]. Решение (1.5) уравнения (1.4), соответствующее оператору (1.18), имеет в точности Д(/) — А() однопараметрических добавок вида ф(г) = cz 1 ехр гри + 1 ss + l (1.91) где с — произвольная постоянная, Ss — однозначно определенные числа, р Є М, ш определяется соотношением (1.6). Здесь А(/) и Д() — соответственно порядки дифференцирования суммы / и оператора С (см. п. 1.1.8). Следствие 1.1 [19, 7]. Решение (1.5) уравнения (1.4), соответствующее укороченному уравнению (1.11), может иметь экспоненциальные добавки (1.90) только в двух случаях: (а) при A(/j ;) А(/) и (б) при Д(/ ) = А(/) = А, если уравнения (1.11) и d/j /dw = 0 имеют общее решение (1.7), для которого один из векторов ±(1,г) Є U:- . Теперь опишем все добавки (1.90) к решению (1.5). После подстановки w = ip(z) + и уравнение (1.4) принимает вид f(z,ф) + и) /( , и) dM M(z)u + g(z,и) = 0, (1.92) где М. — линейный дифференциальный оператор, и у всех точек Q — (1)42) носителя S(g) координата дг 2. Лемма 1.4 [19, 7]. В уравнении (1.92) оператор л f M(z) = -г— на w — p(z), ow то есть M(z) — это первая вариация дифференциальной суммы f(z,w), вычисленная на решении (1.5). Дифференциальная сумма / имеет носитель S(/) и многоугольник Г(/). Многоугольник Г(/) уравнения (1.92) имеет горизонтальное ребро М с ?2 = 1 соответствующее сумме M.(z)u. Нормальный конус Uj = {Р:рі = 0,р2 0}. Замечание 1.9 [19, 7]. Для нахождения всех экспоненциальных добавок вида (1.91) достаточно вычислить отрезок оператора M.(z), содержащий член с максимальной производной порядка А(/). Рассмотрим укороченное уравнение M(z)u = 0, (1.93) соответствующее ребру Г\ . Сделаем логарифмическое преобразование С- . (1,4) Тогда уравнение (1.93) перейдет в уравнение h(z,C)u = M(z)u = 0, (1.95) конус задачи /С будет иметь вид ІС={Р= (pi,p2) : pi +Р2 О} . (1.96) Многоугольник Г(h) обозначим Г, а его грани — как П . Рассмотрим снова ребро Г многоугольника уравнения (1.52). Соответствующее укороченное уравнение имеет вид: Д — — tww — ww + tw2 + bw + dt = 0. (1.60) Сделаем степенное преобразование w — yt. (3.19) В этом случае уравнение (1.60) примет вид: /( , У) = Л(1)( , yt) = 3yy - t2yy + t3 (у)2 + byt + dt = 0. Q2 2 1" (1) " L -2 -1 0 2 Qi Ребро Гі после преобразования (3.19) Ребро Т[ после степенного преобразования (3.19) перейдет в вертикальное ребро (рис. 3.1). Ребро Гі соединяет вершины Гі = (1, 2) = (1,0) и Г20) = (q bq ) = (1,2). Положим 9(t, У) = t lKt, У) = -і2УУ - tyy +t2 (у)2 + by + d = 0. (3.20) Тогда функция g{y) = g(o,y) = by + d = o. (3.21) Единственный корень этого уравнения у0 = —d/b. Так как д (у) = Ь, д (0) = Ъ ф 0, то у0 не является кратным корнем. Так как q 2 = 0, ay многочлена в уравнении (3.21) наименьшая степень у не больше 0, то уравнение (3.21) не имеет нулевого корня. Так как q% — 2, а степень многочлена в уравнении (3.21) равна 1, то уравнение (3.21) имеет бесконечный корень. Сделаем в уравнении (3.20) логарифмическое преобразование f = ln . (3.22) Так как — со при t — 0, то конус задачи имеет вид = {Pi 0} . (3.23) Обозначим — = у . Тогда у = у , у = t 2 (у" — у ). При преобразовании (3.22) уравнение (3.20) перейдет в уравнение Л(, У) = -УУ" + (y f + by + d = 0. (3.24) Теперь нашей задачей является нахождение степенных разложений решений уравнения (3.24), удовлетворяющих конусу задачи (3.23). Носитель уравнения (3.24) состоит из трех точек Qi = (0,0), Q2 = (-2,2), Q3 = (0,1). Многоугольником уравнения Г (К) является треугольник с вершинами в этих точках. Гранями многоугольника Г (/г) являются три вершины lf = Q„ if = (. If = ft и три ребра r = {QiQ2}, r21) = {Q2Q3}, T = {QZQX} Q2 Рис. 3.2. Носитель и многоугольник уравнения (3.24) Носитель и многоугольник уравнения (3.24) показаны на рис. 3.2. Нормальными конусами граней П являются следующие множе-ства: и(!0) = fe РьР2 0}, uf = {р2 2phр2 Pl}, U30) = {Р2 2р1,р2 0} U = {pi=P2,Pi 0}, U21} = {p2 = 2pi,pi 0}, U31} = ( = 0, 0}. С конусом задачи /С пересекаются следующие конусы: U , TJ2 , U3 , U2 , U3 . Соответствующие укороченные уравнения имеют вид: Согласно замечанию 3.1 алгебраические укороченные уравнения (3.25) и (3.27) не имеют подходящих степенных решений, т.е. не дают нестепенных асимптотик решений исходного уравнения. Уравнение (3.29) имеет решение у = —d/b, которое является точным решением уравнения (3.24). После возврата к исходным переменным получим w = —{d/b)t. Это степенное решение уравнения (1.54). Оно было найдено раньше в п. 1.4.3. Рассмотрим оставшиеся две грани: вершину Г и ребро Г2 . Вершине Г соответствует укороченное уравнение (3.26). Обозначим через 9(,у) функцию Функция x(r) = #(, г) не зависит от . Характеристическое уравнение ХІт) = —т{г — 1) + г = г = О имеет единственный корень г = 0. Так как укороченное решение имеет нормальный вектор (1,0), а он не пересекается с конусом "Щ , то это решение не годится. Таким образом, для Г нет подходящих степенных решений. Ребру І2 соответствует укороченное уравнение (3.28). Здесь первое приближение решения имеет вид у = с2, сфЪ. (3.30) Для определения коэффициента с подставим выражение (3.30) в уравнение (3.28): tt? = -2с2Є + 4с22 + Ъс? = Є (2с2 + 6с) = 0, 2с2 + be = 0. Это уравнение имеет два корня: с\ = 0 и С2 = —6/2. Корень с\ не подходит, так как предполагается, что с 0. Таким образом, первое приближение решения имеет вид Вычислим следующие члены разложения степенного решения. Для этого определим критические числа решения. При этом конус задачи /С = {s 2}. Первая вариация функции h2 имеет вид -ЪГ— -Уф + Мщ + ь Сделаем подстановку у = —6/22 + и в уравнение (3.24): h К, -2 + и J = fV - 2Ьи + 26u - W + {u f + d = 0. (3.31) Носитель уравнения (3.31) совпадает с носителем уравнения (3.24) и показан на рис. 3.2. Оператор Выражению С()ив уравнении (3.31) соответствуют три первых слагаемых. Носитель этого выражения состоит из одной точки Q = (v, 1) = (0,1). Отсюда v = 1. Характеристическое уравнение v{k) = Cv k()tk = \кк -1) - 2bk + 26 имеет два корня ki = 1, ki = 4. Так как в конус задачи /С попадает только к\, то критическое число одно: к = 1. Определим теперь множество показателей степеней в степенном разложении. Для этого сделаем параллельный перенос носителя уравнения (3.31), так, чтобы точка (0,1) перешла в начало координат. При этом носитель S(h) уравнения (3.31 перейдет в множество S (/i) = S(/i) — (0,1).Критические значения укороченного решения
Степенные разложения решений модифицированного третье го уравнения Пенлеве в окрестности точки ZQ ф 0
Степенные разложения решений, соответствующие вершинам
Разложения решений, соответствующие ребру
Похожие диссертации на Асимптотические разложения решений третьего уравнения Пенлеве
