Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Основнье уравнения для электромагнитного поля в проводящих ферромагнитных средах 18
I. Уравнения Максвелла 18
1.1. Общие нелинейные среды 18
1.2. Ферромагнитные среды 21
1.3. Вектор Умова-Пойнтинга 22
2. Магнитные характеристики ферромагнетиков 23
2.1. Гистерезисная зависимость 23
2.2. Магнитная проницаемость 25
2.3. Аппроксимация петель и основной кривой на- магничивания 26
3. Основные задачи для электромагнитного поля в массивных ферромагнитных телах 28
3.1. Плоская волна в массивных ферромагнитных телах 29
3.2. Случай линейной поляризации 31
4. Асимптотическое разложение основных уравнений поля для ферромагнитного полупространства и пластины 32
4.1. Введение малого параметра 33
4.2. Асимптотическое разложение 34
4.3. Теорема единственности 38
4.4. Анализ асимптотического разложения 42
4.5. Поле с круговой и линейной поляризацией 43
5. Асимптотическое разложение основных уравнений поля для ферромагнитного цилиндра и его внешности .. 45
5.1. Введение малого параметра 45
5.2. Асимптотическое разложение 46
5.3. Теорема единственности 47
ГЛАВА II. Краевые задачи для ферромагнитного полупространства, пластины и цилиндра 50
I. Исследование по первой гармонике и методу эквивалентной линеаризации одномерной линейно-поляризованной электромагнитной волны в ферромагнитном полупространстве и пластине 51
1.1. Решение по первой гармонике 51
1.2. Метод эквивалентной линеаризации 58
2. Асимптотическое интегрирование нелинейных уравнений плоской электромагнитной волны в ферромагнитном, полупространстве 69
2.1. Введение малого параметра 69
2.2. Асимптотическое разложение .. 73
2.3. Исследование линейных задач 75
2.4. Анализ асимптотического разложения 77
2.5. Анализ первого приближения 80
3. Проекционно-сеточный метод решения задачи для ферромагнитной пластины 82
4. Исследование по методу эквивалентной линеаризации плоских однородных электромагнитных волн цилиндрических ферромагнитных телах 89
4.1. Поперечное электромагнитное поле 89
4.2. Продольное электромагнитное поле 92
5. Пространственно-периодические волны в ферромагнитном полупространстве 94
5.1. Общий случай 95
5.2. Точное решение в.случае, круговой.поляризации 98
5.3. Случай линейной поляризации 98
6. Вращающееся электромагнитное поле.в.цилиндрических телах 99
6.1. Общий случай 100
6.2. Случай больших пространственных периодов... 102
ГЛАВА III. Задачи на сопряжение для ферромагнитного полупространства, пластины и цилиндра 104
1. Электромагнитное поле в ферромагнитном полупространстве, возбуждаемое сторонним током,гармоническим по фазовой переменной 105
2. Электромагнитное поле в телах цилиндрической формы, возбуждаемое сторонним током,гармоническим по фазовой переменной 114
3. Одномерные задачи индукционного нагрева ленточными токами плоскослоистой проводящей среды. 123
Литература 130
- Основные задачи для электромагнитного поля в массивных ферромагнитных телах
- Асимптотическое разложение основных уравнений поля для ферромагнитного цилиндра и его внешности
- Проекционно-сеточный метод решения задачи для ферромагнитной пластины
- Электромагнитное поле в телах цилиндрической формы, возбуждаемое сторонним током,гармоническим по фазовой переменной
Введение к работе
Непрерывный рост единичной мощности современного 'электроэнергетического оборудования приводит к увеличению токов промышленной частоты , протекающих по его обмоткам. В свою очередь эти токи возбуждают сильные электромагнитные поля и токи проводимости в различных конструктивных элементах такого оборудования , что приводит к значительному выделению в них Джоулевого тепла. В связи с этим особенно актуальными становятся вопросы исследования низко -частотных электромагнитных полей в проводящих средах со сложной конфигурацией границ , поскольку их достоверное определение позволяет принять необходимые конструктивные решения уже на стадии проектирования уникального электроэнергетического оборудования.
Исследуемая проблема относится к классу векторных в общем случае нелинейных краевых задач для системы уравнений Максвелла в кусочно-однородных средах. Такие задачи являются сложными и до нас -тоящего времени не разработаны эффективные методы их решения.Трудности математического исследования здесь обусловливаются вектор -ноетью,сложной геометрией области и нелинейностью.
Среди этих задач особое место в практическом отношении зани -мают краевые задачи для ферромагнитной среды , а также задачи на сопряжение для непроводящей (воздушной) и проводящей ферромагнитной сред.
Низкочастотное электромагнитное поле в проводящей среде обла -дает резко выраженным поверхностным эффектом , характеризуемым глубиной проникновения & , а конструктивные элементы электроэнергетического оборудования , как правило , являются массивными в том смысле, что радиус кривизны их поверхности значительно превышает глубину проникновения [51,63]. Это позволяет с определенной погрешностью заменить массивные тела полупространством, пластиной , цилиндром
или его внешностью и рассматривать соответствующие простейшие в плане геометрии нелинейные векторные краевые задачи и задачи на сопряжение. Основные характеристики электромагнитных процессов, рассчитанные по решениям таких задач, в значительной мере опре -деляют реальные электромагнитные процессы. Однако и для указан -ных нелинейных модельных задач практически отсутствуют эффективные методы их решения , позволяющие с достаточной для практики точностью и быстротой выполнять расчеты при конструкторской проработке электроэнергетических систем.
Первые исследования поверхностного эффекта в массивном ферромагнитном теле выполнены академиком Л.Р. Нейманом в 1949 году [51]. Рассматривая такое тело как полупространство , он свел проблему к решению нелинейной скалярной краевой задачи относительно комплексной амплитуды первой гармоники напряженности магнитного поля
y-^-t ісоб-^ОНОН »0, 0
Н(0) = Н0, H(o) = 0, где/а СІНІ) - магнитная проницаемость по первой гармонике , впервые введенная В.К. Аркадьевым [2] .
В случае и (|Hh = KlHl ft(i_X ) им бшю полУчено
* /С
точное решение задачи (I)
которое широко использовалось в электротехнических расчетах для слабых (и id) и сильных (п. >{) полей.
Дальнейшие исследования поверхностного эффекта в массивных ферромагнитных телах проведены в работах А.А. Березовского , Л.ЇІ. Нижника , А.Н. Кравченко [3,10,11,15,16,46]. Ими введено получив-
шее широкое распространение понятие эквивалентной магнитной про-ницаемости ll (IHI) , для определения которой получено диффе -ренциальное уравнение по годографу напряженности магнитного поля А
dH н н »)
и система уравнений первого порядка
— - - тСр) а + 2(ё cosip + simp) ,
df (3)
dp где
При степенной зависимости u.(\H\) = КІН/^ найдены точные решения уравнений (2), (3), а при произвольной зависимости р. от
ІН I разработаны приближенные аналитические и численно-аналитические методы их решения как в гистерезисном, так и в безгистерезисном случаях. Установленная связь между системой петель гистерезиса
В = В(Н), ,u (Irtl), поверхностным импедансом Z = 1/ - Leoи /в'1 и удельными поверхностными потерями р = 1/2 Rellfjl2, позволила эффективно решать наиболее важные задачи поверхностного эффекта в ферромагнитных телах. Разработанные методы широко использовались при решении конкретных электротехнических задач по расчету электро -магнитных полей в баках трансформаторов [4,8,10], массивных элементах торцевых частей турбогенераторов [9,38,40,61,68,69] и в другом электроэнергетическом оборудовании.
Ряд авторов [34,35,59,74,75,79] при исследовании поверхностного эффекта использовали идею Л.Р. Неймана о линеаризации нелиней-
ного уравнения путем замены зависимости ^и от напряженности магнитного поля зависимостью и от координаты. В случае кусочно-линейной аппроксимации проблема сводится к линейной задаче для слоистой среды и системе нелинейных уравнений для определения значения магнитной проницаемости в каждом слое.
Значительное число работ[1,25,28,29,53,54,75,80,81,88-91] посвящено численному интегрированию задач о распространении плоских электромагнитных волн в массивных проводящих ферромагнитных телах как в гистерезисном ,так и в безгистерезисном случаях. В этих работах путем применения однородных конечно-разностных схем проблема сведена к решению системы нелинейных уравнений относительно значений искомого поля в узлах сетки. Полученные здесь "точные" численные решения позволили оценить погрешность приближенных аналитических методов [П.
Следует отметить также целый ряд работ[7,26,45,79,80,87],посвященных исследованию поверхностного эффекта проекционными метода -ми, применяемыми , как правило, к системе уравнений Максвелла по первой гармонике. В этом случае решение ищется в виде разложения по некоторой системе базисных функций , а коэффициенты разложения определяются из системы нелинейных уравнений.
Задачи по определению электромагнитного поля в проводящих ферромагнитных средах по заданному стороннему току, расположенному в воздушной среде , как правило, рассматривались в линейной постановке [39,40,63-65,68,69,81].Нелинеиные векторные задачи на сопря -жение практически не рассматривались.
Наряду с вопросами построения решения задач электродинамики
проводящих сред весьма актуальное значение имеют вопросы теоретического их исследования. В этом плане фундаментальные результаты получены в работах [30,31,43,55,56].
В отличие от исследованных в диссертации рассматриваются более сложные выдвигаемые современной инженерной практикой задачи по расчету поверхностного эффекта . К ним относятся краевые задачи о распространении пространственно-неоднородных плоских волн в ферромагнитном полупространстве, пластине , цилиндре и его внешности , а также соответствующие задачи на сопряжение , когда ис -точниками поля являются сторонние токи , расположенные в воздухе.
Для получения приближенных аналитических решений нелинейных векторных задач использован метод эквивалентной (оптимальной) ли -неаризации [1,13,14-,18]. Суть этого метода состоит в том, что для приближенного решения используется конструкция соответствующей линейной задачи , содержащая некоторые параметры. При этом краевые условия , условия периодичности и регулярности удовлетворяются точно , а произвольные параметры такой конструкции определяются из условий удовлетворения уравнениям Максвелла в смысле одного из приближенных методов (Бубнова-Галеркина , наименьших квадратов и др.). Проведенное сравнение с численным решением задачи о распространении плоской электромагнитной волны в ферромагнитном полупространстве показало , что погрешность в определении потерь незначи -тельна , а в определении поля существенна лишь на значительном расстоянии от поверхности (>
К простейшим нелинейным задачам применяются также асимптоти -ческий метод Крылова-Боголюбова-Митропольского ; метод, основанный на построении решения по первой гармонике ; проекционно-сеточный метод , применяемый к нелинейному интегро-дифференциальному урав -нению , эквивалентному исходной краевой задаче.
Диссертационная работа состоит из введения , трех глав и списка литературы.
Первая глава посвящена постановкам основных краевых задач и задач на сопряжение для системы уравнений Максвелла в кусочно-од -.
нородных средах. В первых трех параграфах главы содержигся краткое изложение основных положений электродинамики проводящих сред и магнитных характеристик ферромагнетиков. В последующих двух параграфах рассмотрены задачи определения электромагнитного поля в массивном проводящем (l9D/6t|« & |Е I) ферромагнитном теле по заданной на его поверхности касательной составляющей напряженности магнитного поля, периодически изменяющейся во времени и тангенциальным координатам. Отыскание периодических по фазовой переменной 6 - cjt-я^х-Я и ( в = cot - pep - Кэь в цилиндрической системе координат) решений соответствующих краевых задач для сие -темы уравнений Максвелла
АН -б-^[/л(\Н\)Н]~ qraddiv И = 0 ,
<«'(wi) _ (4)
divH+G(fi) = 0, CUH)= д. (И, jrflfltlHI)
в случае больших пространственных периодов, значительно превышаю -щих глубину проникновения 8 , осуществлено после введения малого параметра = 3 асимптотическим методом
н = и0 +Uf + &гиг +-+ 6 МЛ+-. .
Здесь Я - модуль вектора пространственной частоты ~А=(ЯХ,Л1,) , & = {flu0UQ % М0- магнитная проницаемость проводящей неферромаг -нитной среды. Задача сведена к простейшей нелинейной задаче электродинамики для нулевого приближения М^и последовательности линейных задач с нулевыми краевыми условиями для остальных коэффициен -тов разложения гГ_.и , к =1,2.,... . В случае полупространства эти задачи представляются в виде
dC (О
Ut0(0.B)«Hv(B)9 Ure~0:
- II -
-[a2" J = $*„ , e > o,
oo
^/0,0) =0, МГл-^7Г 0, a = 1,2,.. ,
где Ф = (ф\и , Ф_ ) - функция , не зависящая от ЇЇ„ ;
Доказано , что асимптотически расщепляемые задачи являются сильно параболическими по Вишику и для них имеет место теорема единственности. Установлено , что в регулярном разложении отсутствуют нечетные степени для тангенциальной составляющей и четные степени для нормальной составляющей напряженности магнитного поля»
Вторая глава посвящена разработке приближенных аналитических и численно-аналитических методов построения решений краевых задач по определению электромагнитного поля в ферромагнитном полупрост -ранстве , пластине , цилиндре и его внешности по заданной на их поверхностях периодически изменяющейся во времени и тангенциальным координатам касательной составляющей напряженности магнитного поля.
Методом эквивалентной линеаризации получены приближенные решения краевых задач для уравнения
LH_e ЗШ) а0 (5)
определяющие однородные плоские электромагнитные волны в ферромагнитном полупространстве , пластине, цилиндре и его внешности.Здесь L= z для поля в полупространстве и пластине, L = у *
и л
"WVIF/ Для продольной (Н(г,Ь) = Н50,)) и
L = у(-^г ^-)- -jj Для поперечной (й(г,Ь) = Ну(г,)) составляющих вектора н в цилиндрических телах. В частности, для пластины (-а<з.<а) решение представлено в виде
И rt,t) - Но + н, Re [10Г е J, («
а относительно комплексной константы =/< -z/c получено диспер -сионное соотношение
где (ид = а^Са2, а^^Ьк/Ь, к = і,г,
p _ 2 к^кік^- kisiyv2k2a kjk2 ckZk^CL- cos2k2a
. . , sk kz -с(Ы-ср)
Sk к a Величина мэ -(^э(^0^{) представляет собой эквивалентную магнитную проницаемость соответствующих ферромагнитных тел. Она является такой характеристикой ферромагнитных тел , что при их замене тела -ми с постоянной М~МЭ поверхностные потери и поле на поверхнос -ти не меняются. Фактически предложенная линеаризация заключается в том, что при отыскании приближенного решения нелинейная задача за -меняется линейной с некоторой эквивалентной магнитной проницаемостью
Методом эквивалентной линеаризации построены приближенные решения краевых задач определения однородного плоского линейно-поля -ризованного электромагнитного поля в пластине с общими материальными уравнениями J= J(), D = D(E), В = В(Н) . Для этой пластины
- ІЗ -также получены соотношения , определяющие эквивалентные электро -магнитные характеристики б , еэ , рэ .
В случае слабых нелинейностей вида В(Н) =^Н + В*(Н) , где и = const , & - малый параметр, задача для уравнения (4) в полупространстве исследована асимптотическим методом Крылова-Бого-любова-Митропольского , согласно которому решение ищется в виде
U(2,t) = Н{е coscj) і- & ц^ (к,^)+--- + а*1 и^Ск,^ )*-- , (8)
(9)
Показано , что функция к(з.,і) не зависит от времени t , а зависимость
В явном виде получено первое приближение решения этой задачи и по нему найдены поверхностные потери , что позволило сравнить их с решением и потерями , полученными по методу эквивалентной линеаризации. Погрешность в определении поверхностных потерь и решения
вблизи поверхности 3:-0 при 6*(н) = Н3 и Н2/і не превышает
2 %.
Применен метод нелинейных интегральных уравнений к краевой задаче для уравнения (5) в ферромагнитной пластине. С помощью периодических по функций Грина соответствующей линейной за -дачи и второй формулы Грина нелинейная задача сведена к нелинейному интегро-дифференциальному уравнению с последующим применени -ем к нему проекционно-сеточного метода [44].
Распространение метода эквивалентной линеаризации на векторные задачи позволило получить решения краевых задач по определе -нию пространственно-периодических электромагнитных волн в ферромагнитном полупространстве и вращающегося поля в ферромагнитном цилиндре. При этом относительно констант , входящих в конструк -цию приближенных решений , получены системы восьми и шести уравнений соответственно.
Подробно рассмотрена задача для электромагнитного поля, медленно изменяющегося в тангенциальном направлении и поляризованного по кругу на поверхности полупространства. В этом случае система (V) для нулевого приближения сведена к уравнению по первой гармонике (I) , имеющему точное решение. С помощью такого решения оценена погрешность приближенного решения этой же задачи, полученного методом эквивалентной линеаризации, и соответствующие ему поверхностные потери. Сравнения показали , что погрешность в определении по -ля вблизи поверхности «2 = 0 и поверхностных потерь не превышает
3 %.
В третьей главе рассматриваются задачи определения электромагнитного поля в массивных ферромагнитных телах (полупространстве, пластине , цилиндре и его внешности) по заданному гармоническому по фазовой переменной 0 стороннему току, расположенному в воздухе. Задачи на сопряжение расчленяются на краевые задачи для воздушной
и ферромагнитной сред с неизвестными краевыми условиями. По точ -ному решению в воздушной , приближенному в ферромагнитной средах и условиям сопряжения для электромагнитного поля на поверхности раздела получена система нелинейных алгебраических уравнений относительно искомых граничных значений. Проведены различные упроще -ния системы в случае больших пространственных периодов (=Л^«1) и с учетом малости модуля комплексной проводимости воздуха по сравнению с проводимостью ферромагнитного тела (іб'ї/б << {) . Это позволило найти граничные значения в явном виде через пара -метры стороннего тока.
Определено электромагнитное поле в ферромагнитном полупрост-ранстве , возбуждаемое пространственно-периодическим Jcm, -= (Іх,1' J^expD-irwt-^jc-^y)] f(2+ /О , бегущим JcrrL = = (j,0,0)exp[-t(cjba„^]<5Y3+fe) и токовым JCm= ( j{ J2,0) K x expE-fot]
Определено электромагнитное поле в полом ферромагнитном цилиндре (г.<г< г ),возбуждаемое винтовым током
При этом задача на сопряжение сведена к задаче с импедансным условием, содержащим производную по времени , к которой применен для получения приближенного решения метод эквивалентной линеаризации. Рассмотрена модельная задача индукционного нагрева плоско -слоистой среды токовыми слоями, расположенными в воздушных зазо -pax между ферромагнитными пластинами. Тепловыми источниками здесь являются вихревые токи в проводящих пластинах , которые уравно -вешиваются некоторой системой охлаждения . В результате решения нелинейной задачи на сопряжение для электромагнитного поля опре -делена мощность тепловых источников и расчет температурного поля
сведен к решению краевой задаче для стационарного уравнения теплопроводности.
На защиту выносятся следующие результаты:
исследование асимптотическим методом в сочетании с методом эквивалентной линеаризации задач по определению периодического во времени и тангенциальным координатам электромагнитного поля, медленно изменяющегося в тангенциальном направлении;
получение точного решения для нулевого приближения нелинейной векторной задачи о распространении поляризованного по кругу электромагнитного поля в ферромагнитном полупространстве ;
построение приближенных решений практически важных краевых задач и задач на сопряжение , моделирующих электромагнитное поле
в ферромагнитном полупространстве , пластине , цилиндре и его внешности ; на основе методов интегральных уравнений , проекционно-се-точного и эквивалентной линеаризации;
- исследование асимптотическим методом Крылова-Боголюбова-
Митропольского краевой задачи о распространении плоской однород -
ной электромагнитной волны в ферромагнитном полупространстве.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах[Ї2,І9, 20-22,60,70-73]. По материалам диссертации сделаны доклады на IX Международной конференции по нелинейным колебаниям (Киев, 1981 г.); I Всесоюзной конференции по нелинейной электротехнике (Киев,1981 г.); 43 научной конференции Латвийского госуниверситета (секция электродинамики и механики) (Рига, 1984 г.); конференции молодых матема -тиков Института математики АН УССР (1982 г.). Результаты диссертации докладывались на научных семинарах сектора прикладной математики (руководитель академик АН УССР B.C. Королюк), отдела математи -ческой физики и теории нелинейных колебаний (руководитель академик АН УССР Ю.А. Митропольский).
В заключение выражаю искреннюю признательность моему научному руководителю , кандидату физико-математических наук Арнольду Анатольевичу БЕРЕЗОВСКОМУ за постоянное внимание и помощь в ра -боте.
Основные задачи для электромагнитного поля в массивных ферромагнитных телах
Методом эквивалентной линеаризации построены приближенные решения краевых задач определения однородного плоского линейно-поля -ризованного электромагнитного поля в пластине с общими материальными уравнениями J= J(), D = D(E), В = В(Н) . Для этой пластины также получены соотношения , определяющие эквивалентные электро -магнитные характеристики б , еэ , рэ .
В случае слабых нелинейностей вида В(Н) = Н + В (Н) , где и = const , & - малый параметр, задача для уравнения (4) в полупространстве исследована асимптотическим методом Крылова-Бого-любова-Митропольского , согласно которому решение ищется в виде
Показано , что функция к(з.,і) не зависит от времени t , а зависимость j Ut,t\ от t - линейная. Асимптотическое разложение (8) приводит к системе двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка относительно А (к) t Вл /с) и краевой задаче для системы двух линейных уравнений второго порядка относительно коэффициентов Фурье функции я/ р) . Показано , что из условий для функции к(я) и первого дифференциального уравнения (9) еле -дует условие ограниченности искомых функций Д„ (к) , В„ (к) » позволяющее найти единственное решение системы. Найдено точное решение краевой задачи для коэффициентов Фурье. Доказано , что ряд Фурье абсолютно и равномерно сходится вместе с соответствующими производными , если нелинейная функция В (Н) достаточное число раз дифференцируема. Их суммы экспоненциально убывают к нулю на бесконечности,
В явном виде получено первое приближение решения этой задачи и по нему найдены поверхностные потери , что позволило сравнить их с решением и потерями , полученными по методу эквивалентной линеаризации. Погрешность в определении поверхностных потерь и решения вблизи поверхности 3:-0 при 6 (н) = Н3 и Н2/І не превышает Применен метод нелинейных интегральных уравнений к краевой задаче для уравнения (5) в ферромагнитной пластине. С помощью периодических по функций Грина соответствующей линейной за -дачи и второй формулы Грина нелинейная задача сведена к нелинейному интегро-дифференциальному уравнению с последующим применени -ем к нему проекционно-сеточного метода [44].
Распространение метода эквивалентной линеаризации на векторные задачи позволило получить решения краевых задач по определе -нию пространственно-периодических электромагнитных волн в ферромагнитном полупространстве и вращающегося поля в ферромагнитном цилиндре. При этом относительно констант , входящих в конструк -цию приближенных решений , получены системы восьми и шести уравнений соответственно.
Подробно рассмотрена задача для электромагнитного поля, медленно изменяющегося в тангенциальном направлении и поляризованного по кругу на поверхности полупространства. В этом случае система (V) для нулевого приближения сведена к уравнению по первой гармонике (I) , имеющему точное решение. С помощью такого решения оценена погрешность приближенного решения этой же задачи, полученного методом эквивалентной линеаризации, и соответствующие ему поверхностные потери. Сравнения показали , что погрешность в определении по -ля вблизи поверхности «2 = 0 и поверхностных потерь не превышает 3 %.
В третьей главе рассматриваются задачи определения электромагнитного поля в массивных ферромагнитных телах (полупространстве, пластине , цилиндре и его внешности) по заданному гармоническому по фазовой переменной 0 стороннему току, расположенному в воздухе. Задачи на сопряжение расчленяются на краевые задачи для воздушной и ферромагнитной сред с неизвестными краевыми условиями. По точ -ному решению в воздушной , приближенному в ферромагнитной средах и условиям сопряжения для электромагнитного поля на поверхности раздела получена система нелинейных алгебраических уравнений относительно искомых граничных значений. Проведены различные упроще -ния системы в случае больших пространственных периодов (=Л «1) и с учетом малости модуля комплексной проводимости воздуха по сравнению с проводимостью ферромагнитного тела (іб ї/б {) . Это позволило найти граничные значения в явном виде через пара -метры стороннего тока.
Определено электромагнитное поле в ферромагнитном полупрост-ранстве , возбуждаемое пространственно-периодическим Jcm, -= (Іх,1 J expD-irwt- jc- y)] f(2+ /О , бегущим JcrrL = = (j,0,0)exp[(cjba„ ] 5Y3+fe) и токовым JCm= ( j{ J2,0) K x expE-fot] TU +/t) слоям, где k 0 , S ca.) - дельта-функция Дирака.
Асимптотическое разложение основных уравнений поля для ферромагнитного цилиндра и его внешности
Теорема 2. Тангенциальная составляющая вектора И в асимптотическом разложении (4.6) не содержит членов при нечетных, а нормальная составляющая - при четных степенях малого параметрам
Доказательство. Доказательство теоремы проведем по методу математической индукции. Для к- і тождество (4.17) справедливо. Пусть оно справедливо для п = 1,...,пг . Тогда для функций и. выполняется следующее тождество: Используя его, получаем цепочку равенств где a , С- , Mn - выражения, определяемые по формулам (4.8). Далее имеем Таким образом, получили, что = » и согласно принятому предположению имеем Ф „ +/ = 0# результате для определения ц приходим к однородной краевой задаче для однородного уравнения. Следовательно, и 2т+{ 0 Аналогично доказывается, что и = о. Теорема доказана. Поле с круговой и линейной поляризациями. Пусть поле на по -верхности поляризовано по кругу, то есть для пластины. Тогда решение задачи (4.5) будем искать в виде вектора и тоже поляризованного по кругу ЦІ, (,0)1 = 1 QC )\ Это позволяет в уравнениях (4.5) вынести из-под знака дифференци-рования по в функцию и(\иг \) . В результате получим Полагая в (4.20) ихо(С,в) = u(Z)sin9 + v(C)cosO , и 0( 9в) = - u()cos6-U(C)sin,e , приходим к краевой задаче для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений относительно U(,\ V() уравнение которой по виду совпадает с уравнением по первой гармонике (B.I). Однако, если уравнение (B.I) определяет приближенное решение для линейно-поляризованного плоского электромагнитного поля, то полученное уравнение - точное решение для электромагнитного поля, поляризованного по кругу (в нулевом приближении). При линейной поляризации поля Н (в) путем поворота системы координат таким образом, чтобы одна из ее тангенциальных составляющих совпала с прямой поляризации, приходим для нулевого приб -лижения задачи (4.4) к простейшей задаче о распространении плос -кой электромагнитной волны в ферромагнитном полупространстве (пластине). - 45 5. Асимптотическое разложение основных уравнений поля для ферромагнитного цилиндра и его внешности Определение электромагнитного поля в круговом бесконечно длинном цилиндре или его внешности по заданной на его поверхности тангенциальной составляющей напряженности магнитного поля (3.1), периодически изменяющейся по осевой и угловой координатам, является одной из важных модельных задач технической электродинамики . В отличие от полупространства и пластины пространственная частота Я оказывается жестко связанной с радиусом цилиндра rQ : на длине окружности 2г должно укладываться целое число периодов Т = - Г Следовательно, Л = -hr , где Р - целое число, определяющее A(f (р о число пар полюсов в электрических машинах. Введение малого параметра.Пусть пространственные периода Т ж Т = —-— значительно превышают глубину проникновения поля в цилиндрическое ферромагнитное тело. Тогда, аналогично уже рассмотренному случаю, после перехода к безразмерной переменной P= F система (3.5) также допускает введение малого параметра & .В результате приходим к краевой задаче для системы уравнений с малым параметром
Проекционно-сеточный метод решения задачи для ферромагнитной пластины
Для получения приближенных решений используем квадратуры (I.I9) с различными аппроксимациями годографа. Простейшие приближенные выражения можно получить , если в качестве пути интегрирования принять отрезок прямой, соединяющий точку н с точкой Н Более точная аппроксимация получается , если в качестве годографа принять кривую (I.I7). При этом k{sk(2kMCV) + k2siti(2k2u(x)) а функция у х) является обратной к монотонной функции х = Hclt 2км - cos 2 к2и)/(с!ь2к(а - cos2ka . Простой анализ полученных приближений показывает , что для ферромагнитной пластины построение приближенных решений по первой гармонике является довольно громоздким и, поэтому не столь эффек - 58 тивным, как для полупространства. Метод эквивалентной линеаризации. Рассмотрим вначале применение метода эквивалентной линеаризации для построения приближенного решения задачи для полупространства (I.I). Для этого построим решение соответствующей линейной задачи при В = н -к а. Н(,) = Н0+Н4е l cos(k2a.-G)t +cj ), (1.20) где постоянные ki и к2 характеризуют соответственно затухание и фазовую скорость распространения плоской волны (1.20) и опре -деляются из дисперсионного соотношения - =0, 2к{к2 = собр . Конструкцию (1.20) используем для построения приближенного решения нелинейной задачи (I.I). Очевидно , что краевое условие, условия периодичности и регулярности будут выполняться при любых положительных к{ , /с. . Потребуем, чтобы (1.20) удовлетворяло нелинейное уравнение приближенно в некотором смысле , например, в смысле метода Бубнова-Галеркина. Для этого подставим (1.20) в -кз. уравнение (I.I), затем умножим один раз на q =e i cosfk з. - b)t+Ц ) , -к з, - г а другой раз - на ср = е sintk sLet +ц) и проинтегрируем по й от 0 до оо , а по f от 0 до Т .Б результате интегрирования получаем систему нелинейных уравнений относительно искомых к{ и к определяет эквивалентную магнитную проницаемость ферромагнитного полупространства, которая в безгистерезисном случае является действительной (а =0) и совпадает с а при Ъ= Н , и = const . Если потребовать , чтобы (1.20) удовлетворяло нелинейное уравне -ниє (I.I) в смысле наименьших квадратов, то для определения к , к„ приходим также к системе уравнений (1.22). Действительно, подставим (1.20) в уравнение (I.I), возведем левую часть уравнения в квадрат и проинтегрируем полученное выражение по переменным и і в указанных выше пределах. После интегрирования получаем положительную функцию от двух переменных к , кг
Стационарные точки этой функции определяются из системы уравне которая , как нетрудно видеть , преобразуется в систему (1.22). Заметим , что функции cfj(,; ,,,) и q (&,t; к{,к) , используемые при выводе системы уравнений (1.22) , являются периодическими решениями соответствующей линейной задачи, линейно независимыми и ортогональными. Поэтому их можно рассматривать как некоторые базисные функции , порождающие конечномерное пространство Е Если разложить искомое решение задачи (I.I) по этим базисным функциям определить линейно входящие константы с , Сг из краевых ус -ловий, а нелинейно входящие , к2 - процедурой метода Бубно-ва-Галеркина , то выражение (1.23) в точности совпадет с конструкцией (1.20) , а для определения констант k, к2 ПРИХДИМ к системе уравнений (1.22).
Итак, приближенное решение задачи (I.I) по методу эквивалентной линеаризации представляется в виде (1.20), в котором константи к, , /с определяются из дисперсионного соотношения (1.22).Подставляя это решение в выражение (1.3.16), приходим к следующей формуле для поверхностных потерь:
Электромагнитное поле в телах цилиндрической формы, возбуждаемое сторонним током,гармоническим по фазовой переменной
Приближенное1 решение (1.20) нелинейной задачи (I.I) трансформируется в точное решение соответствующей линейной задачи , если в выражения, определяющие константы й а2 » подставить В=мН » М = canst . Это дает основание полагать , что при слабых нелинейностях В = В(Н) решение (1.20) и поверхностные потери (1.28) не могут сильно отличаться от точного решения и соответ -ствующих им поверхностных по -терь. Поэтому целесообразно исследовать задачу (I.I) асимптотическим методом , если нелинейность В=ВСИ) близка к линейной зависимости Б-(ИН , то есть представляется в виде где 6 - малый параметр, В (Н) - нелинейное возмущение. Такое представление возможно , если поле на поверхности я =0 содержит либо малую амплитуду Н{ , либо большое подмагничивание Н (рис.П). Так как для решения задачи (I.I) справедлив принцип максимума [42,52,66] , то есть Н -Hf H(,t) HQ - Н » то представление (2,1) справедливо и для V & 0 . Это позволя -ет записать задачу (I.I) в следующем виде.» U(0,t) = H{C0&{4 UU,) s + lo О . Здесь U (Z,t) = H(,t)-H0 , cji-cp -Г с последующим переобозначением v- i .В дальнейшем будем предполагать , что функция Б СН) является достаточное число раз дифференцируемой на интервале [Н0 Н,, Н0 + Н1 , а задача (2.2) имеет непре -рывное решение вместе со всеми производными , входящими в уравнение [бб]. При 1=0 решение задачи (2.2) представляется в виде uu,i) - Н е" » «й (koz -і), к0 = Щ . (2.з) Решение нелинейной задачи , согласно метода Крылова-Боголюбова-Митропольского [23,50], разложим по степеням следующим обра -зом: U - 71 - искомые функции ..определяющие п-е приближение асимптотического разложения (2Л). Удовлетворяя (2Л) краевым условиям (2.2), приходим к следующим условиям для искомых функций: При этом система уравнений (2.5) упрощается. Действительно , из условий (2.6) , а также из третьего и четвертого уравнений системы (2.5), очевидно , следует CJO) = 0, Зл(0) = 0 , л =/,2,.... (2.7) Далее, продифференцируем первое и второе уравнения (2.5) по t , а третье и четвертое - по % и приравняем соответствующие смешанные производные. Разложив полученные равенства по степеням б и приравняв коэффициенты левой и правой частей равенства при одинаковых степенях , приходим к системе уравнений из которой , используя условия (2.7) , получаем тождества С Ск) = 0 , \(к) 0 , к = і,2,... . Следовательно , функция к зависит только от переменной и для и, -го приближения определяется задачей Коши а функция ф лишь линейно зависит от переменной t и опре -деляется через k(SL) выражением Кроме того , согласно условиям (2.,6) , функция kcst} стремится к бесконечности при - o , Известно , что при достаточно глад -ких функциях Ч к) задача Коши (2.8) имеет единственное решение. Однако , ее решение стремится к бесконечности не при любых # (к) . Они должны удовлетворять некоторым условиям, кото -рые дает следующая теорема. Теорема 4. Решение задачи (2.8) стремится к беско -нечности тогда и только тогда , когда ее правая часть удовлет -воряет условиям Доказательство необходимости. Пусть к est.) является решением задачи Коши и к(2)- при —со . Тогда правая часть уравнения (2.8) должна быть знакопостоянной. Действительно , если при некотором к( 9ц(К)- » то решение задачи (2.8) не будет стремиться к бесконечности.Ибо , в противном случае, оно пересечет в некоторой точке &i другое решение уравнения (2.8) к - ki , что противоречит теореме о единственности задачи Коши в окрестности точки (5L,k{) для уравнения (2.8). Так как кС) — + о , то Ч к) о .С другой стороны, из тождества переходя к пределу 2- о , приходим к равенству (2.10). Доказательство достаточности. Пусть выполняются условия (2.10). Тогда решение к(&) является строго монотонным , и в неявной форме его можно представить в виде интеграла (2.II). Если теперь в равенстве (2.II) перейти к пределу к , то, - 73 согласно (2.10), приходим к пределу - - . Следовательно, для обратной функции получаем Tso-« при я -— . Теорема дока -зана.
