Введение к работе
Актуальность темы. В теории распространения волн, как и в других физических теориях, число нетривиальных задач, допускающих точное решение, весьма ограничено. В тех немногих случаях, когда известно строгое решение задачи, это решение имеет весьма сложный вид (бесконечные ряды, иногда отличающиеся столь медленной сходимостью, что они не могут быть применены к вычислению поля, или многократные интегралы, или же ряды, каждый член которых представляется в виде интеграла).
Вполне понятен поэтому постоянный интерес к нриближенным методам волновой теории и особенно к асимптотическим методам. Эти методы имеют все более широкое применение при исследовании волновых явлений различной физической природы: упругих, акустических, электромагнитных.
Большой вклад в развитие асимптотических методов внесли различные по математическим методам московские школы, с одной стороны, школы академиков В.И.Арнольда, II.Н.Боголюбова, В.П.Маслова, И.Г.Петровского, а также школы М.В.Федорюка, В.И.Иванова и, с другой стороны, школы академиков Л.А.Вайнштейна и Л.М.Брехов-ских, школы В.А.Боровикова, Ю.А.Кравцова, Г.Д.Малюжинда, СМ. Рытова.
Современная петербургская школа асимптотических методов математической физики имеет глубокие корни, ведущие свое начало от основополагающих исследований академиков В.И. Смирнова, С.Л. Соболева и В.А. Фока. Основываясь на их фундаментальных работах, эта школа разветвилась по различным направлениям, приложениям, по математическим подходам и методам. Это школы ведущих ученых В.М.Бабича, В.С.Булдырева, В.С.Буслаева, В.Ф.Лазуткина, И.А. Молоткова, С.А.Назарова, Г.И.Петрашеня, П.Е.Товстика, Т.Б.Яновской и др.
Асимптотические методы и методы теории возмущений активно развиваются также школами академиков А.С.Алексеева, В.А.Марченко, А.А..Дородницына, зарубежными школами, которыми руководят известные ученые F.W.J.Olver, W.P.Brown, R.Courant, T.M.Cherry, F.G. Friedlender, E.Hopf, R.Grimshaw, J.B.Keller, P.Lax, D.Ludwig, F.Ursell, G.B.Whitham и многие другие.
Наиболее важным и часто используемым из асимптотических ме-
тодов в теории распространении волн является лучевой метод, который дает наглядную качественную картину развития волновых процессов в неоднородных средах и во многих случаях обеспечивает достаточно хорошее количественное их описапие. Для уравнений теории упругости и уравнений Максвелла лучевой метод был впервые применен и развит в работах В.М.Бабича, А.С.Алексеева, М.СРытова.
Интенсивное развитие асимптотических методов и, в частности, лучевого метода, на начальном этапе развитого в областях регулярного поведения поля лучей, позволило расширить рамки этого метода. Асимптотические представления решений в областях (теневые, полутеневые, окрестности каустических поверхностей, поля сосредоточенных конгруэнции лучей и т.д.), где нарушается регулярность поля, можно получать на основе лучевых представлений, если , как это сделали впервые В.А.Фок и J.B.Keller с сотрудниками, ввести понятие о дифракционных лучах.
В областях нерегулярного поведения поля лучей в зависимости от конкретной постановки задачи лучевой метод следует модифицировать, рассматривая его дифракционный вариант: лучевой метод в малом, метод параболического уравнения, метод эталонных задач и предложенный в диссертации метод пограничного слоя.
Во многих задачах модифицированный лучевой метод - это единственно возможный и достаточно универсальный аналитический метод решения. Особенно это относится к волновым процессам в неоднородных средах, для которых число точно решенных задач мало и ограничено одномерными и двумерными случаями.
В диссертации асимптотическим методом пограничного слоя решены различные задачи дифракции в неоднородных трехмерных упругих средах.
Построенные в диссертации асимптотические разложения сосредоточенных вблизи экстремалей интеграла Ферма решений динамических уравнений теории упругости для неоднородных трехмерных сред и названные впоследствии гауссовыми пучками, нашли свое применение в методе расчета упругих волновых полей, дающего единое представление как в областях регулярного поведения поля лучей, так и на каустиках произвольной геометрической структуры. Кроме того, эти решения отличны от нуля лишь в малой трубчатой окрестности фиксированного луча и не имеют сингулярностей при продолжении их вдоль центрального луча независимо от того, попадет ли этот луч на
каустику или нет. Гауссовы пучки можно отражать и преломлять, но нельзя допускать того, чтобы какой-либо из лучей касался границы отражения (или преломления). Для нестационарных задач возникают пространственно временные (ПВ) гауссовы пучки с аналогичными свойствами. Интерес к такого рода асимптотическим решениям возник в связи с созданием лазеров.
Идея получения новых и важных асимптотических решений с помощью суммирования элементарных решений, восходящая к работам О.Френеля, оказалась весьма плодотворной. Так, исследование фундаментальных решений гиперболических уравнений с переменными коэффициентами основываются на суммировании лучевых решений. Поэтому так важно знание последующих приближений к лучевому разложению решений уравнений теории упругости для неоднородных сред. Этому вопросу посвящена одна из глав диссертации.
D.Luchvig построил коротковолновую асимптотику задачи дифракции волны на гладком выпуклом препятствии, суммируя каустические решения. Построенная асимптотика поля справедлива как в зоне тени, так и в полутени. Однако методика этой работы не распространяется ни на краевое условие Неймана, ни на векторные задачи. Автору диссертации удалось преодолеть эти трудности, вводя новый параметр задачи и используя двухмасштабное асимптотическое разложение каустических решений.
Найденные в диссертации асимптотические разложения могут быть применены для практического расчета волновых полей при подземных взрывах, производимых, например, при геологической разведке или ядерных испытаниях, а также в других случаях при построении теоретических сейсмограмм в неоднородных упругих средах. Обобщенные волны Релея, распространяющиеся вдоль свободной от напряжений гладкой поверхности, ограничивающей неоднородное упругое тело, являются моделью к наиболее интенсивным, но распространяющимся с самой медленной скоростью волнам, ответственным за самые разрушительные последствия землетрясений.
В связи с этим тема диссертации является актуальной и представляет значительный интерес как для математической физики, так и для различных ее практических приложений в областях теории упругости, акустики, геофизики, сейсморазведки и т.д.
Цель работы состоит в разработке асимптотического метода по-
граничного слоя для нерегулярных волновых полей и в применении его к решению большого класса дифракционных задач теории упругости, при этом существенно в неоднородных трехмерных средах. Особенно подробно рассмотрены поверхностные волны и волны, сосредоточенные в окрестности лучей (экстремальных кривых), а также изучено поведение нестационарного волнового поля и его особенностей вблизи каустики ПВ лучей. Асимптотический метод пограничного слоя, или метод локальных разложений, предложенный в диссертации, позволил решить ряд новых задач теории дифракции и обнаружил себя как весьма универсальный метод, позволивший взглянуть с единой точки зрения па довольно разные задачи.
Научная новизна. Основные результаты /плссертагпяи. Перечисленные ниже выносимые на защиту результаты диссертации являются новыми и получены впервые автором.
1). Предложен метод пограничного слоя нахождения высших приближений асимптотического разложения решений в зонах как регулярного, так и нерегулярного поведения лучевого поля. В основе метода лежит получение рекуррентной последовательности уравнений для коэффициентов искомого разложения по обратным степеням большого параметра (различного для каждой из рассматриваемых областей и задач). Необходимые и достаточные условия разрешимости этих уравнений с соответствующими граничными или начальными условиями дают рецепт нахождения уравнений переноса для определения коэффициентов разложения решения.
Метод локальных разложений позволил взглянуть с единой точки зрения на довольно разные задачи дифракции, которые представлены в диссертации. Этот метод приводит к эффективному математическому аппарату, что дает основание говорить о естественности применения методики пограничного слоя к различным рассмотренным задачам. Соответствующие формулы оказываются удобными и с вычислительной точки зрения.
Суть метода заключается в следующем. В пограничном слое волновое поле представляется асимптотическим разложением, коэффициенты которого удовлетворяют системе рекуррентных уравнений, причем в каждом конкретном случае эта система для разных задач различна. Далее разложение из одного пограничного слоя продолжается в решение другого пограничного слоя. Характерными чертами ме-
тодики пограничного слоя, общими для различных задач, являются: стандартная система рекуррентных уравнений со своими операторами и лемма единственности (о продолжении разложений пограничного слоя в другие области) или ее заменитель — двухмасштабное разложение .
2). С помощью разработанной методики пограничного слоя получено решение ряда динамических задач акустики и имеющих существенно векторный характер динамических задач теории упругости для трехмерных неоднородных сред. При этом вектор смещений упругой среды вблизи поверхности выбирается в виде суммы продольной и поперечной волн, удовлетворяющих граничным условиям свободной от напряжений границы.
Перечислим решенные задачи.
Построены решения уравнений упругости, сосредоточенные в окрестности границы и распространяющиеся вдоль луча поперечной волны. Продольная волна подобна волне Релея и убывает при удалении от границы вглубь тела. Поперечная волна сосредоточена в приповерхностном объемном волноводе вблизи луча и соответствует собственным функциям типа шепчущей галереи. Рассмотрены два вида поперечных смещений: по направлению нормали к поверхности п перпендикулярно плоскости нормального сечения поверхности вдоль луча.
Исследована дифракция построенных в предыдущей задаче волн на линии разрыва кривизны поверхности тела. При атом иопереч-пые волны с различными поляризациями и соответственно с различными граничными условиями Дирихле или Неймана согласовываются на этой линии.
Найдены решения, сосредоточенные одновременно в приповерх-постном объемном волноводе и на поверхности вблизи экстремального луча подобно волнам прыгающего мячика.
Используя теорему И.Г.Петровского о разрыве, перемещающемся вдоль поверхности со скоростью, близкой к релеевской скорости, построены обобщенные волны Релея для трехмерного неоднородного упругого тела, ограниченного поверхностью произвольной формы.
Найдены волпы Реяея, распространяющиеся по произвольной свободной от напряжений поверхности и сосредоточенные вблизи луча релеевской волны.
Построены акустические волпы соскальзывания и проведено их
согласование с волнами Фридлендера-Келлера в теневой области.
3). При нахождении высших приближений асимптотического разложения вектора упругих смещений, сосредоточенных вблизи свободной от напряжений границы, построены обобщенные функции Грива задач Штурма-Лиувилля с краевыми условиями Дирихле и Неймана.
4). Проведено дальнейшее развитие метода локальных разложений: вместо согласования решений из одной характерной области в другую с использованием лемм единственности применяется метод двухмасштабного разложения с использованием коэффициентов ряда Лорана по малому параметру. Разработанный метод позволил не только расширить область применимости полученных разложений, но и находить высшие приближения для более сложных граничных условий при исследовании поверхностных волн в теории упругости.
5). Методом локальных разложений для поля нестационарной продольной волны, распространяющейся в упругом неоднородном трехмерном пространстве и заданной своим ПВ лучевым представлением, построено поле в непосредственной окрестности каустики, образованной семейством заданных ПВ лучей.
6). Классическая задача исследования особенностей волнового поля в окрестности каустики, образующейся при движении волнового фронта в среде с переменной скоростью, рассмотрена ПВ лучевым методом. Полученное решение обладает простотой, наглядностью и универсальностью по отношению к различным классам разрывов на фронте нестационарной волны.
7). ПВ лучевым методом для неоднородной трехмерной среды найден закон отражения ПВ лучевых амплитуд от движущейся гиперповерхности в четырехмерном пространстве (пространственные координаты, время). Получен аффект Доплера для ПВ волны, относительно движущейся гиперповерхности. Следует заметить, что как каустика ПВ лучей, так и движущаяся гиперповерхность являются времени-подобными поверхностями.
8). ПВ лучевым методом получены следующие за главным приближения ПВ лучевого представления вектора продольных смещений неоднородной трехмерной упругой среды.
Достоверность полученных результатов вытекает из полноты и математической строгости постановки задач, приводимых рассуждений и доказательств, а также контролируется сравнениями в тех слу-
чаях, которые имеются в научной литературе.
Методика исследования. Лля достижения цели работы в диссертации применяются различные методы математической физики, теории дифференциальных уравнений, теории упругости, римаповой геометрии, тензорного анализа, гамильтоновой механики, вариационного исчисления и др.
Основной метод исследования рассматриваемых в диссертации волповых процессов — асимптотический. Здесь наиболее важным и наиболее распространенным является лучевой метод, который дает наглядную качественную картину развития волновых процессов в неоднородных средах и хорошо согласуется с интуитивным представлением о распространяющихся вдоль лучей потоках энергии .
Даже в тех случаях, когда известно точное решение какой-либо задачи, как правило, рассматривают коротковолновую асимптотику точного решения, чтобы представить качественный характер поведения решения.
Для нерегулярных волповых полей (каустики, неоднородности, препятствия, поверхности разрывов непрерывности кривизн или градиентов скоростей распространения и т.д.) лучевой метод требует существенного видоизменения, и тогда следует применять, например, дифракционный вариант метода пограничного слоя.
В процессе исследования различного класса задач, связанных с нерегулярным полем лучей, автор для их решения разработал метод локальных разложений (мегод пограничного слоя): исследуемая область делится на характерные области, и в каждой из них решение ищется в некотором присущем данной области специфическом виде, который свойственен физике явлений для данной области.
Следует отметить, что дифракционный вариант метода пограничного слоя сталкивается с серьезной трудностью: локальные разложения должны быть согласованы друг с другом. Согласование локальных разложений, да еще во всех приближениях, является непростой задачей, однако, как правило, разрешимой. Здесь па помощь приходится привлекать специфическую аналитическую технику, связанную с так называемыми леммами единственности, впервые сформулированными В.М.Бабичем при исследовании поведения волны, заданной своим лучевым разложением вблизи каустики. Другой возможный путь — продолжение решения из одной области в другую проводится пу-
тем введения нового параметра задачи. Здесь согласование решений в разных областях, а следовательно, и с разными асимптотическими разложениями, производится методом двухмасштабпого асимптотического разложения решения.
Для всех классов задач, которые предложены, разработана методика нахождения высших приближений асимптотического разложения решений в зонах как регулярного, так и нерегулярного поведения лучевого поля. Эта методика основана на получении рекуррентной последовательности задач для коэффициентов формального асимптотического разложения решения по обратным степеням большого параметра (различного для каждой из рассматриваемых областей и задач). Необходимые и достаточные условия разрешимости этой серии задач на .(п -+- 1)-ом шаге дают нам рецепт получения так называемых уравнений переноса для определения n-ых коэффициентов разложения решения.
Используемая методика и получила название метода пограничного слоя или метода локальных разложений.
Интенсивное развитие асимптотических методов решения задач математической физики, относящихся к теории распространения решений гиперболических уравнений, позволило весьма эффективно исследовать волновые процессы в неоднородных средах. В связи с этим возник ряд новых задач, имеющих специфические для неоднородных сред особенности.
Асимптотические методы позволили исследовать в диссертации не только задачи, связанные с гладкими объектами, но и позволили рассмотреть эффекты влияния на процессы распространения волн произвольного вида экстремумов скоростей, каустических поверхностей и т.п., а также решить модельные задачи в тех случаях, когда различные среды имеют особенности типа линий разрыва кривизн, градиентов скоростей.
Теоретическая и практическая значимость. Хотя работа имеет теоретический характер, ее результаты имеют как теоретическую, так и практическую ценность. Наиболее важным теоретическим результатом является разработка метода пограничного слоя — аналога лучевого метода для нерегулярных волновых полей.
Бесспорно перспективное направление — применение метода пограничного слоя для уравнений теории упругости, имеющих суще-
стпенно векторный характер, для неоднородных трехмерных сред и вблизи произвольных поверхностей раздела, что приближает эти задачи к реальным физическим и геофизическим проблемам.
Сложность динамических уравнений теории упругости, имеющих существенно векторный характер, в неоднородных трехмерпых средах увеличивается при рассмотрении этих уравнений вблизи произвольных поверхностей раздела, вблизи экстремальных кривых или в окрестности каустик.
Найденные автором различного класса сосредоточенные решения типа гауссовых пучков, типа волн шепчущей галереи, волн соскальзывания много позже были применены в методе суммирования гауссовых пучков для представления поля в упругих неоднородных средах, а также были использованы различными зарубежными авторами: чешскими V.Cherveny, I.Pshenchik при более позднем написании статьи, подобной статье автора "Сосредоточенные вблизи лучей решения уравнений теории упругости для неоднородной среды", американским K.Yomogida, исследующим сосредоточенные волны Релея, французским D.Bouche, использующим методику пограничного слоя для нахождения электромагнитных волн соскальзывания и согласования с волнами Фридлендера-Келлера.
Приложения методики пограничного слоя к исследованным в диссертации задачам дифракции, разумеется, не исчерпываются только этими примерами. Так, некоторые общие черты с методикой пограничного слоя имеют несколько более ранняя интересная работа В.С.Буслаева, в которой рассматривается задача о точечном источнике колебаний на выпуклом теле, серия работ американских авторов, посвященных задачам с острыми кромками, и несколько работ E.Zauderer, G.S.Avila и J.B.Keller.
Добавим, наконец, что методика пограничного слоя показала, что между асимптотическими методами в теории дифракции и асимптотическими методами в других областях математической физики больше общих черт, чем думалось раньше. Особенно интересны в этой связи казалось бы далекие от задач дифракции монографии Н.Н.Боголюбова и Ю.А.Митропольского "Асимптотические методы в теории нели-пейпых колебаний", В.П.Маслова "Теория возмущений и асимптотические методы", В.А.Марченко и Е.Я.Хруслова "Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей", С.А.Назарова и Б.А.Пламепев-ского "Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей"
и статьи М.И.Вишика, Л.А.Люстерника "Регулярное вырождение и пограничный слой для дифференциальных уравнений с малым параметром при старшей производной", С.Ю.Доброхотова, В.П.Маслова " Конечнозонные почтипериодические решения в ВКВ приближении ", С.А.Назарова "Асимптотика по малому параметру решения эллиптической краевой задачи в области с конической точкой".
Теоретические результаты и методы диссертации находят практическое применение в геофизических методах построения сейсмограмм, помогают эффективно исследовать волновые процессы в неоднородных упругих средах. Разработанные методы позволяют исследовать влияние на волновые процессы произвольного вида экстремумов скоростей, разрывов кривизн, каустических поверхностей, а так же помогают строить решения, сосредотачивающиеся вблизи некоторых экстремальных кривых. Эти решения отличны от нуля лишь в малой трубчатой окрестности фиксированного луча и не имеют сингуляр-яостей при продолжении их вдоль центрального луча независимо от того, попадет ли этот луч на каустику или нет. Интерес к такого рода асимптотическим решениям возник и не угасает в связи с созданием и непрерывным усовершенствованием лазеров.
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на VI Всесоюзной акустической конференции (январь 1968, Москва), на II Международном рабочем совещании "Сейсмическая анизотропия. Результаты. Проблемы. Возможности." (20-27 мая 1986, Москва), на VIII Всесоюзном симпозиуме по распространению упругих и упругопластических волн (Новосибирск, 1987), па Международной конференции в Эйлеровском международном математическом институте "Спектральная теория и теория распространения волн" (15-26 ноября 1993, Санкт-Петербург) на Международной пауч-ной конференции "День дифракции" (1994, Санкт-Петербург).
Результаты диссертации неоднократно докладывались на общегородских семинарах проф. В.М.Бабича по теории дифракции и распространению волн в С.-Петербургском отделении Математического института им. В.А.Стеклова РАН, на геофизических семинарах в Карловарском государственном университете в Чехословакии и на семинаре в Геофизическом институте ЧСАН (г. Прага), на семинаре акад. В.И.Кейлис-Борок в институте Физики Земли РАН, на семинаре лаборатории геофизических проблем в Потсдамском Институте Физики
Земли и др.
Монография [9] (совместная с В.М.Бабичем), содержащая изложение метода пограничного слоя в задачах дифракции, переведена па ипосхраиный язык, широко известна и используется в научной работе как в России, так и за границей.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 30 научных работах [1-30], список которых представлен в копце автореферата.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения и четырех глав, разбитых на параграфы. Параграфы, в свою очередь, разбиты на пункты. Общий объем диссертации — 274 страницы машинописного текста. Имеется 2 рисунка. Снисок литературы содержит 204 наименования.
