Введение к работе
Актуальность темы. В зависимости от назначения математической модели динамической системы, интерес представляет обычно не общее изменение вектора решения (вектора состояния), а либо эволюции части его компонент либо функционалов от них. Это побуждает к исследованию возможности перехода от более полных модельных уравнений к уравнениям, содержащим только исследуемые переменные и отображающие с необходимой точностью их динамику.
Поскольку любая реальная система не может рассматриваться как
изолированная и подчиненная строго детерминированным законам, то этот
факт отражается при моделировании реальных динамических систем
(физических, экономических, социальных, биологических к др.) при помощи
введения случайного воздействия. Эффективные методы для осуществления
такого моделирования предоставляет теория стохастических
дифференциальных уравнений, основы которой были заложены Н.Н. Боголюбовым, И.И. Гихманом и К.Ито. Уровень современной теории стохастических дифференциальных уравнений определяется вкладом многих авторов и с достаточной полнотой, в контексте направлений исследований данной работы, отражен в книге И.И.Гихмана и А.В. Скорохода "Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения" (Киев: Наук.Думка, 1982).
Однако, при моделировании таких систем на основе стохастических дифференциальных уравнений, некритическое применение выводов классической теории дифференциальных уравнений часто приводит к существенным ошибкам. Поэтому, даже при внешнем подобии проблем, требуются специальные исследования. Сказанное относится и к задачам, исследуемым в диссертации. А именно: возможности аппроксимации динамики (решения) x,(t) конкретной подсистемы многоэлементнон
(w-мерной) системы решениями системы стохастических дифференциальных уравнений конечной размерности.
Такая возможность, как показывает статистическая физика, реализуется за счет появления макропеременных, подчиняющихся своей системе уравнений. Динамика подсистем в этом случае описывается системой
уравнений, коэффициенты которого зависят от этих макропеременных и текущего состояния системы.
Исследования, проводившиеся раньше, независимо от методов и подходов ( см..например, А.В.Скороход А.В. Стохастические уравнения для сложных систем.- М.:Наука, 1983) были связаны с предположением о том, что коэффициенты, отвечающие за взаимодействие в уравнениях динамики п-мерной системы быстро убывают с "расстоянием" между подсистемами. Существует однако много задач, в которых понятие расстояния не применяется (экономические модели, модели взаимодействия видов).
Хорошо изучены в этом смысле системы билинейного типа. То есть такие, в которых взаимодействие между подсистемами моделируется произведением компонент решения подсистем. В этом случае уже нельзя говорить ни о короткодействии, ни о слабом взаимодействии. Для систем билинейного типа возможно, в некоторых случаях, построить уравнение для макропеременных (см. Молчанов A.M. Билинейные системы// В кн. Вероятностные методы в биологии.- Киев: Изд-во ИМ АН УССР, 1985). Однако как в этой работе, так и в работах других авторов этот вопрос не изучался с точки зрения влияния случайных возмущений, когда число подсистем неограниченно возрастает. В работе Doobko V.A. Stochastic differential equation in modeling of open system II Frontiers in Pure and Applied Probability,v.2: Evolutionery Stochastic Systems inPhisics and Biology,- procceedings of the Third International Catsiveli Conference, 1992 г. этот вопрос был рассмотрен, и более детально исследован в наших работах (см. список литературы).
Цель работы. Исследовать предельное поведение динамического процесса, описывающего динамику выделенной подсистемы сложне организованной системы. Определить условия, при выполнении которых для такой системы (N—tco) можно получить замкнутую систему стохастически* дифференциальных уравнений Ито, в которых динамика выделенной подсистемы зависит только от вектора состояний этой системы и конечногс числа макропеременных, которые подчинены собственной замкнутой системе
стохастических уравнений.
Методика исследования. Основным моментом при доказательстве предельных теорем является установление слабой сходимости решения уравнения для выделенной подсистемы и макропеременной, когда число подсистем неограниченно возрастает.
Используются методы теории стохастических дифференциальных уравнений, алгебры.
Научная новизна. Основными результатами являются следующие:
-
Для класса исследуемых нелинейных стохастических систем первого порядка и второго порядка, но с малым параметром при старших производных установлена аналитическая связь между коэффициентами исходных стохастических систем Ито и коэффициентами предельного уравнения, решения которых в смысле слабой сходимости аппроксимируют динамику выделенной подсистемы. Построены уравнения для макропеременных, которые входят в коэффициенты уравнений для аппроксимирующих решений.
-
Доказанные предельные теоремы содержат критерии стохастизации макропеременных. Выводы этих теорем можно рассматривать как контрпримеры представлениям о том, что динамика подсистемы всегда более хаотична, чем динамика макропеременных.
-
Исследована возможность расширения класса исследуемых систем и для ряда уравнений получены точные аналитические представления их решений.
Аппробация работы. Основные результаты работы докладывались в Институте математики АН Украины (1992), на научной конференции студентов и аспирантов Политехнического института (г.Благовещенск, 1994), на международной конференции "Математические проблемы экологии" (г.Чнта, 1994), на научных семинарах Биробиджанского педагогического института (рук. семинара проф. Дубко В.А., 1993-1996), на международной конференции, посвященной памяти академика Кравчука М.Н.(Киевский политехнический университет, 1995), на научных семинарах Хабаровского технического университета: "Функциональный анализ" (рук. проф. Степанов В.Д.,1996), "Дифференциальные уравнения"(рук. проф. Зарубин А.Г.,1996), на научном семинаре Хабаровского отделения Института прикладной
математики ДВО РАН (рук.семинара д.ф.-м.и.Быковский В.А.,1996), на международной конференции "Современные проблемы математики и механики", посвященной 175-летию П.Л.Чебышева (МГУ, 1996).
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, приложения и списка цитируемой литературы, насчитывающей 41 наименование. Полный объем работы 116 страниц.
