Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Основные уравнения и соотношения. Постановка задачи о кручении упругого тела с тонкими упругими включениями. Метод согласования асимптотических разложений 11
1.1. Исходные уравнения теории кручения упругих тел вращения 11
1.2. Общая постановка задачи кручения упругого тела с тонким упругим включением 12
1.3. Метод сращивания асимптотических разложений и его применение к решению поставленных задач 16
1.4. Упрощенные условия сопряжения в плоскости включения для внешнего представления решения 23
1.5. Поведение внешнего асимптотического разложения в окрестности края включения 27
Глава 2. Кручение упругого полупространства с тонким упругим включением 32
2.1, Постановка задачи 32
2.2. Определение внешнего представления решения 34
2.3. Приближенное решение внешних задач при больших значениях параметров 47
2.4, Осесимметричное кручение упругого пространства с тонким абсолютно мягким или абсолютно жестким включением 54
2,-5. Напряженно-деформированное состояние упругого тела вблизи края включения 59
2.6. Анализ полученных результатов 70
Глава 3. Кручение упругого цилиндра с тонким упругим включением 100
3.1. Постановка задачи 100
3.2. Решение осесимметричной задачи кручения упругого цилиндра бесконечной протяженности с тонким упругим включением 102
3.3. Численный анализ 110
Заключение 118
Литература 120
Приложение 135
- Общая постановка задачи кручения упругого тела с тонким упругим включением
- Метод сращивания асимптотических разложений и его применение к решению поставленных задач
- Приближенное решение внешних задач при больших значениях параметров
- Решение осесимметричной задачи кручения упругого цилиндра бесконечной протяженности с тонким упругим включением
Общая постановка задачи кручения упругого тела с тонким упругим включением
В последнее время к их решению все более часто применяются асимптотические методы, в частности, метод сращивания асимптотических разложений, метод составных асимптотических разложений. Однако первоначальное применение было осуществлено не в теории упругости, а в других областях математической физики. Так, в [17] методом сращивания асимптотических разложений исследована задача гидродинамики об обтекании тонкого тела двумерным потоком идеальной несжимаемой жидкости. В этой работе детально исследована зависимость искомого решения от формы тонкого тела. Тем же методом в теоретической гидродинамике решено много других задач [W,G0 ,W] . Исследования двумерных классических задач теории эллиптических уравнений в областях с тонкой щелью или малым отверстием [40,42 ,136 ,137] , а вО0,59 ,62] - аналогичных трехмерных и многомерных задач. В [65, 110 , 140 , 144 , 14%J исследованы трехмерные задачи рассеяния упругих волн тонкими нитевидными и малыми телами.
Двумерная задача теории упругости о растяжении пластин с тонким гладким вырезом конечной толщины методом составных асимптотических разложений исследована в [36J. Напряженно-деформированное состояние возле тонких нитевидных включений (в том числе и упругих) проанализировано в [37,67 ,143 , \ЧЬ],
В работе [Ы] методом сращивания асимптотических разложений исследовано рассеяние упругих SH -волн на тонком упругом включении. Однако здесь исследовалось только дальнее поле и не затрагивался вопрос о поведении поля в окрестности края включения. Следует отметить работы [44 ,93 , 94 , Э5 ,113 ,123 , 124 ,127], в которых исследуются задачи теории упругости, теплопроводности, электростатики для сред с тонкими прослойками без края.
Много общего с упомянутым выше подходом имеют методы исследования асимптотических решений уравнений теории пластин и оболочек [22,23 , 108 , f35j , а также способы решения других задач математической физики для тонких областей f 32,35] . Заметим, что подобные методы привлекались также к исследованию осесиммет-ричных задач о действии кольцевого штампа на упругие тела и некоторых других контактных задач [ 2 ,3 , 91j .
Краткое содержание работы. Предметом рассмотрения данной работы являются осесимметричные задачи кручения упругих тел, содержащих тонкие упругие включения конечной толщины. Для решения этих задач привлекается метод согласования асимптотических разложений.
Основная идея метода заключается в том, что решение задачи ищется в виде двух асимптотических разложений по малому параметру, характеризующему область включения: внешнего и внутреннего. Внешнее асимптотическое разложение описывает решение задачи всюду, за исключением некоторой малой окрестности края включения, а внутреннее - внутри этой малой окрестности. Два указанных разложения не могут быть произвольными. Они должны быть согласованы по принципу сращивания асимптотических разложений [17, 134] .
Построение асимптотических разложений, описывающих решение задачи при любых значениях модулей сдвига материалов матрицы и включения, сопряжены со значительными трудностями. В работе предлагается разбить решение задачи на три следующих случая. В первом случае предполагаем, что материал включения значительно мягче материала матрицы, во втором случае считаем, что материал включения очень жесткий по сравнению с материалом матрицы. В третьем случае описывается решение, когда упругие свойства материалов матрицы и включения близки между собой. Подробно эта методика описана в первой главе.
В первой главе сделана также общая постановка осесимметричной задачи кручения упругого тела, в котором содержится тонкое упругое включение из другого материала. Здесь же изучены некоторые свойства внешнего асимптотического разложения.
Во второй главе рассматривается кручение упругого полупространства (или упругого пространства) с тонким включением. В первом параграфе дана постановка задачи. Во втором параграфе описана методика решения внешних задач. В ее основу положен метод интегрального преобразования Ханкеля, а также метод механических квадратур. Задача определения внешнего асимптотического разложения относится к классу контактных задач, упомянутых вначале введения, в которых полагается, что на срединной поверхности включения заданы некоторые математические условия неидеального контакта.
В дальнейшем нам важно знать поведение внешнего решения в том случае, когда некоторые параметры в упомянутых выше математических условиях неидеального контакта становятся большими или малыми. Исследование этого поведения дано в третьем параграфе. В пятом параграфе находится внутреннее асимптотическое решение задачи, то есть исследуется напряженно-деформированное состояние композита вблизи края включения. Там же строится полное решение задачи. В шестом параграфе проведен анализ полученных результатов.
Метод сращивания асимптотических разложений и его применение к решению поставленных задач
К изучению поставленной в предыдущем параграфе задачи применим метод сращивания асимптотических разложений. Этот метод является обобщением теории пограничного слоя, предложенного Пранд-тлем к исследованию задачи обтекания тела потоком вязкой жидкости при больших скоростях [105]» В настоящее время метод согласования асимптотических разложений применяется к решению задач механики жидкости [17 ,60 , 138] , геофизики [Ш, iW % НЧ\ , теории обыкновенных дифференциальных уравнений [15,16,18 ,19] , теории уравнений в частных производных с малым параметром при старших производных и многих других задач Ы,в8 ,111] (см. также введение). Исследование процесса сращивания внешнего асимптотического разложения с внутренним и его формализация были предприняты в работах [17, 18 , 19J . Обоснование этого метода проводилось, например, в работах [ВО, 13і/ , 1 4, где указан способ получения априорных оценок решений в соответствующих функциональных пространствах. Следует отметить, что в настоящее время используется много других модификаций и обобщений метода пограничного слоя Прандтля, имеющих порой много общего с методом сращивания асимптотических разложений. Это метод Люстерника-Вишика [21 ,107], метод составных асимптотических разложений [62,6 J , метод геометрической оптики [7]. В работах [69, 72] к решению интегральных уравнений применен метод, основанный на равномерном разложении интегралов по малому параметру, который сходный с методом составных асимптотических разложений.
Отметим также, что наряду с методом сращивания асимптотических разложений для решения задач с малым параметром применяются метод регуляризации [61] , метод деформированных координат [17, G8] В пункте I этого параграфа мы изложим основные положения метода согласования асимптотических разложений, а в пункте 2 опишем особенности применения этого метода к решению поставленных I. Основные положения метода согласования асимптотических разложений. Сущность этого метода [17 ,33 J34] состоит в том, что решение задачи ищется в виде двух асимптотических рядов: внешнего асимптотического разложения, описывающего решение задачи во всей области RT за исключением некоторой окрестности края включения, и внутреннего асимптотического разложения, описывающего решение в окрестности этого края. Эти два разложения свя -заны между собой так называемым принципом сращивания внутреннего и внешнего асимптотических разложений. Чтобы подробнее описать способ построения внутреннего и внешнего асимптотических разложений, дадим, следуя Ван-Дайку [17] » некоторые определения. Пусть f (см. 1,2) некоторое фиксированное число. Внешними переменными называются безразмерные независимые и зависимые переменные, основанные на первичных характерных величинах задачи. В 1.2 - это "Z . Внешним пределом называется предел при стремлении параметра возмущения Є к нулю при фиксированных значениях внешних переменных. Внешнее разложение - асимптотическое разложение для - О при фиксированных внешних переменных.
Получается из точного решения последовательным применением внешнего предельного перехода в соответствии с выбранной внешней асимптотической последовательностью. Внутренними переменными называются безразмерные независимые и зависимые переменные, которые растянуты при помощи соответствующих функций так, что они имеют порядок единицы, или меньше единицы в области неоднородности внешнего разложения. Внутренний предел - это предел для 6 -0 при фиксированных значениях внутренних переменных. Внутреннее разложение - асимптотическое разложение для - 0 при фиксированных внутренних переменных. Получается из точного решения последовательным применением внутреннего предельного перехода в соответствии с выбранной внутренней асимптотической последовательностью . Внешним (или внутренним) представлением называется первый ненулевой член в асимптотическом разложении во внешних (или внутренних) переменных. Ш - Членным асимптотическим разложением называется сумма m первых членов соответствующего асимптотического разложения. Для построения внешнего асимптотического разложения поступаем следующим образом. Пусть это разложение имеет вид
Приближенное решение внешних задач при больших значениях параметров
Как уже отмечалось выше, при ]р- с = в случае I, и при \г - - 0 в случае П, точность предложенного в 2.2 способа решений внешних задач понижается. Однако в этих случаях можно получить простые асимптотические решения, используя метод сращивания асимптотических разложений, основные положения которого изложены в 1.3. I. Асимптотическое исследование внешнего представления в случае I при больших значениях ]р . Подставив (3.3) в уравнение (I.I.4) и граничные условия (1.4.4), (1.4.5), приравняв выражения при одинаковых степенях 0 , найдем, что со[- Сц ) удовлетворяют уравнению кручения (I.1.4) и условиям сопряжения Сравнивая (ЗЛІ) с (1.5.5), получим; что где Q А находится по формуле (ЗЛО). Далее по формуле (2.24) найдем и второй коэффициент о асимптотики (1.5.5). Однако в этой асимптотике существенный вклад в рассматриваемом случае будет вносить и следующий член. С его учетом (1.5.5) запишется в виде где А1(1 выражается формулой (3.15). 2. Асимптотическое исследование внешнего представления в случае П при малых значениях V Если Г — -О , то і Введем новый малый параметр Подставим (3.18) в уравнение (I.14) и граничные условия (1.4.8), (1.4.9), и, приравняв выражения при одинаковых степенях \ , найдем, что СОг: (. ) удовлетворяют этому же уравнению кручения (I.I.4), а также следующим граничным условиям и условиям сопряжения В настоящем параграфе приводится решение осесимметричных задач кручения упругого пространства, содержащего абсолютно мягкое или абсолютно жесткое включение нулевой толщины.
Они являются граничными случаями рассмотренных в 2.2 задач и имеют точное решение. Это решение служит контролем за точностью метода механических квадратур, изложенного в 2.2. Упомянутые выше задачи, а также более сложные осесимметрич-ные задачи кручения упругих тел, содержащих абсолютно мягкие или жесткие включения решены и хорошо изучены [27, 92 , 109] . в этом параграфе решение задач строится методом, изложенным в рабо- тах [75,142]. I. Кручение упругого пространства с абсолютно мягким включением нулевой толщины [92] . Постановка задачи дана в 2.2, если LJ- -0 и J - 0 . Из (1.4.4), (1.4.5) получим граничные условия Методика построения членов внутреннего асимптотического разложения хорошо описана, например, в работах 1.17,39 »6#] дальнейшем мы полностью придерживаемся этой методики с той лишь разницей, что вместо экспоненциального относительно Є масштаба внутренних переменных [17] используется следующий масштаб где Т. , 2. , - внутренние переменные. Однако, как легко показать, это не влияет на окончательный результат. I. Случай I. Асимптотика тангенциального смещения в матрице Кроме того, коэффициенты Ац и D должны удовлетворять, с точностью до величин, порядок которых меньше единицы, соотношению (1.5.7), где \j - корень уравнения (1.5.6). Чтобы найти функции і\Л? ) следует установить, какому уравнению и каким граничным условиям они удовлетворяют. Для этого перепишем уравнение кручения (I.I.4) и граничные условия (1.2.7) во внутренних переменных (5.1), причем оставим только главные члены разложений соответствующих операторов по
Решение осесимметричной задачи кручения упругого цилиндра бесконечной протяженности с тонким упругим включением
Укажем на то, что зная зависимость А1Ц и В ц от Nx можно получить зависимость этих коэффициентов от )f" при различных значениях . Действительно, если нам задано значение IKjt и Врі при конкретном N-J и 6 , то из (1.5.6) можно определить ,аиз(1.4.7)и ]р , которому отвечают эти значения коэффициентов. Таким образом, зависимость, изображенная на рис. 2.4,служит основой для построения графиков, показанных на рис. 2.2. На рис. 2.5 показано зависимость коэффициентов А и D от ії (у О при 20= 0 и когда jlCt) принимает вид (6.14). Также как и при { эти зависимости служат, с учетом (1.4.II) и (1.5.II), основой для построения зависимости АГи и В от У при различных значениях . На рис. 2.6 и рис. 2.7 показано зависимость показателя Л от )$" при различных значениях . Из анализа результатов, показанных на рис. 2.2, рис. 2.4 и рис. 2.6, а также из аналитических выражений наведенных в 2.5 следует, что при включение приближенно можно рассматривать как абсолютно мягкое . При этом соответствующие значения коэффициента и показателя А в (5.18) и (5.19) отличаются между собой менее чем на 4%. Аналогична ситуация имеет место, когда когда jp удовлетворяет условиям (6.15) или (6.16) форма включения слабо влияет на напряженно-деформированное состояние тела в окрестности края включения. Этот же вывод справедлив и в случае Ш, когда упругие свойства материалов матрицы и включения слабо отличаются между собой. В этих случаях смещения и напряжения в окрестности края зависят лишь от внешней нагрузки, параметра )р и величины угла раскрыва края включения. Следует кратко остановиться на решении трансцендентного уравнения (5.12). В случае I решение этого уравнения приближенно находятся по формуле (5.15) и (5,16), в случае П - по формуле (5.26), а в случае Ш - по формулам (5.34). Выше уже было указано на существование области перекрытия решений в отдельных случаях. Об этом еще раз свидетельствуют результаты, наведенные в табл. 2.3. Во втором столбце выписаны точные значения Я , определенные численным решением уравнения (5.12) при Є 0,1 ; 0=4 . В третьем столбце наведены приближенные значения Л , определенные по формуле (5.34).
Видно, что выражение, полученное в случае П лучше приближает искомый корень для включений более жестких по сравнению с матрицей, а выражения (5.34) точнее описывают решение для включений, слабо отличающихся по свойствам от матрицы. Прослеживается также и область перекрытия обеих случаев. На рис. 2.8 и рис. 2.9 показано изменение компоненты тензора напряжений І ег.! в матрице на расстоянии Р = 0,01 от кРая включения при ]f i и Х соответственно. Угол 97 отсчитыва-ется от верхней стороны включения, а =0,01. Видно, что максимальные значения \ при 1 достигаются, когда 97 = 180, в то время, как для К"?{ максимальные значения еЛ достигаются при 9 0 , то есть при подходе к включению со сто- роны включения. Экстремальные значения напряжения ег достигаются в крайнем случае ifa0 . При If- -4 напряжения в окрестности края включения спадают и в случае J"=4 реализуются напряженно-деформированное состояние упругого пространства без включения. Сходная ситуация имеет место и для компоненты тензора \4\ei-На рис. 2.10 и рис. 2.II показано изменение ti.e\ в окрестности края включения при у 4 и J 4 соответственно. Здесь максимальные напряжения е1:ге для If 4 возникают при V7 0 , то есть на сторонах включения, а для If 4 при У = 180; экстремальные напряжения в окрестности края достигается в граничном случае = с Из сказанного выше, а также из анализа аналитических выражений для напряжений в окрестности края включения следует, что экстремальное напряженное состояние в окрестности этого края возникает при ]f = 0 и при jfeo .
Когда Г " » напряжения в окрестности края спадают и для f-4 реализуется напряженно-деформированное состояние тела без включения. В табл. 2.4 и табл. 2.5 наведены значения коэффициентов /лц и Оц . Из этих таблиц следует, что характер зависимости A- и &и от Nj и If при различных 20 и приблизительно такой же, какой изображен на рис. 2.2 - рис. 2.5 для 2Q=2. Только при увеличении 20 величина этих коэффициентов уменьшается. Интерес-но отметить тот факт, что при больших ї-0 С0 5) величина Аи и \5И изменяется пропорционально ZQ , то есть так же, как изменяется величина внешней нагрузки при 2.0- . В табл. 2.6 и табл. 2,7 наведены значения коэффициентов А и Вц соответственно в зависимости от N,f (f 7І) и 20 , При увеличении 2.0 эти коэффициенты уменьшаются, причем при больших 2. (Д0 5) они изменяются пропорционально ZD » то есть так же, как и внешняя нагрузка при 2,, 00.
