Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор существующих соотношений связи напряжений и деформаций 10
1.1. Варианты соотношений связи напряжений и деформаций для задач вязкоу пру гости, упругопластичности и вязкоупругопластичности 10
1.2. Выводы по главе 20
1.3. Цели и основные задачи исследования 21
2. Постановка задачи о вязкоу пру гопластическом деформировании твердых тел 22
2.1. Построение связи напряжений и деформаций для одномерных задач 22
2.2. Решение одномерной задачи об одноосном растяжении 26
2.3. Построение связи тензоров напряжений и деформаций 40
2.4. Программа экспериментального определения констант и функций, входящих в определяющие соотношения 45
2.5. Постановка задачи о вязкоупругопластическом деформировании при малых деформациях 48
2.6. Выводы по главе 50
3. Разработка методики численного решения задач вязкоупругопластического деформирования осесимметричных тел 52
3.1. Дискретизация по времени 52
3.2. Дискретизация по пространству 55
3.3. Программный пакет для проведения расчетов 63
3.4. Решение тестовых задач 63
3.5. Выводы по главе 79
4. Осесимметричное вязкоупругопластическое деформирование твердого тела под действием потока газа 80
4.1. Постановка задачи о вязкоупругопластическом деформировании твердого тела под действием потока газа 80
4.2. Постановка задачи о деформировании топливного заряда реактивного снаряда на начальном этапе процесса воспламенения 83
4.3. Основные соотношения метода крупных частиц 89
4.4. Результаты решения газодинамической задачи 92
4.5. Результаты решения задачи о деформировании заряда 98
4.6. Выводы по главе 113
Основные результаты и выводы по работе 114
Литература 115
- Варианты соотношений связи напряжений и деформаций для задач вязкоу пру гости, упругопластичности и вязкоупругопластичности
- Программа экспериментального определения констант и функций, входящих в определяющие соотношения
- Постановка задачи о вязкоупругопластическом деформировании при малых деформациях
- Постановка задачи о деформировании топливного заряда реактивного снаряда на начальном этапе процесса воспламенения
Введение к работе
Актуальность работы. Использование вязкоэластичных материалов в различных отраслях техники поставило перед специалистами в области прочности конструкций сложные задачи, связанные с определением законов, позволяющих выражать напряжения через деформации при различных видах нагружения и при разгрузке. К таким материалам относятся, прежде всего, полимеры (например, твердые ракетные топлива, различные композиты, асфальтобетон). Экспериментально установлено, что поведение таких материалов существенно отличается от линейно упругого, для них в большинстве случаев характерна нелинейная связь напряжений и деформаций, а нередко и разномодульность, вызванная наличием в материале жестких включений. Подробное описание свойств таких материалов приведено в монографии под редакцией В.В. Мошева [59], в работах В.Э. Апетьяна и Д.Л. Быкова [1, 4], Дж. Ферри [88], М. Рейнера [77], А.К. Малмейстера, В.П. Тамуж, Г.А. Тетере [53].
На сегодняшний день исследование процессов вязкоупругого и вяз-коупругопластического деформирования твердых тел является одним из важных направлений развития механики деформируемого твердого тела. Этому вопросу посвящены монографии П. Пэжины [74], В.В. Москвитина [58], В.Н. Кукуджанова [47], А.А. Ильюшина и Б.Е. Победри [33]. Он также рассматривается в монографиях А.Ю. Ишлинского и Д.Д. Ивлева [35], А.Н. Спорыхина [84], Л.А. Толоконникова [86], АГ. Горшкова, Э.И. Старовойтова и Д.В. Тарлаковского [18]. Обзор основных достижений в области разработки моделей вязкоупругих сред приведен в работе Д.В. Георгиевского, Д.М. Климова, Б.Е. Победри [17], в которой анализируются модели, описанные в работах [14, 19,46, 52, 61, 72, 87, 92, 93, 96]
Построению определяющих соотношений для задач вязкоупругопла-стичности при больших деформациях посвящены работы А.А. Маркина
[54, 55] и А.В. Коновалова [40, 41, 42, 43], при малых деформациях - С.А. Корнеева [45], Ю.Г. Басалова и В.Н. Кузнецова [8]. Подходы к описанию разносопротивляющихся сред предложены в работах Л.А. Толоконникова и Н.М. Матченко [56, 57].
Математическое моделирование процессов вязкоупругопластическо-го деформирования физически нелинейных сред является одним из наиболее актуальных направлений современной механики, что подтверждается ростом числа публикаций по данной тематике как в России, так и за рубежом.
Большое практическое значение имеет исследование динамических процессов вязкоупругого, упругопластического и вязкоупругопластическо-го деформирования. Среди работ, посвященных этому вопросу, можно отметить работы В.Н. Кукуджанова [47] и В.Л. Баранова [7], посвященные распространению волн в упруговязкопластических средах, работы В.И. Желткова и А.И. Андреева по динамике вязкоупругих сред [1, 2]. Динамические процессы упругопластического деформирования рассматриваются в работах Р.П. Дидык и Э.А. Масаковского [23], решивших задачу определения поля динамических напряжений при импульсном нагру-жении полого цилиндра для области упругопластических деформаций с учетом упругого предвестника и оценивших влияние энергетических параметров источника возмущений на характеристики поля динамических напряжений; В.Г. Баженова и А.И. Кибца [6], занимающихся численным моделированием упругопластического деформирования конструкций, состоящих из массивных и оболочечных элементов, при импульсных и ударных воздействиях, с использованием метода конечных элементов; Е.Р. Fahrenthold и В.A. Horban [94], рассмотревших задачу о сверхскоростном ударе, D. Karagiozova, Jones Norman [98] и П.В. Лаптева [9], предложивших решение задачи о динамическом упругопластическом выпучивании круговых осесимметричных оболочек при осевом ударе, изготовлен-
ных из упругопластического материала с деформационным линейным упрочнением и эффектом Баушингера.
Из экспериментальных исследований можно отметить работы К. Kussmaul, К. Kerkhof и К.-Н. Herter [100], осуществивших натурный эксперимент по изучению явления гидроудара на трубопроводе питательной воды ядерного реактора и сравнивших результаты с результатами решения задачи методом конечных элементов; СВ. Разоренова, Г.И. Канель, В.Г. Ануфриева и В.Ф. Лоскутова [75], проведших измерения динамического предела упругости и разрушающих напряжений при отколе образцов из ряда сталей и тяжелого сплава; A.M. Брагова, Г.М. Грушевского, А.К. Ломунова и А.А. Медведева [13], занимавшихся изучением упруго-пластических свойств пластилина и доказавших идентичность его свойств свойствам глинистого грунта; Е.М. Веапеу [89], приведшего результаты экспериментального исследования динамической реакции трубопроводов на сейсмические воздействия и процесса их пластического разрушения при поперечных колебаниях, математическую модель процесса, результаты решения и сравнение с данными эксперимента.
Цель работы. Постановка и решение задачи о деформировании осе-симметричного твердого тела, обладающего вязкоупругими и пластическими свойствами, при динамическом воздействии газовой среды.
Научная новизна работы.
1. Построено экспериментально конкретизируемое дифференциально линейное тензорное соотношение, связывающее непосредственно процессы нагружения и деформирования, отражающее пластические и вязко-упругие свойства материала.
2. Разработана методика численного решения задач вязкоупругопла-стического деформирования твердых тел с использованием предложенных соотношений связи напряжений и деформаций.
Основные научные положения, выносимые на защиту;
предложенное соотношение, связывающее непосредственно процессы нагружения и деформирования и отражающее обратимые (упругие), необратимые равновесные (пластические) и необратимые неравновесные (вязкие) свойства материала;
постановка задачи о деформировании осесимметричного твердого тела, обладающего вязкоупругими и пластическими свойствами, при динамическом нагружении;
методика численного решения задач вязкоупругопластического деформирования твердых тел с использованием предложенных соотношений связи напряжений и деформаций;
результаты решения задачи о деформировании топливного заряда реактивного снаряда под действием потока газа на начальном этапе процесса воспламенения.
Объект исследования. Объектом исследования является осесиммет-ричное деформируемое твердое тело, обладающее вязкоупругими и пластическими свойствами.
Методы исследования, использовавшиеся в работе:
- теоретический анализ процессов вязкоупругопластического де
формирования с использованием основных положений механики дефор
мируемого твердого тела;
— математическое моделирование, конечно-элементный анализ, метод крупных частиц.
Теоретические результаты. Построено дифференциально линейное соотношение, связывающее непосредственно процессы нагружения и деформирования и отражающее обратимые (упругие), необратимые равновесные (пластические) и необратимые неравновесные (вязкие) свойства материала. На основе предложенного определяющего соотношения дана постановка задачи о вязкоупругопластическом деформировании твердых тел при динамическом воздействии газовой среды.
Практическая значимость работы. Предложенная постановка задачи о вязкоупругопластическом деформировании твердых тел, предложенный метод численного решения уравнений модели и программные средства для его реализации могут использоваться для расчета на прочность изделий из полимерных материалов, например, зарядов твердого топлива, а также в учебном процессе по дисциплинам «Механика сплошной среды», «Теория пластичности», «Методы вычислений».
Работа выполнялась в рамках гранта для поддержки научно-исследовательской работы аспирантов высших учебных заведений Минобразования России «Механика процесса взаимодействия газа и твердого тела для случая малых деформаций» (шифр АОЗ - 2.10 - 277).
Апробация работы. Основные положения и результаты работы доложены на Всероссийской научно-техническая конференции «Наука -производство - технологии - экология» (Киров, 2004 г.), Второй Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2005 г.), Международной конференции «Dynamical sys-
tems modelling and stability investigation» (Киев, 2005 г.), Международной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», посвященной 85-летию со дня рождения профессора СБ. Стечкина и 75-летию ТулГУ (Тула, 2005 г.), научном семинаре по механике деформируемого твердого тела им. Л.А.Толоконникова (научный руководитель -А.А.Маркин, г. Тула, 2006 г.).
Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечиваются строгостью использованных математических методов и совпадением результатов исследований в частных случаях с известными результатами других авторов.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка использованных источников. Объем диссертации - 124 страницы. Работа содержит 93 рисунка, 0 таблиц и список использованных источников из 101 наименования.
Варианты соотношений связи напряжений и деформаций для задач вязкоу пру гости, упругопластичности и вязкоупругопластичности
Как известно, решение большинства задач механики сплошной среды сводится к определению перемещений и напряжений во всех точках среды в любой момент времени. При этом использование законов сохранения массы, энергии и количества движения оказывается недостаточным. Требуются дополнительные гипотезы о связи между тензорами напряжений и деформаций. Эти гипотезы определяют специфику рассматриваемой среды. Закон, связывающий напряжения и деформации, должен записываться на основе экспериментальных данных, полученных в результате изучения реакции материала на внешние воздействия при различных начальных и граничных условиях.
Опыты на растяжение, сжатие и чистый сдвиг показывают, что напряженно-деформированное состояние образца в каждый момент времени зависит от истории деформирования, что соответствует постулату макроскопической определенности А.А. Ильюшина, а также в некоторых случаях от ряда внешних условий, например, давления, влажности воздуха, при которой хранился материал, температуры. На практике для описания деформирования различных материалов в случае однокомпонентного поля деформаций и напряжений часто используются соотношения, в которых присутствуют напряжение, деформация и скорости их изменения: где а- напряжение, є— деформация. Частным случаем этого соотношения является линейная зависимость между напряжениями, деформациями и их первыми производными: Обширная классификация сред, характеризующихся зависимостью (1.1.1), приведена в работе [97]. В [76] приведены следующие частные соотношения (1.1.1): Уравнение (1.1.2) представляет собой модель вязкой жидкости. Уравнение (1.1.3) описывает вязкопластическое течение вещества, которое при малых скоростях деформирования ведет себя как идеально пластическое тело. Это соотношение было предложено профессором Ф.Н. Шведовым (1899 г.), затем Б.П. Вейнбергом (1912), широко использовалось Е. Бингамом при построении реологических соотношений [90]. А.А. Ильюшин установил, что в диапазоне скоростей 102-104 1/с уравнением (1.1.3) хорошо описывается поведение стали и алюминия [28, 29, 32]. Уравнение (1.1.4) является более общим случаем уравнения (1.1.3), и описывает поведение вязкопластического вещества, которое при малых скоростях деформирования удовлетворяет схеме линейного упрочнения. Уравнение (1.1.5) предложено Максвеллом [101].
Оно позволяет описать явление релаксации. При очень быстром деформировании материал, удовлетворяющий (1.1.5), ведет себя упруго, а при очень медленном оказывается в ненапряженном состоянии. Уравнению (1.1.6), являющемуся усложнением (1.1.5), удовлетворяют вещества, которые при малой скорости деформирования ведут себя как идеально пластическое тело. Уравнение (1.1.7) предложено Прагером [97], (1.1.8) - Ишлинским. При медленном деформировании вещество, удовлетворяющее закону (1.1.8), ведет себя упруго с модулем упругости а, при очень быстром деформировании оно опять-таки работает упруго, но с модулем упругости Д Этому закону удовлетворяют каучуки и некоторые полимеры [20]. Закон (1.1.8) отличается от (1.1.7) тем, что подчиняющееся ему вещество при малых скоростях деформирования ведет себя как пластическое тело с модулем упрочнения а. Соотношения (1.1.2) - (1.1.7) были предложены в XIX и первой половине XX века. Для решения задач о малых упругопластических деформациях, начиная с 40-х годов и по сей день, широко используется теория малых упругопластических деформаций, разработанная А.А. Ильюшиным и его учениками [31]. В соответствии с этой теорией, девиаторы напряжений и деформаций связаны соотношением: где G - модуль сдвига, et - интенсивность деформаций. Функция со(єі) задает отклонение процесса деформирования от упругого. В результате связь тензоров напряжений и деформаций имеет вид: где є = {єи + є22 + є33), К - коэффициент объемного расширения. Соотношение (1.1.10) описывает активную стадию упругопластиче-ского деформирования, когда &t 0. Из него легко можно получить соотношение линейной теории упругости, положив со(є,) = 0: Поэтому при разгрузке, которая считается упругой, в теории малых упругопластических деформаций используется соотношение: где -тензор-девиатор остаточных деформаций. Тензор є выражается через девиатор полных деформаций и девиа-тор упругих деформаций єе в момент смены нагрузки разгрузкой: где єе определяется из соотношения (1.1.11). Во второй половине XX века активно развивается теория вязкоупру-гости, что вызвано необходимостью решать задачи об упругом деформировании твердых тел, обладающих реологическими свойствами. Соотношение между напряжениями и деформациями в теории вязко-упругости принято записывать в следующем виде [86]: j0(t) = 3ks(t). Здесь stj, Эу - компоненты девиаторов напряжений и деформаций, G - модуль сдвига, R{t) - ядро релаксации материала, т0 - среднее гидростатическое напряжение.
Программа экспериментального определения констант и функций, входящих в определяющие соотношения
Для практического использования соотношений (2.3.16) при решении задач о вязкоупругопластическом деформировании необходимо знать функцию rj = г]\є2 и) и константы f, у, характеризующие свойства материала. Их определение должно производиться экспериментально. Рассмотрим эксперимент на одноосное растяжение образца, изготовленного из рассматриваемого материала. Одноосное растяжение относится к классу простых процессов, поэтому модули девиаторов напряжений и деформаций в этом случае будут связаны соотношением (2.3.14), в которое входят константы и функции, которые необходимо определить: Укажем программу экспериментов, необходимых для нахождения 1. Определение константы . Постоянную $ можно найти из эксперимента на одноосное растяжение образца при большой скорости деформирования. В самом начале процесса, когда сти = О, єи = О, модули девиаторов связаны соотношением:
Производные в соотношении (2.4.1) можно аппроксимировать конечными разностями: причем аппроксимация тем точнее, чем меньше А/. Таким образом, определив из эксперимента изменение модулей девиаторов напряжений и деформаций Асгци Аєи за малое время At в самом начале процесса растяжения, можем найти Е,: Пусть образец, изготовленный из рассматриваемого материала, подвергается одноосному растяжению под действием известной силы, причем настолько медленному, что влиянием вязкости можно пренебречь, и напряженно-деформированное состояние не зависит от времени. В ходе эксперимента измеряются продольная и поперечные деформации.
В этом случае (2.3.14) принимает вид: В каждый момент времени в ходе эксперимента будут известны модули девиаторов тензоров напряжений и деформаций в образце: Зная напряжение, измеряя продольную и поперечную деформацию, сможем в каждый момент вычислить значения модулей девиаторов, а, следовательно, зная - значения функции J]\s2u) и ее аргумента є2и = єи - JU It; . Получим таблицу значений функции, с помощью которой можно произвести процедуру аппроксимации и, таким образом, определить т](є2 J. Константа д, используемая в соотношении для разгрузки, может быть найдена из функции 3. Определение константы у. Константу у можно определить из опыта на кратковременную ползучесть. Пусть образец нагружается до тех пор, пока значение модуля девиатора тензора напряжений не достигнет некоторого значения аи = ст0. Значение модуля девиатора тензора деформаций в этот момент обозначим єи=є0. Затем напряжение в образце поддерживается постоянным. Тогда (2.3.14) принимает следующий вид: ( + п(є2 о Ж = У&и + &(єг о К Аппроксимируя производную по времени, получаем Значит, Вычислив изменение модуля девиатора тензора деформаций в результате ползучести за малое время At, можно определить константу у.
Постановка задачи о вязкоупругопластическом деформировании при малых деформациях
Будем считать деформации твердого тела малыми. В качестве меры напряжений выберем тензор истинных напряжений а, в качестве меры деформаций — тензор деформаций Б, связанный с перемещениями соот- ношением: Для описания динамического процесса деформирования твердого тела воспользуемся вариационным уравнением Лагранжа - Даламбера: где q - вектор приложенной к поверхности тела нагрузки, р - плотность тела, t - время, V — объем тела, 2 — поверхность тела, 8 означает вариацию. Неизвестными в уравнении (2.5.2) являются поле тензора деформации є, поле тензора напряжений а, поле перемещений и. Необходимо дополнить уравнения (2.5.1) и (2.5.2) уравнениями связи между тензорами напряжений и деформаций. Для этого воспользуемся соотношениями (2.3.16): Получили замкнутую систему уравнений, описывающую деформирование вязкоупругопластического твердого тела. Еще раз запишем полную систему уравнений, описывающую вязко-упругопластическое деформирование твердого тела. Необходимо записать для системы (2.5.3) начальные и граничные условия. Начальные условия в каждой точке тела: поле перемещений и - и(Х,0), поле скоростей и = й\Х,0), тензор напряжений J\X,0) и его производная по времени &\Х,0). Граничные условия могут быть следующих типов: Построены соотношения связи напряжений и деформаций для задач вязкоупругопластичности, имеющие в своей основе наглядную механическую модель, связывающие непосредственно процессы нагружения и деформирования и отражающие обратимые (упругие), необратимые равновесные (пластические) и необратимые неравновесные (вязкие) свойства материала.
Предложенное соотношение позволяет отразить неупругие свойства материала на всех стадиях деформирования, избежать скачков напряжений при переходе от упругой к вязкопластической стадии деформирования. Указаны эксперименты, необходимые для конкретизации функций и констант, входящих в соотношения. На основе предложенного определяющего соотношения дана постановка задачи о вязкоупругопластическом деформировании твердых тел при динамическом нагружении. На примере задачи об одноосном растяжении стержня продемонстрирована применимость полученного соотношения к моделированию процессов вязкоупругопластического деформирования твердых тел. Получение аналитического решения системы (2.5.3), описывающей вязкоупругопластическое деформирование твердого тела, представляется весьма проблематичным ввиду ее нелинейности. Поэтому для решения задач предлагается использовать численные методы. В основе численного решения будет лежать дискретизация искомых величин по пространству и времени. Сначала проведем конечно-разностную аппроксимацию производных по времени в соотношениях системы (2.5.3). Разобьем рассматриваемый временной интервал на т малых интервалов одинаковой длины At. Будем считать значения искомых величин неизменными на каждом интервале. Таким образом, от решения задачи на всем временном интервале перейдем к нахождению распределений искомых величин в пространстве в т точках на оси времени. Для аппроксимации производных используем метод конечных разностей первого порядка. Такой подход применим и к тензорам, поскольку деформации считаются малыми. Конечные разности первого порядка удобны тем, что приводят к явной схеме решения, когда значения искомых параметров на шаге п (и=1...т) могут быть непосредственно определены из их значений на предыдущих шагах. - Производные тензоров напряжения и деформации по времени в конечно-разностном представлении имеют вид:
Тогда (3.1.1) и (3.1.2) можно записать в более простом виде: После осуществления дискретизации по времени задача состоит в решении системы уравнений на каждом шаге по времени (п = 1,2,...,m). Для решения системы на временном шаге п необходимы результаты решения системы на шагах п -1 и п-1. Ввиду сложности получения аналитического решения системы, произведем дискретизацию искомых величин на каждом временном шаге по пространству, используя метод конечных элементов. При этом ограничимся рассмотрением осесимметричных задач. Метод конечных элементов (МКЭ) применительно к расчету упругих задач всесторонне исследован и имеет достаточно полное теоретическое обоснование. Основные достижения отражены в монографиях как зарубежных ученых - Аргириса [1], Зенкевича [25, 26, 27], Стренга [85], Одена [62], Галлагера [16], и других [9, 21, 81, 82], так и отечественных ученых -Вайнберга Д.В. [15], Розина Л.А.[78, 79], Корнеева В.Г.[44], Капустина С.А. [36], СекуловичаМ. [83]. Основная идея МКЭ состоит в замене некоторой непрерывной величины в пределах рассматриваемой области дискретной моделью, которая строится на множестве кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей, называемых конечными элементами (КЭ). Неизвестная искомая величина в пределах каждого КЭ аппроксимируется, как правило, полиномиальной функцией заданного вида с учетом требования непрерывности перемещений на границах смежных КЭ. При этом выбор формы конечного элемента и вида выражения, аппроксимирующего действительный закон изменения исследуемой величины в пределах КЭ, является одним из наиболее ответственных моментов в общей процедуре МКЭ, от которого существенно зависит точность приближенного решения. Таким образом, непрерывная в пределах исследуемой области неизвестная величина (например, перемещение, скорость перемещения, напряжение, температура и т. д.) представляется через конечное число ее дискретных значений в узлах элементов.
Постановка задачи о деформировании топливного заряда реактивного снаряда на начальном этапе процесса воспламенения
Воспламенение топливных зарядов реактивных снарядов и ракет производится с помощью специального устройства - воспламенителя. Типичный форкамерный воспламенитель представляет собой толстостенный корпус, заполненный порохом. При воспламенении порох быстро сгорает при очень высоком давлении, и продукты сгорания через небольшие отверстия в корпусе воспламенителя вытекают в камеру сгорания реактивного снаряда, создавая там высокие температуру и давление, что приводит к воспламенению топливного заряда. При определенных значениях параметров втекающих в камеру продуктов сгорания, а также при определенных свойствах материала топливного заряда и его геометрии возможно повреждение заряда, что может оказать негативное влияние на работоспособность всего изделия. Поэтому несомненный интерес представляет моделирование этого процесса с целью определения напряженно-деформированного состояния заряда и местоположения опасных зон, в которых возможно разрушение.
Ранее автор уже обращался к этому вопросу [64, 67, 68], но в этих работах задача решалась в более простой постановке. В качестве объекта исследования был выбран реактивный снаряд с камерой сгорания, близкой по устройству к камере сгорания реальных реактивных снарядов [63], но с несколько иной формой топливного заряда (рис. 4.2.1). Для такого заряда возможность разрушения при воспламенении гораздо выше, поскольку «нависающий» торец может претерпевать более значительные деформации. К тому же, представляют интерес характер течения газа в окрестности торца такой формы и, как следствие, разность давлений на внутренней и внешней поверхностях «нависающей» части. Течение газа будем рассматривать в трехмерной осесимметричной области, половина осевого сечения которой есть плоская фигура, ограниченная линией ABCDEFGHIJ (рис. 4.2.2). В дальнейшем границы области, представляющие собой поверхности, для удобства будем называть так же, как линии на рис. 4.2.2, которые при вращении на 360 вокруг оси опишут эти поверхности. Система уравнений, описывающая течение газа, приведена в разделе Ввиду малости деформаций объем О. и поверхность S будем считать неизменными. Начальные условия в объеме Q, заполненном воздухом Граничные условия 1. Граница BCDEFGHIJ: условие прилипания V = 0; 2. Граница АВ: через границу АВ в область поступает газ из воспламенителя. Она представляет собой круг с шестью отверстиями (рис. 4.2.2): На остальной части границы АВ задается условие прилипания V = 0. В результате решения задачи газовой динамики определяется зависимость давления на границе DEFGH от времени. Решение газодинамической задачи позволяет определить давление на поверхности топливного заряда и с помощью этих данных решить задачу о вязкоупругопластическом деформировании топливного заряда с использованием предложенных в настоящей работе оригинальных соотношений. Постановка задачи о деформировании топливного заряда приведена в разделе 4.1. Однако необходимо конкретизировать начальные и граничные условия задачи применительно к рассматриваемому случаю.
Начальные условия: и, = 0; и, = 0; ст. = 0; &(j = 0 в каждой точке области V. Граничные условия: на границе DEFGH: вектор напряжепийР(Хгр,і) = р(Хгр,і)-п, где п — вектор внешней (по отношению к твердому телу) нормали к границе; на границе DH: u\Xep,t)= б. Давление р{Хгр,і) определяется из решения газодинамической задачи. Свойства материала заряда задавались на основании кривых «напряжение-деформация» для твердого топлива, приведенных в монографии В.В. Москвитина [58]. Установлено, что при = 25 МПа, = 15МПа, связи напряжений и деформаций с достаточной точностью описывает поведение твердого топлива (рис. 4.2.4). Рис. 4.2.4. Кривые «напряжение-деформация», приведенные В.В. Москвитиным (штриховая линия) и полученные в результате расчета с использованием выбранных функций и констант материала (сплошная линия) для скоростей деформации 1,9 КГ4 1/с (а) и 7,6-1(Г31/с(б) Задача о течении газа решалась с использованием метода крупных частиц, задача о деформировании заряда решалась на основе предложенной в главе 3 методики численного решения. Метод крупных частиц решения уравнений движения газа, разработанный О.М. Белоцерковским и Ю.М. Давыдовым, довольно популярен, поскольку позволяет моделировать сверхзвуковые течения газа со сложными граничными условиями, причем прост в реализации, имеет хорошие показатели по устойчивости и совпадению результатов моделирования с экспериментальными данными [10, 11, 12]. Поэтому именно он был применен для нахождения численного решения задачи. Основная идея метода состоит в «расщеплении» по физическим процессам исходной нестационарной системы уравнений, в результате чего удается избавиться от нелинейности. Вычислительная область разбивается на кубические ячейки плоскостями, параллельными координатным плоскостям декартовой системы координат. Среда моделируется системой из жидких (крупных) частиц, совпадающих в данный момент времени с ячейкой эйлеровой сетки.
Значения параметров среды внутри ячейки равномерно распределены по ее площади. Рассматриваемый интервал по времени разбивается на шаги. Расчет каждого временного шага, в свою очередь, делится на три этапа. При этом на каждом шаге решается линейная задача.
На этом этапе пренебрегают всеми эффектами, связанными с перемещением элементарной ячейки (потока массы через границы ячеек нет), и учитывают эффекты ускорения жидкости лишь за счет давления. В результате нелинейная конвективная составляющая ускорения будет равна нулю. На этом этапе определяются промежуточные значения искомых параметров. На этом этапе вычисляются потоки массы через границы эйлеровых ячеек. Полагается, что вещество перетекает через границы со скоростью, направление которой перпендикулярно границе, а величина равна величине скорости на границе, которая получается из значений скоростей в гра- ничащих ячейках
