Содержание к диссертации
Введение
1 Предварительные сведения 27
1.1 Расслоения джетов 27
1.1.1 Джеты сечений 27
1.1.2 Распределения Картана 29
1.1.3 Преобразования Ли 30
1.1.4 Поля Ли 31
1.2 Дифференциальные уравнения 33
1.2.1 Уравнения и их решения 33
1.2.2 Продолжения уравнений 34
1.2.3 Символы 35
1.2.4 Характеристические ковекторы 35
1.2.5 Классические симметрии 36
2 Дифференциальные инварианты 37
2.1 Естественные расслоения 37
2.2 Расслоения джетов сечений 39
2.2.1 Поднятия диффеоморфизмов 39
2.2.2 Дифференциальные инварианты 40
2.2.3 Поднятие векторных полей 40
2.3 Формальные векторные поля 42
2.4 Пространства формальных симметрии 44
2.5 Алгебра изотропии 46
2.6 Горизонтальные подпространства 48
2.7 Структурные дифференциальные инварианты 49
2.7.1 Структурные функции 50
2.7.2 Тензорные инварианты 51
2.7.3 Выделенные горизонтальные подпространства 52
2.7.4 Линейные связности на сечениях 54
2.8 Пример. Почти-комплексные структуры 56
2.8.1 Расслоение почти-комплексных структур 56
2.8.2 Пространства формальных симметрии 59
2.8.3 Инвариантное дополнение 60
2.8.4 Тензорный дифференциальный инвариант 62
2.9 Скалярные дифференциальные инварианты 64
2.9.1 Скалярные дифференциальные инварианты порядка к 65
2.9.2 Алгебра скалярных дифференциальных инвариантов 67
2.10 Заключительные замечания 69
3 Уравнения газовой динамики 71
3.1 Уравнения адиабатического движения газа 71
3.2 Одномерная газовая динамика 72
3.2.1 Расслоение 3-тканей 74
3.2.2 Дифференциальные инварианты 77
3.2.3 Локально-плоские решения 82
3.3 Дополнение. Скалярные инварианты 3-тканей 84
3.3.1 Алгебры изотропии при к 2 84
3.3.2 Орбиты 85
3.3.3 Алгебра скалярных дифференциальных инвариантов 85
3.4 Двумерная газовая динамика 90
3.4.1 Расслоение геометрических структур 91
3.4.2 Дифференциальные инварианты 94
3.4.3 Дифференциальные инварианты на решениях 97
3.4.4 Решения без кручения . 100
3.5 Трехмерная газовая динамика 101
3.5.1 Расслоение геометрических структур 103
3.5.2 Дифференциальные инварианты 106
3.5.3 Дифференциальные инварианты на решениях 108
3.5.4 Решения с тривиальными структурными инвариантами 109
4 Метрики на решениях 111
4.1 Предварительные сведения 111
4.1.1 Линейная связность 111
4.1.2 Метрики 112
4.2 Уравнение Хохлова-Заболотской 114
4.2.1 Нелинейный дифференциальный оператор 114
4.2.2 Символы оператора Д 115
4.2.3 Метрики Минковского на решениях 116
4.2.4 Явные решения 116
4.3 Уравнение трансзвукового поток газа 119
4.3.1 Метрика на решениях 120
4.3.2 Явные решения 121
4.4 Уравнения коротких волн 124
4.4.1 Метрика на решениях 124
4.4.2 Явные решения 125
5 Уравнения Монжа-Ампера 129
5.1 Геометрия уравнения Монжа-Ампера 129
5.1.1 Расслоение джетов 129
5.1.2 Гиперболичность 130
5.1.3 Косоортогональные распределения 132
5.2 Расслоение уравнений Монжа-Ампера 135
5.2.1 Расслоение гиперболических уравнений 135
5.2.2 Орбиты 137
5.3 Дифференциальные инварианты 139
5.3.1 Проекторы 139
5.3.2 Координатное описание проекторов 141
5.3.3 Формы кривизны 143
5.3.4 Скалярные инварианты на J27T 143
5.3.5 Подклассы уравнений общего положения 145
5.3.6 Абсолютный параллелизм 146
5.3.7 Слалярные инварианты на J37r 147
5.4 Проблема эквивалентности 149
6 Нелинейные ОДУ 2-го порядка 151
6.1 Естественное расслоение уравнений 151
6.1.1 Поднятия диффеоморфизмов 151
6.1.2 Поднятие векторных полей 153
6.2 Алгебры изотропии и орбиты 155
6.2.1 Алгебры изотропии 155
6.2.2 Орбиты 159
6.3 Тензорные инварианты 160
6.3.1 Инварианты на J27r 160
6.3.2 Инварианты на J3ir 165
6.4 Скалярные дифференциальные инварианты 171
6.4.1 Образующие и соотношения 173
6.5 Проблема эквивалентности 177
6.5.1 Уравнение преобразований 177
6.5.2 Скалярные инварианты уравнений 179
6.6 Приложение 183
6.6.1 Доказательство теоремы 6.6 183
6.6.2 Выражение ш2 в стандартных координатах 185
6.6.3 Доказательство леммы 6.1 186
6.6.4 Доказательство Теоремы 6.10 187
7 Линейные ОДУ 191
7.1 Предварительные сведения 191
7.1.1 Преобразования линейных ОДУ 191
7.1.2 Симметрии линейных ОДУ 193
7.2 Точечные симметрии линейных ОДУ 195
7.3 Эквивалентность уравнений „+4 197
7.4 Контактные преобразования линейных ОДУ 197
7.5 Редукция к проективным преобразованиям 199
7.6 Проблема эквивалентности. Уравнения „+2 и „+і 200
7.6.1 Расслоения линейных ОДУ 200
7.6.2 Проективные симметрии 204
7.6.3 Инвариантные подрасслоения 205
7.6.4 Скалярные дифференциальные инварианты 207
7.6.5 Проблема эквивалентности 212
Приложение 215
Библиография 229
- Распределения Картана
- Выделенные горизонтальные подпространства
- Алгебра скалярных дифференциальных инвариантов
- Уравнение трансзвукового поток газа
Введение к работе
Актуальность темы. Ключевое положение в диссертации занимает разработка метода вычисления дифференциальных инвариантов произвольного естественного расслоения.
Методы вычисления дифференциальных инвариантов яв-лются одним из важных разделов теории дифференциальных инвариантов.
К середине прошлого века Э.Картан разработал общий метод решения проблемы эквивалентности геометрических структур, см. книгу Т.Ивея и Я.Ландсберга1.
Изложение метода Картана на языке современной дифференциальной геометрии привело к созданию общего подхода к вычислению дифференциальных инвариантов геометрических структур - теории G-структур. Наиболее развитая ее часть -это теория G-структур 1-го порядка, см. работы Д.Бернарда2 и И.Зингера и С.Стернберга3. Дифференциальные инварианты геометрической структуры, строящиеся в этой теории, -это структурные функции /, /(1), /(2), ..., принимающие значения в соответствующих когомологиях Спенсера. Первая из них / определена на G-структуре В над исходным многообразием, следующая /(1) определена на С^-структуре В^1' над многообразием В и т.д.
В настоящее время это единственный общий метод вычисления дифференциальных инвариантов геометрических структур. Очевидное неудобство его делает актуальной задачу разработки методов вычисления дифференциальных инвариантов геометрических структур непосредственно в их естественных расслоениях.
Первые результаты в этом направлении получены в недав-
х1уеу Т., Landsberg J., Cartan for Beginners: Differential Geometry via Moving Frames and Exterior Differential Systems, Graduate Studies in Mathematics Vol. 61, AMS, Providence, Rhode Island, 2003, pp. 392.
2Bernard D. Sur la geometrie differentielle des G-structures//'Ann. Inst. Fourier, 10, 1960, pp. 151-270.
3Singer I.M., Sternberg S., On the infinite groups of Lie and Cartan,I // J. Analyse Math., V. 15, pp. 1-114, 1965.
них работах В.В.Лычагина и Б.С.Кругликова4 5 6.
Второе направление диссертации - это применение дифференциальных инвариантов к исследованию и нахождению явных решений дифференциальных уравнений.
Как известно, на решениях многих нелинейных дифференциальных уравнений естественным образом определены геометрические структуры. Например, характеристики системы дифференциальных уравнений адиабатического движения газа в пространстве Мп, п = 1,2,3, порождают, см. Л.В.Овсянников7, на каждом её решении геометрическую структуру, которая при п = 1 является 3-тканью, а при п = 2,3 состоит из конуса и плоскости в каждом кокасательном пространстве к решению. Другие примеры дают геометрические структуры на решениях нелинейных дифференциальных уравнений, порожденные символами этих уравнений.
Представляется весьма актуальным использовать дифференциальные инварианты геометрических структур на решениях дифференциальных уравнений для исследования самих решений и нахождения явных решений.
Первые результаты в этом направлении были получены для систем уравнений гидродинамического типа. Характеристики таких систем порождают на их решениях геометрические структуры - n-ткани. Простейший дифференциальный инвариант этой структуры - кривизна п-ткани. Для различных таких систем Х.О.Кильп8, затем Е.Ферапонтов9 получили явные решения, кривизна п-ткани которых равна нулю.
Третье направление, затронутое в диссертации, - это проблема эквивалентности гиперболических уравнений Монжа-
4Лычагин В.В. Однородные структуры на многообразиях// Мат. Заметки, 52 (1992),N4, с.54-68.
5Lychagin V.V., Homogeneous geometric structures and homogeneous differential equations// AMS Translations, Advances in Math. Sci., Ser.2, v.167, (1995), p.143-164.
6Kruglikov В., Lychagin V.V., On equivalence of differential equations// Acta et Comment. Univ. Tartuensis Math. (1999), 3, pp. 7-29.
7Овсянников Л.В., Лекции по основам газовой динамики, Наука, М., 1981, 368 с.
8Кильп Х.О., Две квазилинейные системы S^2 из механики с шестиугольной тритканью характеристик (геометрическая теория)// Уч. зап. Тартуск. гос. унта, 1975, Т.374, С. 63-78.
9Ферапонтов Е.В., Уравнения гидродинамического типа с точки зрения теории тканей/J Мат. заметки, 1991, т. 50, вып. 5, 97-108.
Ампера общего положения и линейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно контактных преобразований.
Проблема эквивалентности является одной из важных проблем дифференциальных уравнений. Число публикаций на эту тему огромно и непрерывно увеличивается.
Уравнение типа Монжа-Ампера можно рассматривать как подмногообразие в расслоении J2M 2-джетов функций многообразия М независимых переменных. В.В.Лычагин10 показал для уравнений Монжа-Ампера, обладающих хотя бы одной контактной симметрией, что проблема эквивалентности для них относительно контактных преобразований сводится к проблеме эквивалентности эффективных форм на кокасательном расслоении Т*М относительно симплектических диффеоморфизмов.
Это позволило в начале 80-ых годов прошлого века В.В.Лы-чагину и В.Н.Рубцову11, получить при dimM = 2 строгие доказательства теорем С.Ли о приводимости уравнения Монжа-Ампера к квазилинейному уравнению, к линейному уравнению с постоянными коэффициентами и к параболическому и волновому уравнениям. Затем в работах 12 13 были получены обобщения этих теорем на большие размерности. Более общие результаты о контактной и симплектической классификации уравнений Монжа-Ампера были получены позже в серии работ Б.Кругликова, А.Кушнера и Д.Туницкого 14 15 16
10Лычагин В.В. Контактная геометрия и нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка// Успехи Мат. Наук, 1979, том 34, № 1, стр. 101-171.
nLychagin V.V. and Roubtsov V.N., On Sophus Lie theorems for Monge-Ampere equations// Dokl. Akad. Nauk BSSR 27:5 (1983), 396-398.
12Lychagin V.V. and Roubtsov V.N., Local classification of Monge-Ampere differential equations// Dokl. Akad. Nauk SSSR 272:1 (1983), 34-38.
13Lychagin V.V., Rubtsov V.N., Chekalov I.V., A classification of Monge-Ampere equations// Ann. Sc. Ecole Norm. Sup. (4) 26 (1993), 281-308.
14Кругликов B.C., Некоторые классификационные проблемы в четырехмерной геометрии: распределения, почти комплексные структуры, уравнения Монжа-Ампера/'I Мат. Сборник, 1998, том 189, № 11, стр. 61-74,
15Кругликов B.C., Симлектические и контактные алгебры Ли с применением к уравнениям Монжа-Ампера//Труды мат. инст. имени В.А.Стеклова, 1998, том 221, стр.232-246.
16Kruglikov В., Classification of Monge-Ampere equations with two variables// in: Geometry and topology of caustics—CAUSTICS '98 (Warsaw); Banach Center
17 18 19 20 21 22^ КуЛЬМИнацИей которых стала книга А.Кушнера В.В.Лычагина и В.Н.Рубцова23.
Контактная классификация квазилинейных уравнений Мо-нжа-Ампера получена в работе Д.Туницкого24.
В работе Т.Моримото25 изложены в терминах G-структур результаты Дарбу и Гурса26, касающихся проблемы эквивалентности гиперболических уравнений Монжа-Ампера в некоторых специальных случаях.
Исследование эквивалентности уравнений Монжа-Ампера далеко от завершения. Например, открыта ключевая проблема - задача полного описания алгебры скалярных дифференциальных инвариантов уравнений Монжа-Ампера. В частности, представляется актуальной проблема эквивалентности уравнений Монжа-Ампера общего положения.
Что касается линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, то Л.М.Беркович в серии своих работ, завершившихся монографией27, решил проблему эквивалентности этих уравнений порядка п > 3 относительно точечных преобразований. Осталась открытой проблема эквивалентности ли-
Publications, 50, 179-194 (1999).
17Kushner A., Classification of mixed type Monge-Ampere equations// Geometry in Partial Differential Equations. (1993) pp. 173-188.
18Kushner A., Symplectic geometry of mixed type equations// in Amer. Math. Soc. Transl., "The interplay between geometry and differential equations V.V.Lychagin Dds., ser. 2, 167 (1995) pp. 131-142.
19Kushner A., Monge-Ampere equations and e-structuresjj Dokl. Akad. Nauk 361:5 (1998), 595-596.
20Tunitskii D.V., Contact equivalence of Monge-Ampere equations with transitive symmetries// In Differential Geometry and Applications, Brno, (1995), pp. 479-485.
21Туницкий Д.В., О контактной линеаризации уравнений Монжа-Ампера// Известия РАН Сер. Мат., Т. 60, № 2, (1996), стр. 195-220.
22Туницкий Д.В., Уравнения Монжа-Ампера и функторы характеристической связности// Известия РАН Сер. Мат., Т.65, № 6, (2001), стр. 173-222.
23Kushner A., Lychagin V., Rubtsov V., Contact Gometry and Non-linear Differential Equations Cambridge University Press, (2007) pp.496
2 Туницкий Д.В., Уравнения Монжа-Ампера и тензориальные функторы// Известия РАН, Сер. Мат., Т.73, № 6, (2009), стр. 145-194.
25Morimoto Т., La geometric des equations de Monge-Amperejj C. R. Acad. Sci. Paris A-B 289:1 (1979), A25-A28.
26Goursat E.Lecon sur I'integration des equations aux derivees partielles du second order a deux variables independentes, I, II// Hermann, Paris, 1896, 1898.
27Беркович Л.М. Факторизация и преобразования дифференциальных уравнений. Методы и приложения. - Москва: НИЦ «Рагулярная и хаотическая динамика», 2002, с. 464.
нейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно контактных преобразований.
Следующее направление диссертации - это полное описание алгебр скалярных дифференциальных инвариантов дифференциальных уравнений и геометрических структур.
Знание образующих алгебры скалярных дифференциальных инвариантов дифференциального уравнения существенно облегчает нахождение симметрии этого уравнения, а дифференциальные соотношения между образующими этой алгебры дают условия интегрируемости в проблеме эквивалентности. Поэтому полное описание алгебр скалярных дифференциальных инвариантов является весьма актуальной задачей в изучении дифференциальных уравнений и геометрических структур.
В диссертации рассматриваются скалярные дифференциальные инварианты обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка, правая часть которых является многочленом 3-ей степени от производной зависимой переменной. Эти инварианты исследовали многие математики, начиная от классиков прошлого века С.Ли, Р.Лиувилля и А.Трессе кончая современными математиками, но ни в одной из известных автору работ нет полного описания алгебры скалярных дифференциальных инвариантов для какого-нибудь класса таких уравнений.
В диссертации также рассматриваются скалярные дифференциальные инварианты линейных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка п > 3. Эти инварианты для п = 3,4 исследовали классики прошлого века Лагерр и Аль-фан, затем для п > 3 - Э.Вильчинский28, Л.М.Беркович25 и др., но до сих пор не было дано полного описания алгебры скалярных дифференциальных инвариантов этих уравнений.
Наконец, в диссертации исследуются скалярные дифференциальные инварианты 3-тканей общего положения на 2-мерном многообразии. Актуальность такого исследования обусло-
28Wilczynski E.J., Projective differential geometry of curves and ruled surfaces, B. G. Teubner, Leipzig, 1906.
влена во-первых тем, что 3-ткани возникают естественным образом на решениях многих практически важных гиперболических систем дифференциальных уравнений, а во-вторых, 3-ткани играют важную роль в экономической модели Самуэль-сона 29 30.
Актуальность данной работы в настоящее время обусловлена еще и тем, что методы вычисления дифференциальных инвариантов имеют большую вычислительную сложность, и последние достижения в этой области связаны с развитием систем компьютерной алгебры.
Цель работы. Получение методов и алгоритмов вычисления дифференциальных инвариантов в естественных расслоениях, их программная реализация в системах компьютерной алгебры и применение этих методов к
исследованию геометрических структур на решениях дифференциальных уравнений,
получению явных решений дифференциальных уравнений,
решению проблемы эквивалентности дифференциальных уравнений, а также
полное описание алгебр скалярных дифференциальных инвариантов дифференциальных уравнений и геометрических структур.
Общие методы исследования. В работе применются методы геометрии нелинейных дифференциальных уравнений, теории групп и алгебр Ли, дифференциальной геометрии и методы программирования в системах компьютерной алгебры.
Научная новизна и результаты, выносимые на защиту. Все основные результаты диссертации являются новыми. На защиту выносятся следующие результаты:
1. Получены методы и алгоритмы вычисления дифференциальных инвариантов в естественных расслоениях
29Debreu G., Cardinal Utility for Even-Chance Mixtures of Pairs of Sure Prospects, Review of Economic Studies, Vol 71, (1959), 174-177.
30Debreu G., Topological Methods in Cardinal Utility Theory, Mathematical Methods in the Social Sciences 1959, Kenneth J. Arrow, Karlin S. and Suppes P. ed., (1960), 16-26.
Найдены достаточные условия существования линейных связностей на сечениях естественного расслоения.
2. Вычислены структурные дифференциальные инвариан
ты геометрических структур на решениях систем уравне
ний адиабатического движения газа в размерностях 1,2,3.
Построены линейные связности на решениях систем уравнений адиабатического движения газа в размерностях 1,2.
Исследованы решения систем уравнений адиабатического движения газа в размерности 2, со связностями без кручения.
Найдены явные решения этих систем для случая полит-ропного потока газа постоянного обьема в размерностях 2 и 3, структурные дифференциальные инварианты которых равны нулю.
3. Доказано, что символы уравнений Хохлова-Заболотской,
нестационарного трансзвукового потока газа и уравнения
коротких волн порождают метрики на их решениях.
Вычислены явные решения этих уравнений при помощи классических дифференциальных инвариантов метрик.
4. Получены дифференциальные инварианты и алгоритмы
их вычисления для гиперболических уравнений Монжа-
Ампера общего положения.
Получено решение проблемы контактной эквивалентности для гиперболических уравнений Монжа-Ампера общего положения.
5. Получено описание орбит действия диффеоморфизмов
базы естественного расслоения нелинейных обыкновен
ных дифференциальных уравнений 2-го порядка вида
у" = а(х, у)у'2' + Ъ{х1 у)у'2+с(х, y)y'+d(x, у) в расслоениях
Jk7T /с-джетов его сечений, к = 0,1, 2,3.
Получено полное описание алгебры скалярных дифференциальных инвариантов этих уравнений, 3-джеты которых лежат в орбите общего положения расслоения J37r.
6. Получено полное описание алгебры скалярных дифференциальных инвариантов линейных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка > 3.
Получено решение проблемы эквивалентности для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка > 3 относительно контактных преобразований.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях проблемы эквивалентности дифференциальных уравнений, а также для исследования решений дифференциальных уравнений.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях: на международной конференции "Classical and Quantum Geometry of Homogeneous Spaces"(Москва, 1994); на международной конференции "Secondary Quantized Calculus and Nonlinear Problems in Physics "(Vietry sul Mare, Italy, 1994); на международной конференции "New Computer Technologies and Control Systems"(Пересл-авль-Залесский, 1995); на международной конференции "Secondary Calculus and Cohomologous Physics "(Москва, 1997); на международной конференции "Differential Inclusions and Control" (Переславль-Залесский, 1998) на международной конференции "Problems and trends of contemporary geometry. Current Geometry" (Santo Stefano del Sole (Avellino), Italy, 2004); на международной конференции "Программные системы: теория и приложения"(Переславль-Залесский, 2004, 2006, 2009); на международной конференции "Differential Geometry and Its Applications "(Prague, Czech Republic, 2004); на международной конференции "Geometry in Odessa. Differential geometry and its applications"(Одесса, Украина, 2005, 2008, 2009); на международной конференции "Geometry of Vector Distributions, Differential Equations, and Variational Problems"(S.I.S.S.A. - I.S.A.S., Trieste, Italy, 2006); на всероссийской конференции "Герценов-ские чтения - 2006" (Санкт-Петербург, 2006); на международной конференции "Анализ и особенности"( МИАН, Москва, 2007); на международной конференции "Differential Equations
and Topology" (Москва, 2008); на международной конференции "Современные проблемы дифференциальной геометрии и общей алгебры"(Саратов, 2008); на международной конференции "Лаптевские чтения - 2009"(Москва-Тверь 2009) на международном научном семинаре "Современные проблемы дифференциальной геометрии "(Казань, 2009).
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах: факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ под руководством академика В.А.Ильина, Независимого московского университета под руководством профессора И.С.Красильщика, факультета математики и информатики университета Салерно (Салерно, Италия) под руководством профессора А.М.Виноградова, института математики Силезского университета (г.Опава, Чешская республика) под руководством профессора М.Марвана, исследовательского центра системного анализа ИПС РАН под руководством профессора А.М.Цирлина.
Публикации. Все результаты диссертации опубликованы в 29 работах автора, список которых приводится в конце автореферата.
Личный вклад. Все результаты диссертации получены автором самостоятельно.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, семи глав и приложения, разбитых на разделы. Диссертационная работа изложена на 248 страницах. Библиография включает 128 наименований.
Распределения Картана
Поскольку расслоения J7r и Jlir являются орбитами действия псевдогруппы Г, то нетривиальных дифференциальных инвариантов на этих расслоениях нет. Поскольку расслоение /27г разбито на две орбиты, то первые нетривиальные дифференциальных инварианты определены на J2n. Поэтому далее (раздел 6.3.1), следуя общему подходу к построению дифференциальных инвариантов, изложенному в главе 2, мы исследуем пространства формальных симметрии Ав2 точек #2 Є J27r. В частности, исследуется 2-форма и н, определенная горизонтальным пространством Н С Ад2 (см. формулу (2.21)). Компоненты нулевого порядка форм шц порождают тривиальный структурный дифференциальный инвариант на J27T (следствие 6.2). Анализ компоненты первого порядка (теоремы 6.4 и 6.5) формы шц приводит к выделению естественного класса горизонтальных пространств в Ад2, для которых компоненты первого порядка форм шн равны нулю, а компоненты второго порядка форм иц не зависят от выбора горизонтального прстранства Н из этого класса (теорема 6.6) и определяют тензорный дифференциальный инвариант и)2 = и н на J2n. a коэффициенты Li и L2 определяются формулами (6.19).
Дифференциальный инвариант со2 различает орбиты расслоения J2ir (теорема 6.8) и, в частности, является препятствием к линеаризуемости уравнений (6.1) точечными преобразованиями (предложение 6.3). Наконец в этом разделе, применяя операцию тензорной алгебры - свертки по верхнему и первому нижнему индексам к и2, мы получаем тензорный дифференциальный инвариант известный как форма Лиувилля [57]. Прообраз этой формы при той же операции дает тензорный дифференциальный инвариант В разделе 6.3.2 мы строим тензорные дифференциальные инварианты на подрас-слоении расслоения J37r, которое является прообразом ( " (Orb2,) орбиты общего положения Orb2,. Анализ пространств формальных симметрии Ао3 точек #з из этого подрасслоения и 2-форм шн, определенных горизонтальными пространствами Н С Ад3, приводит к выделению естественного класса горизонтальных пространств Н С Ав3, для которых компоненты первого порядка форм о я равны нулю (теорема 6.9), а компоненты второго порядка форм а я не зависят от выбора горизонтального прстранства из этого класса и порождают тензорный дифференциальный инвариант ш2 (предложение 6.5). Исследование компонент третьего порядка форм шц (лемма 6.1, теорема 6.10) приводит к построению тензорного дифференциального инварианта со3 на (тгз.г)-x(Orbo) где коэффициенты Ф1 и Ф1 определяются формулами (6.39) Далее, применяя свертку по верхнему и первому нижнему индексам к и 3, мы получаем тензорный дифференциальный инвариант Свертка тензоров 01 и а3 приводит к известному тензорному дифференциальному инварианту, [57], где коэффициент Ьз определяется формулой (6.21). Свертка тензоров /З2 и w3 приводит к тензорному дифференциальному инварианту Инварианты w2, и и 7 полностью описывают орбиты расслоения J3n (теорема 6.11). Наконец, в этом разделе, применяя операции тензорной алгебры к полученным тензорным инвариантам, мы получаем известные дифференциальные инварианты 3-го порядка х и 2) которые являются векторными нолями на подрасслоении (7ГОСі2) 1(ОгЬо) расслоения Jir линейно-независимыми в каждой точке В разделе 6.4 изучается алгебра А скалярных дифференциальных инвариантов на подрасслоении расслоения Jw, являющимся прообразом (7r0Oi2) 1(0rb3)) орбиты общего положения Orb3) в J37T. Вначале мы в явном виде находим семейство Iі, I2, ..., I6 образующих алгебры А4 скалярных дифференциальных инвариантов порядка 4 (теорема 6.12 и формулы (6.48)). Затем, используя независимые дифференцирования i и 2, находим (теорема 6.13) среди 18 инвариантов Л...,Лб(П-..,Єі(/в),Є2(/1),...,6(ів) алгебры скалярных дифференциальных инвариантов порядка 5 все 14 её образующих. Отсюда следует, что образующие алгебры At связаны 4-мя независимыми дифференциальными соотношениями 1-го порядка. Эти соотношения находятся в явном виде(формулы (6.51)). Наконец, мы доказываем (теорема 6.14), что полученное семейство образующих алгебры А является семейством образующих всей алгебры А, а найденные 4 независимых дифференциальных соотношения 1-го порядка образуют полное семейство дифференциальных соотношений между этими образующими, т.е. любое другое дифференциальное соотношение между образующими Iі, /2, ..., J6 является (дифференциальным) следствием найденных дифференциальных соотношений 1-го порядка. В последнем разделе 6.5 мы решаем проблему эквивалентности для уравнений , для которых 3-джеты соответствующих им сечений Sz принадлежат орбите общего положения Orb0 (теоремы 6.15, 6.16 и 6.17). Отметим, что среди этих уравнений находятся все уравнения (0.1) общего положения. В глава 7 получено полное описание алгебры скалярных дифференциальных инвариантов линейных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка п 3, а также получено решение проблемы локальной эквивалентности этих уравнений относительно контактных преобразований. Известно см., например, [7], что все линейные ОДУ порядка п 2 локально эквивалентны между собой. Для линейных ОДУ порядка п 3 существует бесконечное множество различных классов эквивалентности.
Выделенные горизонтальные подпространства
Так определенные скалярные дифференциальные инварианты трудно вычислять. Поэтому под скалярным дифференциальным инвариантом порядка к понимают функцию на Jfc7r, удовлетворяющую менее жестким требованиям. А именно, рассмотрим алгебру Ли псевдогруппы Г. Это алгебра Ли всех векторных полей многообразия М. Под скалярным дифференциальным инвариантом порядка к понимают функцию / на Jkit, инвариантную относительно всех векторных полей вида Х , X Є -С, т.е. удовлетворяющую свойству
В результате мы получим, вообще говоря, более широкий класс функций. Через Ак мы обозначим множество всех скалярных дифференциальных инвариантов порядка к. Ясно, что Ак замкнуто относительно операции сложения инвариантов и умножения их на числа и образует по этим операциям векторное пространство. Очевидно, что векторное пространство Ак замкнуто относительно операции умножения инвариантав так, что Ак является алгеброй над R. Алгебра Ак обладает следующим свойством. Всякая функция от инвариантов из Ак является инвариантом из Ак. Следовательно максимальное семейство {Iі, ..., IN } функционально независимых инвариантов из Ак порождает (локально) Ак, т. е. всякий инвариант / Є Ак является (локально) некоторой функцией инвариантов Iі, ..., IN . Максимальное семейство функционально независимых инвариантов из Ак мы будем называть семейством образующих алгебры Ак. Вычисление скалярных дифференциальных инвариантов Пусть X - векторное поле на базе М, пусть вк - точка из области определения поднятого ПОЛЯ Х ир = ТГк(вк). Напомним, что значение Х$ поднятого поля Х в точке вк определяется г + к-джетом jp+kX. Пусть TekJkn - касательное пространство к Jkrc в точке вк- Рассмотрим отображение Легко видеть, что это отображение является Е-линейным, а его ядро совпадает с алгеброй изотропии 0efc точки в к Пусть Т : в к — 1 вк - распределение на Jfc7r, порожденное поднятыми векторными полями Х к\ Тогда, очевидно, Ъдк = ImAgk. Откуда следует, что Пусть в к такая точка из Jkir. что размерность ее алгебры изотропии Qgk минимальна, т.е. вк - точка общего положения. Тогда эта точка имеет окрестность в Jkir, состоящую из точек общего положения. Поскольку каждый скалярный инвариант является первым интегралом всех поднятых векторных полей Х к\ то максимальное число Nk функционально-независимых скалярных инвариантов из Ак в окрестности точки общего положения вк определяется формулой Фиксируем какую-нибудь точку p в базе М. Рассмотрим слой Jpn расслоения тг : Jfc7r —+ М над р. Поскольку псевдогруппа Г действует транзитивно на М (любую точку из М можно перевести в любую другую точку из М подходящим диффеоморфизмом из Г), то каждая орбита действия Г на Jkir пересекается со слоем Jk%. А это означает, что любой скалярный дифференциальный инвариант / на Jkn восстанавливается по его ограничению I\jkn на слой Jkn. Действительно, действуя на I\jkn сдвигами, поднятыми в Jfc7r, восстановим инвариант / па всем многообразии Jkn. Ясно, что (г + к)-джет в точке р векторного поля X является линейной комбинацией (г + &)-джетов в этой точке векторных полей fc-поднятия этих полей порождают распределение Ъ в Jk7г. В окрестности точки fy. общего положения среди этих поднятых полей имеется Nk — dim Wp/Wp+k — dimдвк линейно-независимых полей. Вычисляя первые интегралы этих полей, получим ограничение алгебры Ак на окрестность точки общего положения в к в Jkn. Замечание. Этот общий метод вычисления скалярных дифференциальных инвариантов порой требует значительных компьютерных ресурсов. Поэтому иногда, в конкрет-ноых ситуациях, приходится изобретать другие способы вычисления скалярных дифференциальных инвариантов, см. раздел 6.4.1 и раздел 5.3.7. Ясно, что если / Є Ак, то (іГк+і,к) {І) Є Ак+1. Мы будем отождествлять эти инварианты. Т. о. мы получаем фильтрацию называется алгеброй всех скалярных дифференциальных инвариантов расслоения 7Г Из фильтрации (2.44) следует, что максимальное число Nk образующих в алгебры Ак увеличивается с ростом к. Следовательно алгебра А должна обладать бесконечным семейством образующих. Пусть dimM — п. Предположим, что на расслоении J7r существуют п инвариантных векторных полей , ..., п. (Именно так обстоит дело во всех естественных расслоениях, исследуемых в нашей работе). Ясно, что если І Є А, то производная Ли &(/) этого инварианта вдоль любого векторного поля І, принадлежит А. Напомним, что семейство J инвариантов из А называется семейством образующих алгебры А если: 1. Любой конечное подсемейство инвариантов из 1 является функционально независимым. 2. Всякий инвариант из А является функцией конечного числа инвариантов из 3 и их производных Ли некоторых порядков вдоль векторных полей j. Пусть 3" является семейством образующих алгебры А. Тогда его элементы могут быть связаны дифференциальными уравнениями вида
Алгебра скалярных дифференциальных инвариантов
Напомним, что семейство В С А называется семейством образующих алгебры А если всякий инвариант из А является функцией некоторых из этих образующих и их производных Ли некоторых порядков вдоль векторных полей Сі и 2- Пусть В - семейство образующих алгебры А. Всякое дифференциальное уравнение связывающее какие-нибудь образующие из В называется дифференциальным соотношением между образующими из В. Семейство дифференциальных соотношений между образующими из В называется полным, если каждое дифференциальное соотношение между образующими из В является функцией некоторых соотношений из этого семейства и их производных Ли некоторых порядков вдоль векторных полей (д и С2 Теорема 3.7. 1. Семейство {Ji, /2} является семейством образующих алгебры А всех скалярных дифференциальных инвариантов, определенных в (/iOO)2)_1(Orb0). 2. Образующие 1\ и її связаны дифференциальным соотношением 3. Семейство дифференциальных соотношений, состоящее из одного соотношения (3.25), является полным. Доказательство. Рассмотрим все 3-ткани на R2, порожденные тройками векторных полей вида Эти 3-ткани можно рассматривать как сечения подрасслоения расслоения /J,, см. пункт 3.2.1, где Тогда Jfj, является подрасслоением в «7д. Через х\ q, qj, ..., дл...ук, ... обозначим стандартные координаты в Jfjf. Заметим следующее. Первое. Поскольку всякую 3-ткань на R2 можно преобразовать (локально) в 3-ткань, порожденную полями вида (3.26), то подрасслоение J00// пересекается со всеми орбитами расслоения J/i. Из этих замечаний следует, что доказательство теоремы сводится к доказательству ее утверждений для ограничения алгебры А на подрасслоение J00//. Прямыми вычислениями получаем Из этих формул видно, что Ii\JOO , линейно зависит от единственной координаты 3-го порядка gn2, a I2\JOO , линейно зависит от единственной координаты 3-го порядка 9i22- Следовательно ІЛ , и /2 функционально независимы. Из того, что алгебра А3 порождена двумя образующими, а алгебра А4 - пятью образующими, следует, что образующие її и 12 связаны одним дифференциальным соотношением 1-го порядка. То, что это соотношение именно (3.25), проверяется прямым вычислением. Учитывая теорему 3.6, все остальные утверждения теоремы легко проверяются. 3.4 Двумерная газовая динамика В этом случае расслоением 7г является следующее тривиальное расслоение. 7r:R3x]R4 — R3, 7Г : (ж1, ж2, ж3, и1,... ,и4) - (ж1, ж2, ж3). Система (3.1) отождествляется с подмногообразием в расслоении Jlrn 1-джетов сечений расслоения 7Г, определяемым уравнениями где иг,иг; - канонические координаты в J:7r В слое расслоения тії. Пусть #і Є , р = 7Гі(#і), а Тр и Т - касательное и кокасателыюе пространства к базе расслоения 7Г в точке р соответственно. Рассмотрим произвольный ненулевой ковектор idx1+ 2dx2+ 3dx3 Є Т . Напомним, см. раздел 1.2.4, формула (1.10), что этот ковектор называется характеристическим в точке #і, если он удовлетворяет условию где Ф1,..., Ф4 - левые части уравнений системы (3.27). Вычисляя этот определитель, мы получаем следующее условие характеристичности. Это условие означает, что множество характеристических ковекторов в точке ві отождествляется с парой, состоящей из гиперплоскости 7д1 в кокасательном пространстве Тр, определяемой уравнением
Уравнение трансзвукового поток газа
Из (5.14) мы видим, что для уравнения Монжа-Ампера, для которого N ф 0, отображение ти проектирует каждое 1)\{9і) и D(#i) на касательное пространство к базе расслоения г без вырождения.
Заметим, что если N — 0 (т. е. если является квазилинейным уравнением в частных производных 2-го порядка), то проекции т\т(Ь\{ді)) и ті (і (0і)) являются 1-мерными. Т. о. произвольное гиперболическое уравнение Монжа-Ампера порождает два 2-мерных косоортогональных подраспределения в распределении Картана С на Jlr. Предложение 5.2. ( [61]) Пусть - гиперболическое уравнение Монжа-Ампера. Тогда 92 Є ., если и только если выполнено одно из следующих эквивалентных условий: 1. Кв2 П Т \{9і) является 1-мерным. 2. KQ2 П D(#i) является 1-мерным. Доказательство. Так же, как в доказательстве предложения 5.1, мы можем предположить, что N Ф 0. Пусть 92 Є . Тогда где dg2({v)) и t-o2((v}) различные прямые и следовательно векторы v и v линейно независимы. Они являются косоортогональными, так как 0Сд2 является лагранжевой плоскостью в Сд1 и, по определению Qglt v, v є Qg1. Это значит, что Хд2 пересекает плоскости Dg( i) и ї !(0і) ВДОЛЬ (v) и (v) соответственно. Пусть 02 - такая точка из «Ят, что Кд2 пересекает плоскость X (#i) вдоль прямой, т. е. Кд2 П Dg(6i) = (v). Подставляя координаты 771,772 вектора v, данные формулой (5.13) в (5.6), мы получим По предположению эта система имеет ранг 1 (см. (5.4)) и, следовательно, ее определитель равен нулю. А это в точности означает что координаты точки #2 удовлетворяют уравнению (5.2). Случай пересечения с D(0i) отличается только знаком в \/Д. Т.о. каждое гиперболическое уравнение Монжа-Ампера естественно отождествляется с парой 2-мерных, косоортогональных подраспределений Т \, Ъ\ распределения Картана С на JV. В частности, проблема эквивалентности для гиперболических уравнений Монжа-Ампера относительно контактных преобразований сводится к проблеме эквивалентности пар 2-мерных, косоортогональных подраспределений распределения С относительно контактных преобразований. Пусть - уравнение Монжа-Ампера (5.1). Оно отождествляется с сечением где RP4 - 4-мерное проективное пространство. Очевидно, это отождествление является биекцией множества всех уравнений Монжа-Ампера на множество всех сечений расслоения р. Т.к. произвольное контактное преобразование преобразует каждое уравнение Монжа-Ампера в уравнение Монжа-Ампера, то, в силу нашего отождествления, всякое контактное преобразование порождает преобразование сечений расслоения 7Г. Иными словами, всякое контактное преобразование / базы расслоения р естественным образом поднимается до диффеоморфизма / тотального пространства расслоения р. Таким образом, расслоение р уравнений Монжа-Ампера является естественным, и всякое уравнение Монжа-Ампера, рассматриваемое как сечение расслоения р, является геометрической структурой. Рассмотрим открытое подмножество Е тотального пространства расслоения р, определенное условием (5.9), т. е., (v2)2 - 4и V + 4v4v 0. Ясно, что сечение Se, соответствующее гиперболическому уравнению Монжа-Ампера , принимает значения в Е. Т.о. мы можем определить расслоение гиперболических уравнений Монжа-Ампера следующей формулой. п = р\Е:Е— М. (5.15) Поскольку условие гиперболичности сохраняется контактными преобразованиями, то расслоение 7г является естественным относительно контактных преобразований. Мы используем локальные координаты х, y,z,p,q,ul, ..., и4 в тотальном пространстве Е расслоения 7г, где х, у, z,p, q являются стандартными координатами на М, а координаты и1, ..., и4 на слоях расслоения 7г определены следующим образом. Рассмотрим аффинную гиперплоскость в К5, определенную уравнением v = 1. она порождает локальную карту в Е [1 : и1 : и2 : у3 : и4]- 0;VУУ). Следуя формулам (5.14), введем локальные координаты и1, ..., иА вдоль слоев расслоения 7г формулами Эти координаты порождают стандартные координаты х, у, z, р, q, иг, игх, ..., ulq, ... на JkTT, к = 1,2,.... Псевдогруппа Г всех контактных преобразований многообразия М действует на каждом расслоении JkiK, к = 0,1,2,..., посредством своих преобразований, естественно поднятых в Jfc7r. В результате каждое JkTT разбито на орбиты этого действия. Пусть вк Є JkTr. Рассмотрим орбиту ОтЪ(вк) этой точки. Ее размерность вычисляется следующим образом. Пусть X - контактное векторное поле в М и Х - естественное поднятие его в тотальное пространство Е расслоения тт. Ясно, что значение Xjj поднятого векторного поля Х() в точке во Є Е определяется 1-джетом j X исходного векторного поля X в точке m = тт(во). Следовательно, значение Хд естественно поднятого векторного поля XV в точке вк Є Jfc7r определяется 1 + fc-джетом jjjfkX исходного векторного поля X в точке m = 7Тк(вк)- Тогда имеет место следующая формула где C k - пространство 1 + fc-джетов в точке m контактных векторных, определенных в окрестности этой точки, a Qgk - алгебра изотропии точки вк Для вычисления размерности алгебры Qgk, формула для производящих сечений естественно поднятых в Е контактных векторных полей. Получим ее.
