Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Свойства еесошх пространств с повторнымидробными нормами 19
1. Неравенства для весовых повторных дробных норм 19
2. О некоторых весовых пространствах бесконечно дифференцируемых функций 36
Глава 2. Сравнение силы дифференциальных операторов в весовых пространствах 42
1. О мультипликаторах интегралов Фурье в весовых пространствах 42
2. Об эквивалентных нормах в весовых пространст вах Соболева-Слабодецкого на языке преобразо ваний Фурье 48
3. Теоремы о сравнении силы дифференциальных операторов 62
Глава 3. О бесконечной дифференцируемости решений, принадлежащих весовым пространствам 79
1. Метод дробного дифференцирования априорных неравенств 79
2. Теоремы о бесконечной дифференцируемости 84
- О некоторых весовых пространствах бесконечно дифференцируемых функций
- Об эквивалентных нормах в весовых пространст вах Соболева-Слабодецкого на языке преобразо ваний Фурье
- Теоремы о сравнении силы дифференциальных операторов
- Теоремы о бесконечной дифференцируемости
Введение к работе
Настоящая работа посвящается одному из важных разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных: изучению дифференциальных свойств решений, тесно связанному с теорией функциональных пространств. Изучается вопрос о принадлежности функции U, некоторому весовому пространству бесконечно дифференцируемых функций в предположении, что Ф и принадлежит такому пространству, где fp - некоторый линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [_1—2 J H[IOJ , они докладывались на семинарах кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа Университета дружбы народов под руководством проф. В.И.Буренкова, на семинаре под руководством проф. В.Н.Масленниковой. В течение ряда лет 1982-1984 гг. результаты диссертации докладывались на ежегодных конференциях молодых ученых и на научных конференциях физико-математических и естественных наук Университета дружбы народов им. П.Лумумбы.
Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю проф. В.И.Буренкову за помощь и постоянное внимание при исполнении данной работы.
О некоторых весовых пространствах бесконечно дифференцируемых функций
В этом параграфе доказывается теорема, в которой в многомерном случае сравниваются некоторые весовые пространства, построенные с помощью весовых повторных дробных норм. Для дальнейшего нам понадобятся следующие определения и обозначения. Через [ 1р,Д С-Ш = t Ц»? J Q » Р і будем обозначать пространство тех U- , для которых для любых G- Q 11 11, Определение I.I. Будем говорить, что U- є L Jр р I - " » р » если для любых Q. Q и любых К О конечна следующая норма II # И, С&) P f Определение 1.2. Будем говорить, что Ы Г7 П 6 0 , i p o j -і- № - О о , если для любого Q Є Q и любого К о конечна следующая норма Теорема 1.2. Пусть о ;С W- П-, І р ?-& — .) о и пусть fCx)- (I L) , где удовлетворяет условию (1.3). Тогда [С lea, .[Г,"-] (- -) (1.24) Доказательство. Сначала докажем, что В? [Vfl tC PJ )" (1.25) Для доказательства (1.25), согласно лемме 2.2 из эJ стр.219, достаточно установить, что существует такое натуральное = (.к) что справедливо следующее вложение [\лЛ; ]CA]Q[ tffJ tf.i (LW "V (Х.26) ул. Pf К где норма в пространстве \д/р , р определяется следующим об разом ll"4 4oll W& Запись (1.26) означает, что для любых С Q и о существует такая постоянная Q СШ ,luV ( Ъе .а се, » сіИ1аІіЛ- с"?) для любых Р о Из доказательства леммы 1.4 следует оценка (1.27) с X— ЦК]+, и постоянной Сп » не зависящей ни от G , ни от J Следовательно, (1.25) доказано. Докажем теперь, что Для доказательства (1.28), согласно лемме 2.2 из [э] стр.219, достаточно установить, что существует такое натуральное число = Х.СК) » чт0 справедливо следующее вложение [ C- Bp.i (Lp,f).-)] ( )C [Wp, f ] (XI) . (1.29) Запись (1.29) означает, что для любых Q Q и существует такая постоянная Q (-,&) , что И U-1 K,t г Wall D для любых Is О Согласно лемме 1.4 неравенство (1.30) является следствием следующего неравенства "HA/ (г C fA U ? ? м] op ::Бp(Lp,rc)))..), (1-31) где С не зависит от U Поэтому, согласно леглме 1.4, в частности, достаточно доказать следующую оценку для любого целого числа Z . " "W - PM Ct II Ltd і є , d-32) г » где Cf5- не зави f Определение 1.2. Будем говорить, что Ы Г7 П 6 0 , i p o j -і- № - О о , если для любого Q Є Q и любого К о конечна следующая норма Теорема 1.2. Пусть о ;С W- П-, І р ?-& — .) о и пусть fCx)- (I L) , где удовлетворяет условию (1.3). Тогда [С lea, .[Г,"-] (- -) (1.24)
Доказательство. Сначала докажем, что В? [Vfl tC PJ )" (1.25) Для доказательства (1.25), согласно лемме 2.2 из эJ стр.219, достаточно установить, что существует такое натуральное = (.к) что справедливо следующее вложение [\лЛ; ]CA]Q[ tffJ tf.i (LW "V (Х.26) ул. Pf К где норма в пространстве \д/р , р определяется следующим об разом ll"4 4oll W& Запись (1.26) означает, что для любых С Q и о существует такая постоянная Q СШ ,luV ( Ъе .а се, » сіИ1аІіЛ- с"?) для любых Р о Из доказательства леммы 1.4 следует оценка (1.27) с X— ЦК]+, и постоянной Сп » не зависящей ни от G , ни от J Следовательно, (1.25) доказано. Докажем теперь, что Для доказательства (1.28), согласно лемме 2.2 из [э] стр.219, достаточно установить, что существует такое натуральное число = Х.СК) » чт0 справедливо следующее вложение [ C- Bp.i (Lp,f).-)] ( )C [Wp, f ] (XI) . (1.29) Запись (1.29) означает, что для любых Q Q и существует такая постоянная Q (-,&) , что И U-1 K,t г Wall D для любых Is О Согласно лемме 1.4 неравенство (1.30) является следствием следующего неравенства "HA/ (г C fA U ? ? м] op ::Бp(Lp,rc)))..), (1-31) где С не зависит от U Поэтому, согласно леглме 1.4, в частности, достаточно доказать следующую оценку для любого целого числа Z . " "W - PM Ct II Ltd і є , d-32) г » где Cf5- не зависит от U . Известно, что Oo [W]-4 I ( Иі и-І. ОйІхУн I S = о =- = к где Є = (K,Virl), K=o , ± i, ±Z ,.-. Используя (1.7), получим М+1 _ _ „Л Р SP 1 I (I W il U ) S= о к=- ц і / р р чР = to(Zf(«IHLc w ) н т По теореме вложения получим к - о Dp (&) - хіЧ р где С не зависит от (X и G . Используя (1.8), получим і & = Хіч ( I Hull , /sI fc=_oo Ьр (Lp,f ОА)) і где (Г1? ruoU tDc , а = (К- Г, K+i-v r) Из леммы 1.2 следует, что где С, = C C5 Из (1.5) следует, что где cjy = cn xS . Так пусть fCx)- (I L) , где удовлетворяет условию (1.3). Тогда [С lea, .[Г,"-] (- -) (1.24) Доказательство. Сначала докажем, что В? [Vfl tC PJ )" (1.25) Для доказательства (1.25), согласно лемме 2.2 из эJ стр.219, достаточно установить, что существует такое натуральное = (.к) что справедливо следующее вложение [\лЛ; ]CA]Q[ tffJ tf.i (LW "V (Х.26) ул. Pf К где норма в пространстве \д/р , р определяется следующим об разом ll"4 4oll W& Запись (1.26) означает, что для любых С Q и о существует такая постоянная Q СШ ,luV ( Ъе .а се, » сіИ1аІіЛ- с"?) для любых Р о Из доказательства леммы 1.4 следует оценка (1.27) с X— ЦК]+, и постоянной сит от U . Известно, что Oo [W]-4 I ( Иі и-І. ОйІхУн I S = о =- = к где Є = (K,Virl), K=o , ± i, ±Z ,.-. Используя (1.7), получим М+1 _ _ „Л Р SP 1 I (I W il U ) S= о к=- ц і / р р чР = to(Zf(«IHLc w ) н т По теореме вложения получим к - о Dp (&) - хіЧ р где С не зависит от (X и G . Используя (1.8), получим і & = Хіч ( I Hull , /sI fc=_oo Ьр (Lp,f ОА)) і где (Г1? ruoU tDc , а = (К- Г, K+i-v r) Из леммы 1.2 следует, что где С, = C C5 Из (1.5) следует, что где cjy = cn xS . Так пусть fCx)- (I L) , где удовлетворяет условию (1.3). Тогда [С lea, .[Г,"-] (- -) (1.24) Доказательство. Сначала докажем, что В? [Vfl tC PJ )" (1.25) Для доказательства (1.25), согласно лемме 2.2 из эJ стр.219, достаточно установить, что существует такое натуральное = (.к) что справедливо следующее вложение [\лЛ; ]CA]Q[ tffJ tf.i (LW "V (Х.26) ул. Pf К где норма в пространстве \д/р , р определяется следующим об разом ll"4 4oll W& Запись (1.26) означает, что для любых С Q и о существует такая постоянная Q СШ ,luV ( Ъе .а се, » сіИ1аІіЛ- с"?) для любых Р о Из доказательства леммы 1.4 следует оценка (1.27) с X— ЦК]+, и постоянной Сп » не зависящей ни от G , ни от J Следовательно, (1.25) доказано. Докажем теперь, что Для доказательства (1.28), согласно лемме 2.2 из [э] стр.219, достаточно установить, что существует такое натуральное число = Х.СК) » чт0 справедливо следующее вложение [ C- Bp.i (Lp,f).-)] ( )C [Wp, f ] (XI) . (1.29) Запись (1.29) означает, что для любых Q Q и существует такая постоянная Q (-,&) , что И U-1 K,t г Wall D для любых Is О Согласно лемме 1.4 неравенство (1.30) является следствием следующего неравенства "HA/ (г C fA U ? ? м] op ::Бp(Lp,rc)))..), (1-31) где им образом оценка (1.32) доказана и тем самым установлено вложение (1.28). Наконец из (1.25), (1.28) следует (1.24).
Об эквивалентных нормах в весовых пространст вах Соболева-Слабодецкого на языке преобразо ваний Фурье
Соболева-Слободецкого на языке преобразований Ф.урье Хорошо известно (см., например, [_3 ] ), что при Целью настоящего параграфа является обобщение соотношения эквивалентности на случаи весовых пространств со степенным весом. Лемма 2.4. I) Пусть , S - натуральные числа. Тогда 2) Если же , S о , Доказательство. Вначале приведем доказательство соотношения (2.II). Поскольку то, где g не зависит от -f . Применяя формулу Лейбница, получшл где СИ не зависит от -f Далее, так как при рассматриваемых К, m, р, Iа: Ы С4о (і + іх-Г) - (2.14) где Сі0 не зависит от х , то О где С., не зависит от {. Таким образом получили F "i / ( , і II ", /J (R-Ч t (2Л5 Обратное неравенство где Cj2 не зависит от , следует из (2.15) после замены f на p f . Соотношение (2.II) следует из (2.15) - (2.16). Докажем (2.12). Пусть n=d (при w i доказательство аналогично). По определению имеем ( б ЄіМ, Є"? ) Используя (2.10), получим где С»з не зависит от . Так как то, согласно (2.10), _LX t\ CR ) где C не зависит от ос По определению имеем ( 67 N , 6t S ) к Следовательно, Оценим Г« и Ig " о Q} Заменяя yJL — і J , получим Д WCU «"4»rif»Hc OO if R1 K +i (2.18) С II II (Ri , где C?5 не зависит от у Оценим норму iiA;[cr )f ]iiL(Rl rzii[A;Vc-? & г Ґ } хjfj , и Я ,, г ъ-к,-&с ыг А — Так как то Поскольку (0 4_ ) , TO Следовательно, к=о о о R1 j. v I Ak о I 2 , JUL Jk t-S + bifiX-Vl-lt+LC K A, JJ \1 qt ІцГІГііі 1\ с ) і л f )k+ . /Г гХ+ Ъ!г -іЄ+ifl , і /л Л 0 о р«- к Єї і + ir к J vVcx?axTf I- [l+I-bI+I " где C2e,C2f не зависит от . Заменяя в I, , і. = іл » получим i0 C J 1 Ъ&ь ш 4 (2.19) С II 1, о is L где Сгг, CZJ, не зависят от Далее заметим, что 1, H№LjL(yf), (2.20) где Сі ( не зависит от -f , и I Н4 \\ сю -if- B;(RI) L 4/V % imL (2.21) где Cl5 ,Сгб не зависят от -f В последней оценке мы воспол так как при рассматриваемых К, m, р, Iа: Ы С4о (і + іх-Г) - (2.14) где Сі0 не зависит от х , то О где С., не зависит от {. Таким образом получили F "i / ( , і II ", /J (R-Ч t (2Л5 Обратное неравенство где Cj2 не зависит от , следует из (2.15) после замены f на p f .
Соотношение (2.II) следует из (2.15) - (2.16). Докажем (2.12). Пусть n=d (при w i доказательство аналогично). По определению имеем ( б ЄіМ, Є"? ) Используя (2.10), получим где С»з не зависит от . Так как то, согласно (2.10), _LX t\ CR ) где C не зависит от ос По определению имеем ( 67 N , 6t S ) к Следовательно, Оценим Г« и Ig " о Q} Заменяя yJL — і J , получим Д WCU «"4»rif»Hc OO if R1 K +i (2.18) С II II (Ri , где C?5 не зависит от у Оценим норму iiA;[cr )f ]iiL(Rl rzii[A;Vc-? & г Ґ } хjfj , и Я ,, г ъ-к,-&с ыг А — Так как то Поскольку (0 4_ ) , TO Следовательно, к=о о о R1 j. v I Ak о I 2 , JUL Jk t-S + bifiX-Vl-lt+LC K A, JJ \1 qt ІцГІГііі 1\ с ) і л f )k+ . /Г гХ+ Ъ!г -іЄ+ifl , і /л Л 0 о р«- к Єї і + ir к J vVcx?axTf I- [l+I-bI+I " где C2e,C2f не зависит от . Заменяя в I, , і. = іл » получим i0 C J 1 Ъ&ь ш 4 (2.19) С II 1, о is L где Сгг, CZJ, не зависят от Далее заметим, что 1, H№LjL(yf), (2.20) где Сі ( не зависит от -f , и I Н4 \\ сю -if- B;(RI) L 4/V % imL (2.21) где Cl5 ,Сгб не зависят от -f В последней оценке мы воспользовались теоремой вложения (Bfc_Bf ( 0 г е). Аналогично, как и в Т, , после замены ЗЦ- — u. , легко получить 5Г bZ CL+lx-l 1)Ъ (2.22) где С С0 не зависят от 2 . В последней оценке мы восполь-зовались теоремой вложения ( 1. ог ;р ) Следовательно, из (2.17) - (2.22) получим ьзовались теоремой вложения (Bfc_Bf ( 0 г е). Аналогично, как и в Т, , после замены ЗЦ- — u. , легко получить 5Г bZ CL+lx-l 1)Ъ (2.22) где С С0 не зависят от 2 . В последней оценке мы восполь-зовались теоремой вложения ( 1. ог ;р ) Следовательно, из (2.17) - (2.22) получим 11RV , С НЧ (Rl) ., (2-23) где С не зависит от f . Обратное неравенство & ,1 Г \lftWi СП s (2.24) где зо не зависит от - , следует из неравенства (2.23) после замены на p_i f Таким образом, из (2.23) - (2.24) следует соотношение (2.12). Лемма 2.5. Пусть і о целое число S о . Тогда Р У ?,, « V ,» Доказательство. Из определений нормы в пространстве Соболева и из (2.10) следует
Теоремы о сравнении силы дифференциальных операторов
Определение 2.2. Оператор Q не сильнее р относительно -l f \sM ( Wv1 » если Д л 1 существует такое число , 0 , что для любых И- є Рр f L2? і таких» что yflt сG- , IHQ IU ( a ct)+l!Qu„l ), (2 з5) где Q не зависит от U- . Лемма 2.7. (Весовое неравенство Юнга). Пусть i p- - II $ $ If, СР) Hfll. tRK) И W, ( і где -d yt 5? В частности, если функция СХ)= С + -О , то Теорема 2.1. Пусть fC -У t 03 ) , где Ь удовлетворяет условию (1.3). Если для некоторого - о (42,f «1,р е .к !--"- (2.36) ф Доказательство. Согласно определению 2.1 нужно доказать оценку (2.34). По определению норм имеем Оценим где Cff не зависит от u- . Так как где из условий (2.36) имеем Далее оценим следующую норму Преобразуем T7 , т.е. внутри V умножим и делим на J № ( 4 \ / , затем берем прямое и обратное преобразование Фурье, в результате получим sr4 Из условий (2.36) следует rU4_ бч !іг. cp t Л-\ 9 --ai ( 4 fefHL где ( - не зависит от f ft ; С С 1 1) - ядро Бесселя-Макдональда (см. 25] 8.1 ). Следовательно, Обозначим AJ; -- XJ = л ( / , согласно весо-вому неравенству Юнга, будем иметь где Таким образом мы получили, что где Сб не зависит от U_ . В последнем равенстве мы воспользовались определениями нормы в пространстве Бесова. Далее оценим следующую норму Известно, что где Ср не зависит от 9е j . Используя свойства ядра ( [25 ] , стр.345), получим где Cg не зависит от Ztx ) . Следовательно, /с Таким образом мы получили Следовательно, будем иметь % cuZ n pc»ViiL з где 9 САО См не зависят от ос, L . Наконец, из (2.38) - (2.39) следует искомое утверждение. Теорема 2.2. Пусть Pc&) - С XU ) » гДе удовлетворяет условию (1.3). Если для некоторого о р е .?"Г1"" (2.40) WL то Q a .fUw) Доказательство. Согласно определению 2.2, согласно весо-вому неравенству Юнга, будем иметь где Таким образом мы получили, что где Сб не зависит от U_ . В последнем равенстве мы воспользовались определениями нормы в пространстве Бесова. Далее оценим следующую норму Известно, что где Ср не зависит от 9е j . Используя свойства ядра ( [25 ] , стр.345), получим где Cg не зависит от Ztx ) . Следовательно, /с Таким образом мы получили Следовательно, будем иметь % cuZ n pc»ViiL з где 9 САО См не зависят от ос, L . Наконец, из (2.38) - (2.39) следует искомое утверждение. Теорема 2.2. Пусть Pc&) - С XU ) » гДе удовлетворяет условию (1.3). Если для некоторого о р е .?"Г1"" (2.40) WL то Q a .fUw) Доказательство. Согласно определению 2.2, достаточно доказать (2.35). По определению нормы имеем L9 ЛЯП 4,. Следуя методу доказательства теоремы 2.1, оценим / и л f n lS H , ) Согласно (2.40), получим где C i не зависит от U.. Из (2.41) -(2.42) следует неравенство (2.35). Лемма 2.7. Пусть - л/ . ос? . Если (Ч-f fj ) „Ш ( з f 3 ) , то для любого Ъ справедлива оценка [(i± g - bj/ c где С ,САЪ не зависят от f ft . Сначала докажем следующие вспомогательные лемглы. Лемма 2.8. Для любого \ = (_ о о - /)».- о) о справедлива следующая формула /V7 Z r . 7 v-, s fi oira+f J= l O ]=Іа+С} SPC?J, =-w- (2.43) где A A - некоторые многочлены степени S Доказательство. Докажем по индукции. Пусть (2.43) верно для D . Покажем, что (2.43) справедливо для i?-i Вычисляя производное от формулы (2.43), получим 7 5 = о 5" (2.44) В первой сумме (2.44), заменив S-f-l на s , затем объеди нив обе суммы, получим P+L /ids р p+L jj. s
Следствие достаточно доказать (2.35). По определению нормы имеем L9 ЛЯП 4,. Следуя методу доказательства теоремы 2.1, оценим / и л f n lS H , ) Согласно (2.40), получим где C i не зависит от U.. Из (2.41) -(2.42) следует неравенство (2.35). Лемма 2.7. Пусть - л/ . ос? . Если (Ч-f fj ) „Ш ( з f 3 ) , то для любого Ъ справедлива оценка [(i± g - bj/ c где С ,САЪ не зависят от f ft . Сначала докажем следующие вспомогательные лемглы. Лемма 2.8. Для любого \ = (_ о о - /)».- о) о справедлива следующая формула /V7 Z r . 7 v-, s fi oira+f J= l O ]=Іа+С} SPC?J, =-w- (2.43) где A A - некоторые многочлены степени S Доказательство. Докажем по индукции. Пусть (2.43) верно для D . Покажем, что (2.43) справедливо для i?-i Вычисляя производное от формулы (2.43), получим 7 5 = о 5" (2.44) В первой сумме (2.44), заменив S-f-l на s , затем объеди нив обе суммы, получим P+L /ids р p+L jj. s Следствие 2.3. Для любого І 1 справедлива оценка 0& г,, і/, . . . V і Г мМі ач1)
Теоремы о бесконечной дифференцируемости
В этом параграфе доказывается, в частности, теорема о бесконечной дифференцируемое решений уравнений в частных производных с помощью метода, предложенного в 1 данной главы. И также получены достаточные условия бесконечной дифференцируемости на языке принадлежности некоторых выражений, содержащих Q Ц) У\л и С%) классу ht о С Lz, f " мультипликаторов интеграла Фурье). Кроме того, получены необходимые и достаточные условия бесконечной дифференцируемости решений, когда весовая функция имеет степенной вид. Теорема 3.2. Пусть о vw с n ,4p .fo) = (1 \), где удовлетворяет условию (1.3), и пусть выполнены следующие условия I) 1 4 ? . 2) f" Af относительно C-p»fl №) G & Тогда, если U[filp,f] ) и f U є [ Зр ] Доказательство. Для доказательства теоремы 3.2 введем следующие обозначения: (пусть сначала О w\ .п. ) И I- 1/1/1 Lp,fCC) Далее обозначите Следовательно, для доказательства теоремы 3.2 достаточно проверить, что выполняется условие теоремы 3,1 с учетом лемм 3.1, 3,2 и теоремы 1.2. Ташш образом, согласно лемме 3.3 и определению множества 6 , получим где Cs не зависит от [л . В силу новых обозначений (3.10) будет иметь следующий вид т.е. условие I) теоремы 3.1 выполнено. Докажем теперь условия 2) теоремы 3.1. В силу новых обозначений имеем II(Л в ч = У ИУ и-Н Hh ИЛ L- ) О і II f (Д, a) i и Vr » 5І1 где C не зависит от u . Таким образом, получаем вложения I) из теоремы 3.1. Далее, исходя из условий I) теоремы 3.2, учитывая, что о 6" 51 Ч = Ч &, = 4 на « -3 4 » из определения 2.2 будем иметь T Uf f Ч tSp -DplLp,f V. r- Hull где Cs не зависит от U Согласно свойству монотонности получим -BP(LP,fu)) грС".Ър(ха, А S4 г V oJ г где Cf не зависит от (Л . Тем самым установлено вложение 2) из теоремы 3.1. И, наконец, вложение 3) является простым следствием теоремы 1.2. Следовательно, согласно лемме 1.5, следствию 1.2 и леммам 3.2, 3.3, мы получим искомое утверждение. 2) при т - о неравенство (3.10) является тривиальным. И доказательство теоремы 3.2 упрощается. Действительно, из условий I) теоремы 3.2 следует, что для любых аєф {Rn){\ P/P(Rn) » J II u-If Є r filft4i t + Ilu-"u f( ). где Су не зависит от U. . Тогда согласно лемме 3.2, отсюда следует, что зг.г,/»- ч,?%к- . Следовательно, искомое утверждение следует из теоремы 1.2 и следствий - "" Bp , „«., ,_ P, „n. 1 (R.4 СІ (R ) С J 1 P(R-R) Схэ p f Теорегла 3.3. Пусть f(%) = ( I U") , где удовлетворяет условию (1.3) и пусть (о У - У1- ) , I) для некоторого - ЯчС . -г _- Г« Т«) ( е Mi)() » &. . « » 2) для некоторого о Г » f (%ї со иФ Mw " .
Тогда, если U c) Є [ W Ij и u е ІД Aj то U. C l [ ] Л) . (при и =о теорема 3.3 принимает вид: пусть для некоторого / о; . Тогда, если e o (xcx)eL B №") и (рае J ((Г) , то Доказательство. Согласно определению 2.2 и теореме 2.2 после замены оператора Q на единичный оператор X из условий I) теоремы 3.3 следует, что из определения 2.1 и теоремы 2.2, заменив оператор Q на У и из условий 2) теоремы 3.3 следует, что Следовательно, воспользовавшись теоремой 3.2, получим искомое утверждение. Обозначим через J, {_%), f R расстояние от точки до множества: М- =( +1 .---. 1.. ,...,О (? - } (в частности, d0(.$) - расстояние от до множества действительных нулей многочлена J ). В [37Д доказана следующая лемма, которой будем пользоваться в дальнейшем. Лемма 3.3. Следующие условия эквивалентны между собой ( о . m а). 1) множество }/ ограничено и для любого с Я _ оо р ; 2) множество }/ ограничено и для некоторых X ,Д ,t о » Д любых с f v 3) - &r d (0 = 4) для некоторых , о 5) для любого О- о существует такое о , что при h = 1 При У)л о все условия 1)-5) сводятся к тому, что множество j\/U ограничено (считаем, что = о ). Лемма 3.4. Пусть о _о , f СзсО удовлетворяет условию в- 2 где Cg , Сл не зависят от 2j Тогда условие X - СФ ( [Lz Л № ) эквивалентно условию: множество нулей функции TU ) компактно. Доказательство. Компактность множества нулей функции У (?) следует из J . р ( \-z Л С-&-} ) поскольку это означает, что выполняется условие теоремы 2.4, из которого следует компактность множества нулей функции (Р (О . Докажем обратное. Из теоремы Хёрмандера [37j , согласно которой для некоторых s 4 о и и о имеет место следующая оценка (З.Ц) где Qj0 и е.. не зависят от J\7m - множество нулей функции f it) . Из (3.II) согласно теоремы 2.4 после замены оператора Q на I получим, что I4?([L,„] (Л)). Теорема 3.4. Пусть о ; w и пусть р ба) = (і4 1 0 . К оо ТГДЭ- Для того, чтобы из условии is. _ Gx= "е Г Т 1 С&-) необхдшо Z if Ли и следовало, что (l p oo) и достаточно, чтобы выполнялось одно из этих двух условий I) (Р(?) о ЕРИ достаточно больших Q (3.12) 2) при 1 vw. со ?- fCV или 1) Ф (f) o при достаточно больших є R о (3.13) 2) для некоторых Л, А , о и любых oi ) lTixw,i?Moi A W?), m t. Замечание 3.1. При KV-D формулировка теоремы 3.4 принимает вид: для того, чтобы из условий U_cx) L o(Rn) Фи. Є 1 (R ) следовало, что и Сое) 1 (& ) w ,2. р J необходшло и достаточно, чтобы Ф Ц) ф о при достаточно больших f е рЛ . Доказательство. I) достаточность. Согласно лемме 3.3, условия (3.12), (3.13) эквивалентны. Согласно лемме 3.3 и лемме 3.4 из ограниченности нулей функции (Л) следует, что I «, (С і , рухо). Далее, из второго условия (3.13) после замены Q на J \ cLGfa в силу теоремы 2.4 следует, что ?w+ Т(ил,л ах-)) Таким образом достаточность установлена. 2) для доказательства необходимости воспользуемся теоремой о замкнутом графике. Рассмотрим для Q- м X R. Q и і =. С А 5 - » А. ) о множество / ft) функций ІДСа:) # 7 _Q_) , для которых где UP J p f Заметим, что пространство J/C-) полно. Доказательство этого факта подробно проведено в ( [э] стр.251), при fcc o = i. , Оно будет верно и для f с -) » Удовлетворяющей условию теоремы 3.4.
