Асимптотика решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка Абдуллаев Алишер Сейфуллаевич

Введение к работе

В начале нашего столетия Пенлеве и Гамбье, используя метод малого параметра, полностью решили задачу о классификации уравнений вида

= Я (Z_J ^

_{Ж*& О /~ л eLiA}

где К - рациональная функция ^ , Ш с аналитическими по Ї коэффициентами, интегралы которых не имеют подвижных многозначных особых точек.

Такие уравнения называются уравнениями г -типа. В результате глубоких исследований Пенлеве и Гамбье было выделено 50 канонических уравнений класса Р .

Однако из них лишь шесть являются основными, которые и называются уравнениями Пенлеве

Остальные 44 уравнения либо простыми преобразованиями неизвестных функций и независимого переменного приводятся к основным, либо к линейным, либо .их решения выражаются через элементарные функции или решения уравнений первого порядка [і, з].

В последнее время интерес к уравнениям Пенлеве сильно возрос в связи с установленной связью между уравнениями математической физики, интегрируемых методом обратной задачи теории рассеяния, и обыкновенными дифференциальными уравнениями Р -типа

[іі-із].

В частности, автомодельные решения уравнения Кортевега-де Фриза выражаются через решения второго уравнения Пенлеве Р^ [б, II] , автомодельные решения обобщенного уравнения SUL&-

Гордона через решения уравнения Р₃ [б, 7].

Самым интересным является тот факт, что уравнения Пенлеве, полученные при решении чисто математической задачи, имеют связь с уравнениями, встречающимися в теории нелинейных волн [її, 13] , теории поля [l7, 18] и сверхпроводимости [4], физике плазмы [2].

Большой вклад в исследование аналитической характеристики подвижных особенностей, условий существования рациональных и классических трансцендентных решений уравнений Пенлеве и методы их построения внесли минские математики во главе с Н.П.Еругиннм, Н.А.Лукашевичем, А.И.Яблонским, В.И.Громаком и их учениками (см. обзорные работы [5, б]).

Вопросам отыскания рациональных решений уравнений Пенлеве посвящена также работа [14]. Но её автор, видимо, незнаком с работами минских математиков, ранее получивших многие его результаты.

В работе [15] для второго уравнения Пенлеве (Р^) при 4 = 0 найдены формулы связи.

Для некоторого семейства решений второго уравнения Пенлеве

w"' + X ъ& = % W + О

_(р.)

при и ЗС —;> у- ос в работе [l9j были выписаны асимптотические формулы:

Однако строгого доказательства этого факта в указанной работе нет.

В нашей работе получены асимптотические формулы для реше-

ния г а при эе->+ *> ,

Более того, предложенный здесь метод позволяет для широких классов нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка исследовать асимптотику затухающих решений.

В главе I рассматриваются второе уравнение Пенлеве и некоторые нелинейные интегральные уравнения.

Для нелинейного интегрального уравнения

9М = J(x) * і I ^¹ d і, «.*>

v -константа, при XZ-Xo> О справедлива Лемма 1.4. Пусть $($0 6 Q (&+) ^{и ппи всех} М-=0_;;...

где &^>0 , &+4 >0 .

Тогда существует единственное решение jmV интегрального уравнения (1.10) класса

^ - ffr; * 0 (а? ^л )

_{№)=??*) *# О*}

Следующие теоремы 1.2 и 1.3 доказывают гипотезу работы [I9J. Теорема 1.2. Существуют решения уравнения

такие, что при %-> + оо имеют место асимптотические форму-

w(x) = & х* sm % О*) + 0(я * I

А _і у (1.28)

о - произвольные константы. Теорема 1,3. Существуют решения уравнения

(1.33)

_{w" + эег&=-%ш}

такие, что при ОС —> -/ оо имеют место асимптотические формулы:

_{У (1.34)}

[^^, u₀ - произвольные константы. В общем случае справедлива Теорема 1.4. Существуют решения уравнения

ш"+хш=ід +1 с¹-³⁵)

и 7- U такие, что при 3?->/ сю имеют место асимптотические
формулы: ^ _Л

_{го(х) = ^ я ' sm Уо(я) + 0( і х}

_{%(*>тя -i-d*hx+e + (J(2}

ъ_ г

(1.40)

_{rfVi .^ -}

произвольные константы.

Результаты второй главы являются обобщением результатов первой главы.

В I рассматривается уравнение

w^u+o^v>=ol₀ % w- _? ^(2л)

где s=l,2,..., <*>0 , Г< f(b+2).

При этих условиях доказана

Теорема 2.1. Существуют решения уравнения (2.1) такие, что при 32 -> + оо имеют место асимптотические формулы:

- — л

_ад=

_X-i

_4&Ч

і „***.- ft^^/ls 4

_{\Ж ^}

^-) ^-1 д

-f

(2.20)

6)

4 0(X еСЛИ і < V 4 «Z. ^ g~ ;

-і- ?.

_ад=

₌_і_^^>я.^/

_Л(Ы)

(2.21)

если

_{- = -1}

в)

Ш(-х) =ix ^FSC41 У₀(х) +

_ъ«

_{ЗД =}

_{і *<** а Г 4 ^}

(2.22)

_*0(*

где

воли

_±-ї<*<1

⁵ J

константы,

s-H .

В 2 главы 2 на положительной полуоси К» + рассматривается уравнение

ДО % (Х*+1о (Х)) W = /J (а?, Ї*), (2.25)

Здесь

Kb

уи\ -о У ^}

P₀ (x) - Q-₀ Z^r({ + fa(x)) ,YltO_ ^oe

целое,

^{У=^(кч)-г, k = _; s^U--,}

Функции

_PmW=0fa

_г*

о ^-^(W-l-^) .если pi , и

F^4|(MW-l--g) .— К<4

для всех ПЧ/ = 4,2,...^ ^.

Функции ^. (х) удовлетворяют оценкам:

[OUT ум ^-

При этих условиях верна

Теорема 2.2. Существуют решения уравнения (2.25) такие, что при Х-^ -h имеют место асимптотические формулы (2.20), (2.21), (2.22).

В 3 рассматривается уравнение

где <*>0 ,ІФ 0 , S =ІД ... _и

- II -

При этих условиях справедлива

Теорема 2.3, Существуют решения уравнения (2.26) такие, что при ЯН> / о<=> имеют место асимптотические формулы:

. ОС гч

а) і ~т . ,п , v Л /л -х+р

Г (2.29)

i(s+i) jfH X

_{а. '}

-*/*-t

если 1 < у < I +

J*

если

_КР'Г'

(2.30)

в) <х **„ы+

^рн-i

*о(я) =

% і-

_{i*« a0d}ⁿ_kJ-l

_{00 -+Є0->-}

5,(^1) і-у

(2.31)

₊

_0(х

если і/г-сЄ/4<Х*і , -^--1 < р^^-1 .

где у = "^7"С^Ь40~^ , &0 , ^ _f Сд -константы, /1с, тоже, что и в теореме 2.1.

В 4 на К/+ рассматривается уравнение

«r+(x**fy₀(*)V = lafo^). (2.32)

Здесь

М-О ^у

функции Го (?С) , ^і(яО , fy₀ (^' » величины у , К , S> , о( , К такие же, как в условиях теоремы 2.2, функция

Функции

_Г»

_р»(*)-0(*

^rtti -jj-(+m,-4)+ Р , если ^ і , и

для всех 171/⁼і # ...> П/.

При этих условиях доказана

Теорема 2.4. Существуют решения уравнения (2.32) такие, что при Э(Е —> ч- о имеют место асимптотические формулы (2.29), (2.30), (2.31).

- ІЗ -

В главе Ш изучается асимптотика автомодельных решений обобщенного уравнения Sc^lH -Гордона, ^И-Даламбера и решений третьего уравнения Пенлеве (для двухпараметрического семейства).

В I и 2 рассматривается обобщенное уравнение $>(Щ -Гордона

^iL^lbfaif.ytfUato ₍3.d

"V , It - константы, X = /? t .

В. jU <0 .

Теорема 3.1. Существуют решения уравнения (3.1) такие, что при ЭС-^ ч- оо имеют место асимптотические формулы:

^{{ ;} 1 (3.27)

6t У- /-_л ^3^ t ^ - произвольные константы,

Следствие 3.1. Существуют решения третьего уравнения Пен-

леве

такие, что при №-> + имеют место асимптотические формулы:

-і З

Ш(Х) = Є#р(і* (І зі *їим %(х)) + 0 (» '*)

_%(х>

У (3.28)

_{і v ^/М . ^ -}

произвольные константы.

Г. М >0.

Теорема 3.2. Существуют решения уравнения (3.1) такие, что при 32 —> т* имеют место асимптотические формулы:

_{- X (х)}

W^a^* ⁺ ^

Щ{) = &х ^г Є

> (3.31)

_(t-

_(р,)

произвольная константа.

Следствие 3.2. Существуют решения уравнения \г^/ такие, что при X ~~> ч- оо имеют место асимптотические формулы:

і Ч

W(i) = e^(trfaT^r>^e" ^^Х ) +

_-ь

₀₍

_я»

(3.32)

/

_{д. u^O .}

- 15 -Теорема 3.3. Существуют решения уравнения Si/f\Ji, -Гордона

_{- V ым№}

_(з.ґ)

такие, что при V< О и Я?-> + имеют место асимптотические формулы:

_{_i} ³

^Т)

_{16 V""^}

(3.34)

ЄН/hf² ,e₀-

произвольные константы.

Теорема 3.4. Существуют решения уравнения ЬШЬ -Гордона (3.1 ) такие, что при V> О и 32 -н> у- со имеют место асимптотические формулы:

-i^

4 -*№* г Л/

(3.35)

^{v(i>i)=l я е}

_і.

_(ft)

произвольная константа.

Следствие 3.3. Существуют решения уравнения {ґц J такие, что при ОС —> -t имеют место следующие асимптотические формулы:

а)

у}(х)-Щ)С^х^Уо(х))Ю(%*

(3.36)

2.

%(я) =g fyaF₊ —&,Х+Со+ 0(K

если

і.

б) / і T -^^ж\

(3.37)

если

В 3 главы 3 рассматривается уравнение Ьть -Даламбера

_{0L>0 - константа.}

Теорема 3.6. Существуют решения уравнения S4b -Даламбера

такие, что при О ~ "*-- ДЛ Z ~~"> + имеют место

асимптотические формулы:

^ _г 3

1. jsl *, ііл V (3.52)

Д, ^ (эу Q~ t ^0 - произвольные константы.

Теорема 3.7. Существуют решения уравнения -Даланбера такие, что при р - ** — GL* /*—> ~~ имеют место асимптотические формулы:

- 17 -і

~^il" (3.53)

произвольная константа.

Результаты диссертации докладывались в МГУ на семинарах А.Г.Костюченко, Н.Х.Розова и Б.Р.Вайнберга, А.Б.Васильевой и В.Ф.Бутузова.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору М.В.Федорюку, коллективу кафедры высшей математики МФТИ и кафедры дифференциальных уравнений ТашГУ им. В.И.Ленина.

Похожие диссертации на Асимптотика решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка

Гладкостные и предельные свойства решений параболических уравнений второго порядкаАлхутов, Юрий Александрович

К обоснованию методов построения обобщенных решений нелинейных уравнений первого порядкаКазмерчук, Анатолий Иванович

Аналитические методы изыскания периодических решений гиперболических уравнений второго порядкаХома, Надежда Григорьевна

О поведении решений нелинейных эллиптических уравнений второго порядка в неограниченных областяхАгаев, Эльшад Велигулу оглы

К нелокальной теории обобщенных энтропийных решений квазилинейных гиперболических уравнений первого порядкаПанов, Евгений Юрьевич

Симметрии и точные решения уравнений с производными дробного порядка типа Римана-ЛиувилляКасаткин Алексей Александрович

Аналитическая характеристика решений нелинейных дифференциальных уравнений третьего порядка специального видаБелясова, Вера Герасимовна

О спектрах частот нулей решений линейных дифференциальных уравнений третьего порядкаСмоленцев, Михаил Викторович

О положительных решениях нелинейных эллиптических уравнений второго порядкаНгуен Мань Хунг

Асимптотическое поведение решений полулинейных параболических уравнений второго порядка Филимонова Ирина Владимировна