Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Алгоритмы динамической реконструкции для систем (с запаздыванием
1. Постановка задачи. Метод решения 15
2. Динамический метод невязки 21
3. Об одном варианте метода сглаживающего функционала для нелинейной системы с запаздыванием 44
4. Реконструкция входов в линейных системах 50
5. Результаты вычислительных экспериментов 62
Глава 2. Алгоритмы динамической реконструкции для систем с распределенными параметрами
1. Алгоритм динамической реконструкции входов для параболического вариационного неравенства 70
2. Алгоритм динамической реконструкции входов для уравнений фазового поля 85
3. Результаты вычислительных экспериментов 101
Список литературы 107
- Динамический метод невязки
- Реконструкция входов в линейных системах
- Алгоритм динамической реконструкции входов для параболического вариационного неравенства
- Алгоритм динамической реконструкции входов для уравнений фазового поля
Введение к работе
В настоящее время во многих теоретических и прикладных исследованиях различных явлений и процессов возникают задачи, связанные с восстановлением неизвестных характеристик динамических систем. Такие задачи относятся к классу обратных задач динамики управляемых систем и состоят в нахождении неизвестного входа системы по результатам измерений ее выхода. Предполагается, что уравнение, задающее динамику системы, известно, — им может быть обыкновенное дифференциальное уравнение, дифференциальное уравнение в частных производных, функционально-дифференциальное уравнение и т. д. Входом служат величины, однозначно определяющие движение системы, ими могут быть управление (как функция времени), подаваемое на систему, и начальное состояние. Выходом может быть любая доступная информация об управляемом процессе, например, сигнал о текущей траектории системы, что соответствует практическим ситуациям. Интерес к разработке и развитию теории, методов и алгоритмов динамического восстановления входных сигналов в динамических системах устойчиво растет, и расширяется область их практического использования.
Первые публикации по данной тематике появились в середине 60-х годов. В работах Р. Брокетта, М. Месаровича [83], Л. Силвермана [111] и других авторов [92], [110], [112] для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, при условии достаточной гладкости входов, были получены критерии однозначной разрешимости обратных задач. В литературе, вышедшей в 90-е годы, вопросам восстановления входных воздействий посвящены монографии [107], [61], [91], [47]. Если выход системы измеряется неточно, то обратные задачи динамики переходят в класс некорректных, и построение их приближенных решений сводится к отысканию соответствующих регуляризирующих операторов. Существенный вклад в развитие теории
некорректных задач внесли А. Н. Тихонов, В. К. Иванов, А. Б. Куржанский, М. М. Лаврентьев, В. Г. Романов, Ф. А. Черноусько, В. В. Васин, В. И. Агош-ков, Ф. П. Васильев, В. Я. Арсенин и др. [1]-[4], [6], [8], [11], [16]-[19], [28], [36]-[39], [51]-[53], [65], [70], [72]-[76], [96].
Алгоритмы регуляризации в указанных работах обрабатывают всю историю изменения входа, т. е. имеют апостериорный характер. Вопрос о построении позиционных (вольтерровых, динамических) алгоритмов регуляризации для конечномерных управляемых систем был поставлен в работах Ю. С. Осипова и А. В. Кряжимского [57], [31]. Там же приведен метод устойчивого восстановления минимального по норме управления в случае неточного измерения в «реальном времени» состояния аффинной по управлению системы. В [107] дана общая теория динамического обращения для обыкновенных дифференциальных уравнений. В основе алгоритмов лежит сочетание некоторых принципов теории позиционного управления с моделью, развитого Н. Н. Красовским и его школой [25]-[27] и методов теории некорректных задач [74], [8], [18]. Процесс динамического восстановления входа трактуется как процесс управления по принципу обратной связи вспомогательной управляемой системой (моделью), часть характеристик которой, меняясь во времени, «отслеживает» неизвестный вход. С расчетом на возможность практической реализации алгоритм реконструкции строится в классе конечно-шаговых алгоритмов, т. е. учитывает поступающую информацию в конечном числе временных узлов, обрабатывая ее между узлами. Указанный подход успешно применялся к решению задач реконструкции для систем обыкновенных дифференциальных уравнений [12], [32], [42], [58]-[60], [94], [95], для систем с запаздыванием [29], [104], [44], [45], [47], [93], [101] и для систем с распределенными параметрами [20], [21], [30], [43], [47], [61], [69], [98], [99], [103], [105], [106], [108]. Абстрактная постановка задачи динамической регу-
ляризации, а также метод ее решения, основанный на привлечении функции Ляпунова, рассматривались в [58].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, списка обозначений, двух глав, списка литературы. Система нумерации утверждений и формул содержит два индекса, первый из них — номер главы, второй — номер объекта. Общий объем работы составляет 119 страниц машинописного текста.
Краткое содержание работы. В диссертации рассматриваются задачи динамического восстановления входов (их также называют задачами динамической реконструкции) для систем, описываемых уравнениями с запаздыванием, и систем с распределенными параметрами. Содержательно суть этих задач может быть описана следующим образом. Имеется динамическая система 5, функционирующая на ограниченном промежутке времени Т — [t0,^]. Фазовая траектория системы x(t) = x(t;to,Xo,u(-)) Є X (X — банахово пространство) зависит от начального состояния xq и изменяющегося во времени неизвестного входного воздействия и(-) Є Ut (Ut — множество допустимых управлений). Функции х(-) в каждом из рассматриваемых в дальнейшем случаев являются непрерывными х(') Є С(Т\Х). На промежутке Т выбрано равномерное разбиение A = {tiYILq с шагом 5, Tq = to, т1+\ = п-\-5, тто = -д. В моменты ті измеряется с ошибкой фазовое состояние системы S. Результаты измерений — величины г/г Є X — удовлетворяют соотношениям
\$ - х(п)\х < h,
где h — погрешность измерения; \-\х означает норму в банаховом пространстве X. Пусть U(x(-)) С Ut — множество управлений, порождающих движение ж(-), U — равномерно выпуклое банахово пространство, щ(-) = tt*(-, #()) — минимальное в смысле Ьг(Т; ?7)-нормы управление из множества U(x(-)).
Требуется по мере поступления информации о текущем состояшш системы (т. е. «в режиме реального времени») восстановить управление «*(), порождающее фазовую траекторию х(-) системы. Так как точное восстановление щ(-) невозможно (из-за неточности измерений фазовой траектории и дискретности этих измерений), то необходимо построить алгоритм вычисления некоторого приближения и*(-). Это приближение должно быть тем лучше, чем меньше величина h погрешности измерения х(ті) и чем гуще сетка {т;}, взятая на промежутке Т.
Динамический метод невязки
В настоящее время во многих теоретических и прикладных исследованиях различных явлений и процессов возникают задачи, связанные с восстановлением неизвестных характеристик динамических систем. Такие задачи относятся к классу обратных задач динамики управляемых систем и состоят в нахождении неизвестного входа системы по результатам измерений ее выхода. Предполагается, что уравнение, задающее динамику системы, известно, — им может быть обыкновенное дифференциальное уравнение, дифференциальное уравнение в частных производных, функционально-дифференциальное уравнение и т. д. Входом служат величины, однозначно определяющие движение системы, ими могут быть управление (как функция времени), подаваемое на систему, и начальное состояние. Выходом может быть любая доступная информация об управляемом процессе, например, сигнал о текущей траектории системы, что соответствует практическим ситуациям. Интерес к разработке и развитию теории, методов и алгоритмов динамического восстановления входных сигналов в динамических системах устойчиво растет, и расширяется область их практического использования.
Первые публикации по данной тематике появились в середине 60-х годов. В работах Р. Брокетта, М. Месаровича [83], Л. Силвермана [111] и других авторов [92], [110], [112] для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, при условии достаточной гладкости входов, были получены критерии однозначной разрешимости обратных задач. В литературе, вышедшей в 90-е годы, вопросам восстановления входных воздействий посвящены монографии [107], [61], [91], [47]. Если выход системы измеряется неточно, то обратные задачи динамики переходят в класс некорректных, и построение их приближенных решений сводится к отысканию соответствующих регуляризирующих операторов. Существенный вклад в развитие теории некорректных задач внесли А. Н. Тихонов, В. К. Иванов, А. Б. Куржанский, М. М. Лаврентьев, В. Г. Романов, Ф. А. Черноусько, В. В. Васин, В. И. Агош-ков, Ф. П. Васильев, В. Я. Арсенин и др. [1]-[4], [6], [8], [11], [16]-[19], [28], [36]-[39], [51]-[53], [65], [70], [72]-[76], [96].
Алгоритмы регуляризации в указанных работах обрабатывают всю историю изменения входа, т. е. имеют апостериорный характер. Вопрос о построении позиционных (вольтерровых, динамических) алгоритмов регуляризации для конечномерных управляемых систем был поставлен в работах Ю. С. Осипова и А. В. Кряжимского [57], [31]. Там же приведен метод устойчивого восстановления минимального по норме управления в случае неточного измерения в «реальном времени» состояния аффинной по управлению системы. В [107] дана общая теория динамического обращения для обыкновенных дифференциальных уравнений. В основе алгоритмов лежит сочетание некоторых принципов теории позиционного управления с моделью, развитого Н. Н. Красовским и его школой [25]-[27] и методов теории некорректных задач [74], [8], [18]. Процесс динамического восстановления входа трактуется как процесс управления по принципу обратной связи вспомогательной управляемой системой (моделью), часть характеристик которой, меняясь во времени, «отслеживает» неизвестный вход. С расчетом на возможность практической реализации алгоритм реконструкции строится в классе конечно-шаговых алгоритмов, т. е. учитывает поступающую информацию в конечном числе временных узлов, обрабатывая ее между узлами. Указанный подход успешно применялся к решению задач реконструкции для систем обыкновенных дифференциальных уравнений [12], [32], [42], [58]-[60], [94], [95], для систем с запаздыванием [29], [104], [44], [45], [47], [93], [101] и для систем с распределенными параметрами [20], [21], [30], [43], [47], [61], [69], [98], [99], [103], [105], [106], [108]. Абстрактная постановка задачи динамической регу ляризации, а также метод ее решения, основанный на привлечении функции Ляпунова, рассматривались в [58].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, списка обозначений, двух глав, списка литературы. Система нумерации утверждений и формул содержит два индекса, первый из них — номер главы, второй — номер объекта. Общий объем работы составляет 119 страниц машинописного текста.
Реконструкция входов в линейных системах
Краткое содержание работы. В диссертации рассматриваются задачи динамического восстановления входов (их также называют задачами динамической реконструкции) для систем, описываемых уравнениями с запаздыванием, и систем с распределенными параметрами. Содержательно суть этих задач может быть описана следующим образом. Имеется динамическая система 5, функционирующая на ограниченном промежутке времени Т — [t0, ]. Фазовая траектория системы x(t) = x(t;to,Xo,u(-)) Є X (X — банахово пространство) зависит от начального состояния XQ и изменяющегося во времени неизвестного входного воздействия и(-) Є UT (UT — множество допустимых управлений). Функции х(-) в каждом из рассматриваемых в дальнейшем случаев являются непрерывными х( ) Є С(Т\Х). На промежутке Т выбрано равномерное разбиение A = {TIYILQ С шагом 5, TQ = to, т1+\ = п-\-5, тто = -д. В моменты ті измеряется с ошибкой фазовое состояние системы S. Результаты измерений — величины г/г Є X — удовлетворяют соотношениям \$ - х(п)\х h, где h — погрешность измерения; \-\х означает норму в банаховом пространстве X. Пусть U(x(-)) С UT — множество управлений, порождающих движение ж(-), U — равномерно выпуклое банахово пространство, щ(-) = tt (-, #()) — минимальное в смысле Ьг(Т; 7)-нормы управление из множества U(x(-)). Требуется по мере поступления информации о текущем состояшш системы (т. е. «в режиме реального времени») восстановить управление « (), порождающее фазовую траекторию х(-) системы. Так как точное восстановление щ(-) невозможно (из-за неточности измерений фазовой траектории и дискретности этих измерений), то необходимо построить алгоритм вычисления некоторого приближения и (-). Это приближение должно быть тем лучше, чем меньше величина h погрешности измерения Х(ТІ) и чем гуще сетка {т;}, взятая на промежутке Т.
В первом параграфе главы 1 дается строгая постановка указанной задачи. Описывается общий подход к ее решению, предложенный в [31], [107]. В соответствии с этим подходом задача реконструкции заменяется задачей управления по принципу обратной связи вспомогательной системой М (моделью). Алгоритм решения Dh отождествляется с четверкой Dh = (Ah,MiWhiUh)1 где Ад = (} — семейство разбиений интервала Г, зависящих от величины h ошибки измерения, М — модель, Wh — правило, согласно которому выбирается начальное состояние модели, Ыь, — закон управления моделью по принципу обратной связи. Процесс управления моделью организуется таким образом, чтобы при подходящем согласовании ряда параметров управление в модели являлось приближением функции w (-) = / (; ж(-)). Алгоритм Dh разбивается на т — 1 однотипных шагов. В течение каждого г-го шага, осуществляемого на промежутке времени [ТІ,ТІ+І), выполняются следующие операции. В момент Т{ замеряется (с ошибкой) фазовая траектория х(т{) системы. После этого согласно выбранному закону Ы]г определяется управление в модели {; Д-) на отрезке [ТІ,ТІ+І). Затем осуществляется формирование отрезка траектории модели wh(t) = гиЛ(;тг,гиЛ(тг),[1,и т ()), t Є [ТІ,ТЇ+І]. Вся процедура заканчивается в момент времени $.
Таким образом, задача реконструкции трансформируется в следующие две задачи — задачу подходящего выбора вспомогательной системы (модели М) и задачу построения процедуры выбора закона формирования управления Ын- При решении этих двух задач существенную роль играют априорная информация о системе (в виде описывающего ее уравнения, свойств его решений и т. п.) и структура множества допустимых управлений.
Во втором параграфе главы 1 приводится алгоритм решения описанной задачи для системы с запаздыванием x{t) = f(t,x(t),x(t - т)) + B(x(t),x(t - r))u(t), t Є T = [ 0,tf].
Здесь x ЄШП — фазовый вектор системы, u{t) Є M.N — управление, f : T x Rn x W1 — Ш.п — векторная функция, (x,y) — B(x,y) Є KnxiV — матричная функция. Алгоритм основан на динамическом варианте метода невязки и приводится для двух случаев: щ(-) Є Loo(T;M.N) и и (-) Є L2(T;RN).
Некоторые алгоритмы динамической реконструкции (восстановления) неограниченных управлений (т.е. управлений гд (-), являющихся элементами пространств Loo(T;Rn) или L2(T;Rn)) представлены в работах [109], [49]. Алгоритмы, описанные в этих работах, используют идею метода сглаживающего функционала.
Алгоритм динамической реконструкции входов для параболического вариационного неравенства
Основанный на динамическом варианте метода невязки (см. [74], [8], [33]), алгоритм реконструкции управлений, стесненных только условием u(-)eUT = L2(T;Rm), был анонсирован в статье [42] и обоснован в монографии [47]. Этот алгоритм учитывал на каждом временном шаге 5І = [ГІ,ГІ+І] ВСЮ предысторию измерения траектории x(t), ТІ-І t Т{. Во втором параграфе алгоритм указанной работы модифицируется таким образом, чтобы на каждом шаге 5{ использовать лишь результаты измерений векторов Х(ТІ-І), Х(ТІ). Таким образом, мы откажемся от излишней памяти. В третьем параграфе главы 1 для системы, описанной в параграфе 2, конструируется основанный на методе сглаживающего функционала алгоритм динамического восстановления для случая, когда управления « () являются элементами пространства функций, ограниченных по существу, т. е. В четвертом параграфе главы 1 указывается алгоритм динамической реконструкции для системы, описываемой уравнением в банаховом пространстве (X, \х), вида x{t) = Ax{t) + Bu(t) + f(t), ЄТ=[іо,0], x(t0)=x0.
Здесь A — инфипитезимальный генератор сильно непрерывной полугруппы линейных ограниченных операторов X{t) : X — X (t Є Т), /() Є L,2(T ,X) — заданное возмущение, В — линейный непрерывный оператор (В Є C{U\X)). К такому уравнению при определенных условиях можно свести, например, функционально-дифференциальные уравнения или дифференциальные уравнения в частных производных. Алгоритм построен в предположении, что 1А (-) Є UT = Loo(T] X). В пятом параграфе приведены результаты модельных расчетов, иллюстрирующие алгоритмы реконструкции управлений, описанных в 1.2 и 1.3. Во второй главе исследуется задача динамического восстановления неизвестных входных воздействий для систем с распределенными параметрами. В первом параграфе главы 2 рассматривается алгоритм динамической реконструкции входов для системы, которая описывается параболическим вариационным неравенством (x(t) - Bu{t) - /( ), x(t) -z) + {Ax(t), x(t) -z) + p(x(t)) - p(z) 0 при п.в. teT= [t0, ії] "iz Є V, x(t0) =x0 D((p). Здесь X = H,VnH — действительные гильбертовы пространства, пространство V вложено в пространство Н плотно и непрерывно: V С Н = Н С V . Символыи означают скалярное произведение в Н и двойственность между V и V соответственно, А : V —» V — линейный, непрерывный и симметричный оператор, удовлетворяющий (для некоторых с 0 и со Є R) условию коэрцитивности (Ау,у)+ш\у\2н c\y\2v, /() Є W1,2(T;#) — заданное возмущение, ip : V —» R+ = {г Є К. : г 0} U {4-оо} — слабо полунепрерывный снизу выпуклый функционал, D((p) — [х V : (#) +оо} — область его определения, И/1,2(Т; І7) = {#() Є L,2(T;H) : xt(-) Є L,2(T;H)}, производная ж(-) понимается в смысле распределений, В — линейный непрерывный оператор, действующий из пространства U в пространство Н. В случае, когда множество допустимых управлений UT имеет вид UT = {«() Є L2(T] U) : u{t) Є Р при п.в. t Є Г}, некоторые регуляризирующие семейства алгоритмов динамического восстановления для параболических вариационных неравенств приведены в работах [46], [47], [99], [100], [105]. (Здесь Р С U — выпуклое, ограниченное и замкнутое множество.) В первом параграфе главы 2 мы модифицируем алгоритмы работ [46], [47] на случай неограниченного множества UT- При этом рассмотрим два случая: в первом случае относительно входа известно, что он является элементом пространства функций, ограниченных по существу (г (-) Є UT = Ах,(Т; /)), во втором — вход является функцией суммируемой с квадратом нормы [и%{-) Є UT = L2(T; /")). Для каждого из этих двух случаев приведем оценки, характеризующие скорости сходимости регуляри-зирующих алгоритмов. Во втором параграфе главы 2 рассматривается задача динамического восстановления входных воздействий для системы, моделирующей процесс отвердевания вещества, которая описывается так называемыми уравнениями фазового поля [85]. Переменными состояния системы являются параметр упорядочения ip (называемый также фазовой функцией) и температура вещества ф. В отличие от классической задачи Стефана, которая моделирует процесс отвердевания вещества с четкой границей раздела твердой и жидкой подобластей, уравнения фазового поля применимы для расплывчатых, нечетких областей. Фазы вещества определяются посредством параметра упорядочения р. Подбирая соответствующие коэффициенты, можно считать, что область {г\ Є Щ(р(г]) — 1} является жидкой областью, а область {rj Є Cl\ip(r)) = — 1} — твердой. Область раздела описывается точками т) Є fi, где параметр упорядочения принимает значения из интервала (—1,1). Рассматривается система, введенная в работе [85], состоящая из следующих дифференциальных уравнений в частных производных д д —ф + 1тг Р = кАьф -\-и в 1 х (to, $], i9 = const +со, CJ U С/1/ д т—(р = 2&ьч + д((р) + Ф с граничными п начальными условиями ф=ф0, (р = Ц о В Q. Здесь О, Є W1 — ограниченная область с границей dQ,, AL оператор Лапласа, функция g(z) = az + bz2 — cz3 является производной так называемого потенциала G(z). Для этой системы строится алгоритм динамического восстановления величины и по результатам неточных измерений {(р, ф} в предположении, что множество допустимых управлений имеет следующий вид: UT = {«() Є L2(T\ Н) : u{t) Є Р при п.в. t Є Г}, где Р С Н — заданное выпуклое, ограниченное и замкнутое множество. В третьем параграфе главы 2 приведены результаты модельных расчетов, иллюстрирующих алгоритм реконструкции управлений, описанный в 2.1, применительно к параболической задаче с препятствием. Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались и докладывались на Всероссийской конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Екатеринбург, 2004 г.); на Международном семинаре «Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби» (Екатеринбург, 2005 г.); на III Всероссийской конференции «Актуальные проблемы прикладной математики и механики» (Абрау-Дюрсо, 2006 г.); 14th International Workshop on Dynamics and Control (Zvenigorod, Russia, 2007); 9th IFAC Workshop «Adaptation and Learning in Control and Signal Processing (ALCOSP 07)» (Saint Petersburg, Russia, 2007); на Второй международной конференции «Информационно-математические технологии в экономике, технике и образовании» (Екатеринбург, 2007); на 39-й Всероссийской молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 2008 г.); на научной конференции-семинаре «Теория управления и математическое моделирование» (Ижевск, 2008 г.); на Международной конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» (Екатеринбург, 2008 г.); в Вычислительном центре РАН; в Институте математики и механики УрО РАН. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [123]—[127]. Результаты, вошедшие в диссертацию, получены автором самостоятельно.
Алгоритм динамической реконструкции входов для уравнений фазового поля
Переменными состояния системы являются параметр упорядочения ip (называемый также фазовой функцией) и температура вещества и. В отличие от классической задачи Стефана, которая моделирует процесс отвердевания вещества с четкой границей раздела твердой и жидкой подобластей, зфавнения фазового поля применимы для расплывчатых, нечетких областей. Фазы вещества определяются посредством параметра упорядочения (р. Подбирая соответствующие коэффициенты, можно считать, что область {г) Є Q\ p(j)) = 1} является жидкой областью, а область {?7 Є Щ(р(і]) = —1} — твердой. Область раздела описывается точками 7] Є Q, где параметр упорядочения принимает значения из интервала (—1,1). Рассматривается система, введенная в работе [85], состоящая из следующих дифференциальных уравнений в частных производных —ф + 1тгЧ = кАьф + и в Пх (t0, #], & = const +оо, (2.30) ot ot т—ср = (;2Аь(р + д( р)+ф (2.31) с граничными —ifj = —у = 0 на дП x (t0, ti] (2.32) on on и начальными ф = фо, ір = еро в О (2.33) условиями. Здесь Г2 Є Ж71 — ограниченная область с границей 5Г2, Л — оператор Лапласа, функция g(z) является производной так называемого потенциала G(z). Будем считать, что g(z) = az + bz2 — cz3. Система (2.30)-(2.33) исследовалась многими авторами (см. например [85]-[84]). Достаточно подробный анализ соответствующих исследований приведен в работе [88]. Поэтому подробно на этом вопросе мы останавливаться не будем. Отметим лишь, что мы укажем процедуру восстановления величины и по результатам неточных измерений { /?, ф}. Для простоты выкладок положим к — = т = с = 1.
Пусть фиксировано начальное состояние 2 = { 0, 0} и управление и(-) Є L,2(T)H), где Т = [о}#]- Решением системы S называется единственная функция x(-,t0,xQ,u) = { (- 0, 0, ), (- 0, 0,)} Є (W iQ))2, удовлетворяющая (2.34), (2.35), (2.32), (2.33). В силу хорошо известных теорем вложения, не нарушая общности, можно считать пространство W2 (Q) вложенным в пространство непрерывных функций С(Т;Х), где X = Н К Н. Таким образом, при каждом t Є Т элемент x(t) = x(t;to,xo,u) Є X определен корректно.
Уточним суть рассматриваемой задачи. На систему S действует ненаблюдаемое управление и = « . Диапазон допустимых управлений достаточно велик и описан заранее. Будем предполагать, что множество допустимых управлений имеет следующий вид: UT = {« Є L2{T- Н) : u{t) Є Р при п.в. t Є Т}, где Р С Н — заданное выпуклое, ограниченное и замкнутое множество. В дискретные достаточно частые моменты времени Т{ Є A = {TJ}-0 (TQ = to, rm — і?, Tj+i = Tj + #) приближенно измеряется фазовое состояние системы { ф(ті),(р(ті)}. Результаты измерений — функции (rf) и TJJi(r)), г) Є Г2 — удовлетворяют неравенствам №fa) - я h, (ТЇ) - #я Л- (2.36) Требуется указать алгоритм, позволяющий синхронно с развитием процесса осуществлять приближенное восстановление неизвестного входа и = щ{-). Таким образом, рассматривается задача, состоящая в построении алгоритма, который по текущим измерениям ф{ті) и р(т{) в "реальном времени" восстанавливает управление и (-). Так как точное восстановление невозможно (в частности, из-за неточности измерений ір{ті) и /?(тг)) то необходимо построить алгоритм, который формирует некоторое приближение uh(-).
Здесь Т = [0, і?], і? -f-oo; Q с W1 — односвязная открытая ограниченная область с достаточно гладкой границей Г; Ах, — оператор Лапласа, т. е., &LX{TJ) = Ej=i (т?)/ ); F(t,rj) Є L2(r;L2(0)) - известная функция; u(t,rj) — неизвестное возмущение, Яг(П) — стандартное соболевское пространство. В данном примере В — I. Система (2.68) описывает, например, процесс диффузии кислорода в поглощающей ткани. Подобная система, введенная и исследованная в работе [97], получила название «параболической задачи с препятствием» [80]. С позиций теории управления по принципу обратной связи задача с препятствием исследовалась, например, в работах [47, 3, гл. 3].
Как видно из результатов экспериментов, с уменьшением значения информационной погрешности h при выполнении условий согласования параметров 5(h) и a(h) точность восстановления управления повышается. Можно отметить, что подобная картина наблюдается не только для представленных сечений графиков, но и для всего графика в целом, а сечения взяты ввиду большей наглядности.
