Введение к работе
Актуальность темы.
Широкий класс задач, возникающих в приложениях, приводит к необходимости изучения начально-краевых задач для интегродифференциальных уравнений.
Укажем ряд задач, которые естественно приводят к необходимости исследования упомянутых интегродифференциальных уравнений.
1. Задачи распространения тепла в средах с памятью.
В работе М. Е. Гуртина, А. С. Пипкина 1 было выведено интегродиф-ференциальное уравнение, описывающее процесс распространения тепла в средах с памятью с конечной скоростью, которое имеет вид
utt(x}t) = aAxu(t}x) + / K'(t — s)Axu(s,x)ds + f(x,t).
По-видимому, после этой работы в зарубежной литературе уравнения указанного вида стали называться уравнениями Гуртина-Пипкина. Наряду с уравнениями второго порядка по временной переменной/: рассматриваются и уравнения первого порядка вида
Ut(x,t) = / K(t-r)Axu(x,r)dr + f(x,t). Jo
Уравнение такого вида изучалось в работе Л. Пандолфи2. Уравнения указанного вида также называют уравнениями Гуртина-Пипкина.
В книге А. В. Лыкова 3 исследуются различные модели теплопроводности с памятью, среди которых при определенных значениях параметров возникает и модель, соответствующая уравнению Гуртина-Пипкина. В работе С. А. Иванова, Л. Пандолфи изучаются вопросы управления решениями уравнения Гуртина-Пипкина с помощью граничных и распределенных воздействий.
2. Теория вязкоу пру гости, задачи наследственной механики.
^^Gurtin М. Е., Pipkin А. С. Theory of heat conduction with finite wave speed// Arch. Rat. Mech. Anal., 1968, 31, p. 113-126.
2Pandolfi L. The controllability of the Gurtin-Pipkin equations: a cosine operator approach. // Appl. Math. Optim., 2005, 52, p. 143-165.
3A.В.Лыков Проблема тепло- и массообмена — Минск, „Наука и техника", 1976.
4Ivanov S., Pandolfi L. Heat equations with memory: lack of controllability to the rest. // Jornal of Mathematical analysis and applications, 2009, 355, p. 1-11.
В теории вязкоупругости ядро свертки К{t) определяется в результате эксперимента. Полученные кривые нередко приближают функцией
г e-tr
Kit) ~ / ф(т),
где положительная мера dfi с компактным носителем определяется возрастающей, непрерывной справа функцией распределения /і. Интеграл понимается в смысле Стильтьеса. Динамика одномерной вязкоупругости среды описывается следующим уравнением второго порядка по временной переменной t
putt = kuxx + /3utxx + I K'(t - r)uxx(x, r)dr + f(x, t).
Последнее уравнение интегрированием no t может быть преобразовано в уравнение, аналогичное уравнению Гуртина-Пипкина с дополнительным слагаемым (Зихх. Это слагаемое соответствует в исходной модели мгновенному трению Кельвина-Фойгхта. 3. Теория сильнонеоднородных сред. Теория усреднения.
В теории сильнонеоднородных сред уравнение Гуртина-Пипкина возникает в результате процедуры усреднения двухфазной среды, состоящей из двух жидкостей. Предполагается, что смесь имеет периодическую структуру (модельный случай) и линейные размеры одной ячейки периодичности равны по величине є, где є - малый параметр. Предельный переход при є->0в краевых задачах для описанной выше двухфазной среды исследован в книге Э. Санчес. Паленсия 5 (см. также работы В. В. Жикова 6 и Г. В. Сандракова ). В результате предельного перехода при е^-Ов решении указанной краевой задачи для двухфазной среды получается уравнение на предельное звуковое давление. Это уравнение имеет вид
Pt= divD(t)Vxp(x,r)dr, х = (хі,х2,хз), Jo
где D{t) - так называемая „динамическая матрица Дарси", коэффициенты которой dijit) - функции времени, представляющие собой сходящиеся ряды
5Санчес. Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний. — М., „Мир", 1984.
6Жиков В. В. Об одном расширении и применении метода двухмасштабной сходимости// Математический сборник., 2000, 191:7, с. 31-72.
7Сандраков Г. В. Многофазные осредненные модели диффузии для задач с несколькими параметрами// Известия РАН. Серия математическая, 2007, 71:6, с. 119-172.
экспонент с положительными коэффициентами
к=1
Если включение одной фазы в другую в пределах одной ячейки периодичности обладает полной симметрией (т.е. оно симметрично относительно трех взаимно-перпендикулярных плоскостей симметрии в трехмерном случае), то матрица D{t) является диагональной матрицей и определяется одним диагональным элементом d(t), для которого имеет место представление
d(t) = y%-^ + co.
Если рассматривать только однородные движения для усредненной (эффективной) среды (все неизвестные функции зависят от одной пространственной переменной Х\), то уравнение для звукового давления примет вид уравнения Гуртина-Пипкина, причем
где (а это имеет существенное значение для анализа собственных колебаний рассматриваемой среды)
У~ < ос, Уск = оо. (1)
к=1 ^к к=1
Последние два условия означают, что величина К(0) конечна, но производная К'{t) имеет особенность в точке t = 0 (K'(t) Є Li(IR_|_)). Эти условия могут быть доказаны строго, с помощью методов теории усреднения (см., например, книгу Э. Санчес. Паленсия 5).
Если бы микроструктура смеси жидкостей имела бы непрерывную плотность из пространства Wl (т.е. смесь не имела бы резких границ между фазами), то были бы выполнены условия
У~ < ОС, ^Cjfe<00, (2)
k=l ^k k=l
что соответствует конечности величин К(0) и К'(0)(т.е. К'(і) Є H^IL^)). Подробное изложение этого круга вопросов содержится в работе Д. А. Космодемьянского и А. С. Шамаева 8. В диссертации показано, какое значение имеет выполнение условий конечности (или бесконечности) величины К'(0) для качественного анализа спектральных свойств уравнения Гуртина-Пипкина.
Здесь необходимо отметить работы В. В. Жикова ' 9, в которых проведено подробное исследование близких задач для интегродифференциаль-ных уравнений, главная часть которых представляет собой параболическое уравнение. 4. Кинетическая теория газов.
Уравнения, по структуре и свойствам напоминающие исследуемое в настоящей работе уравнение Гуртина-Пипкина, возникают в кинетической теории газов. В кинетической теории газов уравнения сплошной среды выводятся из законов попарного взаимодействия молекул. Из уравнения Больцмана с помощью метода Грэди можно вывести цепочку уравнений для моментов. Моменты - это усреднения функции распределения молекул по координатам и скоростям по переменным скорости с определенными весами. В частности, обычные компоненты системы Навье-Стокса - скорость, давление, плотность (как функции пространственных переменных и времени) - могут быть представлены как моменты в цепочке моментных уравнений.
Уравнение Навье-Стокса может быть получено из моментной системы с помощью процедуры, описанной в работе В. В. Палина, Е. В. Радкевича10. Применение указанной процедуры приводит к системе типа Навье-Стокса с интегральными членами типа свертки. В качестве модельного примера приведем уравнение
—^- + и {и)'х = є / - е~~^ ']ol\v!'xx{x, т)(іт.
Ot Jq є
При отбрасывании нелинейного члена последнее уравнение совпадает с исследуемым в данной работе уравнением Гуртина-Пипкина. В более общих случаях аналогичная система для консервативных переменных будет
8Космодемьянский Д. А., Шамаев А. С. О некоторых спекральных задачах в пористых средах, насыщенных жидкостью // Современная математика. Фундаментальные направления, 2006, 17, с. 88-109.
9Жиков В. В. О двухмасштабной сходимости // Труды семинара им. И. Г. Петровского, 2003, вып. 23. М., „МГУ", с. 149-187.
10Палин В. В., Радкевич Е. В. Законы сохранения и их гиперболические регуляризации // Современные проблемы математики и механики, 2009, 5:1, Дифференциальные уравнения, с. 88-115.
сложнее, однако по своим свойствам она напоминает уравнение Гуртина-Пипкина.
Основное внимание в диссертации уделено вопросам корректной разрешимости интегродифференциальных уравнений, а также спектральным вопросам, включающим в себя исследование оператор-функций, являющихся символами (аналогами характеристических многочленов), рассматриваемых интегродифференциальных уравнений. В связи с этим, естественней и удобнее рассматривать интегродифференциальные уравнения с операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве (абстрактные интегродифференциальные уравнения), которые при необходимости могут быть реализованы как интегродифференциальные уравнения с частными производными по пространственным переменным. Самосопряженный положительный оператор А, фигурирующий в дальнейшем, может быть реализован, в частности, как А2у = —у"{х), где х Є (0,7г), у{0) = у {її) = О, либо как А у = —Ау с условиями Дирихле в ограниченной области с гладкой границей. Также, возможен случай Ау = —у"(х), где х Є (0,7г), у(0) = у {'її) = 0, или Ау = —Ау с условиями Дирихле в ограниченной области с гладкой границей.
В настоящее время имеется множество работ, посвященных изучению вопросов разрешимости и асимптотического поведения решений интегродифференциальных уравнений в банаховых и, в частности, в гильбертовых пространствах. Отметим, что изучение интегродифференциальных уравнений с операторными коэффициентами в этих пространствах является естественным развитием теории операторно-дифференциальных уравнений и тесно связано с теорией полугрупп, берущих свое начало с работ Т. Като, Э. Хилле, Р. Филлипса, С. Г. Крейна, а также нашедших отражение в недавней монографии К. Енгела и Р. Г. Найгела.
В дальнейшем, исследования дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами были продолжены в работах ряда авторов. Ограничимся здесь упоминанием работ С.Агмона и Л. Ниренберга п и А. А. Шкаликова 12 (см. также указанную в них библиографию).
Изучение интегродифференциальных уравнений с операторными коэффициентами естественно приводит к исследованию оператор-функций, яв-
nAgmon S., Nirenberg L. Properties of solutions of ordinary differential equations in Banach Space// Pure and Appl. Math, 1963, 16, p. 121-239.
12Шкаликов А. А. Эллиптические уравнения в гильбертовом пространстве и спектральные задачи, связанные с ними// Тр. семин. им. И. Г. Петровского, 1989, 14, с. 140-224.
ляющихся символами (аналогами характеристических многочленов) указанных уравнений.
Изучением интегродифференциальных уравнений, главной частью которых является абстрактное параболическое уравнение, занимались многие авторы. Ограничимся здесь упоминанием наиболее близких к предмету рассмотрения работ В. В. Власова 13 14, Я. Прюсса 15, Дж. By 16(см., также указанную в них библиографию).
Значительно меньше работ, посвященных интегродифференциальным уравнениям, главной частью которых является абстрактное волновое уравнение. Наиболее близкими к предмету рассмотрения являются работы В. Дэша и Р. К. Миллера 17, Н. Д. Копачевского и С. Г. Крейна 18, А. И. Милославского 19, В. В. Власова и Дж. By20.
Цель работы.
Получить результаты о корректной разрешимости начально-краевых задач для некоторых классов интегродифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве, возникающих в приложениях.
Провести спектральный анализ оператор-функций, являющихся символами рассматриваемых уравнений. Исследовать асимптотику комплексной части спектра, в зависимости от свойств ядер рассматриваемых интегродифференциальных уравнений.
Получить результаты о представлении сильных решений интегродифференциальных уравнений в виде сумм рядов по экспонентам, отвеча-
13Власов В. В. О разрешимости и свойствах решений функционально-дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве // Математический сборник, 1995, 186:8, с. 67-92.
14Власов В. В., Медведев Д. А. Функционально-дифференциальные уравнения в пространствах Соболева и связанные с ними вопросы спектральной теории // Современная математика. Фундаментальные направления. 2008, 30, с. 3-173.
15Pruss J. Evolutionary Integral Equations amd Applications// Monographs in Mathematics. 1993, 87, Birkhauser Verlag. Basel-Baston-Berlin.
16Wu J. Theory and applications of partial functional differential equations, New York: Springer, 1996. (Appl. Math. Sci.; 119).
17Desch W., Miller R. K. Exponential stabilization of Volterra Integrodifferential equations in Hilbert space II J. Differential Equations, 1987, 70, p. 366-389.
18Копачевский H. Д., Крейн С. Г. Operator approach to Linear // Problems of Hydrodynamics. Vol. 2. Nonself adjoint Problems for Viscous Fluids, Berlin: Basel-Boston, 2003.
19Милославский А. И. Спектральные свойства операторного пучка, возникающего в вязкоупругости // Депонировано в Укр. НИИНТИ. 13.07.87., № 1229-УК87. Харьков, 1987, С. 53.
20Власов В. В., By Дж. Спектральный анализ и разрешимость абстрактных гиперболических уравнений с последействием // Дифференциальные уравнения, 2009, 45(4), с. 524-533.
ющим точкам спектра указанных оператор-функций. На этой основе получить результаты о структуре и асимптотических свойствах решений изучаемых интегродифференциальных уравнений.
Методика исследования.
В работе применяются методы функционального и комплексного анализа, а также методы теории дифференциальных уравнений в частных производных.
Научная новизна.
В диссертации получены новые результаты, основные из них состоят в следующем:
Получены новые результаты о корректной разрешимости начально-краевых задач в пространствах Соболева вектор-функций на положительной полуоси для интегродифференциальных уравнений первого и второго порядка по временной переменной, включающих в себя задачи с трением Кельвина-Фойгхта.
Проведен спектральный анализ оператор-функций, являющихся символами интегродифференциальных уравнений: установлена общая структура спектра, получены асимптотики вещественной и комплексной частей спектра указанных оператор-функций. Изучена зависимость локализации спектра от свойств ядер интегральных операторов, входящих в изучаемые уравнения.
Получены результаты о представлении решений в виде сумм рядов по экспонентам, отвечающим точкам спектра оператор-функций, являющихся символами изучаемых уравнений. На основе этого изучены асимптотические свойства решений упомянутых уравнений.
Теоретическая и практическая ценность.
Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть полезны как специалистам, работающим в области дифференциальных уравнений в частных производных и функционального анализа, так и в исследованиях прикладного характера.
Апробация работы.
Результаты диссертации были доложены на следующих научных семинарах:
семинар "Асимптотические методы для уравнений математической физики" кафедры дифференциальных уравнений механико-математического факультета МГУ под руководством проф. В. В. Жи-кова, проф. Е. В. Радкевича, проф. А. С. Шамаева, проф. Т. А. Шапошниковой (2009-2011 гг., неоднократно);
семинар "Интегродифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения и их спектральный анализ" кафедры математического анализа механико-математического факультета МГУ под руководством проф. В. В. Власова, проф. А. С. Шамаева (2009-2011 гг., неоднократно);
семинар "Операторные модели в задачах математической физики" кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ под руководством проф. А. А. Шкаликова (2009-2011 гг., неоднократно);
семинар по теории функций кафедры теории функций и функционального анализа механико-математического факультета МГУ под руководством проф., чл.-корр. РАН Б. С. Кашина, проф. Б. И. Голубова, проф. М. И. Дьяченко, проф. С. В. Конягина (2011 г.);
семинар "Негармонический анализ" кафедры математического анализа механико-математического факультета МГУ под руководством проф. А. М. Седлецкого (2011 г.).
семинар по дифференциальным уравнениям в частных производных МИРАН им. В. А. Стеклова под руководством проф. В. П. Михайлова и проф. А. К. Гущина (2011 г.).
Результаты диссертации были доложены также на следующих научных конференциях:
Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2010);
Международная конференция „Качественная теория дифференциальных уравнений и приложения" (Москва, МЭСИ, 2010);
Международная конференция „Актуальные направления развития прикладной математики в энергетике, энергоэффективности и информационно-коммуникационных технологиях", посвященная 180-летию МГТУ им. Н. Э. Баумана (Москва, МГТУ);
Воронежская зимняя математическая школа „Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж;, 2011);
Международная конференция „Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященная памяти И. Г. Петровского (Москва, МГУ, 2011).
Публикации.
Результаты диссертации опубликованы в 9 работах автора, 3 из которых опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК.
Структура и объем диссертации.
