Содержание к диссертации
Введение
1 Предварительные сведения 16
1.1 Общие свойства уравнения индукции 16
1.1.1 Происхождение 16
1.1.2 Спектральная задача 16
1.1.3 Задача Коши 17
1.2 Асимптотические решения уравнения второго порядка на комплексной плоскости 19
1.2.1 Линии Стокса и матрицы перехода 19
1.2.2 Уравнение с регулярными особыми точками 22
2 Уравнение Шредингера с мнимым периодическим потенциалом 24
2.1 Формулировка результатов 24
2.1.1 Псевдоспектр 24
2.1.2 Асимптотика спектра 25
2.1.3 Доказательство теоремы 25
2.2 Пример поля скоростей вида V(z) = cos z 33
2.3 Пример поля скоростей вида V(z) = cos z + cos 2z 34
2.4 Матрицы монодромии и уравнения на точки спектра 35
2.5 Точки поворота 35
2.6 Линии Стокса 35
2.7 Описание топологических случаев 36
2.8 Матрицы монодромии 37
2.9 Спектральный граф и описание его ребер 42
2.10 Условие квантования на римановой поверхности 44
3 Спектральные серии оператора индукции на поверхности вращения 46
3.1 Постановка задачи 46
3.2 Формулировка результатов 47
3.3 Схемы доказательств теорем 49
3.4 Сфера 50
3.4.1 Спектр и взаимное расположение линий Стокса 50
3.4.2 Доказательство теоремы 3.1 53
3.4.3 Случай поля скоростей вида V(z) = (0, z) 55
3.4.4 Пространственная структура магнитного поля проводящей жидкости на сфере 61
3.4.5 Риманова поверхность и условия квантования на ней . 65
3.5 Тор 67
4 Асимптотика решения задачи Копій с быстроменяющимся полем скоростей 68
4.1 Постановка задачи 68
4.2 Зависимость магнитного поля от функции сглаживания поля скоростей в случае идеально проводящей жидкости 69
4.3 Жидкость с высокой проводимостью: асимптотика решения задачи Коши 80
4.3.1 Формальная асимптотика 81
4.3.2 Оценка для функции Грина уравнения (4.1) 85
4.3.3 Обоснование формальной асимптотики 90
4.3.4 Асимптотика решения задачи Коши 91
- Асимптотические решения уравнения второго порядка на комплексной плоскости
- Матрицы монодромии и уравнения на точки спектра
- Спектр и взаимное расположение линий Стокса
- Жидкость с высокой проводимостью: асимптотика решения задачи Коши
Введение к работе
Актуальность темы. Уравнения индукции.
Диссертация посвящена исследованию свойств решений системы уравнений индукции в пределе малого сопротивления. Эти уравнения представляют собой часть уравнений Максвелла, описывающую эволюцию магнитного поля в проводящей жидкости с высокой проводимостью. В данной работе рассматривается линейная система, в которой поле скоростей жидкости предполагается заданным, т.е. не учитывается обратное влияние магнитного поля на поле скоростей.
Основные приложения уравнения индукции относятся к астрофизике: звезды, планеты и галактики обладают магнитными полями, которые могут сильно меняться во времени и в пространстве. Описание происхождения и пространственной структуры магнитных полей относится, в частности, к т.н. теории динамо; различным физическим и математическим аспектам этой теории посвящено огромное количество работ (см., например, книги 1, 2, 3, 4). Отметим несколько центральных вопросов в этой области.
Поведение решения задачи Коши со временем; в частности, возможность роста решения. Рост поля из малого начального возмущения считается одним из основных механизмов образования магнитных полей в астрофизике.
Исследование пространственной структуры решения задачи Коши; согласно наблюдениям и численным экспериментам, эти функции, как правило, распределены очень неравномерно — они сильно возрастают вблизи множеств положительной коразмерности.
Изучение структуры спектра и поведения собственных функций стационарного оператора.
Уравнения индукции содержат естественный малый параметр (в диссертации для удобства изложения он обозначен через є2) — сопротивление проводящей жидкости или коэффициент магнитной вязкости (обратная величина называется магнитным числом Рейнольдса). Математическая фор-
^.И. Арнольд, Б.А. Хесин. Топологические методы в гидродинамике. // М.: МЦНМО, 2007.
2Зельдович Я.Б., Рузмайкин А.А. Проблемы динамо в астрофизике// Итоги науки. Астрономия. Т. 21.- М.: ВИНИТИ, 1982.
3Moffatt Н. К. Magnetic field generation in electrically conducting fluid.- Cambridge: Cambridge University Press, 1978.
4Zeldovich Уа.В., Ruzmaikin A. and Sokolov D. Magnetic fields in astrophysics. - Gordon Breach, 1983.
мулировка перечисленных выше вопросов связана с асимптотическим поведением решений при стремлении к нулю этого параметра. В большей части диссертации коэффициенты системы и начальные условия предполагаются гладкими, вследствие чего таковыми являются и все решения (стационарная задача для уравнения индукции эллиптическая, а нестационарная — параболическая). Разрешимость соответствующих задач также очевидна — она мгновенно следует из общих свойств эллиптических и параболических систем. В то же время асимптотические свойства решений оказываются совершенно не тривиальными и их описание требует детального исследования аналитических свойств вспомогательных обыкновенных дифференциальных уравнений, а также изучения обобщенных решений предельных задач для уравнений в частных производных. Остановимся подробнее на математической природе задач, решаемых в диссертации применительно к уравнениям индукции.
Асимптотика спектральных серий.
Интерес к описанию квазиклассической асимптотики серий собственных значений дифференциальных операторов возник сразу после появления квантовой механики; к настоящему времени имеется множество работ, посвященных такой асимптотике. В середине 60-х годов в работах В.П. Маслова была создана общая теория, позволяющая получать эффективные результаты в данном направлении. Основными условиями применимости этой теории являются самосопряженность дифференциального оператора и интегрируемость соответствующей классической системы. Общая задача состоит в следующем. Пусть Н(х,р) : Ж2п —> С — гладкая функция и пусть Н = Н(х,—ієд/дх) — соответствующий вейлевский псевдодифференциальный оператор. Будем считать, что функция Н такова, что оператор Н имеет плотную в Ь2{Жа) область определения, не зависящую от є Є (0, є о) при некотором Єо > 0 (в настоящей работе оператор Н вполне конкретный и нужные свойства обеспечиваются поведением его коэффициентов). Пусть, кроме того, спектр оператора Н чисто дискретный; задача состоит в вычислении асимптотики серий собственных значений Н при є —> 0. Чтобы проиллюстрировать ситуацию, приведем сперва самый простой (и давно известный) результат в этом направлении. Пусть п = 1иН=р2 + V(x), причем V(x) : Ж —> Ж — гладкая функция и V{x) —> +оо при \х\ —> оо. Оператор Н, заданный дифференциальным выражением
H = -e2^ + V{x),
самосопряжен в Ь2(Ж) при є > 0. Пусть при А Є [Аі,А2] уравнение V(x) = А имеет два решения х±(Х), причем V'(x±) = 0.
Утверждение 1. Для каждого X, удовлетворяющего уравнению
1 Г+ , 1 1
— / \Л - V(x)dx = т + -, т Є Z, т = 0{-), (1)
ТЇЄ Jx_ 2 є
существует собственное значение Ло оператора Н, такое, что \Х — Ло| = 0(es).
Замечание 1. Уравнения (1), определяющие асимптотические серии собственных значений, можно записать в следующем инвариантном виде
1 /" л !
раж = m +
2тгє // 2 v '
Здесь 7 — замкнутая кривая на плоскости (х,р), заданная уравнением Н(х,р) = Л (кривая постоянной энергии). Формула (2) называется правилом квантования Бора — Зоммерфелъда.
В общем случае задача описания асимптотики собственных значений разделяется на две.
1. Описание формальной асимптотики, т.е. пар ф Є L2(Rn),X Є С,
11 ^|| = 1, удовлетворяющих для некоторого N > 1 спектральному уравнению
Нф = \ф + 0{eN ) (3)
2. Выделение среди найденных Л чисел, близких к точному спектру
оператора Н, т.е. таких, для которых существует собственное значение Ло со
свойством
\X-Xo\ = 0(eN). (4)
Для самосопряженных операторов оценка (4) мгновенно следует из (3); в то же время, проблема описания формальной асимптотики, вообще говоря, очень сложна и тесно связана с геометрическими объектами, порождаемыми функцией Н. Приведем центральный результат в этом направлении (см., например, 5). Пусть Н — вещественнозначная функция, причем выполнены следующие условия.
1. Гамильтонова система, задаваемая в Ж гамильтонианом Н, интегрируема по Лиувиллю. Напомним, что интегрируемость означает существование п гладких функций F\ = Н, F2,.. . ,Fn, функционально независимых и имеющих нулевые попарные скобки Пуассона (функциональная независимость означает, что дифференциалы функций Fj линейно независимы почти всюду).
5В.П. Маслов, М.В. Федорюк. Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики. Москва: Наука, 1976.
2. Для некоторого открытого множества Q значений параметров
с = С\,. .. , сп связная компонента Лс совместного множества уровня F\ =
Сі,.. . Fn = сп неособа и компактна. В этом случае, по теореме Лиувилля, Лс
диффеоморфна n-мерному тору; более того, в прообразе области Q относи
тельно отображения момента F : М2п —> Шп, F(x,p) = (Fi(x,p),... Fn(x,p))
Существуют КООрДИНаТЫ ДеЙСТВИе — уГОЛ / = (/і, . . . , In), If = ((/?!, . .. , (рп).
Здесь переменные / нумеруют торы Лс (и выражаются через параметры с), переменные ср — угловые координаты на Лс. Функция Н в этих координатах зависит только от /; сами координаты определяются фиксацией гладко зависящего от с базиса циклов 71, , 7п на торах Лс.
3. Семейство вейлевских псевдодифференциальных операторовН име
ет плотную не зависящую от є область определения в L (W1), дискретный
спектр и самосопряжено в L2.
Следующая теорема принадлежит В.П. Маслову.
Теорема 1. Обозначим через /і = (/іі, ... , /in) вектор индексов Маслова циклов 7ь iln- Для каждого целочисленного вектора т = (mi,... ,тп), для которого значения координат действия Іт = є(т + /і/4) попадают в указанную выше область пространства, существует собственное значение До оператора Н, для которого |Ао — Н(1т)\ = 0{е2 ).
Замечание 2. Приведенная теорема представляет собой далекое обобщение формулы Бора — Зоммерфелъда. Асимптотические собственные значения вычисляются из равенств
= Щ + -^з, (5)
где (р, dx) = ^nj=iPjdxj. Эти равенства должны выполняться для всех циклов на торах Ас; в действительности, эти уравнения не зависят от выбора базиса циклов и представляют собой условия целочисленности вещественного класса когомологий Ас, имеющего вид
— [(p,dx)]--\p\,
где [(р, dx)} — класс когомологий соответствующей формы, [/і] — класс Маслова. Равенства (5) называются условиями квантования Бора — Зоммерфелъда — Маслова.
Несамосопряженный случай исследован гораздо менее полно. В работах 6, 7,8,9,10,11, 12,13 , 14 15 16 17 описана асимптотика спектра оператора Н = —2-л + iV{x) на отрезке [0,1] или [—1,1] для действительных линейных, квадратичных и близких к линейным функций V(x), а также на окружности для V = cos ж и отрезке с регулярными особыми точками для ^ = 13^2- Кроме того, спектр несамосопряженных задач изучался в ситуации, когда оператор близок к самосопряженному (см., например,18); наконец, в ряде работ он исследовался численно (см., например,19, 20). В диссертации найдена асимптотика спектра оператора индукции в ситуациях, допускающих разделение переменных (оператор задан на двумерной поверхности вращения, а поле скоростей направлено вдоль параллели). Получены как общие утверждения о локализации спектра в окрестности графа на комплексной плоскости, так и его детальное описание в конкретных примерах.
Асимптотические свойства решения задачи Коши.
Задача Коши для уравнения индукции изучалась во многих работах; в математической литературе особенный интерес к ней стали проявлять после появления статей 21, 22, 23. Как правило, изучалась задача Коши в Ж или в К. с гладкими коэффициентами и гладкими начальными условиями; разрешимость такой задачи очевидна, а равномерное по гладкости разложение разрешающего оператора оператора по малому параметру (магнитной вязкости) получено в работе . В большинстве работ обсуждался следующий вопрос: существует ли гладкое поле скоростей, для которого решение задачи Коши растет со временем экспоненциально, причем предел (при магнитной вязкости стремящейся к нулю) инкремента роста строго положителен? Окончательного ответа на этот вопрос к настоящему времени не получено;
еС.А. Степин, УМН, 50(6), 1995
7А.А.Шкаликов. Мат. заметки, 1997,62
8С.А. Степин. Фундамент, и прикл. матем., 3:4 (1997).
9А.А. Аржанов, С.А.Степин, ДАН, 378(1), 2001.
10С.Н. Туманов, А.А. Шкаликов. Известия РАН, серия математическая , 66(4),2002. ПА.В. Дьяченко, А.А. Шкаликов. Функциональный анализ и его приложения, 36(3), 2002. 12А.А. Шкаликов. Современная математика. Фундаментальные направления. Том 3 (2003). 13С. А. Степин, В.А. Титов, Доклады РАН, 413(1), 2007. 14С.В. Гальцев, А.И. Шафаревич. Математические заметки, 80(3), 2006. 15С.В. Гальцев, А.И. Шафаревич. Теоретическая и математическая физика, 48(2), 2006. leH.Roohian, A.I. Shafarevich, Russ. J. Math. Phys., 16 (2), 2009. 17H. Roohian, A. I. Shafarevich, Russ. J. Math. Phys. 17(3), 2010. 18M.Hitrik, J. Sjoestrand, S.Vu Ngoc, Amer. J. Math. 129, 2007. 19Reddy S. G., Schmidt P. J., Henningson D. S., SIAM J. Appl. Math., 53(1), 1993. 20Tobias Gulden, Michael Janas, Peter Koroteev, Alex Kamenev, JETP, 144(9), 2013. 21 Арнольд В.И., Зельдович Я.Б., Рузмайкин А. А., Соколов Д. Д. Успехи матем. наук, 35(2), 1981. 22Арнольд В.И. Вестник МГУ. Сер. 1, 5, 1982. 23Арнольд В.И. Успехи матем. наук.- 1983,38, (2),1983. 24М.М. Vishik, Geophys. Astrophys. Fluid Dynamics, 48, 1989.
известен ряд утверждений (т.н. антидинамо-теоремы), представляющих собой достаточные условия отсутствия роста. В работе 25 численно установлен экспоненциальный рост для т.н. АВС-потока:
Vx = A sin z + С cos у
Vy = В sin х + A cos z Vz = С sin у + В cos х.
В 26 построен пример экспоненциально растущего решения для уравнений индукции, заданных на римановом многообразии со специально подобранной метрикой, обеспечивающий разбегание геодезических. Основная идея большинства перечисленных работ состоит в том, что рост решения должен обеспечиваться "хаотическим" поведением траекторий поля скоростей; точнее, экспоненциальной неустойчивостью этих траекторий. Если магнитная вязкость тождественно равна нулю, такая неустойчивость действительно приводит к росту поля; вопрос состоит в том, сохраняется ли этот эффект при наличии малого сопротивления.
С другой стороны, нерегулярное поведение траекторий поля скоростей может приводить к гораздо более быстрому росту магнитного поля. Именно: в работе доказано, что, если поле скоростей специальным нерегулярным способом зависит от малого параметрам (периодический эйлеров поток), то решение задачи Коши за сколь угодно малое (не зависящее от є) время вырастает с величины 0(1) до 0(є ). В диссертации аналогичный эффект изучается для поля скоростей, быстро меняющегося вблизи гладкой компактной поверхности в М3; слабый предел поля при є —> 0 имеет разрыв на этой поверхности. Полностью описана асимптотика решения задачи Коши с гладкими начальными условиями; исследован слабый предел решения. В частности, доказано, что слабый предел зависит только от слабого предела поля скоростей тогда и только тогда, когда, при переходе через поверхность скачком меняется либо только направление, либо только длина поля скоростей; для каждого из этих случаев найдена обобщенная предельная задача, которой удовлетворяет слабый предел решения. Отметим, что близкий эффект "асимптотической неустойчивости" обсуждался ранее в нелинейных задачах (см., например, 28).
Арнольд В.И., Коркина Е.И., Вестник МГУ. Сер. 1, матем., механ., 3, 1983.
Арнольд В.И., Зельдович Я. Б., Рузмайкин А. А., Соколов Д.Д., ЖЭТФ, 81(2), 1981.
А.И. Шафаревич. ДАН, 360(1), 1998.
V.P. Maslov, G.A. Omel'yanov. Geometric Asymptotics for Nonlinear PDE//AMS,v.201, 2001.
Целью работы является описание асимптотики спектра оператора индукции на двумерной компактной поверхности вращения с полем скоростей, направленным вдоль параллелей, а также построение асимптотики решения задачи Коши для нестационарного уравнения индукции в трехмерном пространстве с быстроменяющимся полем скоростей и исследование слабого предела решения.
Научная новизна работы. В диссертации получены следующие основные результаты:
-
Найдена квазиклассическая асимптотика собственных значений оператора Штурма — Лиувилля на окружности с чисто мнимым потенциалом, представляющим собой тригонометрический полином. Доказано, что в квазиклассическом пределе собственные значения концентрируются вблизи набора аналитических кривых на комплексной плоскости (спектральный граф).
-
Описан спектральный граф в частном случае потенциала V(x) = i(cosx + cos2:r). Доказан ряд утверждений о расположении графа на плоскости; в частности, ребра и вершины графа определяются семью различными топологическими типами графа Стокса исходного уравнения (из 27 возможных).
-
Построена асимптотика при стремлении к нулю магнитной вязкости собственных значений оператора индукции на двумерной компактной поверхности вращения в случае поля скоростей, направленного вдоль параллелей. Задача редуцирована к задаче Штурма — Лиувилля для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка с комплексным периодическим потенциалом (в случае тора) или с комплексным потенциалом с регулярными особыми точками (в случае сферы). Доказано, что собственные значения концентрируются вблизи набора аналитических кривых на комплексной плоскости (спектральный граф).
-
Спектральный граф явно исследован в нескольких простейших частных случаях; найдена его топологическая структура и изучено расположение на комплексной плоскости.
-
Найдена асимптотика решения задачи Коши для нестационарного уравнения индукции в трехмерном пространстве с полем скоростей, быстро меняющимся вблизи двумерной поверхности. Доказано, что слабый предел решения содержит дельта-функцию на этой поверхности. Получены оценки матрицы Грина задачи Коши, явно учитывающие зависимость этой матрицы от малого параметра.
6. Исследована зависимость слабого предела решения задачи Копій от профиля быстроменяющегося поля скоростей. Доказано, что, в тех случаях, когда слабый предел решения зависит только от слабого предела поля скоростей (но не от профиля), предел решения удовлетворяет некоторой обобщенной задаче Коши, представляющей собой регуляризацию задачи с разрывными коэффициентами. Указанные обобщенные задачи Коши выписаны явно.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы специалистами по асимптотической и аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений, спектральной теории дифференциальных операторов, асимптотической теории уравнений в частных производных, теории квазиклассического квантования, математической физике.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на семинарах:
семинаре "Асимптотические методы математической физики" Института Проблем Механики РАН под руководством СЮ. Доброхотова (2011, 2014);
семинаре "Асимптотические методы в математической физике" кафедры дифференциальных уравнений МГУ под руководством В.В. Жикова, Е.В. Радкевича, А.С. Шамаева, ТА. Шапошниковой (2014);
семинаре "Дифференциальная геометрия и приложения" механико-математического факультета МГУ под руководством А.Т. Фоменко (2010);
семинаре "Теория рассеяния" механико-математического факультета МГУ под руководством РА. Минлоса (2011);
семинаре механико-математического факультета МГУ под руководством М.И. Вишика (2010);
семинаре "Комплексные задачи математической физики" МИ РАН под руководством А.Г. Сергеева (2013);
семинаре кафедры дифференциальных уравнений и математической физики РУДИ под руководством А.Л. Скубачевского (2013).
Основные результаты работы докладывались на конференциях:
— международной конференции "Дни дифракции", Санкт-Петербург,
Россия, 2009, 2011, 2012;
— международной конференции "Дифференциальные уравнения и
смежные вопросы", посвященная памяти И.Г. Петровского, Москва, Россия,
2011;
— международной конференции "Дифференциальные уравнения и их
приложения", Белгород, Россия, 2013;
международной конференции "Математическая теория управления и механика", Суздаль, Россия, 2013;
международной конференции "Geometric Methods in Physics", Бело-вежье, Польша, 2011;
— международной конференции "Функциональные пространства.
Дифференциальные операторы. Общая топология. Проблемы математиче
ского образования", посвященной 90-летию Л.Д. Кудрявцева, Москва, Россия,
2013;
международной конференции "Geometry and Quantization", Вена, Австрия, 2013;
международной конференции "Pseudo-Hermitian Hamiltonians in Quantum Physics", Стамбул, Турция, 2013;
Диссертационная работа была выполнена при поддержке грантов РФФИ 12-01-33097, 08-01-00726-а, 11-01-00973-а.
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в восьми работах [1-8]. Статьи [1-2] опубликованы в российских журналах, рекомендованных ВАК, статьи [3, 4] — в международных журналах, работы [5-8] — тезисы докладов на международных конференциях.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав и содержит 99 страниц печатного текста. Список литературы содержит 91 наименование.
Асимптотические решения уравнения второго порядка на комплексной плоскости
В этом параграфе собраны некоторые технические сведения из работ М.В. Федорюка (см. [20], [38]), которые понадобятся в дальнейшем для доказательства основных теорем.
Линии Стокса и матрицы перехода
Рассмотрим уравнение следующего вида: V{z) - целая функция на комплексной плоскости, А - параметр, который может быть комплексным. Это уравнение понадобится нам в дальнейшем для решения спектральной задачи в случае тора. Введем следующие определения. Определение 1.1. 1. Точками поворота называются решения уравнения X = iV(z).
2. Линией Стокса называется линия, выходящая из точки поворота ZQ, вдоль которой
Графом Стокса называется объединение всех линий Стокса. Если точка поворота простая, т.е. V (zo) = 0, то из этой точки поворота выходят три линии Стокса под одинаковыми углами в 120. Взаимное расположение линий Стокса (Л. С.) при различных X определяется следующим/и свойствами этих линий.
(a) Линия Стокса начинается в точке поворота и заканчивается либо в точке поворота, либо в бесконечности.
(b) Линия Стокса может содержать точку поворота внутри себя
(c) Линия Стокса не может пересекать себя или другую Л. С.
(d) Из точки поворота порядкат (т.е. нулят-го порядка функцииiV— X) выходят т + 2 линии Стокса
(e) Линии Стокса разбивают плоскость С на области, гомеоморфные либо полуплоскости, либо полосе.
(f) Если V(z) периодична, то и граф линий Стокса периодичен с тем ж е периодом Т. (д) Если V(z) четная функция, то граф линий Стокса симметричен относительно нуля.
(h) Граф линий Стокса не может содержать топологическую окружность.
3. Область D плоскости z называется канонической, если она ограничена линиями Стокса, содержит внутри себя только одну линию Стокса и отображается функцией (z) = f л/іУ(х) — Xdx на всю плоскость с конечным или бесконечным числом вертикальных разрезов.
В каждой канонической области можно построить ВКБ - асимптотику фундаментальной системы решений рассматриваемого уравнения. Зная взаимное расположение линий Стокса друг относительно друга, можно распространить ВКБ - асимптотику решения из одной канонической области в другую (для этого надо вычислить т.н. матрицы перехода; формулы приведены ниже). В результате получаем асимптотику фундаментальной системы решений во всей комплексной плоскости, за исключением малых окрестностей точек поворота.
С каждой тройкой S,ZQ,D (где ZQ - точка поворота, S - линия Стокса и D - каноническая область) связана фундаментальная система решений, в данной области имеющая асимптотику:
Таким образом, фундаментальные системы решений кодируются тройками S, Zo, D; в действительности, матрица перехода между системами, отличающимися только каноническими областями, в старшем порядке единичная, поэтому фактически фундаментальная система решений определяется парой Zo, S, где ZQ - точка поворота, a S - выходящая из нее линия Стокса.
Определение 1.2. Матрица перехода - это матрица, которая связывает две фундаментальные системы решений. Точнее, еслиф\}ф2 одна система, афі}ф2 другая, то матрица Т перехода от первой ко второй опреде ляется равенствами
Лемма 1.1. ([38]) Всякая матрица перехода от одной фундаментальной системы решений к другой есть произведение конечного числа элементарных матриц перехода, принадлежащих к одному из 3 типов:
1. Переход от элементарной системы решений, определяемой тройкой (S,Zo,D) к элементарной системе решений, определяемой тройкой (S,Z\,D). В этом случае меняется только направление линии Стокса, такой переход существует только для конечной линии Стокса. Точка поворота Z\ находится справа от ZQ и ветвь выбрана таким образом, что Im О, а на самой линии Стокса Re = 0. Тогда матрица перехода выглядит следующим образом:
2. Переход от элементарной системы решений, определяемой тройкой (Si,zi,D) к элементарной системе решений, определяемой тройкой (5 2, Z2, D), причем лучи (zi,z) и ( 2, z) (которые лежат в (D)) направлены в одну сторону, Re (1,2:2) 0 и S2 лежит слева от S\. Матрица перехода выглядит следующим образом:
3. Переход от элементарной системы решений, определяемой тройкой (SI,ZQ,DI) к элементарной системе решений, определяемой тройкой (S2,Zo,D2). Это переход с одной линии Стокса на другую, имеющую то оке начало, по часовой стрелке. Матрица перехода выглядит следующим образом,:
Рассмотрим уравнение где є 0 - малый параметр, функции q(z),r(z) имеют полюса не выше второго, a p(z) - не выше первого порядка. Это уравнение нам понадобится в дальнейшем при решении спектральной задачи для уравнения индукции на сфере. Определим теперь для этого уравнения точки поворота и линии Стокса.
Определение 1.3. Точки поворота - это нули и полюса функции q(z). Определение 1.4. Линией Стокса называется линия, выходящая из точки поворота z\, вдоль которой
Если точка поворота простая (ноль первого порядка), то из этой точки поворота выходят три линии Стокса под одинаковыми углами в 120. Из каждого полюса 1-го порядка выходит по одной линии Стокса.
Матрицы монодромии и уравнения на точки спектра
Для описания асимптотики спектра мы исследуем матрицу монодромии уравнения, т.е. матрицу оператора сдвига на период в пространстве решений. Ниже вычислена асимптотика матрицы монодромии в специальном базисе. Как уже упоминалось, принадлежность Л дискретному спектру эквивалентно условию ТгМ = 2, где М - матрица монодромии.
Рассмотрим пример поля скоростей вида V(z) = cosz + cos2z, для того, чтобы построить определенные примеры графов линий Стокса и спектральный граф. В этом случае на комплексной плоскости существует четыре серии точек поворота, расположенных периодически, с периодом 27Г. Решая уравнение Л = і (cos z + cos 2z), получаем искомые точки:
Точки поворота зависят от параметра Л. Ветвь выбирается следующим образом:
Предлолсение 2.1. В случае V(z) = cosz + cos2z существует 27 топологически различных случаев взаимного расположения линий Стокса на комплексной плоскости z.
Доказательство. Это следует из восьми свойств линий Стокса, приведенных выше, и получается перебором всех возможных случаев. Приведем некоторые из них:
Далее выясним, какие же взаимные расположения линий Стокса будут определять ребра спектрального графа. Вычислим матрицы монодромии для этих случаев и получим уравнения на точки спектра.
Теорема 2.4. Если А принадлежит спектральному графу, то:
1. Существует конечная линия Стокса, соединяющая две точки поворота;
2. Для любой цепочки канонических областей, инвариантной относительно сдвига z — z + 27г существует область из этой цепочки, содержащая конечную линию Стокса (т.е. существование конечной линии Стокса, которую нельзя обойти, на комплексной плоскости z, задает ребро спектрального графа на комплексной плоскости X).
Доказательство. Доказательство в общем случае было приведено в теореме выше.
Лемма 2.2. Существует всего семь возможных расположений линий Стокса, которые могут вносить вклад в спектр.
Доказательство. Доказательство следует из свойств 1-8 и из предыдущей теоремы прямым перебором. Ниже приведены эти семь топологических случаев расположения линий Стокса и указано какие точки поворота соединяются между собой в этих случаях. Так как ветвь выбрана так, что Re (zo, z) 0 (где ZQ точка поворота), то получаем уравнение на точки спектра и на ребро спектрального графа:
Из этого условия следует, что Re(z\, Z2) = 0; именно этим уравнением определяется ребро спектрального графа на комплексной плоскости Л.
Точки спектра будут определяться из уравнения
Топологический случай 2.
Этот случай аналогичен предыдущему, с тем лишь различием, что в уравнении на точки спектра интеграл будет между другими точками поворота, т.е.
В этом случае ребро спектрального графа на комплексной плоскости Л определяется уравнением Re {z\, Z2 + 2TT) = 0, это ребро будет отличаться от предыдущего случая.
Спектр и взаимное расположение линий Стокса
Замечание 3.2. Утверждение теоремы означает, что магнитное поле на торе и на сфере в старшем порядке направлено вдоль параллелей и локализовано вблизи параллелей, поскольку экспоненциально убывает по координате, которая направлена вдоль долготы (z).
Каждое ребро спектрального графа соответствует некоторой параллели на соответствующей компактной двумерной поверхности. Например, если a(z) = z и М - стандартная сфера, то ребро спектрального графа, которое находится на оси ReX, соответствует экватору, ребра которые находятся в верхней полуплоскости соответствуют параллелям между северным полюсом и экватором, а в нижней полуплоскости - параллелям между юж-ным полюсом и экватором.
Замечание 3.3. В ситуации общего положения (относительно поля V) каждой собственной функции соответствует единственная параллель и т = 2, т.е. \В\ = 0(е 1/4).
Замечание 3.4. Поскольку для тора получается уравнение Шредингера с комплексным потенциалом и периодическим/а условиями, то теорема 3.2 уже была доказана выше. Схема доказательства состоит в том, что мм строили для точек поворота различные расположения линий Стокса и для каждого из них строили матрицу монодромии перехода через период. Ребро спектрального графа определяется тем положением линий Стокса, для матрицы монодромии М которого выполнено следующее равенство trM = 2, которое было получено в работе [16]. Именно из этого равества и получены, условия квантования.
Замечание 3.5. Идея доказательства теоремы 3.1 состоит в следующем. Как упоминалось выше, решения уравнения (3.5) многозначные функции, т.к. это уравнение содержит особые точки Z\ и z i- Построим различные взаимные расположения линий Стокса. Для каждого такого графа Стокса рассмотрим замкнутые кривые 71 и 72 вокруг каждого из полюсов. Каждой из этих кривых отвечает оператор монодромии в пространстве решений уравнения (3.5). Условие аналитичности решения ift(z) означает, что ift(z) - собственный вектор каждого из двух операторов, соответствующий собственному значению 1. Мы вычисляем асимптотику этих операторов. Для этого фиксируем для каждой точки поворота ФСР, связанную с этой точкой. В этих ФСР определяем асимптотику соответствующей матрицы монодромии. Затем соединяем окрестности полюсов цепочкой канонических областей и, зная матрицы перехода в этой цепочке, вычислим асимптотику матрицы перехода между двумя ФСР, соответствующих полюсам. После этого уравнения на точки спектра совпадают с условиями существования у двух матриц монодромии, посчитанных в одном базисе, общего собственного вектора с собственным значением 1. Если это условие выполнено, то такой граф линий Стокса, который находится в комплексной плоскости z, определяет ребро спектрального графа уже на комплексной плоскости X.
Разберем отдельно два случая: тор и сферу.
В зависимости от значения Л, взаимное расположение линий Стокса может быть различным. Как отмечалось выше, каждому ребру спектрального графа соответствует свое взаимное расположение линий Стокса. Поэтому для доказательства первой теоремы выясним какие графы линий Стокса будут задавать ребра спектрального графа, а какие нет.
Теорема 3.4. Пусть X таково, что существует цепочка канонических областей, соединяющая особые точки и не содержащая конечных линий Стокса. Тогда в О (є) окрестности таких X нет точек спектра оператора (3.5). Доказательство. Фиксируем ФСР при є 0 для каждой из особых точек (из каждой особой точки выходит по одной линии Стокса).
где q(z) = q{z)(l + ({)2) и обозначим р(г) = р(г)(1 + ({)2). 7i и 72 - замкнутые кривые вокруг точек Z\ и Z2 соответственно. Как уже отмечалось выше, каждой такой кривой соответствует оператор монодромии Т в пространстве решений нашего уравнения. Собственный вектор этого оператора монодромии, соответствующий единичному собственному значению, выглядит следующим образом:
Двигаясь по цепочке канонических областей, запишем оператор монодромии, соответствующий особой точки Z\ в базисе, связанном с точкой z и сравним собственный вектор получившегося оператора монодромии соответствующий единичному собственному значению с Т\.
Движение по цепочке осуществляется с помощью матриц перехода, которые связывают ФСР соседних канонических областей в графе Стокса.
Доказательство очень схоже с доказательтсвом теоремы в пункте 2.2, разница лишь в том, что требуется написать оператор матрицы монодромии соответствующий особой точки Z\ в базисе, связанном с точкой z - Это означает, что точно таким же способом, который описан в доказательстве теоремы пункта 2.2, надо будет двигаться от ФСР, связанной с точкой Z\, с помощью матриц перехода к ФСР, связанной с точкой z - Поэтому случаи расположения л.с, рассмотренные в теореме , будут находиться между особыми точками. Тогда, нам добавяться случаи, когда л.с, выходящие из особых точек, направлены либо в одну либо в разные стороны. Рассмотрим два основных случая, все остальные случаи получаются из них, если перевернуть каждый из графов л.с. на 180 градусов либо переходить по каноническим областям не слева направо, а справа налево и все эти случаи будут эквиваленты (т.е. с такими же операторами монодромии) рассматриваемым ниже.
Будем переходить между л.с. по стрелкам, многоточие означает, что точек поворота п и, соответственно, т штук, где пит- любые числа. В этом случае, Z\ и z - особые точки, оператор монодромии в базисе другой особой точки записывается так произведение матриц перехода между линиями Стокса, выходящими из разных точек поворота. Здесь М = М - матрицы поворота по часовой стрелке, М\ - матрица перехода между точками zm и 2, Мз - матрица перехода между точками z и zm и, наконец, М$ - матрица перехода между точками z\ иг.
Жидкость с высокой проводимостью: асимптотика решения задачи Коши
Ниже описана асимптотика решения задачи Коши для уравнений (3.1) при є — 0 (малое сопротивление). Будем считать, что начальное поле не зависит В - гладкое финитное бездивергентное поле. Опишем сперва формальную асимптотику решения такой задачи, т.е. предъявим формальный ряд, удовлетворяющий уравнению и начальному условию, а затем приведем обоснование, т.е. докажем, что частичные суммы этого ряда отличаются от точного решения на величину, достаточно быстро убывающую при . На втором этапе нам понадобятся оценки разрешающего оператора задачи Коши, которые мы докажем отдельно.
Пусть V(z,y) - гладкая вектор-функция: R х R - R , удовлетворяющая равенствам (4.3) и равномерно ограниченная вместе со всеми производными. Пусть Ф( ) - гладкая скалярная функция: R — R, гладкая двумерная поверхность М : Ф( ) = 0 компактна, причем (V, УФ)м = 0 и УФ2 = 1 в окрестности М. Будем считать, что внутри М Ф 0 и УФ Const. 0 всюду в R3.
Будем искать решение уравнения (3.1) в виде:
Относительно слагаемых ряда будем предполагать следующее векторные поля Bk(y, z, t) - гладкие функции всех своих аргументов, причем В_\ — 0 при \у\ — оо, Bk — Вк при у —быстрее любой степени у. Таким образом, при є — 0 первое слагаемое ряда слабо сходится к дельта-функции на М, а остальные - к функции, имеющей на М простой разрыв. Фиксируем произвольное Т, не зависящее от є.
Теорема 4.6. При t Є [0, .Т] существуют такие гладкие векторные поля Bk(z,y,t), что частичные суммы ряда (4.13); ее можно по modO(e) ограничить на поверхность М. Отметим, что фактически речь идет о тейлоровском разложении по расстоянию от поверхности М. Так как (V, УФ) = 0 на поверхности М, то из полученного равенства следует, что ( _i, УФ)м = 0. В дальнейшем нам понадобится продолжать убывающие по у функции, заданные на М, в окрестность этой поверхности (и, далее, на все пространство). Примем следующее соглашение: функции и поля будем в окрестность М продолжать так, чтобы они не зависели от Ф (т.е. как решения уравнений УуФ = 0). Тем самым, ( -i, УФ) = 0 в окрестности М; во все пространство продолжим эту функцию также нулем. Это означает, что старшее слагаемое в разложении В касается поверхности разрыва.
Первое слагаемое в левой части этого уравнения получено из второго слагаемого тейлоровского разложения для ( _і,УФ)-тр по переменной Ф.
Поскольку (УФ)2 = 1, В_\\м = и и V\M = v касаются М и левая часть этого уравнения быстро убывает при \у\ — оо Ф, ее можно ограничить на М:
Рассмотрим теперь слагаемые, содержащие є0. Легко видеть, что левая часть соответствующего равенства, вообще говоря, не убывает в пределе у — ±оо. Перейдем в этом равенстве к пределу при у — ±оо; поскольку при
Пусть В0 - решения этих уравнений с начальными условиями В0 \t=o = В вне и внутри поверхности М соответственно; тогда при у — ±оо весь множитель при є0 стремится к нулю, и, значит, его можно modO(e) ограничить на М. Умножая полученное равенство скалярно на УФм! получим: представляют собой зацепленную систему относительно касательной к М компоненты поля В\ и нормальной компоненты поля о, ограниченных на поверхность М. Дополним эту систему начальными условиями
Функция u(z, у, t) задана только на М и стремится к 0 при \у\ — оо. Обозначим продолжение функции u(z, у} t) вне М следующим образом u (z, у} t). Продолжим u(z, у, і) в окрестности М, т.ч. Vv M = 0 и далее на все R3 произвольным гладким и финитным образом. Обозначим _i(у, z,t) = и (у, z,t); отметим, что функция B-i(y, z, t) определена всюду.
Функция f(z,y,t) определена только на М и f(z,y,t) — (_В ,УФ)м при у — ±оо. Поэтому f(z,y,t) можно представить в виде:
где F(z,y,t) - гладкое финитное продолжение f(z,y,t), т.ч. Vv$ = 0 Теперь векторное поле _i и проекция ( о, УФ) определены всюду. Запишем теперь проекцию уравнения для Во на касательную плоскость к поверхности М. После несложных выкладок получаем:
где векторное поле ро выражается через уже известные функции. В это уравнение входит функция j\ = ( і, УФ)м! чтобы получить для нее уравнение, приравняем коэффициенты при є1, полученный в результате подстановки асимптотического ряда (4.13) в уравнение индукции (4.1). В полученном равенстве устремим у к ±оо; получим
где гладкие векторные поля Л1 выражаются через уже известные функции. Эти уравнения должны быть выполнены вне и внутри поверхности М с нулевыми начальными условиями.
Теперь обе части равенства, полученного приравниванием коэффициентов при є1, убывают при \у\ — оо, поэтому его можно modO(e) ограничить на поверхность М. Проекция полученного равенства на нормаль к М имеет вид
(4.19) где q\ выражается через уже известные функции. Уравнения (4.18), (4.19) представляют собой замкнутую систему относительно касательной к М компоненты поля Во и нормальной компоненты поля В\, ограниченных на М. Продолжая эти функции по описанным выше правилам во все пространство, получим указанные компоненты асимптотического ряда.
