Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Существование и единственность решения смешанной задачи 17
I. Интегральные неравенства и непрерывность , . оператора суперпозипии 18
2. Сведение решения задачи (0.1)-(0.3) к решению счетной системы нелинейных интеграль ных уравнений 32
3. Существование и единственность решения счетной системы нелинейных.интегральных уравнений 42
ГЛАВА II. Нешрерьюная зависимость решения смешанной задачи от данных и неко.торые вопросы приближенного решения . 78
I. Зависимость.решения смешанной задачи от данных 79
2. Теоремы о единственности решения 101
3. Некоторые вопросы.приближенного решения , задачи (0.1)-(03) 112
Литература 14
- Сведение решения задачи (0.1)-(0.3) к решению счетной системы нелинейных интеграль ных уравнений
- Существование и единственность решения счетной системы нелинейных.интегральных уравнений
- Теоремы о единственности решения
- Некоторые вопросы.приближенного решения , задачи (0.1)-(03)
Введение к работе
Основным вопросом диссертационной работы является исследование смешанных задач для квазилинейных .уравнений, у которых внешняя сила возбуждения зависит от искомой функпии и её производных, причем имеет неинтегрируемую особенность в начале временной координаты, в силу чего решение теряет свойства единственности и корректности в смысле А.Н.Тихонова. Следовательно задача становится некорректной.
Распространение различных волн: упругих, звуковых, электромагнитных, а также колебательные явления при больших амплитудах описываются нелинейными гиперболическими уравнениями. .
В релятивистской квантовой механике рассматривается смешанная задача для уравнения
U,, = AU^|uru + |ct,x),
в теории плазмы встречаются смешанные задачи для уравнения типа ]33~\
Исследования некорректных смешанных задач представляют значительный интерес как в теоретическом, так и в прикладном аспектах, когда нелинейные возмущения относительно времени имеют неинтегрируемую особенность, например, как в уравнении Дарбу: ТЛ-.^ДЦ."^-!*- , вырождающемся при "t~0 , если записать его в виде т. L*U.+i"* AU.^ -Ч-ЛІ , . Следовательно актуальность темы диссертации безусловна. Как известно, в последнее время, под руководством
- 4 -академиков А.Н.Тихонова [42] , М.М.Лаврентьева [27] , члена-корреспондента АН СССР В.К.Иванова \іВ\ интенсивно развивается теория некорректных задач. Возникает необходимость, пользуясь идеями методов некорректных задач, развивать существующие метода исследований смешанных задач, рассмотреть более общие .дифференциальные уравнения, охватывающие многие классические случаи.
Созданы различные методы для решения линейных и нелинейных смешанных задач. С помощью рядов Фурье построены и обоснованы различного вида решения смешанных.аадач для линейного.гиперболического уравнения в работах С.Л.Соболева [40] , О.А.Ладыженской ]23\ , В.А.Ильина ^19] , З.И.Халилова [43] и др.
Исследованиями смешанных задач для квазилинейных уравнений занимались Л.Лихтенштейн ]31\ , М.Кржижанский [26] , И.Шау-дер[2б] , Л.Лионе ^29,30] , А.В.Бипадзе [б] , А.И.Гусейнов [II,12,13} , Г.И.Чандиров ^46,47] , К.И.Худавердиев [l2] , К.К.Гасанов [п] , А.Д.Искандеров \_2l] , С.Я.Якубов [48] и другие.
В данной работе нелинейным методом Фурье с сочетанием методов исследования некорректных задач теории дифференциальных уравнений изучается влияние порядка особенности при "t-О нелинейного возмущения на вопросы существования решения, скорости сходимости итерационных процессов, непрерывной зависимости от данных, единственности и приближенного нахождения слабого решения следующей некорректной смешанной задачи.
Найти фушшию VL(x,X), удовлетворяющую уравнению
эс ) (0.1) в области О ~(чО,Т)Х Я » начальным условиям
и граничному условию
B>nU^0 . (о.з)
Здесь Q С t ', t —S - мерное эвклидово пространство, IMX), VjJ\X) , Т(Д, X, IL,U,UI)- заданные функпии,причем ^ІХ),\іГ(Х) определены в области Q , а У(Д ,X,U,lT,UT)
в области ^^^Ні^іШі'^іУЬ^З \\ >^V->5.
Функция относительно l может иметь
особенности вида:
и тт \лГ
1 г г фи
^1^2., К:з- постоянные, U^^p ^осЧ11Эс1'иэс!1',,^1/1а:Р Иг?- симметричное положительно определенное дифференциальное выражение, которое вместе с граничным оператором и„ порождает оператор U , имеющий чисто точечный,спектр В л/2.^9)* Уравнение (0,1) содержит в себе уравнение Дарбу.
В качестве основных положений, полученных в .диссертации отметим:
обоснование процесса Пикара для существования и единственности слабого решения; теоремы о непрерывной зависимости от данных; теорему единственности типа Перрона и Браудера, ^б] ; являющихся обобщением работ Чандирова Г.И. и его учеников, в которых нелинейное возмущение зависит только от искомой функции и имеет особенность конкретного вида.
В представленной работе, в отличие от известных нам работ,
в зависимости от порядка особенности коэффициента Липшица, нелинейного возмущения 3~ и свойств оператора /j выделены ноше классы функций, где получена частичная корректность задачи; для построения приближенного решения обоснован метод квазилинеаризапии; изучено влияние порядка особенности коэффициента Лишцица нелинейного возмущения $ при Г = 0 на скорости сходимости процесса Пикара; аналогично, как и в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, дано по-, нятие особого решения и выяснены достаточные условия устойчивости этого решения в определенном смысле.
Для исследования задачи (0.1) - (0.3) определим следующие классы функций:
щ01Ь &сТЦо^у.аД.ЦаД\а д ,ЛМу ^Ш
Iv.^-ijlj'b,...!, Выделим следующие подмножества :
Ч,
l&p^l,y^0 , 0^V|_^t , $,^,^-1 или 0
Если определить нормы в этих множествах следующим образом:
*
Pfp МЛ
Р>Н то можно показать, что они становятся пространствами Банаха,
Эти пространства будем называть пространствами типа В При исследовании задачи (0.1)-(0.3) мы различаем два вида операторов ~W : а) - w - имеет полную ортонормированную систему ) ЦуДХ) I собственных функций в "(k^tA) (условие I);
б) оператор- W удовлетворяет условию I, причем множество собственных функций ограничено по совокупности и
со і
где - Л ^ соответствующие собственные значения оператора, (J
YVl^SCl < +, (условие 2). Условие 2 сужает класс операторов tv .
Б случае, когда оператор w удовлетворяет условию I и для J имеет место опенка
задача (О,I)-(0.3) исследуется в пространстве D ' ( Г) ,а когда У удовлетворяет условию
I . ,|Ul lir| lurl
исследуется в пространстве
Здесь tlt^el»^) , dcbe^alO J)
А в случае, когда для оператора N имеет место условие
2) и 7 удовлетворяет условиям
\\Х\ , l VJ" 1
13U,*, а дп\ і Ш ,*> -ij-t + а u^
во,о и Л4І(Т)
задача изучается в пространствах ~ л ... ~ ~
*,± ад
соответственно; здесь
В случае, когда функция 7 не зависит от LLX , удается расширить класс операторов U
Для исследования решения в случае, когда коэффиодент
Липшица имеет особенность вида I (Д^^СЙ.-*00 при
определим следующее многообразие. Пусть задана последователь
ность ^ЬуЛч и CLwCx) - любая последовательность из
. Обозначим через множество
последовательностей CLMtt) і для которых
LiWLo* 2L^Vv\aoc -3 4——г ~0
t->0 V\*iO«LUl *t t^P
B H (d Ь) можно определить норму разности CL~o
^ »
. 2^ YWCX'X. 4
Нетрудно видеть,что Н2 (d,b) - выпуклое замкнутое
многообразие. Здесь dt^O > 6^0.
Для простоты записи примем обозначения
^W-Vferf 1адц4иу Лад^-и^ l^Hw|\
II ^* + r^ \WU.\ ^el + ^ J.
Решение, как и в работах О.А.Ладыженской \,28І я В.А.Ильина [19], пользуясь идеями С^Л.Соболева t40], определяем с помощью интегрального тождества.
Для определения таких решений задачи (0.1)-(0.3) введем следующие классы функций-;'
Обозначим через W,(w^ множество функций UAl<»X) f
принадлежащих при фиксированном ,имеющих
вторые производные по *t , принадлежащие <*~<і19тр) » при
чем для каждого элемента существует
число Ч^Є 10 ,Т) такое, что VI (А,Х^ = 0 при t С 11,1).
- 10 -Далее, обозначим через X гД$Т' * ^ S S n'V
' Tfl»lfl А оо' ' ^
'сН ' (Qm) множество функпий ЦСІіХ)^^йиІх)ІГи(Х), для которых СЦ*Н из й и ), 6 . ДІ ), D v I )
соответственно.
Pifp рД^ Р,/и.
Hi "Р^'Р
Определение I. Если Llct,3C) It' Г удовлетворяет интегральному тождеству + ІЬ(?с.)Флі*)-У(*)Фі±.Ц dot-0 ((М) для любого , то согласно С.Л.Соболеву [40] V*/ л ^tr^iWiAwn решением задачи (0.1)-(0.3) и кратко VjA^'H^P ( р-решение). и О Д. Ладыженской ^28], функцию LllXiX) будем называть будем писать Если в определении I \llt ,Х) eW^T) (W^ (QT) пространство Соболева ), то решение будем называть Г\/\[ (От), V\| А її)) - решением задачи (0.1)-(0,3), Очевидно, любое &Ap^V'WicM)p ЯБЛЯетоя CWiCQT),Waci-)) рвше- > І.' г нием, но обратное не всегда верно. По определению (Д; (Qm)» W^Cw)) р задачи (0.1)--(0.3) и по предположению относительно оператора W , любое VjL р дЧ^'^ъУ^/Р разлагается в ряд Фурье по собственным - II - Функциям оператора 1>/ почти для всех t С (0,Т)в *L (СИ » причем единственным образом. Имеет место Ud.x^'ZLa^j^ix) (0.5) в смысле Поэтому мы вправе искать (^р ДЧЛ^г ')Р в виде Перейдем к краткому изложению содержания диссертации, которая состоит из,введения и двух глав. Первая глава состоит из трех параграфов. Для удобства, формулы обозначаются,номером данной главы, параграфа и порядком формулы в параграфе. Первый параграф состоит из двух пунктов. В первом пункте приведены интегральные неравенства, которыми пользуемся при до-, казательстве единственности,решения, непрерывной зависимости, а также для получения априорных оценок. Из определения решения ясно, что оо о Это значит, что оператор суперпозиции J" должен переводить элементы пространства типа В в элементы Х^ ^9^ Поэтому необходимо выяснить условия, при которых функция .т ,как оператор суперпозиции, действует из пространства.типа о в пространство oCj.( 9 w) непрерывно и ограниченно. Это и делается во втором пункте I первой главы. - 12 -После выяснения нужных свойств для действия оператора, суперпозиции 5" » решение задачи (0,1)-(0.3) как и в других работах [28}, [48] , сводится к решению счетной системы нелинейных интегральных уравнений относительно неизвестных коэффициентов Фурье &kCl) решения: a^^^jtUj-J j (^,x,Qa,G?ct,QKcty гд8 Л і ^^СЛБЛД*^—*—' ЦЕм=|с/Соі>сги(я:)сІа:, % - собственные значения оператора- ы , 0 *^ Я^ ~/Сл — ?« 3 главы I состоит из трех пунктов. Первые два пункта посвящены установлению условий существования и единственности решения системы (0.6) в различных пространствах типа о :. В первом пункте.предполагается, что оператор W удовлетворяет условию I. Сформулированы достаточные.условия су^-ществования и единственности решения системы (0.6) в пространствах о ' (Л) иВл С і ) .Налагая дополните ль- ные условия на функции VD » \$J » указываются способы расшире- - ІЗ -ния классов нелинейного возмущения 3- . В конце установлены теоремы существования и единственности в классе л-г (d >*>) Во втором пункте, сужая класс операторов lv , доказаны теоремы существования в узких классах функций, расширен класс нелинейных возмущений ^ '. Отметим, что если в неравенстве (**)функция сЦ4Л принадлежит <*-г(0,Т) » то скорость сходимости процесса Пикара как и в классических работах, получается в виде С0 —г- , где VI - номер итерации, К - некоторое г L число; если d (А) имеет неинтегрируемую особенность в точке нуль, то решение ищется в классе }{ (d,Ь) и скорость сходимости процесса Пикара аналогична скорости сходимости степенного ряда. Другими словами, сильная особенность коэффициентов Липшица приводит к классам некорректных задач и снимает со знаменателя скорости сходимости И I Непрерывная зависимость решения от данных не имеет места в }[ ' (d, о). Сле- довательно, Н» (СІ., &) является классом существования и единственности решения оистемы (0.6). В последнем пункте, следуя С-;Л.Соболеву [40], доказано, что функция Ud,X)^^lClMlt)U'htX), где аиН) - решение системы (0.6) удовлетворяет интегральному тождеству (0.4),то есть Ц(1,Х) является слабым решением задачи(О.І)--(0.3). Вторая глава посвящена непрерывной зависимости решения смешанной задачи от данных и некоторым вопросам приближенного решениям Она состоит из трех параграфов. Известно,что решение смешанной задачи(G.I)-(0.3) H("t73c^ , кроме t, ОС зависит еще от ^, "ЦІ, J , Т - где ТТ - начальный момент времени. Поэтому, решение задачи символически можно писать в виде _ 14 - С точки зрения приложений, представляет интерес указать достаточные условия, при которых решение смешанной задачи (0.1)-(0.3) непрерывно зависит от данных, априори ограничены, решение корректно в смысле Адамара, устойчиво по Ляпунову в различных пространствах типа В Этим вопросам посвящен I второй главы. И в этом параграфе в зависимости от свойства оператора U> и порядка особенности коэффициента Липшица функции ? изучены вышеуказанные вопросы. Отметим, что когда ? является суммой двух функций, одна из которых удовлетворяет условию Липшица, а другая - условию Гельдера, доказана ограниченность решения.1 Основные рещультаты относительно частичной корректности: Если коэффициенты Липшица нелинейного возмущения " как в теореме Г.З.І (стр.43), то получены непрерывная зависимость решения от данных Ц) *Ц^ , и начального момента времени в пространстве R ' ( Т > ', Если порядок особенности коэффициента Липшица нелинейного возмущения 7 как в теореме 1.3.2 (стр.49), то решение непрерывно зависит от 3" и начального момента времени в про- странстве 6 г U ) , когда If (ос) =\jJ(X) = 0 . 3) В случае, когда порядок особенности коэффициента Лип Отметим,что когда особенность высока, задача (0.1)-(0.3) - 15 - . . не является корректной и в смысле А.Н.Тихонова, Во втором параграфе этой главы установлены достаточные условия только для единственности решения счетной системы (0.6). Отметим, что результаты этого параграфа не содержатся как частный случай в результатах предыдущих параграфов. Мы предполагаем, что имеет место: В этом параграфе находим класс функций к №, а (а) и числа Ті » Хо » обеспечивающие единственность [^г\'W^l0)p и (/^7 Wq,lU))p задачи (01 )-(0.3) отдельно в.случаях, когда оператор w удовлетворяет условию I или 2, Доказана также теорема типа Перрона. Далее, следуя Браудеру, показано, что налагая дополнительные условия на функцию 'J , можно увеличить число К. (стр.ЮЗ) Методы нахождения точного решения счетной системы нелинейных интегральных уравнений практически нереализуемы и,в ос-. новном, невыгодш для численного расчета. Поэтому в приложениях разрабатываются приближенные методы для решения таких задач. Исходя из этого соображения, в 3 второй главы даны определения приближенного решения и исследованы некоторые, вопросы численного анализа, связанные с приближенным решением счетной системы (0.6). Б первом пункте 3 главы її, пользуясь интегральными неравенствами показано, что образ частичных сумм реше- ния может быть С , Б ) реше- нием (определение І стр; 114) в различных пространствах,, а также изучена близость решений счетной системы с приближенным решением возмущенной системы. Во втором пункте, налагая на функцию J" дополнительные условия, дано обоснование метода квазилинеари- , зации ЇДІ для.решения счетной системы нелинейных интегральных уравнений. Получена квадратичная скорость сходтлости. Отметим, что полученные нами результаты не,следуют из существующих результатов известных нам работ. Основное содержание диссертации изложено в работах 49, 50, 51, 52] . Перейдем к краткому изложению содержания диссертации, которая состоит из,введения и двух глав. Первая глава состоит из трех параграфов. Для удобства, формулы обозначаются,номером данной главы, параграфа и порядком формулы в параграфе. Первый параграф состоит из двух пунктов. В первом пункте приведены интегральные неравенства, которыми пользуемся при до-, казательстве единственности,решения, непрерывной зависимости, а также для получения априорных оценок. Из определения решения ясно, что оо Это значит, что оператор суперпозиции J" должен переводить элементы пространства типа В в элементы Х 9 Поэтому необходимо выяснить условия, при которых функция .т ,как оператор суперпозиции, действует из пространства.типа о в пространство oCj.( 9 W) непрерывно и ограниченно. Это и делается во втором пункте I первой главы. - 12 -После выяснения нужных свойств для действия оператора, суперпозиции 5" » решение задачи (0,1)-(0.3) как и в других работах [28}, [48] , сводится к решению счетной системы нелинейных интегральных уравнений относительно неизвестных коэффициентов Фурье &KCL) решения: a - собственные значения оператора- ы главы I состоит из трех пунктов. Первые два пункта посвящены установлению условий существования и единственности решения системы (0.6) в различных пространствах типа В первом пункте.предполагается, что оператор W удовлетворяет условию I. Сформулированы достаточные.условия су -ществования и единственности решения системы (0.6) в пространствах о (Л) иВл С і ) .Налагая дополните ль ные условия на функции VD » \$J » указываются способы расшире - ІЗ -ния классов нелинейного возмущения 3- . В конце установлены теоремы существования и единственности в классе Во втором пункте, сужая класс операторов lv , доказаны теоремы существования в узких классах функций, расширен класс нелинейных возмущений . Отметим, что если в неравенстве ( )функция сЦ4Л принадлежит -г(0,Т) » то скорость сходимости процесса Пикара как и в классических работах, получается в виде С0 —г- , где VI - номер итерации, К - некоторое г L число; если d (А) имеет неинтегрируемую особенность в точке нуль, то решение ищется в классе }{ (d,Ь) и скорость сходимости процесса Пикара аналогична скорости сходимости степенного ряда. Другими словами, сильная особенность коэффициентов Липшица приводит к классам некорректных задач и снимает со знаменателя скорости сходимости И I Непрерывная зависимость решения от данных не имеет места в }[ (d, о). Сле довательно, Н» (СІ., &) является классом существования и единственности решения оистемы (0.6). В последнем пункте, следуя С-;Л.Соболеву [40], доказано, со что функция Ud,X) lClMlt)U htX), где аиН) решение системы (0.6) удовлетворяет интегральному тождеству (0.4),то есть Ц(1,Х) является слабым решением задачи(О.І)--(0.3). Вторая глава посвящена непрерывной зависимости решения смешанной задачи от данных и некоторым вопросам приближенного решениям Она состоит из трех параграфов. Известно,что решение смешанной задачи(G.I)-(0.3) H("t73c , кроме t, ОС зависит еще от , "ЦІ, J , Т - где ТТ - начальный момент времени. Поэтому, решение задачи символически можно писать в виде С точки зрения приложений, представляет интерес указать достаточные условия, при которых решение смешанной задачи (0.1)-(0.3) непрерывно зависит от данных, априори ограничены, решение корректно в смысле Адамара, устойчиво по Ляпунову в различных пространствах типа В Этим вопросам посвящен I второй главы. И в этом параграфе в зависимости от свойства оператора U и порядка особенности коэффициента Липшица функции изучены вышеуказанные вопросы. Отметим, что когда является суммой двух функций, одна из которых удовлетворяет условию Липшица, а другая - условию Гельдера, доказана ограниченность решения.1 Основные рещультаты относительно частичной корректности: 1) Если коэффициенты Липшица нелинейного возмущения " как в теореме Г.З.І (стр.43), то получены непрерывная зависимость решения от данных Ц) Ц , и начального момента времени в пространстве R ( Т , 2) Если порядок особенности коэффициента Липшица нелинейного возмущения 7 как в теореме 1.3.2 (стр.49), то решение непрерывно зависит от 3" и начального момента времени в про странстве 6 г U ) , когда If (ос) =\jJ(X) = 0 . 3) В случае, когда порядок особенности коэффициента Лип шица как в теореме 1.3.5 (стр.58), нам удалось изучить непре рывную зависимость решения только по возмущениям в прост ранстве Этот параграф состоит из трех пунктов. Первые два пункта посвящены установлению достаточных условий существования и единственности решения систем (0.6) и (1.2.II) в различных пространствах типа D . В первом пункте предполагая, что оператор U удовлетворяет условию I, обоснован процесс Пикара. Б пространствах V І і сначала доказаны теоремы су-1Д 1,1,1 ; ществования и единственности для общего случая, когда нелинейное .возмущение зависит от искомой функции и всех ее производных. Затем, предположив, что нелинейное возмущение не зависит от И ос доказаны теоремы существования и единственности в пространстве ВЛ С Ч когда коэффициент Липшица при II , и И имеет особенность вида Т Г соответственно. А когда коэффициент Липшица имеет высокий порядок осо -бенности, теоремы существования и единственности доказана в пространстве Нетрудно заметить, что высокий порядок особенностей,имеющихся в коэффициентах Липшица,сильно влияет на скорость сходимости процесса Пикара. Во втором пункте, предполагается, что оператор w удовлетворяет условию 2, доказаны теоремы существования и единственности в пространствах & [\ ) э В"1 С ) Ят сис Ъ-Л 2,1 теш (1.2.II). Все эти теоремы доказаны итерационным процессом Пикара. В этом пункте исследован вопрос, как за счет сужения класса оператора U , можно расширить класс нелинейного возмущения J В третьем пункте показано, что где Оі І) - решение системы (0.6) или (I.2.II) удовлетворяет интегральному тождеству. (0.4), другими словами, является слабым решением задачи (0.1)-(0.3). Отметим, что (Вг дСТ),ІА[2 (4))peW4( p), где Д - оператор Лапласа. I. Рассмотрим случай, когда оператор W удовлетворяет условию I, при этом будем предполагать, что 1 = + , V_, = V-A - L, . Имеет.место Теорема 1.3.1. Пусть V h i И 1 11 в) ЦДХ) и (Х) такие, что ряды AK J,XtyJ - сходятся; VU Тогда система (0.6) имеет е.динственное решение в пространстве о и) . Это решение является пределом итерационного процесса Пикара. Если & Сч есть точное решение системы (0.6),а Х Сч — N"". приближение Пикара, то имеет место оценка ЦТ где p TUT\t,x,Q Q ,Q )dxdi. З Доказательство. Пясть последовательность при ближений определяется по следующей формуле: слижений определяется по следующей формуле: д (1.3.2) Q /то »WsLviAv,tt- 4xd VL l,iv.. - 45 Из условия в) теоремы вытекает, что нулевой приближение примем СХ х) &(А) Из условий а), б) ив), согласно теоремы 1.1,1, шлеем: Ясно, что функция J" L"tiX,U.,11 ,,11 порождает некоторый оператор? vi , который действует из D (J) в л-j (9гр), непрерывен и ограничен.. Из равенства (1.3.2), оценивая по норме пространства с А1 ) и используя неравенства Бесселя, получим: ,чТ jI,rt.x,Qo.IM,Ota,,L ,e,a M)d!ielt. Это неравенство показывает, что существует j & Ci) j Vе" Ч При К-1 , учитывая условие б), имеем: о Методом полной математической ин.цукиии можно получить: Из последнего неравенства вытекает, что СХ. - шар о центром Q0 радиусом Л. . _ -Тої для любого JN , где Ix—P.Q.0 г. Чтобы доказать сходимость последовательности /Ct CLM , достаточно показать, что ряд 00 - 1ST-і сходится. Известно, что Методом полной математической индукши докажем, что для любого К имеет место _ « baV r. ,,3,, Действительно, при получим неравенство (1.3,3). Теперь предположим, что неравенство (1.3.4) верно при «N fc и докажем, что оно справедливо и для .N =-К + 3 t Этим доказана справедливость неравенства для любого N . Следовательно, последовательность приближений J Q (t сходится в смысле метрики Рч СГ) . Предел этой последовательности обозначим через Qtr}. Из полноты пространства ясно, что Теперь покажем,что OlA ) удовлетворяет системе (0.6). Предположим обратное. К последнему, после применения неравенства А получим единственность решения. Теорема доказана. Теперь предположим, что в условиях задачи 1р(Х)=Ц (Х) 0. Покажем, что тогда можно расширить классы функций Тогда существует единствннное решение системы (0.6) в про странстве (з г С\) . Это решение является пределом ите рационного.процесса Пикара и, если Q(x) - точное решение системы (0.6), а СіСч « - приближение Пикара, то имеет место оценка: Из этого неравенства вытекает, что 1(0- \ )\[ \А /1\ ограничено для любого X Известно, что 11 & {\)\\ \ Л(4- Кроме того, как при доказательстве неравенства (1.3.4) методом полной.математической индукции, получим: 4,1,1 tf Последнее неравенство показывает, что ) CL (Ли сходится в г - 1 , смысле D v . Приводя рассуждения, аналогичные ДОКа-зательству теоремы 1.3.I, получим остальное утверждение теоремы и оценку (1.3.5). Замечание. В случае, когда оператор U — Д -оператор Лапласа, в теореме I.3.I можно отказаться от условия . Теперь рассмотрим случай, когда.в постановке задачи (0.1)-(0.3) правая часть уравнения (0.1) не. зависит от "Lt_ . В этом случае рассмотрим счетную систему (1.2.II) и докажем теорему существования и единствннности без условия В теории дифференпиальных уравнений задача единственности решения, какой-нибудь задачи, давно привлекало внимание специалистов. Известно, что порядок особенности в нелинейной части урав нений влияет на единственность решения задачи. В этом параграфе установлены достаточные,условия только для единственности решения счетной системы (1.2.II). Отметим, что результаты этого параграфа не содержатся как частный случай в реаультатах предыдущих параграфов. Мы предполагаем, что для разности функций S имеет место где В настоящем параграфе выяснен класс функпий ЦЩ, Р( ) и числа Т , , при которых решение системы (1.2.II) единственно, установлены теоремы типа Перрона - и Брау-дера Г 61 в выделенных нами классах функпий. Пусть существует .два раз личных решения системы (1.2.II) из В . , С I) OCt), Ct) Левую часть последнего неравенства обозначим через В силу того, что есть возрастающая функция от "t , имеем (2.2.1) (2.2.2) - 104 где te Oj). В силу условия a) M.tfc - 0 при "L— 0 . Если положить К(,0 -0 » то функпия М { ) будет непрерывной на[0,Т], так как \Кх непрерывная на tO,Tj . По теореме Вейерштрасса J4("t) принтшет максимальное значение в некоторой точке "t є ОД] Пусть -К - точная нижняя грань максимумов на \$,Ч\ Фянкоии (j4t) » t 0 так как )/1(,0)-0 и по определению М(л 0 .Из неравенства (2.2.2) применяя условия б) теоремы получим: N1 (Л М. do так как Ч к1 ±L Полученное противоречие доказывает теорему. В теореме 2.2.1 относительно числа К предположено, что 0 К -х . Следуя Браудеру покажем, что налагая дополнительные условия на функаию S\ t,ОС, IL, LL» ) можно увеличить число \v . Имеет место: Теорема 2.2.2. Из последнего неравенства видно, что при fc - правая часть стремится к нулю при t— 0 . Если доопределить Д(0)-0 , то JVL ( будет непрерывной на 0,Т] . Следовательно, ]\/[ ( достигает максимума в некоторой точке Доказательство. Пусть система тлеет два различных решения в пространстве Дифференцируя систему (1.2.П) один раз по L , получим: a X a.Q OC sA docd . (2.2.7) Пользуясь неравенством Гёльдера для сумм, из системы (1.2.II) имеем: «L В после.цнем неравенстве к интегралу по пршленим неравенство Коши-Буняковского, затем, используя неравенство Бесселя, получим (2.2.9) Из системы (2.2.7) имеем: В последнем неравенстве, действуя аналогично, как в неравенстве (2.2.8), получим: t 1 3 (2.2.10) Разделим обе части неравенства (2.2.9) и (2.2.10) на 1 затем, сложив полученные результаты, имеем: Если выполняются условия в), то доопределим значение левой части в точке t U , т.е. (С)) С) .. . Применяя условие г) в правой части (2.2.II), получим: Vq 1 Kri со О і (2.2.12) - 112 Обозначим через = W aOd 1\QС ll L Up (\)) . Тогда из неравенства (2.2.12) имеем: Ї К С1 (Л+і)Ц- М ( (2.2.13) о ДЩ имеет максимум в некоторой точке L 0 , "t \РЛ-) так как К Qt) 0 . Итак, из (2.2.13) t ± о (лн)- Md tro)-iK M а о , т.е. KCt JUt . Это противоречие доказывает теорему. Некоторые вопросы.приближенного решения задачи (0.1)-(0.3) Метода для нахождения точных решеїши счетной системы нелинейных интегральных уравнении практически нереализуемы. Поэтому исходя из требований задачи, определяют приближенные решения и указывают способы нахождения таких решении. Настоящий параграф состоит из Двух пунктов. Б первом пункте, пользуясь интегральными неравенствами, - 113 - „ показано, что образ частичных сумм решения L Ctni("t)U"M(CC) может быть (Д , Ь решением (Определение I, с. П4 ) в различных пространствах, а также изучена близость решения счетных систем решением .укороченной и возмущенной системы, когда оператор U удовлетворяет условиям I и 2. Во втором пункте, налагая на функпию т дополни тельные условия, дано обоснование метода квазилинеаризапии для решения счетной системы нелинейных интегральных уравнений. Получена квадратичная скорость сходимости. С точки зрения практики тлеет важное значение изучить связь между решением счетной системы нелинейных интегральных уравнений (0.6) и решениями соответствующей укороченной систе ш і № a wxwsivix t- dxd (2вЗД) где VI-±Д, ... ,-N" В этом.параграфе предполагая существование: решения системы (2.3.1) и укажем достаточные условия, при которых последовательность решений системы (2.3.1) сходится к решению системы (0.6) при К — оо Ф для того, чтобы система (2.3.1) имела точное решение, необходимо чтобы ( ( Ct ,0"и)"=-0 при Vt -N В качестве основных положений, полученных в .диссертации отметим: 1) обоснование процесса Пикара для существования и единственности слабого решения; теоремы о непрерывной зависимости от данных; теорему единственности типа Перрона и Браудера, б] ; являющихся обобщением работ Чандирова Г.И. и его учеников, в которых нелинейное возмущение зависит только от искомой функции и имеет особенность конкретного вида. 2) В представленной работе, в отличие от известных нам работ, - 6 в зависимости от порядка особенности коэффициента Липшица, нелинейного возмущения 3 и свойств оператора /j выделены ноше классы функций, где получена частичная корректность задачи; для построения приближенного решения обоснован метод квазилинеаризапии; изучено влияние порядка особенности коэффициента Лишцица нелинейного возмущения $ при Г = 0 на скорости сходимости процесса Пикара; аналогично, как и в теории обыкновенных дифференциальных уравнений, дано по-, нятие особого решения и выяснены достаточные условия устойчивости этого решения в определенном смысле. Для исследования задачи (0.1) - (0.3) определим следующие классы функций: щ01Ь &сТЦо у.аД.ЦаД\а д ,ЛМУ Ш Iv. -ijlj b,...!, Выделим следующие подмножества : Ч, р l&p l,y 0 , 0 V_ t , $, , -1 или - 7 Если определить нормы в этих множествах следующим образом: V Pfp МЛ Р Н то можно показать, что они становятся пространствами Банаха, Эти пространства будем называть пространствами типа В При исследовании задачи (0.1)-(0.3) мы различаем два вида операторов W : а) - w - имеет полную ортонормированную систему ) ЦуДХ) I собственных функций в "(k tA) (условие I); б) оператор- W удовлетворяет условию I, причем множество собственных функций ограничено по совокупности и со і где - Л соответствующие собственные значения оператора, (J YVl SCl +, (условие 2). Условие 2 сужает класс операторов tv . Б случае, когда оператор w удовлетворяет условию I и для J имеет место опенка - 8 задача (О,I)-(0.3) исследуется в пространстве D ( Г) ,а когда У удовлетворяет условию I . ,Ul lir lurl исследуется в пространстве Здесь tlt el» ) , dcbe alO J) А в случае, когда для оператора N имеет место условие 2) и 7 удовлетворяет условиям \\Х\ , l VJ" 1 13U, , а дп\ І Ш , -ij + а u во,о и Л4І(Т) задача изучается в пространствах л ... ,± ад соответственно; здесь В случае, когда функция 7 не зависит от LLX , удается расширить класс операторов U Для исследования решения в случае, когда коэффиодент Липшица имеет особенность вида I (Д СЙ.- 00 при определим следующее многообразие. Пусть задана последователь ность ЬуЛч и CLwCx) - любая последовательность из . Обозначим через множество - 9 последовательностей CLMtt) і для которых LiWLo 2L Vv\aoc -3 4——г 0 t- 0 V\ iO«LUl t t P B H (d Ь) можно определить норму разности CL o » . 2 YWCX X. 4 Нетрудно видеть,что Н2 (d,b) - выпуклое замкнутое многообразие. Здесь dt O 6 0. Для простоты записи примем обозначения W-Vferf 1адц4иу Лад -и l Hw\ II + r \WU.\ el + J. Решение, как и в работах О.А.Ладыженской \,28І я В.А.Ильина [19], пользуясь идеями С Л.Соболева t40], определяем с помощью интегрального тождества. Для определения таких решений задачи (0.1)-(0.3) введем следующие классы функций-; Обозначим через W,(w множество функций UAL »X) f принадлежащих при фиксированном ,имеющих вторые производные по t , принадлежащие і19тр) » при чем для каждого элемента существует число Ч Є 10 ,Т) такое, что VI (А,Х = 0 при t С 11,1).
9 -ill '*=0 '
(0.5). v
шица как в теореме 1.3.5 (стр.58), нам удалось изучить непре
рывную зависимость решения только по возмущениям в прост
ранствеСведение решения задачи (0.1)-(0.3) к решению счетной системы нелинейных интеграль ных уравнений
Существование и единственность решения счетной системы нелинейных.интегральных уравнений
Теоремы о единственности решения
Некоторые вопросы.приближенного решения , задачи (0.1)-(03)
Похожие диссертации на Исследование слабого решения смешанных задач для квазилинейных уравнений
