Содержание к диссертации
Введение
1. Стационарные решения лучевого типа с комплексным каналом 9
1. Исходные формулы лучевого метода в трехмерном случае 9
2. Комплексные лучевые решения на римановом многообразии 21
3. Окрестность замкнутой геодезической 32
2. Комплексный пространственно-временной лучевой метод для дифференциальных уравнений с частными производными 45
4. Трехмерные квазифотоны 45
5. Уравнения Максвелла 61
3. Гауссовы пучки в теории псевдодифференциалъных операторов 79
6. Некоторые классы псевдодифференциальных операторов 79
7. Квазифотонная асимптотика решений уравнения с псевдодифференциальным оператором 87
8. Система псевдодифференциальных уравнений с кратными характеристиками 100
4. Метод суммирования гауссовых пучков 112
9. Суммирование решений псевдодифференциального уравнения по лучам ИЗ
Литература 132
- Комплексные лучевые решения на римановом многообразии
- Трехмерные квазифотоны
- Некоторые классы псевдодифференциальных операторов
- Система псевдодифференциальных уравнений с кратными характеристиками
Введение к работе
В диссертации рассматриваются некоторые аспекты комплексного варианта лучевого метода и метода суммирования гауссовых пучков.
Как классический стационарный вариант лучевого метода (см. [1-9] и указанную там литературу), так и пространственно-временной лучевой метод (см. [10-15] ) сталкиваются со значительными трудностями в окрестностях каустик - тех точек, где соответствующее поле лучей теряет регулярность.
В.П.Масловым разработан ныне широко известный метод канонического оператора (см., например, [9, 16-19] ), позволяющий описывать волновое поле в окрестности сколь угодно сложных особенностей лучевого поля, т.- е. вблизи любых каустик.
Существует подход к проблемам описания волнового поля в сингулярной ситуации, основанный совсем на других идеях - метод суммирования гауссовых пучков. В случае волнового уравнения этот метод был предложен В.М.Бабичем и применен им и его ученицей Т.Ф. Панкратовой в работе [20] , вышедшей в 1973 году, .для рассмотрения одной задачи, поставленной А.Я.Повзнером. М.М.Попову принадлежит идея использовать суммирование гауссовых пучков для численных расчетов акустических и упругих волновых полей. В настоящее время эта методика получила довольно широкое распространение (см. работы [21-23] ).
В диссертации метод суммирования гауссовых пучков обобщается на широкий класс дифференциальных и псевдодифференциальных операторов. Таким образом, оказалось, что области применимости как метода канонического оператора, так и метода суммирования гауссовых пучков практически совпадают. В отличие от метода канонического оператора, метод суммирования гауссовых пучков глобален и не требует разбиения лагранжева многообразия, связанного с лучевым полем, на отдельные карты.
Остановимся коротко на идеях, лежащих в основе метода суммирования гауссовых пучков. Каждый индивидуальный луч, - как пространственно-временной, так и луч стационарного типа, - можно окружить волновым полем, экспоненциально убывающим по мере удаления от этого луча. Под "окружением" понимается построение формального асимптотического решения рассматриваемого дифференциального или псевдодифференциального уравнения или системы таких уравнений, причем речь идет о решении, имещем вид разложения, частные суммы которого осциллируБт в малой окрестности луча и оцениваются вы-ражением ехь(.си о const) , где const 0 » и) - большой параметр задачи, а л - расстояние до луча. Такие решения называются гауссовыми пучками. Некоторые авторы под словом "гауссов пучок" понимают не само решение, а результат его умножения на гладкую срезающую функцию, равную единице в окрестности луча. Мы в дальнейшем будем следовать именно этому, последнему определению гауссова пучка. Гауссовы пучки (как доказал еще в конце 60-х годов В.Ф.Лазуткин на примере уравнения Гельмгольца для неоднородной среда) обладают замечательным свойством: они не приобретают син-гулярностей при неограниченном продолжении вдоль луча. Если есть лучевое поле, имеющее в некоторых точках каустические особенности, то можно построить гауссов пучок, соответствующий каждому лучу, и просуммировать все гауссовы пучки. Суммируя формальные решения, мы опять получим формальное решение, не теряющее смысл в окрестности каустик. Полученный интеграл по гауссовым пучкам и дает то описание волнового поля вблизи каустик, о котором говори - 5 лось выше.
Много внимания в диссертации уделяется построению самих гауссовых пучков. Весьма естественным и первым по времени способом вывода аналитических выражений для них был метод параболического уравнения (см. монографию [4] и цитированную в ней литературу). В.П.Маслов предложил .другой подход к этой задаче - так называемый метод комплексного ростка [24j . Это весьма общий метод, позволяющий отроить формальные асимптотические решения гораздо более общего характера, чем гауссовы пучки. Методика В.П.Маслова опирается на довольно сложное понятие лагранжева многообразия с комплексным ростком. В диссертации - правда, только для случая гауссовых пучков - предложен новый вариант метода комплексного ростка. (Следует заметить, что здесь мы базируемся на работах [69, 70] . Одновременно с работой [69] была опубликована работа В.Е.Номофилова [25] , содержащая близкие. Этот вариант мы называем комплексным лучевым методом, а в пространственно- временном случае, основываясь на некоторых специальных свойствах построенных решений, будем пользоваться термином "квазифотонная асимптотика". Построения разложений комплексного лучевого метода не требуют введения комплексного лагранжева многообразия и представляются нам более элементарными, чем построение комплексных ростков по методике В.П.Маслова.
Глава I посвящена применению комплексного лучевого метода в его стационарном варианте.
В § I для удобства дальнейших ссылок выводятся известные основные формулы лучевого метода для волнового уравнения (см., например, [і, 4, 7J ) и определяются необходимые математические понятия.
- 6 В § 2 рассмотрено уравнение Гельмгольца, заданное на гладком римановом многообразии, построены его формальные асимптотические решения в виде комплексных лучевых рядов, коэффициенты которых находятся из некоторых линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, выполняющихся вдоль геодезических линий.
В § 3 рассматривается задача о собственных функциях оператора Лапласа, сосредоточенных вблизи замкнутой геодезической. Получены асимптотические формулы для квазисобственных чиоел и построены периодические квазисобственные функции, точнее, квазимоды в смысле В.И.Арнольда, осциллирующие в окрестности геодезической.
В главе П строится общая схема комплексного пространственно-временного лучевого метода на примере .дифференциальных уравнений с частными производными в трехмерном случае.
§ 4 посвящен рассмотрению волнового уравнения. Описана подходящая система координат, так как именно от правильного выбора координатной системы в значительной мере зависит успех всех последующих построений. В работе [2б]при рассмотрении задачи о многозеркальных резонаторах была введена специальная система координат, которая при соответствующем обобщении оказалась удобной и для волнового уравнения. Уравнение эйконала проинтегрировано с помощью канонической системы в вариациях. В конце параграфа получено пространственно-временное обобщение понятия гауссова пучка.
В § 5 построены комплексные пространственно-временные лучевые решения системы уравнений Максвелла в неоднородной изотропной среде.
Глава Ш посвящена гауссовым пучкам в теории псевдодифференциальных операторов.
В § 6, не содержащем новых результатов, для удобства дальней - 7 шего изложения приводятся некоторые сведения из теории псевдодифференциальных операторов - определения операторных классов, вводимых согласно монографии [27] , и теоремы о коммутации псевдодифференциального оператора с быстро осциллирующей экспонентой в случае комплексной фазы [28, 29 ] .
В § 7 описывается построение гауссовых пучков для однородного уравнения с классическим псевдоди ференциальным оператором произвольного вещественного пордцка, действующим по / +1 пространственной переменной и времени. Отмечен геометрический смысл пространственных лучей. Квадрат функции Гамильтона для псеадодифферен-циального оператора, в отличие от волнового уравнения, будет уже не квадратичной формой, а достаточно произвольной однородной функцией второго порядка, поэтому задаваемая ею метрика является не римановой, а более общей - финслеровой. Дифференциальные уравнения геодезических в смысле экстремальной - наименьшей или наибольшей -длины финслерова пространства совпадают с уравнениями пространственных лучей. Функция Гамильтона положительно однородна, поэтому иццикатриса порождаемой ею финслеровой метрики оказывается выпуклой и геодезические реализуют именно кратчайшее расстояние между точками. Этот факт хорошо согласуется с геометрооптической интерпретацией лучей, так как они по-прежнему являются решением вариационной задачи для соответствующего функционала Ферма.
§ 8 демонстрирует применение комплексного пространственно-временного лучевого метода к системе пседцодиференциальных уравнений произвольного вещественного пордцка с симметричным матричным символом и характеристиками постоянной кратности. В результате построений получены уравнения для нахождения всех членов в асимптотических рядах. Часть результатов этого параграфа содержится в работе [ЗО ].
Глава ІУ, состоящая из одного § 9, посвящена методу суммирования гауссовых пучков в пространственно-временном варианте. Этот метод излагается на примере суммирования решении, построенных в § 7 для псевдодифференциального уравнения. Схема суммирования гауссовых пучков в пространственно- временном случае сходна со стационарной, предложенной в работе [20] , однако в отличие от последней, где свободным от интегрирования параметром являлась оптическая .длина луча, здесь интегрирование ведется по всем пространственным переменным, и в качестве свободного параметра остается лишь время. Ряд, полученный из суммирующего интеграла, является формальным решением рассматриваемого уравнения. Поскольку это решение не приобретает сингулярностей при возникновении любых каустик поля пространственных лучей, а в точках регулярности лучевого поля допускает разложение по методу перевала, совпадающее с любым наперед заданным решением стационарного лучевого типа, то можно считать, что суммирующий интеграл, аналогично каноническому оператору, дает продолжение этого последнего лучевого решения в каустическую зону.
В Дополнении приведены некоторые вспомогательные сведения из теории матриц, которые используются в ряде построений диссертации.
Основное содержание диссертации опубликовано в работах [69-72].
Автор считает приятным долгом выразить глубокую благодарность и самую сердечную признательность своему научному руководителю профессору Василию Михайловичу Бабичу за постоянное внимание к работе.
Комплексные лучевые решения на римановом многообразии
Пусть в уравнении (I.I) скорость С(ос) постоянна. Если строить решение в виде то волновое уравнение сводится к своему стационарному аналогу -уравнению Гельмгольца где К=«А С"1 . В этом параграфе для уравнения (2.1) будут проведены построения комплексного лучевого метода. I. Постановка задачи и исходные уравнения лучевого метода. Пусть Gr « произвольное //+1 -мерное компактное гладкое рима-ново многообразие с метрическим тензором Qуг (ж). Рассмотрим на Gt уравнение Гельмгольца (2.1), где оператор Лапласа действует по формуле (здесь, как обычно, введены обозначения Я (9\) ff-detlljffaW). Формальное асимптотическое решение уравнения (2.2) будем строить в виде ряда где л&/Я , Подстановка рада (2.3) сводит уравнение (2.1), аналогично предыдущему параграфу, к уравнению эйконала и рекуррентной системе уравнений переноса Выписав для уравнения (2.4) каноническую систему Гамильтона, введем согласно многомерному аналогу определения 1.4 пространственные лучи . Функционал Ферма (1.7), рассматриваемый на рима-новом многообразии иг , выражает расстояние между точками ас и зс в метрике Д/ъ , поэтому лучи & будут геодезическими многообразия Q . В малой окрестности можно ввести риманову нормальную координатную систему С, 7 , .-, f/f) , где $ - параметр вдоль , а «;; ---)) координаты в поперечном направле- ний [43] . В координатах (Syf) луч задается уравнениями 2. Комплексный эйконал. Зафиксируем произвольный луч и рассмотрим его -окрестность, где Эйконал ЧГ будем строить в виде формального асимптотического ряда где nCSyf) - однородные полиномы степени И- ПО fі ,..,9/ G комплексными коэффициентами, зависящими от S как от параметра. При выводе формул (2.4), (2.5) практически не используется факт вещественности С . Поэтому в случае, когда экспонента в раде (2.3) не стремится к бесконечности с ростом К и члены ряда удовлетворяют уравнениям (2.4) и (2.5), то ряд (2.3) является формальным асимптотическим решением уравнения (2.1). Экспонента в ряде (2.3) ограничена при условии IwtT O , называемом иногда условием диссипативности (см., например, [45"]). Очевидным образом проверяется следущее сосредоточенности частных сумм рада (2.3) вблизи луча 0 . Подставим ряд (2.7) в уравнение (2.4) и приравняем нулю группы членов? имеющих одинаковый порядок однородности.
Члены нулевой и первой степеней одаородности равны нулю тождественно, а члены второй степени дают уравнение вида где, аналогично 4] , симметричная матрица 1С в: С (IR. JIR. J (описание соответствующих матричных классов см. в Дополнении) связана с тензором кривизны r?W/W многообразия G соотно- шением Уравнения для членов одаородности степени и, и-3 ,..убудут иметь вид где через -Ли. обозначена совокупность членов, найденных на предыдущих ю. шагах. Положив где Ге С V і (С 1 )- симметричная матрица, мы приведем уравнение (2.8) к матричному уравнению Риккати Аналогично [4] , для решения уравнения (2.II) рассмотрим матричное уравнение где ІЄ С O C ). Нам понадобится решение уравнения (2.12), обладающее некоторыми специальными свойствами. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.2. Существует частное решение уравнения (2.12) в классе С(\\1\ С ) » Удовлетворяющее условию ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку многообразие Gr является гладким, то JC " СС IR + С "О и из теоремы существования и единственности следует, что уравнение (2.12) имеет решение, удовлетворяющее любым начальным данным, и оно будет бесконечно дифференцируемым. Как нетрудно убедиться, левая часть соотношения (2.13) является первым интегралом уравнения (2.12), и поэтому (2.13) можно удовлетворить соответствующим подбором начальных данных для jf . ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.3. Существует частное решение уравнения (2.12) в классе С (\R.\ \ (С ) , удовлетворяющее условию ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Полностью повторяет рассуждения, использованные при доказательстве предыдущего предположения. Возьмем решение і с начальными данными Yo удовлетворяет обоим соотношениям (2.13), (2.14), поэтому Y тоже будет удовлетворять обоим этим соотношениям. Из (2.13) по лемме Д.І (см. Дополнение) следует, что матрица Y является невырожденной. Прямым подсчетом проверяется ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.4. Матрица Р , заданная формулой является решением уравнения (2.II). ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.5. Матрица Г , определенная формулой (2.15), симметрична и имеет положительно определенную мнимую часть. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Симметричность Г"1 следует из (2.14) по лемме Д. 2, а положительная определенность матрицы 1ж Г - из (2.13) по лемме Д.З. Обратимся к уравнениям (2.9). Введя новую переменную & \ $tf и заметив, что согласно (2.10), (2.15) приведем уравнение (2.9) к виду Из уравнения (2.16) легко находятся все С Условие (2.6) обеспечивает асимптотический при I зГ1 — О характер ряда (2.7) и поэтому последний является формальным асимптотическим решением уравнения (2.4) в смысле определения I.I. Таким образом, справедлива следующая ЛЕУМА. 2.1. Уравнение эйконала (2.4) имеет формальное асимптотическое решение в виде комплексного ряда (2.7), где С , задается формулой (2.10), а все последующие члены находятся интегрированием уравнения (2.16) вдоль пространственного луча 0 3.
Интегрирование уравнения переноса. Решения уравнений переноса (2.5) строим также в виде комплексных рядов по однородным полиномам Подставив (2.17) в (2.5), получим при всех т- 1,Я,...и при всех и.= 0,l,Z,... уравнения вида где введены обозначения: (# 1,,,= Я / » у Л „ л /л н = Лл С" //, / , 1 і» - группа членов, уже найденных на предыду-щих w.xW, шагах, причем, как нетрудно убедиться, JMo —С/ . ПРЕЩОЖЕНИЕ 2.6. На луче о выполнены равенства ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Нетрудно подсчитать (см., например [4]), что в римановых нормальных координатах справедливо соотношение Поскольку на луче @0 cfrs-O » то отсюда получается соотношение (2.19). ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.7. Выполняется соотношение ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как следует из (2.2), значение (A,aZ)(0) МОЖ но записать в форме - В 4 J показано, что справедливы равенства X/ из которых легко получается, что Подставив (2.20), (2.23) и (2.24) в (2.22), получим (2.21). Учтя (2.10), (2.15)-, (2.19) и (2.21), перепишем уравнение (2.18) в виде Сделав, аналогично п.2, замену ef \— ($)7 t получим из (2.25) уравнение Положим теперь в (2.17) Подставив (2.27) в (2.26) и воспользовавпшоь леммой Д.5, получим уравнение для нахождения гдеМ М. HdfY". Из уравнения (2.28) можно найти все 1 i . Асимптотический при I р —« О характер рядов (2.17) при vvi -о}«і, 7.?... по-прежнему обеспечивается условием (2.6). Итак, справедлива следующая ЛЕША 2.2. Уравнения переноса (2.5) имеют формальные асимптотические решения в виде комплексных рядов (2.17), члены которых находятся по формулам (2.27) после интегрирования уравнений (2.28) вдоль пространственного луча 0 . 4. Основные свойства полученного решения. Отметим некоторые свойства лучевого решения с комплексным эйконалом, отличавдиеся от свойств обычных лучевых решений типа (І.І2), описанных в I. Прежде всего, в отличие от обычного лучевого, построенное на-ми решение содержит в себе два малых параметра -К и I jf Асимптотика по первому из них позволяет перейти от уравнения Гель-мгольца (2.1) к уравнениям эйконала (2.4) и переноса (2.5). Асимптотика по второму дает возможность удобным образом проинтегрировать эти последние уравнения. Далее, из предложения 2.2, леммы Д.І и правильного подбора начальных данных следует, что определитель матрицы і нигде не обращается в нуль, и поэтому полученное решение можно неограниченно продолжать вдоль луча а . И, наконец, последнее, самое замечательное свойство решения с комплексным эйконалом: из формулы (2.10) и положительной определенности матрицы 1т. I следует, что наше решение существенно отличается от нуля лишь в малой окрестности точки вида (, й -г , с/уу О) , т.е. луча 0 , а вне этой окрестности оно экспоненциально убывает. Таким образом, мы построили решение, сосредоточенное вблизи луча . Подытоживая все сказанное, результат построения п.п.І-3 настоящего параграфа можно сформулировать в следукщем виде. ТЕОРЕМА. 2.1. Для уравнения Гельмгольца где К /R \ , М-Шх} ,x sG, a G -произвольное /Химерное компактное гладкое риманово многообразие, можно построить поле пространственных лучей и с каждым лучом связать систему ри-мановых нормальных координат (S, jfj , которая будет регулярной в малой окрестности луча.
Трехмерные квазифотоны
Изложение комплексного пространственно-временного лучевого метода начнем с примера волнового уравнения в пространстве трех измерении, так как в этом случае ход построения является наиболее наглядным. От рассмотренного в п.п. 3 и 3 I и п.п. I - 4 2 стационарного решения волнового уравнения возвращаемся к нестационарному анзатцу (1.3), подстановка которого сводит уравнение (I.I) к уравнениям (1.4), (1.5). I. Пространственно-временные лучи и нормальные лучевые координаты. Пространственно-временные лучи, так же как и лучи обычные пространственные, вводатся с помощью канонической системы Гамильтона. Для уравнения (1.4) она имеет вид некоторое решение системы (4.1). Кривая -f :{t=5 Г-xYS)j в /R±x IR называется пространственно-временным лучом. Проекция пространственно- временного луча с на гиперплоскость {to солвЪ) является обычным пространственным лучом С в смысле определения 1.4, а сам пространственно-временной луч с "трехмерной" точки зрения можно рассматривать как точку, летящую со скоростью CJ вдоль луча і [8, II, 15] . Определения 1.3, 1.4 и 4.1 без существенных изменений переносятся на случай многомерного пространства и уравнения Гамшгьтона-Якоби вида где lift,х,3 ) - произвольная функция, имеющая по переменной J первый порядок однородности. Уравнения (1.4), (1.5) хорошо интегрируются в специальной системе координат, связанной с пространственно-временными лучами. Для волнового уравнения оказывается удобным нестационарный аналог координатной системы, введенной в [2б] для уравнения Гельмгольца.
Рассмотрим пространственный луч - проекцию пространственно-временного луча на гиперплоскость {t to сov\ sij и в некоторой его окрестности следующим образом определим координатную тройку (Т 7 {і}?я.) : параметр вдоль луча Т мы введем, аналогично п.2 I, с помощью функционала Ферма по формуле (1.9), а единичные орты Г і ЄІ осей fy и . при движении вдоль вращаются по закону Здесь T(S) - радиус кручения луча в точке $ , а интеграл, как ив (1.9) берется по лучу.) В [26 ] получен следущий результат: ТЕОРЖА 4.1. Существует такое о , что в трубчатой S -окрестности луча С координатная система ($7fi,?z) является регулярной. Кроме того, эта система ортогональна, причем коэффициенты Ламе ее равны Q- , Л , "1 , где ( K(S) - кривизна луча в точке $ .) ЗАМЕЧАНИЕ 4.1. С4] . Из классических формул Френе вытекает, что производные ортов 1 и ez по .длине дуги S вдоль В подчинены соотношениям откуда следует, что в римановой метрике, порождаемой функционалом Ферма, 6 , 2 параллельно переносятся вдоль луча и поэтому система координат ($,fi,fx) аналогична римановой нормальной системе в соответствущем римановом пространстве. Более простая и потому кажущаяся более разумной система коор-щ- —» динат (, и. ,1-) менее удобна, так как она не ортогональна. Из теоремы 4.1 следует, что координатная система СС, , ) в 5"-окрестности луча С также будет регулярной и ортогональной. Легко доказывается следующее ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.1. Коэффициенты Ламе системы координат (f,f,,? ) равны соответственно с& , і , 4 , где Q определяется формулой (4.4). Имея координатную систему (Х7 7 jz) вблизи пространственного луча С , мы. можем теперь ввести соответствующие координаты и в окрестности пространственно-временного луча С . Положение точки вблизи в определим четверкой координат (-Ь, с , fi7 fa ) ,где ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4.2. Систему координат ( , , [„, fz ) , заданную формулами (1.9), (4.2), (4.3), (4.5),назовем пространственно-временной лучевой нормальной. Для краткости будем именовать эту систему просто нормальной. Пространственно-временной луч задается в ней уравнениями ЗАМЕЧАНИЕ 4.2. Согласно теореме 4.1, нормальные координаты являются регулярными лишь в некоторой трубчатой S -окрестности луча с . Поэтому в дальнейшем (хотя это обычно и не будет специально оговариваться) подразумевается, что все построения, связанные с пространственно-временными лучами, проводятся в таких их -окрестностях, что в соответствующих 5"-окрестностях соответствующих пространственных лучей нормальные координаты регулярны. 2. Интегрирование уравнения эйконала. Зафиксируем какой-нибудь произвольный пространственно-временной луч 0 и рассмотрим его -окрестность (по координатам с/ , ? ), где Є , как и в 2, удовлетворяет условию (2.6). Аналогично п. 2 2, эйконал строим в виде ряда однако здесь уже u itfC ) - комплексные однородные полиномы по Т , , % с коэффициентами, зависящими от t. . Очевидным образом проверяется следующее ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.2. Пусть 1 0,,=1 6.,-0 и 1 0 при ITM-Htjl 0 . Тогда для любой +2 0ц Рада (4.6) при малых IT l+l (Г\ , отличных от нуля, выполняется условие Ii .2J-M- 0. В нормальных координатах уравнение эйконала, как нетрудно проверить, используя предложение 4.1, имеет вид где G определяется формулой (4.4), a (?o = oC t) - значение скорости на луче 0 , т.е. 0- 1-,. « _ . Подставим ряд (4.6) в уравнение (4.7) и приравняем последовательно нулю группы, членов, имеющих одинаковый порядок однородности. eны нулевой степени с учетом того, что согласно (4.4) GL- /, дадут нам уравнение Исходя из аналогии с вещественным случаем, мы положим Из (4.8) с учетом (4.9) сразу получаем, что гг- = О . Такім образом, можно взять Уравнение для членов первой степени однородности имеет вид где индекс (4) обозначает член первой степени однородности в разложении квадратной скобки в рдд по однородным полішомам.
В дальнешпем нам удобно пользоваться классическим обозначением гессиана функции нескольких переменных: пусть функция Wr-v r- l-) 5C ) ДважДы непрерывно дифференцируема в окрестности некоторой точки х0 є. itt . Через (Hess fdL) t )(эс0) обозначим матрицу Гесса этой функции по переменным эс і х f , вычисленную в этой точке: ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.3. Имеет место тождество ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Воспользуемся хорошо известным разложением (см. [4, 26] ): Следовательно, Последнее соотношение и дает нужное нам равенство. Из предложения 4.3 вытекает автоматическое выполнение уравнения (4.12), что подтверждает правильность введенных нами соотношении (4.9). Члены второй степени однородности дадут уравнение а для всех последующих членов, как и в п. I 2, уравнения будут иметь одинаковый вид: где через Ли. обозначена совокупность членов, найденных на предыдущих YL шагах. Таким образом, ряд (4.6), члены которого задаются формулами (4.10), (4.II) и удовлетворяют уравнениям (4.13), (4.14), формально удовлетворяет уравнению (1.4). 9z Удобно искать в виде где Ге С2(Со,Т) (Г2 )-симметричная матрица, ДеС ((о,Т) , С )_ вектор, Г\ - скаляр, Т 0 . Подстановка формулы (4.15) в уравнение (4.13) дает три уравнения, из которых можно последовательно определить Г , Т\ и Т\ : где введены обозначения R= — J » Q.= Уравнение (4.16), так же как и уравнение (2.II), решим, следуя хорошо известным приемам [253 . Выпишем для пространственно-временного луча Со каноническую систему в вариациях [4] : где (Соответствующую каноническую систему в вариациях для лучей 2 удобнее было записывать в виде уравнения (2.12).) Так же, как и в п. 2 2, легко проверяются следующие аналоги предложений 2.2 и 2.3: ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4.4. Существует частное решение системы (4.19) в классе С((О)Т); (С2 2-) » удовлетворяющее условию ЇЇРЕД7ЮЖШ 4.5. Существует частное решение системы (4.19) в классе С ((о7Т) С2 2 ) » удовлетворяющее условию Возьмем решение JL , Z/ системы (4.19) с начальными данными lo и Z0 удовлетворяют обошд соотношениям (4.20) и (4.21), поэтому JL и Z тоже будут удовлетворять обоим этим соотношениям. Из (4.20) по лемме Д.І следует, что матрица "Y является невырожденной.
Некоторые классы псевдодифференциальных операторов
Понятие псевдодифференциального оператора было введено еще в [53 J , а в [54 ] эти операторы уже появились в современной форме. Однако в силу большого разнообразия применений пседцодифференци-альных операторов приходится использовать наиболее адекватные изучаемому вопросу классы операторов и их символов (см., напршяер, [55 - 64 J ). В наших рассмотрениях удобным оказался класс псевдодифференциальных операторов, описанный в монографии [27] . Настоящий параграф посвящен изложению необходимых элементов соответ- Символ по евдодифференциального ствующей теории. _-. I. Классы Sj tS и !uJ\S . оператора. Введем важное для рассмотрения псевдодифференциальных операторов понятие функционального класса Pj\6" ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.1. [27] . Пусть / ,/ ПМ Є-іїї1, J ,$ =. ЄІ0912 и Х- область в Ш . для любых мультииццексов - , J2 и .для любого компакта ] Х существует такая постоянная C(oL,j3,K?) , что при xeJG , %є: (R- х выполняется оценка Используя понятие класса р л » определим псевдодиск ер ен-циальный оператор: ОПРЩЕЛЕНИЕ 6.2. 27] . Интегральный оператор, действие которого на любую функцию гдеАСх, , S S X Kj,/ / "» і , 4 , называется псевдодиф$еренциальным оператором порядка М . Класс псевдодифференциальных операторов, задаваемый определением 6.2, мы будем обозначать через JL, р3$00- Через D (X) обозначим пространство основных функций, т.е. C J(X")» а чеРез И СХ) - класс обобщенных функций на }С , т.е. пространство, сопршкенное к ИСХ) . Значение обобщенной функции еЮЧХ) на основной функции SfleD(X) будем записывать с помощью знака скалярного произведения: f У . ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.3. [27] . Обобщенная функция еЙ еЛ бГОО, действие которой на любую основную функцию ЄІЇ(ХхХ) определяется формулой называется ядром псевдодифференциального оператора сУс" . Пусть мррсЖ - носитель дцра г , StC, и.ЗГ - канонические проекции swpp на X" (они получаются ограничением соответствующих проекции X х X на каждый из сомножителей). ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.4. С 271 . Псевдодифференциальный оператор J? называется собственным, если обе его проекции (ЇГ : snppjt — Х являются собственными отображениями, т.е. для любого компакта КсХ его прообраз $"J (К ) является компактом в 5мрр .. Теперь мы можем определить символ пседцодифференциального оператора. ОПРВДЕЛЕЕШЕ 6.5. [27] . Пусть о4 - собственный псевдодифференциальный оператор.
Его сшлволом называется функция CL(5C,J) , заданная наХ / и определенная формулой В [27І доказан результат: ЛЕММА 6.1. Пусть собственный псевдодифференциальный оператор Л& L,J ;S(X)H S J . Тогда K(,f)G Sj S (Xx/R ) и действие оператора с с на любую функцию ТА(5с)&С(Х)можно записать в виде Таким образом, мы получили два эквивалентных определения псев-додифференциального оператора: с помощью функции Л ( фЗ) по фор-муле (6.1) и с помощью символа оператора я-(х 3) по форлуле (6.2). С этим последним определением мы и будем работать. 2. Асимптотические разложения в классах Р . Классические символы и поевлодиФФеренциальные операторы. В дальнейшем при построении формальных асшлптотических решений псевддифференциальных уравнений нам будет удобно раскладывать символы псевдодиффе-ренциальных операторов в асимптотические ряды, Для этого необхо-димо ввести понятие асшлптотики в классе «э « s ШИДЕШЕНИЕ 6.6. [27] . Пусть имеются последовательность функций ГаНзс, %)\ , каждая из которых принадлежит классу Sn (X Tfc j, и функция л-(х, j) С (Хх/ ).Мы будем говорить, что &- имеет своим асимптотическим разложением ряд из dj и писать если выполнены следующие два условия: 1. М;- -оопри іч-оо . 2. Для любого 1ЄІМ , ъ- где Нп=киаэсМ] . Это определение аналогично определениям асшлптотических разложений главы I, только здесь роль неограниченно возрастающего лости играет принадлежность классу JD Теперь мы выделим необходимый нам более узкий класс символов и псевдодифференциальных операторов. ОПРВДЕШЖЕ 6.7. [27] . Функция Ux,J) Є (X ) такая, что при некотором Me (С имеет место асшлптотическое разложение где Є C UR ) - срезащая функция, задаваемая соотношением a 6L(-x,j) являются положит ельно однородными функциями пордяка cL по 3 , называется классическим символом. Класс символов, обладающих этим свойством, обозначим через С$Н(Х Ш ) . очевидно, что CSK(ZxlE )CS M(Xx [27] . Так же, как -и классу р « , классу С S соответствует класс пседцодифференциальных операторов: ОПРВДЖНИЕ 6.8. [273 . Псевдодифференциальный оператор, ко-торый может быть задан формулой (6.2) с а.(х,У) &С$ (XxIRfir) (или формулой (6.1) сА&,%)3)єС$ (Х Хх /R ), что равносильно согласно лемме 6.1), называется классическшл псевдодифференциаль-ным оператором, а функция л Г) в (6.3), т.е. главный член асимптотического разложения символа - его главным символом. Класс таких пседцодифференциальных операторов обозначим сьмШ. 3. Действие поеддодифференциального оператора на экспоненту с вещественным и комплексншд показателем. Мы будем строить решения, описанные в главе П, для уравнений и систем с пседцодифференциаль-ными операторами. Поэтому нам необходимо привести издестные ре- зультаты, дающие асимптотику выражения, получающегося после применения оператора к ряду вида (1.3). Результат применения псевдодифференциального оператора к ряду (1.3) с вещественным эйконалом можно получить, пользуясь следующей теоремой: ТЕОРИЙ. 6.1. [27] . Пусть областьXе2 IR и собственный псевдодифференциальный операторов jbf,S (X) , Л-f $S f . Пусть при хєл . Тогда для любой функции 4єСео(Х)ж для любого p=o,-f,z,... при К" справедлива формула ,цля остаточного члена Кл к) выполнена оценка где К - компакт в X , а С1», не зависят от параметра к . С помощью теоремы 6.1 мы придем к результату, полностью аналогичному п. I I: подставив ряд (1.3) в уравнение где Jb - пседдодифференциальный оператор, удовлетворяющий теореме 6.1, можно получить уравнение эйконала и рекуррентную систему уравнений переноса.
Однако мы будем строить лучевые решения с комплексным эйконалом, и поэтому нам необходимо распространить теорему 6.1 на случай комплексной фазы V и получить для пседцо- дифференциальных операторов возможность проведения построений 4. Доказательство теоремы 6.1 использует метод стационарной фазы [65] , в котором, как известно, требуется вещественность фазовой функции $(%) в интеграле и поэтому оно не может быть автоматически перенесено на случай Хні Т 0 . Асимптотику интегралов вида (6.4) с комплексной функцией S(х) можно получить,- следуя методу перевала [65] , однако мы. не станем заниматься этими рассмотрениями, а предпочтем воспользоваться хорошо известной техникой, разработанной в [28, 29]. Прежде всего заметил, что символ a (x,j) оператора» вводился как функция вещественной переменной, и поэтому для возможности придания смысла выражениям вида аЫ)("х , К V 4у) f где _ комплексная функция, необходимо правильно продолжить OL (х , f) в комплексную область. Пусть дана гладкая функция +("3") на открытом множестве Xе . Обозначим через о f комплексную антилинейную часть о t , т.е. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.9. [29] . Пусть открытое множество Vc х х( \(о}) и пустьV ni xOR Mo})) . пусть также за даны две функции: называется почти аналитическим продолжением Я? , если выполнены два условия: 1. Э SP имеет нуль бесконечной кратности на V . Существование почти аналитического продолжения для ИНТересую-щих нас функции из класса j , и свойства этого продолжения даются следующей теоремой: ТЕОРЕМА. 6.2. [29] . Пусть Г cff xCd \{о]) _ конуо (в сшс_ ле того, что из (г, ) "Т , Ае (к + следует (2, е:!? ). Пусть Г1 открыт. Полошил r=rn(lR//xCfR/V\{oJ)). Если функция a(x,f)eSp С Г ) , то существует ее почти аналитическое продол-жение SLCX, ) е: Sj , ( V) , обладающее следующими свойствами: L) л. (г,ъ) обращается в нуль при %\ Iч[ t\тЦ \\ I 4, где It) При [ { 1 выполняется оценка в Г7 , где Г сгЗ? - открытый конус, р IN . III) Любое «другое почти аналитическое продолжение (2, ) Spgd-1) эквивалентно л (г,"?) в смысле выполнения оценки IV) Если функция а(х, 3 ) положительно однородна порядка Мс по переменной % , то а(г",іГ) можно выбрать однородной того же порядка по 1г в том смысле, что для любого Г Г"1 Любая положительно однородная функция произвольного порядка W очевидным образом принадлежит классу С S , а значит - и клас-су Ь о.
Система псевдодифференциальных уравнений с кратными характеристиками
Рассмотрим систему уравнений где М ТЛІь іЧ Ч єіо,!:) хєХ К 1, Т 0, - собственный псевдодифференпиалъннй оператор с матричным символом А(і,х,т#, 1 )= II аща А 5 ) . , причем для всех Формальное асимптотическое решение системы (8.1) мы будем строить в виде лучевого ряда с комплексным эйконалом. Подставив ряд (8.2) в систему (8.1), воспользуемся, аналогично п. I 7, теоремой 6.3 и в получившемся асимптотическом соотношении приравняем нулю коэффициенты при последовательных степенях CAJ I . Главный член даст нам уравнение где Ajwj - почти аналитическое продолжение главного символа оператора tJEr , т.е. матрица, составленная из почти аналитических продолжений главных членов в разложениях функций лмг в ряды по однородным функциям. Поскольку имеет смысл предположить, что 1А0ф О t то из (8.3) вытекает уравнение, которому должна удовлетворять фуншщя Э (в п.п. I и 2 настоящего параграфа действует замечание 7.1).: Рассмотрим уравнение Аналогично [25, 37] , из него следует, что для некоторого собственного числа (t7x,T#? ) матрицы Д (t?x,A J ) должно выполняться соотношение Очевидным образом проверяется следующее ПРЕДЛОЖЕНИЕ 8.1. Функция A0(,x,- 7 } ) является однородной М -го порядка по переменным W, 3 ) . Обозначим через X почти аналитическое продолжение функции Ло , выбранное так, чтобы оно было однородной функцией М -го порядка по (тру 3) Таким образом, от уравнения (8.4) мы можем перейти к уравнению Предположим, что в окрестности некоторой точки (tf х(0 -fi(0) J{0}) отлично от нуля значение ;г-зг . Повторив ход рассуждений п. 2 7, мы придем к выводу, что для выполнения (8.5) достаточно выполнения уравнения Гамильтона-Якоби где HOfc ,!) - однородная функция первого порддка по переменной . Таким образом, уравнение эйконала для системы, псевдодифферен-циальных уравнений в точности совпадает с уравнением эйконала (7.7) для случая одного псевдодифференииального уравнения. 2. Получение уравнений переноса.
Для получения уравнений переноса используем следующий факт. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 8.2. Почти аналитические продолжения можно выбрать таким образом, что С\0 будет собственным числом матрицы А-м . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Одним из очевидных свойств почти аналитического продолжения является следующее: пусть функцияF(у19...,у$)явля-ется регулярной и пусть заданы, некоторые функции 4л(х),..., {$(«"), xeQc/R , имеющие почти аналитические продолжения &(z),...7 4$ (2") в комплексную окрестность. Тогда функция F ,..., ) ) — =F((2) ...,fs(2) является почти аналитическим продолжением функ-ции F( t,..., 4$)(х)ъ комплексную окрестность. Действительно, пункт 2 определения 6.9 выполняется очевидным образом, а выполнение пункта 1 следует из цепочки равенств Собственное число !Ао является регулярной функцией компонент матрицы AJ J . Поэтому если заменить в формуле для вычисления Я о компоненты матрицы Дм на их почти аналитические продолжения, то согласно вышеупомянутому свойству, получившаяся функция \0 будет почти аналитическим продолжением функции 0 в комплексную окрестность. С «другой стороны очевидно, что таким образом опреде-ленное и о удовлетворяет характеристическому уравнению матрицы Агл. t коэффициенты которого заменены своими почти аналитическими продолжениями. Такое згравнение является характеристическим для матрицы Ajq , поэтому л0 будет собственным числом последней. Считаем, что почти аналитические продолжения выбраны должным образом. Обозначим через ао =оС (t, эс ) собственное подпространство матрицы, отвечающее собственному числу /10 (Ь,х 7Ф71 ) , вычисленное в точке (Ьу 7 уЧзсв) . Через c j обозначим ли-нейный оператор с матрицей А г ПРЕДЛОЖЕНИЕ 8.3. На множестве ( С, Л ) может быть задан линейный оператор Уь , обратный к линейному оператору & . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку в точке (?x 1ji,7xe) выполняет-ся условие (8.5), то С Кегсїт . Как сле,дует из доказательства предложения 8.2, почти аналитические продолжения могут быть выб-раны таким образом, что матрицы Д.- , л=И7М-1,... останутся симметричными. Поэтому оператор о будет самосопряженным, откуда следует, что его образ ортогонален ядру. Аналогично [25] функции ТЛ„і в (8.2) можно строить в виде где V - C- , aW (o4?M) Подставив (8.7) в имеющееся асимптотическое соотношение, после некоторых вычислений получим, что уравнения для коэффициентов при последовательных степенях приводятся к рекуррентным соотношениям для "\Л и : TRsMf-z-W-i V О , Rw - вектор остаточных членов, полученный согласно теореме 6.3, а дифференциальные операторы « и Ой», действуют по формулам Матрицы .Д составлены из почти аналитических продолжений (M-oL) х членов разложений функций awll в ряды по однородным функциям. И по-прежнему в целях экономии места здесь везде опущен аргумент, равный (t, c, , 0) . Предположим, что к \ л Е? о(=соиst.. При каждом (t,5с) выберем в oC (t, х) произвольный ортогональный базис и будем строить Vw в виде где J - неизвестные функции. Условие Vl C j ) означает, что (8.10) Учитывая (8.8) и (8.9), можно переписать (8.10) в форме где введено обозначение Введем матрицы F1 и 6г с элементами ПРЕДЇЇОЖЕЕИЕ 8.4. Матрица г является симметричной, а матри- ца G кососимметричной. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Проверяется прямым подсчетом.
После простых, хотя и несколько громоздких преобразований мы можем привести уравнения (8.II) к виду: Уравнения (8.12) - это уравнения переноса для данной задачи. Таким образом, справедлива следующая ЛИШ. 8.1. В случае, когда размерность собственного подпрос-транства постоянна и 1 -фО » система (8.1) имеет формальное асимптотическое решение в виде ряда (8.2), где и находится из уравнения (8.6), а 7И можно построить в виде (8.7), причем V находятся из уравнений (8.12) по формуле (8.9), а "Vl n выражаются формулой (8.8). 3. Интегрирование уравнений эйконала и переноса. Как всегда, зафиксируем произвольный пространственно-временной луч Со и рассмотрим эе -окрестность луча с зе=тіие,6} f где S" таково, что обеспечивает регулярность системы трансверсальных координат вблизи соответствующего пространственного луча в0 , а удовлетворяет условию (2.6). Уравнение эйконала (8.6) имеет тот же вид, что и уравнение эйконала (7.7), поэтому оно интегрируется в полной аналогии со случаем одаородного псевдодифференциального уравнения и результат, так же, как и в п. 3 7, формулируется леммой 7.2. Решения уравнений переноса (8.12) мы также строим в виде формальных рядов по однородным полиномам АСт} где /La, - обозначают оовокзшность членов, известных из предыдущих илхіх п шагов. Решение уравнения (8.14) может быть выписа-но в явном виде. Рассмотрим матрицу е-С00 ((0,Т); (Г J , являющуюся решением задачи Коши и матрицу "M/eC ftOjT) ), являющуюся решением задачи Коши Из теории обыкновенных .дифференциальных уравнений известно, что выполняется следующее очевидное ПРЕДЛОЖЕНИЕ 8.5. Решение уравнения (8.14) может быть найдено в форме ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Проверяется подстановкой в уравнение (8.14) с учетом того, что из предложения 8.4 по лемме Д.6 следует обратимость матрицы и равенство ї = ї . Результат построения настоящего параграфа можно сформулировать в виде следующей теоремы. ТЕОРЕМА 8.1. Пусть дана система уравнений где Уе - собственный псевдодифференщгальный оператор с симмет-ричным матричным символом A = l w ft x)e(o,T)xX ПУСТЬ собственное число 0(t,x, j ) главного символа Ам , отвечающее згравнениго Гамильтона-Якоби, подчинено условию 4 О и пусть размерность соответствующего собст-венного подпространства С постоянна и равна и . Тогда можно построить поле пространственно-временных лучей и с каждым лучом связать систему трансверсальных координат (t TT, ) , которая будет регулярной в малой окрестности луча.
