Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Условия существования и закономерности распространения ударных волн в несжимаемой упругой среде ... 15
1.1 Адиабатическое приближение для упругой среды. Несжимаемая упругая среда 15
1.2 Геометрические, кинематические и динамические условия совместности разрывов 20
1.3 Плоские одномерные ударные волны в несжимаемой упругой среде 24
1.4 Ударные волны в упругой несжимаемой среде при деформировании с осевой симметрией 27
1.5 Неодномерные ударные волны в несжимаемой упругой среде... 31
Глава 2 Метод возмущений в решениях одномерных задач ударного деформирования несжимаемой упругой среды 33
2.1 Сингулярная задача метода возмущений для плоской ударной волны нагружения 33
2.2 Расходящиеся цилиндрические ударные волны 44
2.3 Сходящиеся цилиндрические ударные волны 65
2.4 Одномерное действие скручивающего удара и антиплоского ударного деформирования 82
2.5 Влияние предварительных деформаций на антиплоское деформирование несжимаемой упругой среды 90
Глава 3 Неодномерное ударное деформирование несжимаемой упругой среды 94
3.1 Уравнения динамики несжимаемой упругой среды в отсутствии осевой симметрии 94
3.2 Метод возмущений в неодномерном движении несжимаемой упругой среды и эволюционное уравнение 97
3.3 Об ударном нагружении несжимаемой упругой среды по эллиптической цилиндрической поверхности 112
Глава 4 Об учете вязкостных свойств несжимаемой среды, подвергаемой ударному нагружению 125
4.1 Основные исходные зависимости, определяющие движение несжимаемой упругой среды 125
4.2 Метод возмущений и задача о структуре ударной волны 128
Заключение 131
Литература
- Геометрические, кинематические и динамические условия совместности разрывов
- Расходящиеся цилиндрические ударные волны
- Метод возмущений в неодномерном движении несжимаемой упругой среды и эволюционное уравнение
- Метод возмущений и задача о структуре ударной волны
Введение к работе
В основу описания любого реального процесса должна быть положена математическая модель. Высокоскоростные процессы изготовления и упрочнения изделий такие, как ковка, штамповка, пробивание точных отверстий в поверхностных конструкционных элементах, сварка взрывом и другие связаны с импульсным или ударным воздействием на материал. Математическое моделирование таких процессов связано со значительными математическими трудностями, так как им сопутствует явление возникновения и распространения поверхностей разрыва деформаций (ударных волн). При решении нестационарных задач о распространении возмущений по твердым телам помимо общих трудностей, связанных с нелинейностью получающихся систем уравнений в частных производных и с необходимостью находить обобщенные решения краевых задач, возникают такие явления, как зависимость скорости распространения возмущений от характера предварительного воздействия на среду и от интенсивности этого воздействия, изменение начальной интенсивности и искажение волнового фронта; а также, в отличие от газовой динамики, присутствие двух типов волн: продольной и поперечной которые изменяют как объем, так и форму тела. В общем случае процессы их распространения взаимосвязаны. Такие задачи являются нелинейными по своей сути. Для упрощения модели вводится допущение о пренебрежительно малых диссипативных факторах, сопровождающих нестационарный процесс деформирования. Эти предположения позволяют провести описание напряженно-деформированного состояния на основе модели нелинейно-упругой среды.
Если основной интерес исследования связан с особенностями распространения деформаций изменения формы (здесь нет аналогии с газовой динамикой, так как в газовой динамике отсутствуют деформации изменения формы), то можно ввести допущение о дополнительной внутренней геомет-
рической связи такой, что невозможно изменение объема любого элемента деформируемого тела, то есть оно полагается несжимаемым. В этом случае простейшей моделью для изучения деформаций изменения формы является модель несжимаемого нелинейно-упругого тела. Заметим, что такая идеализированная модель достаточно хорошо описывает поведение ряда реальных материалов. Каучукоподобные материалы, некоторые полимеры по своим свойствам традиционно относят к несжимаемым и упругим. Свойства несжимаемых динамических процессов в механике деформируемого твердого тела изучались значительно медленнее, чем, например, в нелинейной акустике, что позволяет отнести проблему постановки и методов решения обобщенных нестационарных задач динамики несжимаемых упругих сред к актуальным проблемам современной математики и механики.
Основы теории упругости, как и механики сплошных сред, были заложены в позапрошлом веке и связаны с именами Л. Эйлера, Г. Кирхгофа, О. Коши, Дж. Грина, Лагранжа и др. Эти основы были изначально нелинейны (нелинейная связь между напряжениями и деформациями); но до начала прошлого века развивался линейный вариант теории упругости (Навье, Пуассон, Бетти, Митчелл, Галеркин, Релей и др.), которая в 20-30-е годы прошлого столетия приобрела «классическую» форму. Среди отечественных ученых, которые внесли выдающийся вклад в развитие этой теории следует отметить Г.В. Колосова, Н.И. Мусхелишвили, Г.Н. Савина, С.К. Соболева, М.А. Лаврентьева и др.
Основными факторами, которые послужили толчком для развития нелинейной теории являются: во-первых, создание математических методов изучения решений с разрывными поверхностями, принадлежащее Т. Томасу [100] и его школе, основы которых были заложены еще Адамаром; во-вторых, разработка различных вариантов метода возмущений Пуанкаре, Лайтхиллом [125], Ван-Дайком [25], Коулом [62]; в третьих, исследования возможностей, заложенных в эволюционных уравнениях (Ю.К. Энгельбрехт, Фридман, Пелиновский [86]); в четвертых, получение фундаментальных ре-
зультатов по обобщенным решениям систем квазилинейных уравнений [29, 90].
Первой работой, полностью посвященной нелинейной теории упругости, является монография Ф.Д. Мурнагана [126]. Детальное изучение основ нелинейной теории упругости принадлежит Л.И. Седову [96-98], В.В. Новожилову [83], В. Прагеру [87], Д. Бленду [7, 114-116], А.И. Лурье [76], Р.С. Ривлину [128], К.Ф. Черных [107-109], C.I* Годунову [33], У.К. Нигулу [79-81], Д.Д. Ивлеву [54-56], Л.А. Толоконникову [99], М.А. Био [ИЗ], А.А. Ильюшину [57], Г. Каудереру [59], К. Трусделлу [101], И.И. Гольденбланту [34], А. Грину и Дж. Адкинсу [35] и др. Перечислим основные области теории упругости, в которых исследование возможно провести только в нелинейной постановке. Это теория устойчивости деформируемых тел и элементов конструкций, нелинейная акустика и проблема изучения переходных процессов деформирования в нестационарных краевых задачах распространения граничных возмущений. В дальнейшем уделим особое внимание последней проблеме, так как она связана с содержанием данной работы.
С середины 60-х годов прошлого века появились работы, посвященные изучению распространения ударных волн (волн сильных разрывов) с учетом нелинейных эффектов. Среди них можно выделить работы Д. Бленда, Чжу-Бо-Те [120, 121], Е.М. Черных, А.Д. Чернышева [110], Г.Ф. Филатова [103-105].
Д. Бленд рассмотрел условия существования ударных волн в упругой среде на примере плоских волн в адиабатическом приближении при линеаризации определяющей системы уравнений. Он проводил изучение ударных волн в переменных Лагранжа в предположении отсутствия предварительных деформаций. Он также рассмотрел продольные ударные волны со сферической симметрией, получил автомодельное решение задачи с ударной волной постоянной интенсивности. Д. Бленд также исследовал цилиндрические продольные волны в случае изоэнтропического приближения в недеформиро-ванной среде [7]. В случае плоских ударных волн он показал невозможность
существования чисто поперечных ударных волн в недеформированной упругой среде; указал возможность существования ударных волн круговой поляризации (на этой волне не меняется модуль сдвиговых деформаций).
Чжу-Бо-Те исследовал особенности распространения ударных волн в несжимаемых упругих средах [120, 121]. В его работах впервые была получена замкнутая система уравнений в разрывах, вычислены скорости распространения ударных волн в зависимости от предварительных деформаций, разрыва касательного напряжения и деформаций. На примере идеальной несжимаемой резины им было получено условие существования ударной волны нагрузки, как следствие термодинамических ограничений на возможные разрывы. Следует отметить ряд работ других ученых, посвященный исследованию проблем распространения ударных волн в несжимаемых упругих средах [10,70-73,88,89].
Первые работы среди отечественных ученых, проводивших подобные исследования (ударные волны) принадлежат Е.М. Черных. Им были рассмотрены условия существования ударных волн и в рамках неогуковскои модели упругой среды (материал подчиняется закону Гука, но допускает большие деформации) было получено решение автомодельной задачи. Такая геометрически нелинейная модель получалась при замене в законе Гука тензора малых деформаций на тензор деформаций Альманси с учетом нелинейности в кинематических соотношениях. Позже для такой же модели А.Д. Чернышевым и Г.Ф. Филатовым были получены условия существования ударных волн с учетом предварительных деформаций и скорости распространения возможных типов ударных волн.
В 70-80-е годы прошлого века были получены новые значительные результаты; происходит отказ от многих ограничений, в рамках которых проводились вышеизложенные исследования: в более общей форме выбираются определяющие соотношения, изучаются задачи с предварительными деформациями, вычисляются скорости распространения ударных волн, рассматривается вопрос о поляризации волн. Был решен ряд автомодельных задач [108,
15, 16, 67]. А.А. Буренин и А.Д. Чернышев получили новые результаты, являющиеся обобщением ранее сказанного [16, 17]. Изучение проводилось в рамках квадратичной модели, то есть были сняты все ограничения, которые были присущи первым моделям (сняты все ограничения на вид предварительных деформаций, в более общей форме были выбраны основные соотношения). Были указаны условия существования продольных, квазипродольных ударных волн, вычислены скорости их распространения, проведен термодинамический анализ необратимого процесса в ударной волне. Для некоторых материалов был получен аналог теоремы Цемплена для идеального газа, то есть показано, что и в упругой среде существуют только квазипродольные волны сжатия. Показано, что в большинстве случаев на квазипродольных ударных волнах происходит уменьшение предварительных сдвиговых деформаций, а на квазипоперечных всегда присутствует уменьшение предварительного сжатия. Отметим ряд работ, в которых были рассмотрены особенности распространения ударных волн в нелинейной динамической теории упругости [77,103,104,105,115,130].
В 80-е годы прошлого века появляются новые значительные результаты в исследовании распространения плоских волн в деформированной упругой среде. Главная заслуга здесь принадлежит А.Г. Куликовскому и Е.И. Свешниковой [64-68], Т. Тингу [130, 133]. Ими было проведено замкнутое исследование условий существования и закономерностей распространения плоских ударных волн, изучены условия эволюционности разрывов на плоскости. Было обнаружено существование новых видов эволюционных квази-поперчных ударных волн с неубывающей до нуля конечной интенсивностью, явление нарушения поляризации волн и др. Исследования проводились на основе девяти константной теории упругости в переменных Лагранжа.
Э.В. Ленский [72-74] в своих исследованиях проделал подобную работу для упругой среды с упругим потенциалом, состоящим из двух слагаемых, каждое из которых зависело только от одного (первого ли второго) инварианта тензора деформаций. Работы перечисленных авторов сделали изучение
плоских ударных волн в нелинейно-упругих средах завершенной областью математической физики.
В конце 80-х начале 90-х годов основной интерес исследований был перенесен на процессы ударного деформирования в более сложных средах. Работы в этой области принадлежат А.Г. Куликовскому [63], Е. И. Свешниковой [94,95], Ю. А. Россихину [91], X. Хану [106].
В 90-е годы - начале века продолжаются исследования в области нелинейно-упругого деформирования.
В [69] А. Г. Куликовский и Е. И. Свешникова рассматривают нелинейные волны в упругих и вязкоупругих средах с учетом анизотропии материала, которая считается малой. Основное внимание они уделяют изучению квазипоперечных волн, которые обнаруживают нестандартное поведение даже при малой амплитуде. Полученные ими результаты, касающиеся волн малой амплитуды, могут считаться в основном законченными и достаточно полными. Авторы также обсуждают проблемы, связанные с имеющей место не единственностью решений упругих задач. Также было рассмотрено влияние вязких напряжений на распространение упругих волн, исследована структура квазипоперечных ударных волн на основе модели вязкоупругой среды Кель-вина-Фойхта в одномерной постановке.
В [20] А. А. Буренин рассматривает динамику упругих сред при ударных воздействиях. Им были вычислены скорости распространения ударных волн в упругой среде, как функции предварительных деформаций, интенсив-ностей волн и упругих свойств среды. Получены условия на геометрию волны и предварительные деформации, при которых возможно существование продольных, квазипродольных, квазипоперечных, нейтральных волн. Проведен термодинамический анализ необратимого процесса на ударных волнах. Проведены постановки, численные решения и их анализ ряда автомодельных задач нелинейной динамической теории. Предложена методика построения приближенных решений неавтомодельных задач динамики нелинейно-упругих сред, основанная на методе возмущений (распространена на случай
структурных ударных волн) и лучевом методе. Решены некоторые автомодельные и неавтомодельные задачи динамики несжимаемой упругой среды.
Для построения решений задач динамики твердых тел помимо аналитических методов применялись численные методы решения. Существующие методы численного решения таких задач можно представить в виде трех направлений: методы конечных элементов, характеристические и сеточно-характеристические методы, сеточные или конечно-разностные методы. Первое направление используют в основном для решения статических задач и задач, описывающих нестационарные процессы в деформируемых твердых телах. Оно представлено работами следующих отечественных ученых: Афанасьева СБ., Баженова В.Г., Кочеткова А.В. и др. [3, 4], Вогульского И.О., Бураго Н.Г. и Кунуджаного В.Н. [8], Коробейникова С.Н. [61] и др.
Решению динамических задач деформирования упругих и упругопла-стических тел на основе сеточно-характеристических методов посвящены работы Кондаурова В.И. и Ку^уджанова В.Н., Кондаурова В.И., Петрова И.Б., Холодова А.С. [60].
Явные и неявные схемы сеточных методов решения нестационарных задач механики деформируемого твердого тела основаны на аппроксимации гиперболической системы дифференциальных уравнений, описывающей движение среды, краевых и начальных условий для неё. Здесь следует отметить работы Вогульского И.О., Волчкого Ю.М., Иванова Г.В., Кургузова В.Д. [26-28]. Полный обзор работ, посвященный численному моделированию динамических задач, приводится в [39].
Аналитическое решение краевых задач динамики упругой среды с ударными волнами рассматривается в следующих работах [1, 2, 9, 14-16, 21, 94, 36, 58, 67, 70, 71, 93, 108, 11]. Главным образом это автомодельные задачи. Для решения неавтомодельных задач применяются разные модификации метода возмущений и лучевой метод.
Метод возмущений - это метод приближённого решения задач, основанный на введении величин, малых по сравнению с некоторыми данными,
так или иначе «возмущающих» те или иные исходные решения. В качестве «возмущающих» величин могут быть некоторые параметры, либо координаты пространство-время. Метод возмущений берет свое начало от работ Пуанкаре, давшего ряд приближённых решений задачи о трёх телах в небесной механике. Позднее этот метод нашел распространение в различных разделах механики, математики, физики. В механике сплошных сред метод возмущений нашёл широкое применение в гидро- и газодинамике: монография Ван-Дайка [25]. Необходимо отметить также работы Найфе [78], Коула [62], Базова [24], О'Малли [127], Кэрриера [119], Жермена, Ивлева и Ершова [56] и
др.
Различные методы возмущений нашли широкое применение и при решении краевых задач нелинейной теории упругости. Главным образом использовались два подхода. Один из этих методов был широко использован для решения большого числа задач У.К. Нигулом и его учениками [79-81]. Это метод последовательного интегрирования системы линейных уравнений первого порядка с правой частью, которая определялась предыдущими приближениями. Другой метод был использован в работах Ю.К. Энгельбрехта [82]. Здесь исходная краевая задача сводится к интегрированию более простого, чем исходное уравнение задачи, но сохраняющего нелинейную структуру уравнения, называемого эволюционным. Под эволюционным уравнением в [86] понимается уравнение первого порядка по времени и произвольного порядка по координатам. При таком подходе уже на первом шаге метода удается получить нелинейные эффекты переходных процессов. В обоих методах решение приводится только до моментов возникновения ударных волн.
В [22-23] А.А. Буренин, В.А. Шаруда предложили использовать двух масштабное разложение с выделением прифронтового разложения на основе пошагового интегрирования неоднородной системы волновых уравнений с последующим построением равномерно пригодного разложения решения. Построение решений нестационарных задач за движущейся поверхностью разрывов является разделом механики деформируемого твёрдого тела, разви-
вающимся в настоящее время. Первые результаты в этом направлении были получены Г.И. Быковцевым [5, 6], Д.Д. Ивлевым [54-56] и А.А. Бурениным [118]. Метод построения приближенного решения, предложенный Г.И. Быковцевым, один из вариантов лучевого метода, заключается в разложении в ряд Тейлора относительно координат движущейся поверхности разрыва. Коэффициентами этого ряда являются неизвестные разрывы. В результате задача сводится к интегрированию на каждом шаге обыкновенного дифференциального уравнения для коэффициентов этого ряда. Для этого потребовалось обобщить теорию движущихся поверхностей разрывов, развитую Адамаром и Т.Томасом. Г.И. Быковцеву и его ученикам удалось решить ряд нестационарных задач механики деформируемого твердого тела [5, 6, 75]. Квалифицированный обзор по методу лучевых рядов представлен в работе Россихина Ю.А., Шитиковой М.В. [129]. А.А. Буренин развил теорию построения приближённых решений нестационарных задач для случая упругих нелинейных сред. Сложность построения таких решений заключается в том, что в этом случае уже не удаётся получить обыкновенные дифференциальные уравнения на каждом шаге из-за того, что ударная волна имеет скорость, отличную от скорости распространения возмущений в среде. Подход, основанный А.А. Бурениным, заключается в построении приближенного асимптотического решения за поверхностью разрыва, основываясь либо на методе возмущений, либо на методе прифронтовых лучевых разложений. Этими методами им было получено решение ряда неавтомодельных краевых задач динамики нелинейных упругих сред с ударными волнами. Впервые была показана применимость метода возмущений для решения задач со структурными ударными волнами [19]. Среди последних работ, посвященных этой тематике, можно выделить работы учеников А.А. Буренина, Лебедевой Н.Ф. [70, 71], Зиновьева П.В. [12, 13], Рагозиной В.Е. [88, 89], Герасименко Е.А. [30-32]. В работе Лебедевой Н.Ф. получено приближённое решение неавтомодельных одномерных задач, основанное на построении лучевых разложений: задачи об ударе по несжимаемому деформированному упругому слою и об ударном
деформировании толстостенной трубы из несжимаемого высокоэластичного материала. Этим же методом в работе Зиновьева П.В. были решены задачи об ударном нагружении несжимаемого плоского массива, имеющего предварительные деформации (решение строилось в области за фронтом волны поворота); об антиплоском движении несжимаемой упругой среды. Основное внимание в работе П.В. Зиновьева уделялось дополнению лучевых разложений численными схемами расчетов в удалённой от фронта волны области. Действительно, как и любой другой метод, лучевой метод и асимптотические разложения не свободны от ограничений. Для первого это малость отклонения времени от времени прихода переднего фронта возмущения и, как следствие, пригодность лучевого ряда в прифронтовой области. Для асимптотик важным ограничением является малость создаваемого в начале ударного воздействия (малость интенсивности волны). Для расширения области применения таких приближённых решений разные авторы используют свои приёмы. К примеру, регуляризация лучевых рядов предлагается Россихиным Ю.А., Шитиковой М.В. [118]. Включение этих рядов в расчетные схемы дает возможность анализа решения во всей послеволновой области. Отметим, что эта методика может служить альтернативой методу малой вязкости, методу распада разрыва [33]. П.В. Зиновьевым разработана вычислительная методика, основанная на конструировании неявной конечно-разностной схемы расчётов, включающей в себя приближенное асимптотическое решение в качестве начального. Что позволило указать положение фронтов ударных волн на каждом шаге вычислений. С помощью описанного алгоритма численно решены задачи об ударном нагружении упругого полупространства; методика перенесена на случай криволинейных и расходящихся лучей; численно решена задача об антиплоском движении несжимаемой упругой среды.
В [18, 88, 89] В.Е. Рагозиной был решён ряд задач на основе метода сращиваемых асимптотических разложений с включением решения эволюционных уравнений. Эта модификация метода возмущений позволяет на каждом шаге метода не только строить решение за поверхностью разрывов, но
и последовательно определять положение фронта ударной волны. Данным методом решён ряд задач ударного деформирования упругой среды (задача о нормальном ударе по нелинейно-упругому полупространству, задачи о нормальном ударе по внутренней поверхности цилиндрического и сферического отверстий в пространстве, задача о косом ударе по нелинейно-упругому полупространству).
Настоящая работа является продолжением исследования возможности использования метода возмущений в решении динамических задач ударного деформирования. В ней рассматривается ряд задач деформирования несжимаемой упругой среды.
Первая глава содержит некоторые общие сведения из нелинейной теории упругости. В ней приведены основные модельные соотношения нелинейно-упругой изотропной несжимаемой среды. Рассмотрены, как следствия динамических условий совместности, условия существования и скорости распространения плоских ударных волн, цилиндрических ударных волн для задач с осевой симметрией, а также получена формула для скорости ударной двумерной антиплоской волны.
Во второй главе проведено решение приближенным аналитическим методом ряда одномерных краевых задач ударного деформирования несжимаемой нелинейно-упругой среды: одномерной задачи о плоской ударной волне, одномерных краевых задач со сходящимися и расходящимися цилиндрическими ударными волнами: об антиплоском нагружении цилиндрической полости (или цилиндра) в среде, основанием которой является окружность; о скручивающем ее деформировании и задачи о винтовом движении точек среды, как следствие удара, одномерной краевой задачи об антиплоском нагружении цилиндрической полости в среде, в которой присутствуют предварительные деформации, по типу сходные с искомыми. Предварительные деформации определяются на основании уравнений равновесия. Указан способ сведения такого типа задач к сингулярной задаче метода возмущений, прифронтовые асимптотики которой строятся на основе эволюционных уравне-
ний. Ранее такие эволюционные уравнения, описывающие распространение объемных деформаций, рассматривались в работах Буренина А.А., Гельфан-да И.М. [29], Джеффри А. [122-124], Заболотской Е.А., Хохлова Р.В. [37], За-рембо Л.К. [38], Островского Л.А. [84], Остроумова Г.А. [85], Рагозиной В.Е., Рождественского Б.Л., Яненко Н.Н. [90], Руденко О.В., Солуяна СИ. [92], Шаруды В.А. [22, 23], Энгельбрехта Ю.К. [111]
В третьей главе рассматривалось решение двумерной антиплоской краевой задачи об ударном нагружении цилиндрической полости с произвольным направляющим контуром и контуром в форме эллипса. Решение строилось в выбранной специальным образом лучевой ортогональной криволинейной системе координат, где лучи аппроксимируются прямолинейными отрезками, что предполагает итерационное применений результатов или малый период времени, для которого проводилось вычисление.
В четвертой главе получены решения одномерной краевой задачи о плоской ударной волне нагружения динамики нелинейно-упругой среды с учетом малой вязкости в модельных соотношениях. Предполагалось, что в результате ударного воздействия по среде распространялась структурная ударная волна. Вязкость среды оказывает принципиальное влияние на поведение материала в областях интенсивного изменения деформаций (при наличии больших градиентов скоростей).
По теме диссертации было опубликовано 16 работ [40-53,131,132].
В главах используется двойная нумерация формул, первый номер - номер главы. На протяжении всей главы нумерация сквозная, рисунки помещены в текст.
Геометрические, кинематические и динамические условия совместности разрывов
Согласно гипотез сплошности среды перемещения ut обязаны быть непрерывными функциями пространственных координат и времени во всем объёме, занимаемом сплошной средой. Однако производные этих функций на некоторых поверхностях могут иметь разрыв первого рода. Такие поверхности 2 в исследуемом объёме сплошной среды называют поверхностями сильного разрыва или ударными волнами. Они оказываются передними фронтами деформаций, распространяющихся по среде вследствие граничного воздействия на деформируемые тела.
Когда на движущейся поверхности разрывов все первые производные функций ui(xvx2,x-i,t) непрерывны, а претерпевают разрыв вторые производные по пространственным координатам и времени, тогда поверхность разрывов называют слабой волной или волной ускорений. Поверхность, на которой все производные функции и, до (к-\)-го порядка непрерывны, в Рис. 1 то время как хотя бы некоторые производные к-го порядка терпят разрыв первого рода, называют поверхностями слабых разрывов к -го порядка. Поверхность разрывов 1(/) в рассматриваемый момент времени может разделить выделенный объём V деформируемой среды на две части: V+ и V. Будем считать, что поверхность разрывов движется из объёма V в объём V+. Обозначим через V вектор единичной внешней нормали к (/) в некоторой её точке М{х{,х2,х3) в рассматриваемый текущий момент времени t. Вектор нормали направлен в сторону движения Е(/), то есть в объём V+. По прошествии малого промежутка времени At поверхность S(/) будет занимать новое положение І(/ + Дґ). С точностью до малых порядка больше единица можно считать, что точка М(xvx2,x3) поверхности !(/) займёт по прошествии времени At положение М [хх + Ах{,х2 + Ах2, х3 +Ах3) на поверх ности Z(t + At), такое что MM \\ v (хх, х2, х3, t). Следующий предел называется скоростью движения поверхности разрывов в момент времени t в её точке М{хх,х2,х3), она может совпадать со скоростью движения точек среды только в исключительных случаях, а в общем случае отлична от них.
Из законов сохранения массы (1.5), импульса (1.9) и энергии (1.10) в интегральной форме следуют ограничения на возможные разрывы, которые называются динамическими условиями совместности разрывов: где введены обозначения: т - значение разрывной величины перед Е, т -сразу за I, [т] = т+ -т - разрыв т на Е, v. - компоненты единичной внешней нормали, причём V = {VVV2,VT), Е- внутренняя энергия, q}- компоненты вектора теплового потока.
Параметры да{а \, 2) называют поверхностными криволинейными координатами на движущейся поверхности . Пусть в деформируемом объеме V задана некоторая функция m(xv х2, дг3, t). Считаем эту функцию непрерывной и дифференцируемой всюду в объеме V, исключая (на существуют только право- и левосторонние значения функции т и её производных).
Наряду с динамическими условиями совместности разрывы на должны удовлетворять геометрическим и кинематическим условиям совместности: Здесь и в дальнейшем принимается правило суммирования по повторяющимся индексам, латинские индексы принимают значения 1,2,3; греческие 1,2; дельта-производная по времени, gaP - контравариантный метрический St дх. тензор поверхности; х =— -. Дельта - производная определяется следую щим образом: — = —+/;GK,.. St dt Jj (1.24) Векторы xia, также обозначенные как pa, расположены в касательной плоскости к 2 и направлены по касательным к координатным линиям да = const. С их помощью в каждой точке М движущейся поверхности и Рис. 3 в каждый момент времени t можно ввести систему координат с ортами
Расходящиеся цилиндрические ударные волны
Пусть рассматривается бесконечное пространство, занятое сплошной средой. В этом пространстве есть бесконечная цилиндрическая полость. Введём цилиндрическую систему координат с осью Oz на главной оси цилиндра, который образуется этой полостью. Диаметр этого цилиндра г0 много меньше его образующей. В момент времени t = 0 на цилиндрическую полость производится нагружение, что приводит к возникновению поперечной ударной волны.
Предположим, что следствием нагружения является возникновение отличных от нуля перемещений u = u.[r,t). Оставим в уравнениях движения только члены до третьего порядка малости включительно. Тогда уравнения движения перепишутся в таком виде:
Как видно из уравнений, второе из них не содержит добавочного гидростатического давления, поэтому можно решить его и полученную функцию u(r,i) подставить в первое уравнение и найти добавочное гидростатическое давление р.
В силу этого далее уравнения будут решаться последовательно (второе независимо от первого). (именно в этом случае возмущение распространяется по среде в виде ударной волны с начального момента времени), тогда одним из граничных условий для уравнения (2.53) будет соотношение .2 и\, r=f(0 = vJ + — vo 0 vo a = const, (2.55) где v0, a - начальные скорость и ускорение точек среды. Конкретизация для функции f[t) выбрана с целью обозримости и упрощения дальнейших выкладок. причём и,г- вычисляется непосредственно перед поверхностью разрыва, а и - после неё. Так как первоначально, до ударной нагрузки, деформации отсутствовали, то u,+r = 0. Скорость волны равна из (1.44) G = C(l + ctT2f2. (2.59)
Поскольку система уравнений и краевых условий для поставленной задачи нелинейна, получение её точного аналитического решения связано с рядом математических трудностей. С другой стороны, возможно применение асимптотических методов решения. В работе решение строится на методе сращивания асимптотических разложений. Определим безразмерные переменные для внешнего разложения: г-г0 _4 г-к-Ct _з , ч u(r,t) -у s = -є , m = є , w(s,m) = ——-є /2, (2.60) f» ro ro -малый параметр задачи. Отметим, что внешнее разложение \С J строится в области, примыкающей к нагружаемой границе г0 и учитывает краевые условия, поставленные на г0. Уравнение движения (2.53) в новых переменных перепишется в форме
Представляя w(s, т) асимптотическим рядом w(s, т) = w0(s, т) + sw s, т) + s2w2(s, т) + s3w3(s, т) + ... и подставляя его в уравнение (2.61) и условие (2.62), можно получить внешнее разложение решения задачи до третьего порядка по є включительно: Функции /0(m), /,(m), f2(m), /3(m) пока неизвестные и будут определены только после построения дополнительного асимптотического разложения и сращивания полученных разложений.
Для построения дополнительного (внутреннего) разложения введём новый масштаб пространственной переменной, считая п = .Переписывая формулу (2.53) в переменных w, m, w получим уравнение
В этих условиях уравнение т = у(п) определяет положение переднего фронта возмущения, причём у{п)является неизвестной функцией.
Рассмотрим одномерную задачу о скручивающем ударе по внутренней поверхности цилиндрической полости. В результате воздействия все точки среды начинают движение по окружностям. Как и ранее будем проводить рассмотрение в цилиндрической системе координат: r, p,z. Для линейно-упругой среды это движение моделируется одной составляющей вектора перемещений: Ир (г,/), ur=uz=0. Нелинейная модель требует уточнения характера движения, что приводит к наличию следующих компонент вектора перемещений: иДг,/) 0, иДг,ґ) 0, uz = Q.
Вычислим ненулевые компоненты. Пусть точки движутся по окружно сти и вектор перемещений ДД = и, где вектора 0\ и ОА имеют координа ты: OAQ = [rcos(pQ, г sin # 0} и ОА = [г cos р, г sin р]. Введем базисные вектора в точках \ и А: е, , е2 , е, и ev е2, еъ. Базисные вектора е3 и еъ имеют координаты (О; 0; 1
Метод возмущений в неодномерном движении несжимаемой упругой среды и эволюционное уравнение
Рассмотрим краевую задачу, которая является обобщением ранее представленных задач. Предположим, что в результате ударного воздействия на границу цилиндрической полости в среде (или цилиндра) возникают как антиплоские, так и скручивающие деформации: u{(x\t) 0, u2(x\t) 0, u3(xl,tj 0. Решение будем проводить в цилиндрической системе координат: г, р, z. Исходя из ранее изложенного запишем систему уравнений движения несжимаемой упругой среды в цилиндрической системе координат, с учетом, что движение является одномерным:
Подставим эти ряды в уравнения и краевые условия (2.214), получим внешнее разложение решения до нулевого порядка включительно: d(s,m) = f0(m)s-m, w(s, т) = q0 (m)s - Am. (2.215)
Здесь /0(m), q0(m)- неизвестные функции, которые будут найдены позже, после построения дополнительного (прифронтового) разложения и сращивания полученных внешнего и внутреннего разложений. Для перехода в прифронтовую область изменим масштаб пространственной переменной, считая п = e4s. Тогда уравнения движения запишутся как: Общее решение гиперболических систем уравнений строится методом характеристик Римана. Для нелинейных задач решение таких систем можно получить, используя численные расчеты. Но численный счет не входит в круг поставленных для диссертации проблем. Поэтому ограничимся нахождением частного решения системы (2.219).
Здесь /0(m), q0(m)- неизвестные функции, которые будут найдены позже, после построения дополнительного (прифронтового) разложения и сращивания полученных внешнего и внутреннего разложений. Для перехода в прифронтовую область изменим масштаб пространственной переменной, считая п = s4s. Тогда получим следующую внутреннюю краевую задачу в нулевом приближении, представляя функции у, d, w асимптотическими рядами по степеням є кратным трем:
Рассмотрим задачу антиплоского деформирования среды вследствие ударного нагружения по границе цилиндрической полости в ней. Положим, что результатом такого нагружения будет расходящаяся поперечная ударная волна и поле перемещений и2 (г, i). Считаем, что изначально в среде присутствуют предварительные перемещения и(г). Для их нахождения необходимо решить уравнение равновесия
Далее решение проводится аналогично случаю отсутствия предварительных деформаций. Решение задачи в нулевом приближении не изменится за счет предварительного деформирования, оно определяется, как и ранее, по (2.80). Влияние предварительного деформирования сказывается только на втором члене внутреннего разложения. Рассмотрим его более подробно. Функция wx (п, т) совпадает с функцией и ,(я,т)в формуле (2.87). Ниже находится неизвестная функция (рх{п) из равенства (2.88). Для этого необходимо знВ этой главе методом сращиваемых асимптотических разложений построены приближенные аналитические решения одномерных краевых задач с плоской и цилиндрическими поперечными ударными волнами. Получены общие решения эволюционных уравнений, соответствующих внутренней задаче, которые и определяют нулевые приближения к решению. Построены приближения высших порядков. Асимптотические разложения для внутренних задач получены до второго порядка включительно, кроме задач, в которых присутствуют одновременно антиплоское деформирование и скручивающие деформирование. Проведено сращивание найденных разложений. Построены равномерно пригодные разложения. Показано, что положение фронта ударной волны определяется и уточняется на каждом шаге метода решением задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. В качестве примера вычислена функция добавочного гидростатического давления в задаче антиплоского деформирования несжимаемой упругой среды с предварительными деформациями, сходными с искомыми, и без них.
Показано, что в задачах со сходящимися и расходящимися цилиндрическими ударными волнами в нулевом приближении интенсивность волны с точностью до констант определяется величиной WQ, 1-я - для сходящих ся волн и w0,m = + п для расходящихся волн. Это, как и следовало ожи дать, показывает рост интенсивности волны в первом случае и затухание со стремлением к нулю во втором. Что касается решений относительно поля перемещений, то, сравнивая, например, (2.92) и (2.176), можно сделать вывод о том, что в обеих формулах присутствуют однотипные слагаемые, отличающиеся в ряде случаев знаками. Значения констант разложений связаны с параметрами исходного ударного воздействия одинаковой зависимостью. ать функцию ух(п). С учётом равенства (2.76) можно получить, что
Метод возмущений и задача о структуре ударной волны
Поскольку система уравнений и краевых условий для поставленной задачи нелинейна, получение её точного аналитического решения связано с рядом математических трудностей. С другой стороны, возможно применение асимптотических методов решения. В работе решение строится на методе сращивания асимптотических разложений. Метод возмущений связан с наличием в системе уравнений или в краевых условиях задачи малого параметра. Таким параметром объявляется (принимается из механических условий задачи), чаще всего, некоторая постоянная, возникающая после перехода в системе уравнений и граничных условий к безразмерному виду. Таким образом, способ перехода к безразмерным переменным оказывается важным для последующего варианта метода возмущений. В рассматриваемом случае удобно ввести новые переменные соотношениями где малый параметр задачи, L - длина контура, образующего цилиндрическую границу упругого тела или полости в нем, С0 —средняя скорость движения точек данного контура, Y- любое ненулевое значение координаты на нем, /-некоторый характерный линейный размер задачи. Если такой контур незамкнутый, то в качестве С0 следует выбрать некоторую характерную скорость движения его точек. Решение (3.18) будем искать в виде разложения: w{s,m,r) = w0(s,m,r) + sw{(s,m,r) + s2w2(s,m,r) + s3w3(s,m,r) +...
При этом функции w Sjin, г) определяются с точностью до неизвестных функций yj(w,r). Это связано с тем, что граничные условия (3.14), (3.15) здесь не используются. Построенное таким способом разложение решения называют внешним его разложением. Отметим, что внешнее разложение строится в области, примыкающей к нагружаемой границе / = 0, и учитывает краевые условия, поставленные на ух = О. Подставим ряд для функции w(s,r,m) в уравнение движения (3.18) и краевое условие (3.19), получим внешнее разложение решения до третьего порядка по малому параметру включительно: fQ(r,m), fi(r,m), f2(r,m), /3(r,m) пока неизвестные и будут определены только после построения дополнительного внутреннего асимптотического разложения и сращивания полученных разложений.
В нашем случае разложение (3.20) оказалось квазистатическим, что связано с выбором переменных (3.17). Другой выбор безразмерных переменных мог привести к другой форме внешнего разложения, в частности им могло оказаться разложение, построенное на интегрировании на каждом шаге неоднородного волнового уравнения. Но в любом случае данное разложение из-за невозможности воспользоваться условиями (3.14), (3.15) определяется с точностью до неизвестных функций.
Для построения дополнительного (внутреннего) разложения введём новый масштаб пространственной переменной, считая z = sAs. Именно при таком переходе во внутреннюю (прифронтовую) область в нулевом приближении получается эволюционное уравнение, описывающее нелинейные эффекты деформирования. При меньших степенях є в преобразовании безразмерной переменной получаем линейные волновые уравнения. Переписывая уравнение движения (3.18) в переменных z, г, т, w, получим уравнение
В этих условиях уравнение т = y(r, z) определяет положение переднего фронта возмущения, причём у (г, z) является неизвестной функцией.
Уравнение (3.243) отлично от хорошо изученного уравнения квазипростых волн, которое определяет нелинейные эффекты при распространении деформаций изменения объема, наличием квадрата у w0,m в первом слагаемом. Только этим диктуется отличие в нелинейных особенностях распространения деформаций изменения формы от тех же особенностей в распространении объемных деформаций. Отметим, что движение в прифронтовой области оказывается, по существу, одномерным, так как переменная г входит в (3.23) в качестве только параметра.
В предыдущем параграфе рассматривалась двумерная задача, в которой нагружение производилось по границе цилиндрической полости с произвольным направляющим контуром L0. Пусть теперь этот контур имеет форму эллипса с полуосями а, Ъ. Так как эллипс - замкнутый, достаточно гладкий контур, симметричный относительно осей х1, х2, то ограничимся рассмотрением 0 « , где „- угол в радианах, отсчитываемый от к х2; = (?) = и1 ( р), х2 (ср)] - задает положение точки на начальном контуре. Для любой точки области установим соответствие
