Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I Абсолютная и равномерная сходимость разложений по собственным функциям самосопряженных дифференциальных операторов
1. Фундаментальная матрица решений параболической системы... 29
2. Матрица Грина первой смешанной задачи 35
3. Оценки для матрицы Грина первой смешанной задачи 38
4. О матрицах Грина второй, третьей и других смешанных задач .. 42
5. Окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным вектор функциям оператора теории упругости 47
5.1.1. О классах Соболева С.Л-Слободецкого Л.Н 47
5. 1.2. Об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье пособственным вектор-функциям первой однородной краевой задачи для оператора теории упругости в строго внутренней подобласти 49
5.2. Об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным вектор-функциям второй однородной краевой задачи для оператора теории упругости в строго внутренней подобласти 53
5.3. Об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным вектор-функциям первой однородной краевой задачи для оператора теории упругости во всей замкнутой области 67
5.4. Окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным вектор-функциям первой основной краевой задачи для оператора теории упругости во всей замкнутой области 74
5.5. Об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным вектор-функциям второй и третьей однородных краевых задач для оператора теории упругости во всей замкнутой области 88
5.6. Об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным вектор-функциям оператора теории упругости с граничным оператором псевдонапряжения 96
6. О равномерной сходимости разложений по собственным функ
циям ковариации случайной функции 98
ГЛАВА II Абсолютная и равномерная сходимость разложений по собственным функциям самосопряженных дифференциальных операторов в случае непрерывного спектра
1. Абсолютная и равномерная сходимость обобщенных интегра лов Фурье в произвольной подобласти 102
2. Абсолютная и равномерная сходимость обобщенного интеграла Фурье соответствующее первому однородному граничному условию теории упругости во всей замкнутой области 108
3. Абсолютная и равномерная сходимость обобщенных интегралов Фурье соответствующие второму внешнему однородному граничному условию теории упругости во всей замкнутой области 118
ГЛАВА III Обоснование метода фурье и корректная разрешимость некоторых самосопряженных смешанных задач матматической физики
1. Обоснование метода Фурье для обобщенного решения первой смешанной задачи теории упругости 127
2. Обоснование метода Фурье для классического решения первойсмешанной задачи теории упругости 131
3. Обоснование метода Фурье для классического решения первой смешанной задачи теории упругости в неограниченном цилиндре 135
4. О разрешимости первой основной смешанной задачи динамики трехмерного, упругого тела 139
5. Обоснование метода Фурье для классического решения первой смешанной задачи теории упругости в терминах пространства Соболева С.Л. - Слободецкого Л.Н 155
6. О корректной разрешимости первой основной смешанной задачи теории упругости 160
7. Обоснование метода Фурье для классического решения второй смешанной задачи теории упругости в ограниченном цилиндре 166
8. Обоснование метода Фурье для классического решения второй внешней смешанной задачи теории упругости 169
9. О разрешимости смешанных задач теории упругости 171
10. О корректной разрешимости второй и третьей смешанных задач теории упругости 175
11. О разрешимости смешанной задачи теории упругости с граничным оператором псевдонапряжения 179
12. О корректной постановке некоторых смешанных задач для дифференциального уравнения порядка 2т 180
13. Смешанные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных 2т -го порядка 191
ГЛАВА IV Приложения к некоторым задачам математической физики .
1. О существовании в целом обобщенного решения систем уравнений Власова для неограниченной области 197
2. О смешанной задаче для одного уравнения, неразрешенного относительно старшей производной по времени 203
3. Об одной смешанной задаче для уравнения описывающегораспространение звука в вязком газе 209
4. О разрешимости некоторых неклассических смешанных задач 226
5. О разрешимости неклассических смешанных задач 231
6. Обратная задача рассеяния в теории упругости 242
7. О поведении энергии решения системы уравнений теории упругости при больших временах 250
8. Об асимптотике энергии обобщенного решения системы уравнений теории упругости при больших временах 254
9. Об асимптотике энергии случайных источников колебаний в теории упругости 264
10. Об одном методе нахождения характеристических значений и собственных функций ковариации случайной функции 268
ГЛАВА V О некоторых несамосопряженных смешанных задачах математической физики 1. Решение одной смешанной задачи с неклассическим краевым условием 271
2. Об одной несамосопряженной задаче 277
3. Решения одной несамосопряженной задачи теории теплопроводности 282
4. О существовании и единственности классического решения одной несамосопряженной задачи для однородного уравнения теплопроводности 288
5. Об одной сопряженной смешанной задаче для уравнения колебаний струны 295
Литература 297
- О матрицах Грина второй, третьей и других смешанных задач
- Окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным вектор-функциям первой основной краевой задачи для оператора теории упругости во всей замкнутой области
- Абсолютная и равномерная сходимость обобщенного интеграла Фурье соответствующее первому однородному граничному условию теории упругости во всей замкнутой области
- Обоснование метода Фурье для классического решения первойсмешанной задачи теории упругости
Введение к работе
Актуальность темы. Разложение по собственным функциям дифференциальных операторов давно привлекает внимание как отечественных, так и зарубежных математиков и физиков.
Если проблемам суммируемости и сходимости разложений по собственным функциям самосопряженных дифференциальных операторов посвящено достаточно много работ (см. Например [5, 15-25, 73-76, 82-87, 92-93, 106-107, 111, 118, 125, 133-138, 4 ,6 ,8 -10 , 27 , 30 -32 ]), то, наоборот, исследованию этих проблем для несамосопряженных дифференциальных операторов посвящено сравнительно мало работ и эти проблемы далеки от своего полного разрешения. Это, прежде всего, относится и к спектральному разложению несамосопряженных операторов. Хотя в последние четыре десятилетия и относительно этой проблемы также появилось достаточно много работ (см. [11, 27-31, 72, 95, 105, 113, Г, 2 , 5 , 7 , 22 , 23 , 25 , 28 , 33 ] и имеющуюся там библиографию).
При исследовании сходимости рядов Фурье по собственным функциям дифференциальных операторов следует существенно различать случай абсолютной и неабсолютной сходимости. Здесь и всюду далее в этой работе мы будем рассматривать только абсолютную и равномерную сходимость рядов Фурье. Относительно более тонкого вопроса о неабсолютной сходимости рядов Фурье мы лишь отметим работы Э.Ч. Титмарша и С. Минакшисундерама (Их изложение см. работе [125], Б.М. Левитана [93], В.А. Ильина [17, 18, 21, 23-25]). Среди вышеупомянутых авторов самые точные и окончательные условия равномерной сходимости рядов Фурье установлены В.А. Ильиным.
Установлению абсолютной сходимости посвящены связанные с обоснованием метода Фурье работы [82-84] О.А. Ладыженской, которые явились первыми в этом направлении. В этих работах абсолютная и равномерная сходимость рядов Фурье устанавливается в классах С.Л. Соболева W 2 (с целыми /) и затем применяются теоремы вложения. Сюда же относятся ис пользующая метод дробных степеней операторов работа [76] М.А. Красносельского и Е.И. Пустылника (см. также работу [77]) и работы [19, 20] В.А. Ильина, в которых в терминах абсолютной сходимости даются некоторые обобщения истокообразно представимой функции, изучается случай областей с «плохими» границами и строятся примеры, определяющие нижнюю границу условий на разлагаемую функцию.
Более точные, чем у всех перечисленных авторов (и в определенном смысле окончательные в классах W 2а (с нецелыми а) условия абсолютной сходимости установлены в работах [73-75] ученика В.А. Ильина (в работах [73, 74] рассмотрен самосопряженный эллиптический оператор второго порядка, а в [75] -порядка 2т).
Теперь остановимся на вопросах обоснования метода Фурье. Одним из важных приложений теорем о сходимости рядов Фурье по собственным функциям является проблема обоснования метода Фурье решения смешанных задач. Здесь мы остановимся на работах, относящихся к обоснованию метода Фурье решения смешанной задачи для гиперболического уравнения utrLu=f(x,t) eQT=nx[0 t T], и(х,0)=(р(х), и((х,0)-ф(х), и\г=0.
Здесь L-самосопряженный эллиптический оператор второго порядка с переменными коэффициентами, Q -произвольная N -мерная область с границей S, r=Sx[0, Т] -боковая поверхность цилиндра QT Конечно задачу (1) можно решать разными методами (например, метод обобщенных функций, метод преобразования Фурье и Лапласа, энергетический метод, метод конечных разностей, метод функциональных уравнений и т.д.), но метод Фурье приведет к установлению наиболее точных условий существования классического решения. Методу Фурье для задачи (1) и для задачи с Ь=Д. за последние четыре десятилетия посвящено большое число работ. Среды них мы отметим лишь работы Х.Л. Смолицкого [119], О.А. Ладыженской [82-84], и В.А. Ильина [16] и [22]. Наиболее точные условия существования классического решения смешанной задачи (1) установил В.А.
Ильин [22]. Им доказано, что метод Фурье дает классическое решение смешанной задачи (1) для произвольной нормальной1 области Q.
При этом начальные функции (р(х) и ф(х) и правую часть уравнения f(x, t) В. А. Ильин подчиняет требованиям гладкости, совпадающим с теми, которые С.Л. Соболев нашел для соответствующей задачи Коши, а коэффициенты оператора L (для случая звездной области) даже менее жестким требованиям гладкости, чем те, которые С.Л. Соболев установил для соответствующей задачи Коши.
В более ранних работах О.А. Ладыженской (см. [84] и [90]) были установлены точные условия сходимости формально полученного методом Фурье ряда в метрике Соболевского пространства W2 для любого целого /, но на таком пути классическое решение задачи (1) получается лишь при завышенных требованиях гладкости на границу S, неограниченно растущих с увеличением числа измерений.
Весьма интересным и трудным вопросом является исследование смешанной задачи для гиперболических систем и уравнений высших порядков. До 60-х годов 20-го столетия для гиперболических систем при числе независимых переменных больше двух не были доказаны даже теоремы единственности решения смешанных задач.
Следовательно, вышеупомянутые проблемы являются актуальными.
Проблемам абсолютной и равномерной сходимости разложений по собственным функциям различных самосопряженных и несамосопряженных смешанных задач математической физики, обоснованию метода Фурье и корректной разрешимости таких задач посвящена настоящая диссертационная работа.
ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ. Установление точных и окончательных условий абсолютной и равномерной сходимости разложений по собственным функциям дифференциальных операторов в частных производных и доказа Области Сі называется нормальной, если для этой области разрешима задачи Дирихле для урав нения Лапласа при любой непрерывной граничной функции « (Л тельство существования классического и обобщенного решения рассматриваемых смешанных задач при минимальных требованиях налагаемых на границу рассматриваемой области и на разлагаемых исходных данных является основной целю данной работы.
Методы исследования. Основными методами исследования являются метод разложения по собственным функциям дифференциальных операторов, метод Фурье или метод разделения переменных, метод априорных оценок и современные методы теории функций, функционального анализа и математической физики.
Отметим, что наш метод исследования краевых задач охватывает как дискретный так и непрерывный спектры.
Научная новизна. В диссертационной работе установлены следующие новые результаты:
1. Для произвольной трехмерной области ограниченной замкнутой поверхностью типа Ляпунова, получены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным функциям (вектор-функциям) оператора теории упругости, соответствующее первому основному однородному краевому условию в строго внутренней подобласти Q основной области Q в терминах пространства С.Л. Соболева W" , где а - целое или нецелое число.
2. Для произвольной трехмерной области Q, ограниченной замкнутой поверхностью типа Ляпунова Sf установлены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным функциям (вектор-функциям) оператора теории упругости, соответствующее второму основному однородному краевому условию во всей замкнутой области QuS в терминах пространства W" (с нецелыми а) при условии сходимости некоторых поверхностных интегралов.
3. Для произвольной трехмерной области Отграниченной замкнутой поверхностью S типа Ляпунова, найдены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье нефинитных вектор-функции f(x) в классах С.Л. Соболева W" с целыми а, по собственным функциям оператора теории упругости соответствующие второму однородному граничному условию во всей замкнутой области QuS.
4. Для произвольной трехмерной области Qyограниченной замкнутой поверхностью S типа Ляпунова, установлены окончательные условия обсо- лютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным функциям оператора теории упругости соответствующие первому краевому условию во всей замкнутой области S2U5 в терминах пространства W 2а (где а — ) при условии сходимости некоторых поверхностных интегралов.
5. Установлены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным функциям первой, второй и третьей однородных краевых задач теории упругости во всей замкнутой области в компонентах тензоров деформации и напряжения.
6. Найдены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным функциям оператора теории упругости соответствующие однородному граничному оператору псевдонапряжения.
7. Найдены близкие к окончательному условия абсолютной и равномерной сходимости обобщенных интегралов Фурье в произвольной подобласти D основной области 0=Ез\(ґ2иЄ) соответствующей нулевым краевым условиям первых трех родов теории упругости.
8. Найдены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости обобщенных интегралов Фурье,соответствующие первому внешнему однородному краевому условию теории упругости во всей замкнутой области DuS в компонентах тензоров деформации и напряжения.
9. Найдены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости обобщенных интегралов Фурье, соответствующие второму внешнему однородному краевому условию теории упругости во всей замкнутой области DuS при условии сходимости некоторых поверхностных интегралов.
10. Исследованы необходимые и достаточные условия равномерной сходимости разложений в обобщенный ряд Фурье по собственным функциям ковариации случайной функции.
11. Дано обоснование метода Фурье для обобщенного и классического решения первой смешанной задачи теории упругости. При этом условия,на-ложенные на разлагаемые начальные вектор-функции (р (х), ф(х) и на правую часть уравнения движения изотропной однородной упругой среды f(x,t) являются окончательными в классах С.Л. Соболева W" с целыми и нецелыми а. При этом поверхность S является поверхностью типа Ляпунова.
12. При тех же условиях что в пункте 11 на функции (р (х), ф(х), f{x,t) и на граничную поверхность S дано обоснование метода Фурье для классического решения первой смешанной задачи теории упругости в неограниченном цилиндре QT=(DUS)x[0,T].
13. Найдены окончательные условия существования и единственности классического в смысле В.А. Ильина решения первой смешанной задачи теории упругости в терминах пространства С.Л. Соболева W" с целыми и нецелыми а.
14. Найдены окончательные условия корректной разрешимости классического в смысле В.А. Ильина решения первой смешанной задачи теории упругости в компонентах тензоров деформации и напряжений.
15. Дано обоснование метода Фурье и тем самым установлены окончательные условия существования классических решений второй внутренней и внешней смешанных задач теории упругости при условии сходимости некоторых поверхностных интегралов.
16. Найдены окончательные условия существования классического решения третьей (в частности второй) смешанной задачи теории упругости и соответствующей смешанной задачи с граничным оператором «псевдонапряжения» в терминах пространства С.Л. Соболева W с целыми и нецелыми а.
17. Найдены окончательные условия корректной разрешимости классических решений второй и третьей смешанных задач теории упругости в классах с нецелыми а в компонентах тензоров напряжения и деформации..
18. Найдены окончательные условия корректной разрешимости некоторых смешанных задач для дифференциальных уравнений в частных производных порядка 2т специального вида.
19. Найдены окончательные условия корректной разрешимости смешанных задач для самосопряженного эллиптического оператора любого порядка 2т с переменными коэффициентами в терминах пространства W" (с нецелыми а) с финитными начальными функциями и финитной правой частью/(х, t).
20. Доказано существование в целом обобщенного решения первой смешанной задачи для нелинейной системы уравнений Власова в неограниченной области.
21. Доказано существование и единственность классического решения смешанной задачи для одного уравнения (неклассического), неразрешенного относительно старшей производной по времени в (N+1) — мерном параллелепипеде.
22. Для уравнения,описывающего распространение звука в вязком газе, доказано существование и единственность классического решения первой смешанной задачи в прямоугольнике Qf=[0,lJxfO,TJ)..
23. Найдены окончательные условия существования и единственности классического решения смешанных задач для операторов Lu =—-±сш = / dt в N+J - мерном параллелепипеде.
24. Найдены окончательные условия существования и единственность классического решения смешанных задач для уравнения С.Л. Соболева (уравнения малых колебаний вращающейся жидкости) и уравнений типа С.Л. Соболева в (N+1) -мерном параллелепипеде.
25. По обратным задачам теории рассеяния в теории упругости доказано, что асимптотическим поведением амплитуды рассеяния рассеивающий объект (препятствия) определяется единственным образом.
26. Исследована асимптотика энергии классического и обобщенного решения первой внешней смешанной задачи для системы уравнений Ляме при больших временах.
27. Исследована асимптотика энергии случайных источников колебаний при больших временах в теории упругости.
28. Изучен метод нахождения характеристических значений и собственных функции ядра ковариации случайной функции.
29. Для двухмерного (по пространственным координатам х,у) уравнения теплопроводности доказано существование и единственность классического решения одной несамосопряженной задачи,у которой имеется бесконечное число собственных и присоединенных функций. Решение этой задачи получено в виде биортогонального разложения по полученной биортогональной системе функций. Доказано, что эта система образует базис Рисса в L2([0,l]x[0,W.
30. Доказано существование и единственность классического решения одной несамосопряженной смешанной задачи для уравнения вынужденных колебаний струны. Задача является несамосопряженной в силу нелокального граничного условиия.
31. Доказано существование и единственность классического решения одной несамосопряженной задачи для трехмерного оператора теплопроводности (по пространственным координатам x,y,z). Построен последовательность всех собственных и присоединенных функций данной и сопряженной к нему задачи на собственные значения. Показано, что построенная система собственных и присоединенных функций образуют базисы Рисса в L2([0,l]x[0,lMO,l]).
Практическая и научная ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты полученные в работе,являются новыми. Они могут быть использованы для дальнейшего изучения аналогичных задач теории самосо -пряженных и несамосопряженных дифференциальных операторов теоретической и математической физики. Их можно использовать в гидродинамике, теории поля, теории упругости, теория рассеяния, в обратных задачах квантовой теории рассеяния при изучении задач физики плазмы и в теории кратных ортогональных рядов и интегралов Фурье.
Исследования автора также имеют большое прикладное значение в математической физике, так как они могут быть использованы для обоснования метода разделения переменных при решении краевых задач.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на научном семинаре профессора В.П. Михайлова (МИАН, СССР, Москва, 1970), на всесоюзной конференции по уравнениям с частными производными, посвященной 75-летию со дня рождения академика И.Г. Петровского (МГУ, 1978г.), на научном семинаре под руководством академика В.А. Ильина, профессора Ш.А. Алимова, профессора А.А. Арсеньева (МГУ, 1980), на республиканской научной конференции по уравнениям математической физики, Душанбе, 27-28 сентября 1983г., на всесоюзной школе молодых ученных «Функциональные методы в прикладной математике и математической физике», Ташкент, 11-17 мая 1988г., на республиканской научной конференции, посвященной памяти Т. Собирова «О некоторых применениях функционального анализа в теории дифференциальных уравнений», Душанбе, 1990г., на Международной конференции «Некорректно поставленные задачи в естественных науках», Москва, 19-25 августа 1991 г., на ежегодных апрельских научно-практических конференциях ТГУ, 1970-1992г.г., на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и их применения», Санкт-петербург, 12-17 июня 2000 г., на ежегодных научно-практических конференциях ИПС, 1992-2003 годов.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 61 работа.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Работа изложена на 305 страницах машинописного текста. Библиографии насчитывает 173 наименований.
При написании работышридерживались следующих правил,. Для обо значения теорем, лемм, иногда и определении, используется тройная нумерация. Первая цифра означает номер главы, вторая - номер параграфа, третья -текущий номер утверждения. Для параграфа f состоящего из нескольких пунктов используется четверная нумерация, например, теорема 1.5.2.1 и т.д.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.
Во введении дается краткий исторический обзор результатов по затрагиваемым проблемам, обосновывается актуальность темы и излагаются основные результаты диссертации.
В первой главе устанавливаются окончательные в классах С.Л. Соболе- ва-Л.Н. Слободецкого условия абсолютной и равномерной сходимости разложений по собственным функциям самосопряженных дифференциальных операторов. В § 1 строится фундаментальная матрица решений задачи Коши для па , _ ди . раболической системы ьи-——Аи = [). §2 посвящен построению матрицы
Грина первой смешанной задачи для оператора Lu=0. В § 3 установлены оценки для матрицы Грина первой смешанной задачи и ее производных. В §4 исследуется вопрос о существовании матрицы Грина второй, третьей и других смешанных задач для системы уравнений параболического типа Lu-Q и справедливость оценки вида § 3 для них. В § 5установлены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным функциям (вектор-функциям) первых четырех основных однородных краевых задач теории упругости.
В пункте 5.1.1 главы 1 дается определение классов С.Л. Соболева-Л.Н. Слободецкого W z (ct-любое действительное неотрицательное число). В пункте 5.1.2 главы 1 исследован вопрос об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным функциям первой однородной краевой задачи для оператора теории упругости в строго внутренней подобласти т.е. по собственным вектор-функциям задачи A v(x) + Av(x) = 0, x є Q v(x),= (2)
где Д = //Д + (v + /j)graddiv -оператор теории упругости, А -оператор Лапласа, Q-произвольная трехмерная область, ограниченная замкнутой поверхностью S типа Ляпунова.
Имеет место Теорема 1.5.1.2.1. Пусть О-произвольная трехмерная область, ограниченная поверхностью S типа Ляпунова, а /(х)-произволъная вектор-функция вещественного аргумента х, заданная в этой области и удовлетворяющая следующим условиям:
1) f(x)eW2a(Q), гдеа Ъ-;
2) вектор-функция f(x) равна нулю на S.
Тогда ряд Фурье вектор-функции f(x) по собственным вектор-функциям vn(x) задачи (2): п=\
где fn—\f n)-коэффициенты Фурье вектор-функции f(x) по системе
vn(x) - (v«( ) v»( )»v«( ))» сходится абсолютно и равномерно в каждой строго внутренней замкнутой подобласти Q области Q.
В пункте 5.2 пятого параграфа главы 1 установлены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости во всей замкнутой области QuS рядов Фурье по собственным вектор-функциям второй краевой задачи для оператора теории упругости, т.е. задачи
A v(x) + Xv(x) = О, х єQ[
Г«у( ),= 0 ) (3)
где А -оператор теории упругости,
З
і
/=1
7- " v =
&, i 16
з Z-» Л J -оператор напря .7=1
жения, х = (х!,л:2,л:з)єПс:Ез, «у-орт оси 0xJ9 r/y.(v)-компоненты тензора напряжений. Эти результаты получены при выполнении сходимости некоторых поверхностных интегралов (см. интефалы (2.1)и (2.2) в определении А, п. 5.2, главы 1 диссертации). Имеет место
Теорема 1.5.2.2. Пусть \Лп) -последовательность собственных чисел задачи (3), а \у„{х)\п= )-соответствующая последовательность собственных вектор-функций этой задачи. Тогда при выполнении условии А ряд Фурье вектор-функции f(x) по собственным вектор-функциям задачи (3) сходится абсолютно и равномерно во всей замкнутой области &US.
В пунктах 5.2] и 5.3 пятого парафафа в терминах пространства С.Л. Соболева W" с целыми и нецелыми а установлены близкие к окончательным условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным вектор-функциям задачи (3) и (2) соответственно. А именно, имеет место Лемма 1.5.2і.З. Пусть вектор-функция f(x,t) удовлетворяет следующим ус ловиям: f(xyt) є W-i (Q) и непрерывна по t при t 0 в метрике пространство W2 (Q). Кроме того, пусть Т"п] /= 0 на Г=5х[0,7]; Т оо. Тогда ряд Фурье вектор-функцииf(x,t) по собственным вектор-функциям задачи (3)
/„( К(х) (4)
п=\
сходится абсолютно и равномерно во всем замкнутом цилиндре Q=(OuS)x[0,T].
Имеет место
Теорема 1.5.3.2. Пусть f(x,t) произвольная вектор-функция удовлетворяющая следующим условиям:
З 1) f(x,t) є W2 (П ) при а , V/ є[0,Г] w непрерывна по t при t 0 в
метрике пространства W2 (2).
2)f(x,t)=0 при (x,t)er=Sx[09T\.
Тогда ряд Фурье вида (4) по собственным вектор-функциям задачи (2) сходится абсолютно и равномерно во всем замкнутом цилиндре Q=(OuS)x[0,T].
В пункте 5.4 пятого параграфа в терминах пространства С.Л. Соболева
W" (с целыми а) в компонентах тензора напряжений установлены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным вектор-функциям первой основной краевой задачи для оператора теории упругости во всей замкнутой области QUS.
Имеет место Теорема 1.5.4.2. Пусть -произвольная ограниченная область в Ез с границей S типа Ляпунова, а /(х)-произвольная вектор-функция удовлетворяющая
требованиям:f(x)єW2a{&), сс — и /(x)s = 0. Тогда ряд Фурье этой
вектор-функции по собственным вектор-функциям задачи (2) сходится абсолютно и равномерно всюду в замкнутой области QUS. Лемма 1.5.4.5. Пусть П-произвольная ограниченная область с границей S типа Ляпунова. Тогда ряды Фурье
у 1 рУ„( )Т у 1
«=1 к
ь-J 1 1+а Л-и 1 2+а
и=1 Л- ЛЛ, и=1 Л д\{х)
dxfixj
{і, j = U,3)
З
при а сходится абсолютно и равномерно во всей замкнутой подобласти
С1 области П..
В пункте 5.5. пятого параграфа главы 1 установлены окончательные в
классах С.Л. Соболева W " (с целыми а) условия абсолютной и равномерной сходимости во всей замкнутой области рядов Фурье по собственным
функциям второй и третьей однородных краевых условий, т.е. краевой задачи
, = 0 ( + = 0, (5)
где /г -положительно определенная квадратная матрица третьего порядка,
и-внешняя нормаль к поверхности S.
Имеет место
Теорема 1.5.5.1. Пусть П-произволъная конечная трехмерная область в Ез с
границей S типа Ляпунова, /(х) заданная в области HLJS вектор-функция
удовлетворяющая следующим требованиям:
1) f(x)eW2a{Q), а 2) T f(xl = 0 (или [г " / + h(x)f] = 0 )
Тогда ряд Фурье этой вектор-функции по собственным вектор-функцям любой из краевых условий (5) сходится абсолютно и равномерно во всей замкнутой области JQUS.
Теорема 1.5.5.4. Пусть П-произволъная ограниченная трехмерная область с границей S типа Ляпунова. Тогда, если
1) f(x)eW2a+2(Cl) а Ъ T f{x\ = 0,
то имеет место равенство
t fnK+2 = І j" Jk (А /( ))" (А f(y))]Gr(x,y)dxdy , (6)
л = 1 klpq Q п
где Сг(х,у)-ядро дробного порядка у 0.
В частности, числовой ряд стоящий елевой части равенства (б), сходится.
В пункте 5.6 пятого параграфа первой главы установлены абсолютная и равномерная сходимость ряда Фурье по собственным функциям оператора теории упругости, соответствующая граничному оператору псевдонапряжения, т.е. задачи
A v(x)+ A,v(x) = 0, x є Q с Ег [Nv+a(x)v] = 0,
(7)
где
"«
= \\B
ЛІЗ З
+ s
nj\x) — п 5tf = (v+ // !,( )—+ ;
dxt dxj IJ дп(х)
к = (v + Xv + 3 )"1; х = (xl,x2,x3,).
Q-произвольная конечная область с границей S типа Ляпунова, ст(х)-неп-рерывная положительно-определенная матрица заданная на S. Имеет место Теорема 1.5.6.1. Пусть вектор-функция /(х) удовлетворяет следующим условиям:
1) f(x)eW2"(Q), a j; 2) N(x)f\s=0.
Тогда ряд Фурье вектор-функции Дх) по собственным вектор —функциям задачи (7):
п = \
сходится абсолютно и равномерно во всей замкнутой области OUS. Замечания 1. Условия наложенные на разлагаемые вектор-функции в теоремах 1.5.1.1, 1.5.2.2, 1.5.3.2, 1.5.4.1, 1.5.5.1 и леммы 1.5.2j.3, являются окончательными в классах W 2а , где сс-любое вещественное число, удовле 3 3
творяющее неравенству а - Действительно, при а мы доказываем
как пока абсолютную и равномерную сходимость ряда Фурье, а при а =
зывает пример функции построенной в работе В.А Ильина [19], существует
Ш функция (р-любое!) удовлетворяющая некоторому краево му условию, такая, что ряд Фурье этой функции абсолютно расходится во всех внутренних точках области Q.
2. Все результаты §5 верны и для плоских задач. Более того, они легко
переносятся на случай произвольных 1М( 3)-мерных областей с границами
типа Ляпунова. Например, теорема 1.5.5.1 для случая Ы( 2)-мерной области
П формулируется следующим образом.
Теорема 1.5.6.2. Пусть Q-произвольная конечная N-мерная область в Е\,
(N 2), с границей S типа Ляпунова, а Дх)-произвольная задания в области
QL& вектор- функция, удовлетворяющая требованиям:
l)f(x)eW2a{Q), у;
N-2
к
удовлетворяют 2-му (или
2) Дх) такова, что функции/,...,($)/ k = 3-му краевому условию). Тогда ряд Фурье этой вектор-функции по собственным вектор-функциям любой из краевых условий (5) сходится абсолютно и равномерно во всей замкнутой области &US.
Глава 2 посвящена проблеме абсолютной и равномерной сходимости разложений по собственным функциям самосопряженных расширений дифференциальных операторов в случае непрерывного спектра.
В §1 главы 2 установлены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости обобщенных интегралов Фурье в произвольной подобласти , соответствующие нулевым краевым условиям любого из четырех родов:
vs = 0, rwv5=0, [г " + h(x)\\s = 0, [м{п) + а(х)Ц5=0 (8)
Определение 2.1.1. Функция (точнее вектор-функция) v(x,k) называется вектор-функцией непрерывного спектра оператора А (А есть самосопряженное расширение оператора - А , соответствующее первому однородному краевому условию из (8)), если:
1)она имеет непрерывные производные до второго порядка включительно внутри D;
2) удовлетворяет уравнению
A v(x,k) + Av(x,k) = 0, xeQ (9)
при Л = //2 или Я = (v -Ь 2//)k .
3) граничному условию v(x,&) = 0 при хє5.
4) представима в виде
v(x ,к ) = U (х, к ) + (р {х, к ) Здесь U есть решение во всем пространстве уравнения (9), а (р\х,к) = \(рх,(р2 Рз) удовлетворяет следующим требованиям:
а) (р[х,к) удовлетворяет условиям 1), 2) для \(х,к).
б) p(x,k]xeS=-U{x,k)
в) при г=$ 00 удовлетворяет условиям излучения в теории упругости
(см. формулу (8),§ 1, главы2).
Аналогично определяются собственные вектор-функции второй и других краевых условий в случае непрерывного спектра. Определение 2.1.3. Интеграл вида
jf{k} (x,k)dk = Hm jf(k)v (x,k)dk = /(4 (10)
3 \k\iR
где
f(k)=(2 yylf(x)v(x,k}ix
D
называется обобщенным интегралом Фурье функции f(x). Предел в (10) понимается в смысле метрики пространства Ьгф). Имеет место Лемма 2.1.1. Обобщенный интеграл Фурье
J (l + \к\2 У" v(x ,к X dk
з
где а —, сходится абсолютно и равномерно во всей замкнутой трехмерной области DUS.
Лемма 2.1.2. Пусть вектор-функция /(х) удовлетворяет следующим условиям:
1) f(x)=W°(D), a -; V f(x) финитна no отношению к области D. Тогда имеет место неравенство
${i+\k\2)\f(xfdk c\\ffw.lD)
В частности, интеграл стоящий в левой части этого неравенства, сходится.
Имеет место Теорема 2.1.1. Пусть выполнены условия 1)-2) леммы 2.1.2. Тогда обобщенный интеграл Фуръе (10) сходится абсолютно и равномерно в произвольной строго внутренней подобласти D области D.
В §2 главы 2 результаты §1 распространяются на функции равной нулю на S и вне некоторого шара. Для такой функции будут установлены окончательные в классах W" , с нецелыми а, условия абсолютной и равномерной сходимости обобщенного интеграла Фурье (10) во всей замкнутой области DuS (теорема 2.2.1).
В §3 главы 2 установлены окончательные в классах Wf, с нецелыми а,
условия абсолютной и равномерной сходимости обобщенного интеграла Фурье соответствующее второму внешнему однородному граничному условию
T n v[x,k\s=Q во всей замкнутой области при сходимости некоторых поверхностных интегралов. Здесь же дано доказательства лемм 2.3.2-2.3.7 нужные в дальнейшем для обоснования метода Фурье.
В конце отметим, что замечания 1 и 2 главы 1, §5 п. 5.6 о неулучшаемости условий разложимости сохраняют свою силу и в случае непрерывного спектра, т.е. для всех теорем и лемм главы 2.
Глава 3 посвящена проблемам обоснования метода Фурье и корректной разрешимости некоторых самосопряженных смешанных задач математической физики.
В §1 главы 3 дается обоснование метода Фурье для обобщенного решения первой смешанной задачи теории упругости (теорема З.1.1.). Кроме того, в этом же параграфе дана постановка первой внутренней смешанной задачи для системы уравнений теории упругости (уравнения Ламе); дано определение обобщенного и классического в смысле В.А. Ильина решения первой смешанной задачи теории упругости, определения обобщенных и классических собственных вектор-функций.
В §2 главы 3 результаты пункта 5.1.2 главы 1 используются для доказательства существования классического в смысле В.А. Ильина решения первой смешанной задачи теории упругости:
д2и
г . A u = f(x,t) (x,t)eQT=Clx(0,T)
or
(И)
и(х,6) = (р{х\ и,(х,0) = ф(х),xeQ uS u(x,t]r=0,
где r=Sx[0, Т] есть боковая поверхность цилиндра QT = О х [О, Т] высоты Т оо, f(x,t) - правая часть уравнения движения изотропной однородной упругой среды, (р(х), ф(х)- заданные начальные вектор-функции. Имеет место
Теорема 3.2.1. Пусть начальные вектор-функции р[х), ф{х) и правая часть f(x,t) удовлетворяют следующим требованиям: . 5 ГГ 2
1) p{x)e.w{Q), / (x)eWf(Q), где /з -," у и, кроме того
(р, Аф, ф, Аф равны нулю на о;
2) /(х, t) удовлетворяет условиям леммы 3.2.1. Тогда ряд
"( . )= Z
л=1
рп cos -ч/Х»/ + -7=sin лА7 + п= f A(r)sin лДЛ - T)dr
v.W (12)
и ряды, полученные однократным и двукратным почленным дифференцированием ряда (12) по t сходятся равномерно во всем замкнутом цилиндре
. QT =(QuS)x[0,r]) а ряды, полученные однократным и двукратным почленным дифференцированием по любим переменным Хі,Хг ,Xj„ t сходятся абсо-лютно и равномерно в любой строго внутренней подобласти QT цилиндра
QT- При этом сумма ряда (12) дает классическое решение первой смешанной задачи (11) в смысле В.А. Ильина..
Кроме того попутно в этом параграфе доказываются леммы 3.2.1 и 3.2.2.
В §2 главы 3 дается обоснование метода Фурье для классического в смысле В.А. Ильина решения первой смешанной задачи теории упругости в неограниченном цилиндре QT=Dx(0,T) (Теорема 3.3.1). Доказательство теоремы 3.3.1 основывается на леммах 3.3.1 и 3.3.2.
Замечание 3. Требования, налагаемые на вектор-функции р, ф /(х, t) в теореме 3.2.1 и 3.3.1 также являются окончательными в классах С.Л. Соболева
с нецелыми а. Действительно, если в условиях 1)-2) при N=3 требова 7 5 Г7І Г5І
ния /3 -,у - заменить на /? = - = 3,у = - =2, то смешанная задача (11)
и соответствующая, смешанная задача из §2 главы 3 могут оказаться неразрешимыми в классическом смысле. Примеры, подтверждающие эти утверждения для волнового уравнения построены в работе С.Л. Соболева [123] и для общего самосопряженного эллиптического оператора второго порядка - в работе В.А. Ильина [22].
Замечание 4. М.Л. Расуловым в [114], методом контурного интеграла в произвольных трехмерных ограниченных областях с границами типа Ляпунова доказано существование классического решения задачи (11) из §2 при несколько завышенных требованиях по сравнению с соответствующими требованиями наших теорем 3.2.1 и 3.3.1 на нефинитные вектор-функции р, ф, f(x,t).
В параграфах 4 и 5 главы 3 найдены окончательные в классах С.Л. Соболева W 2 (с целыми и нецелыми а) условия существования и единственности классического в смысле В.А. Ильина решение смешанной задачи (11) (теоремы 3.4.1 и 3.5.1). Доказательство теоремы 3.4.1 основывается на леммах 3.4.1.-3.4.5. Относительно неулучшаемости результатов §§4-5 также сохраняет свою силу замечание 3.
Замечание 5. В работе Р.В. Рухадзе [115] классическая разрешимость смешанной задачи (11) доказана при несколько завышенных требованиях на данные задачи по сравнению с нашими результатами полученными в §§2-4 главы 3.
В параграфе 6 главы 3 установлена в классах С.Л. Соболева W" (с Целыми и нецелыми а) корректная разрешимость первой смешанной задачи теории упругости для уравнения Ламе в компонентах тензоров напряжений и деформации (теоремы 3.6.1-3.6.4 и леммы 3.6.1-3.6.4). При этом установленные условия существования классического в смысле В.А. Ильина решение первой внутренней смешанной задачи теории упругости являются окончательными. Несколько позже в работах Р.В. Рухадзе [115-116] эти результаты были получены при довольно завышенных требованиях, налагаемые на начальные вектор-функции р(х), ф(х), и правая часть /(х, t) по сравнению с нашими результатами.
В §7 главы 3 результаты пункта 5.2 главы 1 будут применены к обоснованию метода Фурье для классического решения второй внутренней смешанной задачи теории упругости (теорема 3.7.1). При этом требования, наложенные на разлагаемые вектор-функции ф(х),ф(х), и f(x,t) являются окончательными классах С.Л. Соболева W" с нецелыми а.
В §8 главы 3 дано обоснование метода Фурье для классического решения второй внешней смешанной задачи теории упругости. Точнее здесь используя результаты полученные в леммах 2.3.1, 2.3.4-2.3.7 главы 2, установлены окончательные в классах С.Л. Соболева W" (с нецелыми а.) условия существования классического решения второй смешанной задачи теории упругости в неограниченном цилиндре (теорема 3.8.1).
В §9 главы 3 используя результаты пункта 5.2ь главы 1, установлено окончательные в классах W" с нецелыми а. условия существования классического решения второй внутренней смешанной задачи теории упругости.
В §10 третьей главы доказывается существование, единственность и непрерывная зависимость классического решения второй и третьей смешанных задач от исходных данных для уравнения Ламе. При этом установленные условия существования классических решений этих задач являются окончательными в классах W " с нецелыми а (теоремы 3.10.1-3.10.5). В §11 главы 3 установлено окончательные условия существования классического решения внутренней смешанной задачи для уравнения Ламе с граничным оператором псевдонапряжения (теорема 3.11.2).
В §12 и §13 найдены окончательные условия корректной разрешимости некоторых смешанных задач с нефинитными исходными данными для дифференциальных уравнений в частных производных порядка 2т специального вида в классах Ск с целыми положительными к и для общего самосопряженного эллиптического оператора порядка 2т с переменными коэффициентами в классах W" с нецелыми а соответственно.
Глава 4 работы посвящена приложениям полученных результатов автора к разрешимости некоторых классических и неклассических задач математической физики. Хотя, некоторые из параграфов этой главы могут иметь и самостоятельный характер.
В §1 главы 4 установлено существование в целом обобщенного решения первой смешанной задачи для нелинейной системы уравнений Власова в неограниченной области.
В §2 главы 4 для уравнения Э2Д и д2и + = f(x,t) (13) dt dx2N установлены окончательные в классах W" (с нецелыми а) условия существования и единственности классического решения первой смешанной задачи в (№-1)-мерном параллелепипеде с кусочно-гладкой границей. Отметим, что уравнение (13) не преднадлежит к типу Коши-Ковалевской. Это уравнение при N=3 возникло в работах С.Л. Соболева [120-122] при изучении малых колебаний вращающейся жидкости. В §3 главы 4 для уравнения ,=2 + +/( /) описывающего распространение звука в вязком газе, установлены окончательные условия существования и единственности классического решения первой смешанной задачи. Отметим, что это уравнение принадлежит к составному типу.
В §4 главы 4 установлены окончательные в классах W" (с нецелыми а)
условия существования и единственности классического решения смешан ных задач для уравнения ——± аи = f в (ТУ+уу-мерном параллелепипеде.
Отметим, что нуль является предельной точкой спектра.
В §5 главы 4 найдены окончательные условия существования и единственности классического решения смешанных задач для уравнения С.Л. Соболева и уравнения типа С.Л. Соболева в (Ы+1)-мерном параллелепипеде с кусочно-гладкой границей.
В §6 главы 4 посвящен обратной задаче рассеяния в теории упругости. Доказано, что асимптотическим поведением амплитуды рассеяния, рассеивающий объект (препятства) определяется единственным образом.
В параграфах 7и 8 главы 4 исследованы асимптотика энергии классического и обобщенного решения первой внешней смешанной задачи для уравнения движения изотропной однородной трехмерной упругой среды при больших временах.
В §9 главы 4 исследована асимптотика энергии излученной в пространстве случайными источниками колебаний при больших временах в теории упругости.
Наконец, в §10 главы 4 исследован один метод нахождения характеристических значений и собственных функций ковариации случайной функции.
Последняя 5-ая глава посвящена исследованию некоторых несамосопряженных смешанных задач математической физики.
В первом параграфе главы 5 для двухмерного (по пространственным координатам х,у) уравнения теплопроводности «,-«„-«„, = f(x,y,t) доказано
существование и единственность классического решения одной несамосопряженной задачи, у которой имеется бесконечное число собственных и присоединенных функций. Решение этой задачи получено в виде биортогональ-ного ряда по полученной биортогональной системе функции у т(х,у). Показано, что система всех собственных и присоединенных функций данной и сопряженной к нему задачи образуют базисы Рисса в L2([0,l}x[0,l]). (Более подробно см. лемму и теоремы 1-3 из [54]).
В §2 главы 5 доказана корректная разрешимость в классическом смысле одной несамосопряженной задачи для уравнения вынужденных колебаний струны. Эта задача является несамосопряженной в силу нелокального граничного условия. Собственные и присоединенные функции этой задачи, которых бесконечно много, впервые встречаются в исследованиях А.А. Самарского и Н.И. Ионкина при изучении вопроса об устойчивости разреженной плазмы в работах [30-31].
В частности при y/(x)=F(x,t)=0 имеет место Теорема 5.2.1. Пусть в задаче
и„ = ихх. ( 0 є QT = О Д)х (0, Т)
и(х,0) = р(х), «,( , )) = 0, л: є [0,1] (51)
1/(0,0 = 0, 1/,(0,/) = м,(1,0, є[0,7\ начальная функция р(х) удовлетворяет условиям:
р(х)е С2 ([0;1]), производная рт(х) кусочно непрерывная на отрезке [0;1], удовлетворяет граничным условиямзадачи (5.1) и условию q "(0) = 0. Тогда сумма ряда
и(х, t) = pQx + T p2t cos yJT t -1 • p2k sin y/AbtJsin -у[ЛІx + (p2kA cos -JX t • x • cos yJA x }
k=\
где Лк=(2лк)2, к = 0,1,2,---, рк =( p(x),vk(x))- коэффициенты Фурье начальной функции (р(х) по системе уА(х)}"=0 определяет классическое в смысле В.А. Ильина [22] решение смешанной задачи (5.1).
Заметим, что условия гладкости, наложенные на функцию р(х) являются окончательными в том смысле, что наибольший порядок производных указанных в теореме, нельзя понизить хотя бы на единицу. Более подробно см. работу [55].
В §§3-4 этой главы для неоднородного и однородного трехмерного уравнения теплопроводности ut = Au(x,y,z,t) в области
QT =RxRxRx(0,T); R = (0;\) рассматривается задача вида (5.1). Будет построена последовательность собственных и присоединенных функций данной и сопряженной к нему задачи на собственные значения. При этом каждому собственному значению Лктп =4л2(к2 + т2 + п2) при к,т,п 0 соответствует одна собственная функция и и семь присоединенных функций. Здесь же показывается, что последовательность собственных и присоединенных функций взаимно сопряженных задач vkm/ и vkmn образуют базис Рисса в
L2. Здесь же по аналогии с параграфом 2 доказывается теорема существования и единственности классического решения задачи вида (5.1) (см. теорему 5.4.1 или работу [69]. Решение этой задачи получено в виде суммы биортого-нального ряда (см. формулу (25) в параграфе 4, главы 5 диссертации или работу [69]).
Наконец, в параграфе 5 главы 5 доказано существование и единственность классического в смысле В.А. Ильина решения сопряженной к смешанной задаче, рассмотренной в параграфе 2 данной главы. Более подробно см. работу [45, с. 24-30].
В заключение автор считает своим приятным долгом выразить глубокую и искреннюю благодарность академику АН РФ, профессору В.А. Ильину и профессору А.А. Арсеньеву за поддержку, ценные советы и постоянное внимание к работе.
О матрицах Грина второй, третьей и других смешанных задач
В этом параграфе исследуется вопрос о существовании матрицы Грина Смешанной задачи где h(x)=\\h.\iax3 - неотрицательно-опрнеделенная матрица, заданная на S, п (-4х)и=\\Тц(-ш п(х))\\зхэ -оператор напряжения, n.=co3(n,x.J, причем Ч-т » \ шп + ш: + rmxi и. .г.з) б ,- символ Кронекера. При Тіц=0 из (I) мы получим вторую смешанную задачу. Ради простоты изложения ниже мы рассмотрим случай fy рО, (l,J=T73) т.е. рассмотрим вторую смешанную задачу: Граничное условие fn (- )u L=0 более подробно запишется в виде Систему (3) можно перписать в матричном виде В(х,- )=0 при xtS, или Известно, что В.П. Михайлов в [99J для разрешимости первой смешанной задачи (см. 1-3 настоящей главы) пользуется потенциалами связанными с фундаментальными решениями параболических систем. Доказательство существования матрицы Грина задачи (2) можно проводит по аналогии с работмЇ287, П29І. При этом для корректной разрешимости смешанных задач вида (I) или (2), следовательно и для доказательства существования матрицы Грина таких задач существенную роль играет так называемая полупространственная фундаментальная матрица решений и условие разрешимости. Ниже мы вкратце приведем некоторые результаты относительно следующей полупространственной задаче: Найти решение в области - х х ,х2«х , хэ г г г удовлетворяющее начальному условию и краевому условию вида Pf- замкнутый контур в « ПЛОСКОСТИ содерыдаи внутри с ? Я корни о с положительной мнимой частью (k=1,2,3). Ясно, что матрица А Са ) имеет вид «j V Г ; V V" М ІаїЧ/Гг +м.; аа. Можно показать, что условие разрешимости (7) выполнено. Для простоты, это мы будем показывать для частного случая плоскости при п=0, п2=1. Таким образом имеет место Теорема. Если RepZQtcfi где б 6\ 0 и d±=min{(v-h2[i)-ef[i-e)f (є 0), то параболическая по Петровсколу И.Г. система -=Ь и илеет решение в полупространстве -oo xt x , хг 0, удовлетворяющее начальному и граничному условиям задачи (2) и представимое формулой смешанные задачи. 2. Мы ограничивались только случаем пространства размерности п=3. Аналогично исследуются вышерассмотренные задачи и для пространства любого числа измерений п З и гг=2.(для изотропной однородной среды). 3. По аналогии с 3 можно получить соответствующие оценки для фундаментальной матрицы решения, а следовательно и для матрицы Грина задачи (I). 4. В параграфах 3 и 4 главы I мы использовали идеи работ [3 34 , 135L Важную роль в математической физике играют пространтва вектор-функций с обобщенными производными WD ffl, введенный впервые С.Л. Соболевым. Пусть ПЕп - конечная область с кусочно-гладкой границы S(T&1-размерность области Q).
Рассмотрим множество вектор-функций, которые в Q суммируемы и see имеют "возможные обобщенные производные порядка 2, суммируемые в П с данной степенью р, причем Нр « . в этом линейном множестве введем норму по формуле Тогда указанное множество превращается в нормированное пространство, которое называется Соболевским и обозначается (I) символом WL (СІ). Это простра.П. Михайлов в [99J для разрешимости первой смешанной задачи (см. 1-3 настоящей главы) пользуется потенциалами связанными с фундаментальными решениями параболических систем. Доказательство существования матрицы Грина задачи (2) можно проводит по аналогии с работмЇ287, П29І. При этом для корректной разрешимости смешанных задач вида (I) или (2), следовательно и для доказательства существования матрицы Грина таких задач существенную роль играет так называемая полупространственная фундаментальная матрица решений и условие разрешимости. Ниже мы вкратце приведем некоторые результаты относительно следующей полупространственной задаче: Найти решение в области - х х ,х2«х , хэ г г г удовлетворяющее начальному условию и краевому условию вида Pf- замкнутый контур в « ПЛОСКОСТИ содерыдаи внутри с ? Я корни о с положительной мнимой частью (k=1,2,3). Ясно, что матрица А Са ) имеет вид «j V Г ; V V" М ІаїЧ/Гг +м.; аа. Можно показать, что условие разрешимости (7) выполнено. Для простоты, это мы будем показывать для частного случая плоскости при п=0, п2=1. Таким образом имеет место Теорема. Если RepZQtcfi где б 6\ 0 и d±=min{(v-h2[i)-ef[i-e)f (є 0), то параболическая по Петровсколу И.Г. система -=Ь и илеет решение в полупространстве -oo xt x , хг 0, удовлетворяющее начальному и граничному условиям задачи (2) и представимое формулой смешанные задачи. 2. Мы ограничивались только случаем пространства размерности п=3. Аналогично исследуются вышерассмотренные задачи и для пространства любого числа измерений п З и гг=2.(для изотропной однородной среды). 3. По аналогии с 3 можно получить соответствующие оценки для фундаментальной матрицы решения, а следовательно и для матрицы Грина задачи (I). 4. В параграфах 3 и 4 главы I мы использовали идеи работ [3 34 , 135L Важную роль в математической физике играют пространтва вектор-функций с обобщенными производными WD ffl, введенный впервые С.Л. Соболевым. Пусть ПЕп - конечная область с нство является полным , а следовательно и банаховым пространством. При 1=0 пространства WZ L-.pzi. В ряде случаев представляют интерес пространства її (Q) с нецельными значками I; они определяются следующим образом. Пусть k положительное необязательно целое число, т.е. k=[k]+{k)=l+X, где (XCkJ=l - целая часть, а (к)=Х - дробная часть числа к, причем СХК 1. В этом случае элементы простран ен (I) ства W- (Q) суть вектор-функции из пространства PL, fflj, для которых сходится интеграл
Окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным вектор-функциям первой основной краевой задачи для оператора теории упругости во всей замкнутой области
Вопросу абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным вектор-функциям первой однородной краевой задачи теории упругости в замкнутой области и обосновании метода Фурье были посвящены наши статьи Г42-43;. Однако там этот вопрос был решен в предположении сходимости некоторых поверхностных интегралов. В настоящей пункте этот вопрос будет решен без предположения сходимости вышеупомянутых интегралов. Кроме того, в отличие от /"42-43] доказательства теорем проводятся в общем виде. Итак, рассмотрим следующую задачу на собственные значения: где A =\ik+(v+\x)grad dlv - оператор теории упругости, а П - _ произвольная трехмерная область с границей S типа Ляпунова. Известно f80,I0IJ, что задача (I) имеет дискретный спектр собственных чисел(частот). Последовательность собственных вектор-функций задачи (I) образует полную ортонормирован-ную в Lz(Q) и полную в HZ(Q) систему. Здесь Q -конечная трехмерная область с границей S типа Ляпунова, -энергетическое пространство оператора - А соответствующее граничному условию vl =0. Определение 1.5.4.1. Вектор функция v(x), не равная тождественно нулю, называется классической собственной вектор функцией (колебанием) задачи (I), если она удовлетворяет следующим требованиям: I) определена и непрерывна в области fluS, 2) имеет внутри П непрерывные производные до второго порядка включительно, 3) при некотором к удовлетворяет внутри П уравнению h v+\v=0, 4) обрашается в нуль на границе S области П. Как уже было сказано нас интересует вопрос об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным функциям задачи (I) во всей замкнутой области Q+S. Сперва докажем, следующую Лемму. Лемма 1.5.4.1. Пусть П -произвольная трехмерная область, ограниченная поверхностью S типа Ляпунова. Тогда для любой вентор-фунщии f(x)trf%(Q), а 3/2 и f\3=0 справедливо равенство где / =f t(y)v (y)dy=(f,v )- коэффициенты Фурье вектор-функции n П ?Y:rJ по системе собственных вектор-функций Ъп(х). Применяя первую формулу Бетти В силу симметричности тензоров ег и тк1, модули упругости cijkl неизменяется при перестановке двух первых и двух последных индексов (CM./3 S 7J: Поэтому закон Гука можно записать в виде По этой же причине формулу (15) для однор произвольная трехмерная область с границей S типа Ляпунова. Известно f80,I0IJ, что задача (I) имеет дискретный спектр собственных чисел(частот). Последовательность собственных вектор-функций задачи (I) образует полную ортонормирован-ную в Lz(Q) и полную в HZ(Q) систему. Здесь Q -конечная трехмерная область с границей S типа
Ляпунова, -энергетическое пространство оператора - А соответствующее граничному условию vl =0. Определение 1.5.4.1. Вектор функция v(x), не равная тождественно нулю, называется классической собственной вектор функцией (колебанием) задачи (I), если она удовлетворяет следующим требованиям: I) определена и непрерывна в области fluS, 2) имеет внутри П непрерывные производные до второго порядка включительно, 3) при некотором к удовлетворяет внутри П уравнению h v+\v=0, 4) обрашается в нуль на границе S области П. Как уже было сказано нас интересует вопрос об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье по собственным функциям задачи (I) во всей замкнутой области Q+S. Сперва докажем, следующую Лемму. Лемма 1.5.4.1. Пусть П -произвольная трехмерная область, ограниченная поверхностью S типа Ляпунова. Тогда для любой вентор-фунщии f(x)trf%(Q), а 3/2 и f\3=0 справедливо равенство где / =f t(y)v (y)dy=(f,v )- коэффициенты Фурье вектор-функции n П ?Y:rJ по системе собственных вектор-функций Ъп(х). Применяя первую формулу Бетти В силу симметричности тензоров ег и тк1, модули упругости cijkl неизменяется при перестановке двух первых и двух последных индексов (CM./3 S 7J: Поэтому закон Гука можно записать в виде По этой же причине формулу (15) для однородной изотропной упругой среде можем переписать и так: Еще раз продифференцировав равенство (14) по t и воспользовавшись равенством - =A g, получим Наконец, умножив обе части одной изотропной упругой среде можем переписать и так: Еще раз продифференцировав равенство (14) по t и воспользовавшись равенством - =A g, получим Наконец, умножив обе части равенство (17) на fr(x) и просуммировав полученный результат по г от 1 до 3, получим ІГТ ! і. . о- Г) С о- и- . vjki s=i ft S s=i обозначим ядра дробного порядка оператора теории упругости в случае первой однородной краевой задачи. Здесь G(x,y,t) есть матрица Грина задачи (I) из 3 настоящей главы. Имеет место Лемма 1.5.4.2 Пусть вектор-функция f(x) удовлетворяет, условия леллы 1.5.4.1. Тогда имеет лесто равенство
Абсолютная и равномерная сходимость обобщенного интеграла Фурье соответствующее первому однородному граничному условию теории упругости во всей замкнутой области
В этом параграфе будут найдены окончательные условия абсолютной и равномерной сходимости разложения нефинитных вектор-функций в обобщенных интегралах Фурье, соответствующих внешнему однородному граничному условию теории упругости во всей замкнутой области в классах Соболева С.Л.-Слободецкого Л.Н. Пусть Еэ - трехмерное евклидово пространство, точки которого обозначим через х=(х±,хг,хэ), a D=(WS) произвольная неограниченная в нем область с границей S типа Ляпунова. Пусть А - самосопряженое расширение в L2(D) оператора теории упругости - А , соответствующее первому основному олнородному краевому условию и(х)=0 при XS. Пусть v(x,k)iC(I\)S)r(f(D) классическая собственная вектор-функция оператора А удовлетворяющая условиям определения 2.I.I. из 7 настоящей главы. Имеет место Лемма 2.2.1. Пусть D-произволъная трехлерноя область, ограниченная поверхностью S типа Ляпунова. Пусть далее, вектор-функция f(x) удовлетворяет условиям: 1) f(xHl% , а 3/2 2) f(x)\ f=0 и f(x)-0 в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки. Тогда справедливо неравенство где С-положительная постоянная зависящэя cm o\ji,p и не зависящая от х. В частности, интеграл, стоящий в левой части этого неравенства, сходится. 109 (2.2) Ясно, что для матрицы Грина задачи (2.2) справедливо неравенство G(x,y,t)\=e v(x,k)v (y,k)6k. (2.3) Е Очевидно, что достаточно доказать теорему для 3/2 а 2. Положим а=7+р, где 1/2 р 1. Тогда имеем Теперь будем оценивать каждые из интегралов J±, Jz, J3, Воспользуясь равенством Парсеваля и очевидным неравенством (1+ \к\2)Р 1 1, 1/2 р 1 для интеграла J± получим оценку где и граничными условиями Т\3= \8=щ\3=0f по аналогии с [63] (см. п. 5.4 первой главы) при t 0 получим Чтобы оценить интеграл J2 определенный формулой (2.7), по аналогии с выводом формулы (2.8) сперва его перепишем в виде су- орт координатной оси От.. С другой стороны, так как СГх,у,2 в..3хЭ=/13ЭхЭ+ш.ЭхЭ= , (2.10) где F(x,y,t) фундаментальное решение уравнения ut=b u, а Недостаточно гладкая (вне S) непрерывная в области DxDx(0,TJ матрица Сем. 2 главы I), то формулу (2.10) можем переписать в виде Или же, интегрируя последный интеграл по частям,воспользуясь граничным условием f(x)\3=Ot получим Мз (2.13) Гиспользуя фундаментальной матрицы Грина F=(flihx олучш \Kt\& шсе ft-V( У J jk f/fyJjl-Є—г з \dfr(x). \-Jzr— \0xdy)dt = C37-y2/t=2 dt=- 9\X U\ dz Теперь перейдем к оценке интеграла J3. Воспользовавшись равенством В(а(х)-а(у) , интеграл J3 перепишем в виде где (2.21) Наконец, из равенства (2.4), (2.II), (2.16) и неравенства (2.5), (2.12), (2.15), (2.21) окончательно получим неравенство (2.1).
Теорема полностью доказана. Отметим, что мы выше интегралы J2 и J3 оценивали через компоненты напряжения т{,. Однако этого можно было сделать и с использованием компоненты вектора смещения и ее производных. Имеет место Теорема 2.2.1. Пусть выполнены, условия леллсы 2.2.1. Тогда обобщенный интеграл Фурье где ff(k)v(x,k)db, Е f(k)=(2%) 3Sf(x)v (x,k)ax, D сходится абсолютно и равнолерно во всей замкнутой области DUS. Доказательство. По неравенству Коши-Буняковского получим Первый из интегралов правой части сходится в силу леммы 2.2.1, а второй в силу леммы 2.I.I настоящей главы. Имеет место Лемма 2.2.2. Пусть D и S те же самые, что и в лелле 2.2.1, а вектор-фунщии f(x) удовлетворяет следующим требованиял. . 1) f(xHWj(D), т 2) f(x)\s=L f\s=0 и f(x)=0 в некоторой окрестности В частности, интеграл, стоящий в левой части этого неравенства, сходится. Лемма 2.2.3. Пусть D и S те же салые, что и в лелле 2.2.1. Пусть далее вектор-функция f(x) удовлетворяет следующим требованиял: 2) f(x)\s=L f\s=0 и f(x)=0 в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки х= х . Тогда справедливо неравенство где 1 $ п? положительная постоянная С зависит от v, \i, р и не зависит от х. В частности, интеграл стоящий в левой части л er этого неравенства, сходится. Доказательство леммы 2.2.2 и 2.2.3 можно провести по аналогии с доказательством леммы 2.2.1. Имеет место Теорема 2.2.2. Пусть D - произвольная трехлерная неограниченная область с границей типа Ляпунова, точнее D=E3\(CUS). Тогда обобщенные интегралы Фурье no классическил собственныл вектор-функциял непрерывного спектра оператора А уполянутао выше сходятся абсолютно и равнолерно во всей залкнутой подобласти D cD. Доказательство теоремы 2.2.2 аналогично доказательству І леммы 2.І.І, но с использованием оценки производных матрицы Грина G(x,y,t). Относительно неулучшаемости условий наложенные на разлагаемые вектр-функции и относительно границы S области смотрите замечание І в [63].
Обоснование метода Фурье для классического решения первойсмешанной задачи теории упругости
Теорема 3.1.1. Пусть ф (x)D(Q),ty(x)eL2(Ci),F(x,t) =Lz(Qr),a fi произвольная трехлерная ограниченная связная область с кусоч-но-гладкой границей S.Тогда ряд (6) сходится в Ш (QT) равно-лерно по t[0,T],u его сулла u(x,t) является в QT обобщенныл решениел слешанной задачи (1) - (3). Прежде всего заметим,что при выполнении условий теоремы существует полная ортонормировэнная в Ъг(П) система обобщенных собственных вектор-функций(vn(x)), что доказано вариационным методом при N=/rc (т.е.в т( 3)-мерном прастранстве; в Л337, а также при N=3 и в ClOiJ. Доказательство теоремы сводится к проверке следующих утверждений: 1) ряд (б сходится в метрике энергетического пространства Н [$4) (тем более в матрике Ъ2) равномерно по t на отрезке [o.TJ (о т оо); 2) ряд, полученный дифференцированием ряда (6) по t, обозна чаемый через u x.t), сходится равномерно по t в метрике L2; З; сумма ряда (6) удволетворяет начальным условиям (2) и граничному условию (3) в обобщенном смысле; 4; сумма ряда (6) удволетворяет тождеству (5). В силу ограничения объема статьи на проверке выполнимости утверждений 1)-4) не останавливаемся. 131 следующую смешанную задачу: найти .в цилиндре QT=Q [0,TJ решение уравнения движения изотропной однородной упругой среды удовлетворяющее начальным условиям граничному условию где fi-произвольная конечная трехмерная область ограниченная поверхностью S типа Ляпунова. Другие обозначения взяты ш Пэ7-Ясно, что ряд является формальным решением смешанной задачи (З)-(Ъ). Здесь Фп,фп и / -коэффициенты Фурье вектор-функции (p(x),ty(x) и f(x,t) по системе собственных вектор-функции ivn(x)} соответственно, а У Я-МУ .ы гУ -л-ая собственная вектор-функция, соответствующая сообственному значению А,п. Сначала доказываем несколько вспомагательных лемм. Лемма 3.2.1. Пусть Q-произвольная трехлерная область, ограниченная поверхностью S типа Ляпунова, a f(x,t)-произвольная вектор-функция, удовлетворяхщая следуюшы условиях: i)f(x,t)Yfi(Q) и непрерывна по t при t 0 в летрике 2)f(x,t) равна нулю на S и на боковой поверхности цилиндра Qr=Q {0,T). Тогда справедливо неравенство В частности, числовой ряд, стоящий в левой части этого неравенства, сходится. Доказательство. Фиксируем т из [0,Т]. Тогда почти для всех і из [0,Т] вектор-функция f(x,t) удовлетворяет условиям леммы I.5.1.2.1 1, поэтому числовой ряд со // (т „ сходится. Точнее, почти для всех 1[0,Т] имеет мес п=1 В силу условия и известной теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега ([118], т.5 стр.162-166) ряд, стоящий в левой части неравенства (8), можно почленно интегрировать на отрезке [0,Т]. Интегрируя неравенство (8) по т от нуля до Т, получим неравенство (7). Лемма 3.2.1 доказана. Леїша 3.2.2. Пусть П-произволъная трехлерная область, ограниченная поверхностью S типа
Ляпунова, a f (x,t)-произвольная вектор-функция, удовлетворяющая условиям 1)-2) леллы останавливаемся. 131 следующую смешанную задачу: найти .в цилиндре QT=Q [0,TJ решение уравнения движения изотропной однородной упругой среды удовлетворяющее начальным условиям граничному условию где fi-произвольная конечная трехмерная область ограниченная поверхностью S типа Ляпунова. Другие обозначения взяты ш Пэ7-Ясно, что ряд является формальным решением смешанной задачи (З)-(Ъ). Здесь Фп,фп и / -коэффициенты Фурье вектор-функции (p(x),ty(x) и f(x,t) по системе собственных вектор-функции ivn(x)} соответственно, а У Я-МУ .ы гУ -л-ая собственная вектор-функция, соответствующая сообственному значению А,п. Сначала доказываем несколько вспомагательных лемм. Лемма 3.2.1. Пусть Q-произвольная трехлерная область, ограниченная поверхностью S типа Ляпунова, a f(x,t)-произвольная вектор-функция, удовлетворяхщая следуюшы условиях: i)f(x,t)Yfi(Q) и непрерывна по t при t 0 в летрике 2)f(x,t) равна нулю на S и на боковой поверхности цилиндра Qr=Q {0,T). Тогда справедливо неравенство В частности, числовой ряд, стоящий в левой части этого неравенства, сходится. Доказательство. Фиксируем т из [0,Т]. Тогда почти для всех і из [0,Т] вектор-функция f(x,t) удовлетворяет условиям леммы I.5.1.2.1 1, поэтому числовой ряд со // (т „ сходится. Точнее, почти для всех 1[0,Т] имеет мес п=1 В силу условия и известной теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Лебега ([118], т.5 стр.162-166) ряд, стоящий 3.2.1 при б --. Тогда ряд Фурье вектор-функции f(x,t)no собственным, вектор-функциял vjx): сходится равнолерно в залкнутол цилиндре Q =П [0,Т]. Из неравенство (9), теоремы I из [36] и,леммы 3.2.2 настоящего параграфа следует, что лемма 3.2.3 будет доказана, если мы докажем неравенство п=1 где постоянная С не зависит от t. Для этого достаточно показать равномерную непрерывность на отрезке С0,Т] функции со п=1 Действительно, пусть tt и t2- любые фиксированные числа из [0,TJ. Тогда имеем ряд в неравенстве (70) равномерно ограничен костантой С, независящей от tt и t2, а первый ряд мажорируется величиной Тогда из ( )следует, что при t±z- 0, что и требовалось доказать. Теперь приступим к обоснованию метода Фурье. Теорема 3.2.1. Пусть начальные вектор-функции (р(х) и ф(х), а также вектор-функция f(x,t) удовлетворяет следующил условиям: I) p(xHlft(Q), ty(xHfP(Q), где р Д-, б -, и, кроле
