Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математические модели деформирования структурно-неоднородных геоматериалов 33
1.1. Физический образец, моделирующий свойство горной породы аккумулировать и высвобождать упругую энергию 33
1.2. Замкнутая математическая модель структурно-неоднородного геоматериала 45
1.3. Модель горной породы с учётом пластического скольжения, анизотропии свойств, аккумулирования энергии и разупрочнения материала 60
1.4. Модель сыпучей среды с учётом внутреннего трения и дилатансии 64
1.5. Анализ устойчивости процесса деформирования на стадии разупрочнения 71
1.6. Численный алгоритм решения краевых задач 78
Глава 2. Задача о расчёте деформирования целиков 88
2.1. Задача о деформировании ленточного целика 88
2.2. Задача о деформировании ленточного целика и окружающего массива 114
Глава 3. Задача о расчёте напряжённо-деформированного состояния массива горных пород в окрестности горизонтальной выработки 130
3.1. Задача о деформировании массива горных пород в окрестности выработки кругового сечения 130
3.2. Задача о деформировании массива горных в окрестности выработки арочного типа 142
3.3. Применение математических моделей рулонированных оболочек для анализа напряжённо-деформированного состояния массива в окрестности выработки 161
3.4. Блочный механизм деформирования массива горных пород в окрестности выработки 180
3.5. Устойчивость процесса деформирования блочного массива в окрестности выработки 195
Глава 4. Задача о расчёте течения сыпучих сред в сходящихся радиальных каналах 209
4.1. Постановка и численное решение задачи с учётом внутреннего трения и дилатансии (начальная стадия течения) 209
4.2. Анализ локализованного блочного механизма течения сыпучей среды в сходящемся канале (стадия локализации сдвигов) 225
4.3. Стохастическая модель течения сыпучих сред в сходящихся каналах 240
Глава 5. Сложное нагружение геоматериалов и эффект направленного переноса масс 254
5.1. Методика анализа математических моделей геоматериалов и описание эффекта направленного переноса масс 254
5.2. Описание базисных лабораторных экспериментов по близкому к однородному деформированию сыпучих сред при сложном нагружении 263
5.3. Анализ гипопластической модели гранулированной среды 273
5.4. Численное моделирование эффекта направленного переноса масс при сложном нагружении 302
Заключение 317
Литература 321
- Замкнутая математическая модель структурно-неоднородного геоматериала
- Задача о деформировании ленточного целика и окружающего массива
- Блочный механизм деформирования массива горных пород в окрестности выработки
- Анализ локализованного блочного механизма течения сыпучей среды в сходящемся канале (стадия локализации сдвигов)
Замкнутая математическая модель структурно-неоднородного геоматериала
Описанные методики проведения и полученные результаты лабораторных экспериментов по близкому к однородному деформированию структурно-неоднородных геосред позволяют понять основные внутренние механизмы деформирования, установить закономерности поведения при различных способах нагружения и на этой основе сформулировать определяющие уравнения математической модели, а также определить значения фигурирующих в ней параметров. Иными словами, методики и результаты лабораторных экспериментов [24-26,197,210] являются основой для построения математических моделей структурно-неоднородных сред. С другой стороны, существуют классы математических моделей, построенных на иных принципах – без учёта внутренних механизмов деформирования среды, например, гипопластические модели гранулированной среды [278,293,295,297]. Для использования на практике таких моделей необходим дополнительный анализ, который должен ответить на вопрос – какие реальные свойства материалов они способны описать и насколько адекватно? Ответ на данный вопрос также может быть получен с помощью разработанных методик проведения лабораторных экспериментов и полученных на их основе результатов [24-26,191,197,210,319]. Иными словами, данные лабораторные эксперименты могут быть использованы для анализа моделей, при построении которых не учитывались внутренние механизмы деформирования среды. Методика анализа таких моделей следующая. На основе заданных определяющих уравнений модели осуществляется численная реализация однородного напряжённо-деформированного состояния по программам нагружения, описанных в экспериментах [24-26,191,197,210,319]. Принципиальной трудности это не представляет, поскольку для этого не требуется решать краевую задачу. Полученные результаты можно сравнить с данными лабораторных экспериментов [24-26,197,210] для аналогичных программ нагружения и тем самым оценить степень адекватности и диапазон применимости рассматриваемой математической модели. В работах [90,91,296] приведены примеры реализации описанной методики для анализа математических моделей гипопластических сред [278,293,295,297].
Построение и анализ математических моделей предполагает их использование для решения краевых задач деформирования. При этом аналитическое решение возможно, как правило, только в самых простых ситуациях (одномерные, осесимметричные задачи, однородное поведение среды, упрощённые инженерные постановки и некоторые другие). В этой связи важнейшее значение приобретает применение численных методов для решения краевых задач на основе континуальных моделей геомеханики. Наиболее распространённым численным методом на сегодняшний день является метод конечных элементов (МКЭ). На основе континуальных моделей геоматериалов и метода конечных элементов решается огромный объём как плоских, так и пространственных задач в самых различных постановках, включая учёт геометрической и физической нелинейностей. По существу, сегодня этот метод является в геомеханике основным.
Наряду с численными методами, использующими континуальные модели геомеханики и накопленный опыт математической физики, в последние десятилетия стали активно развиваться численные методы, основанные на принципиально другом подходе. Это – методы дискретных элементов (МДЭ), молекулярной динамики, подвижных клеточных автоматов и стохастические методы [19,178-181,204,219,259,262,276,284,305-308,318]. Их развитие, в первую очередь, связано с резким увеличением возможностей вычислительной техники. Эти методы основаны на базовых законах механики – закон сохранения массы, импульса, момента импульса и энергии, а определяющие свойства среды представлены в них опосредовано – либо в виде законов соударения упругих тел (метод дискретных элементов), либо в виде специальных функций отклика (метод подвижных клеточных автоматов), либо на основе вероятностных характеристик кинематики частиц (стохастические модели).
Следует отметить, что стохастические модели начали применяться в геомеханике ещё в середине прошлого века для расчёта мульд проседания земной поверхности над выработанным пространством [305-308]. Этот метод использовался также в работах [203,279] для исследования процесса смешения сыпучих материалов. В работе [166] стохастические модели применялись для анализа кинематики нелокализованного режима выпуска сыпучих сред в сходящихся каналах. В стохастических моделях вся среда представлена в виде дискретного набора ячеек (клеток), каждая из которых обладает определенным правилом деформирования: если материал из одной ячейки перемещается, то на его место с определённой вероятностью может поступить материал из любой соседней ячейки. Таким образом, построение стохастической модели деформирования сводится, по существу, к заданию ячеистой структуры тела и определению вероятностей для перемещения материала из одной ячейки в другую. Следует отметить, что стохастические модели имеют ряд преимуществ по сравнению с классическими моделями механики сплошных сред. Во-первых, здесь нет проблемы описания больших (конечных) деформаций, что в классической механике является весьма серьёзной проблемой. Данное описание позволяет явно учесть любую деформацию, когда изначально близкие частицы среды в процессе деформирования могут расходиться сколь угодно далеко. Во-вторых, стохастические модели весьма просты в реализации. Здесь достаточно просто можно учесть нелинейность поведения среды, поскольку схема расчёта всегда будет явной. С другой стороны, необходимо отметить и недостатки стохастических моделей. Одним из основных недостатков является тот факт, что стохастические модели являются по своей сути имитационными, т.е. они имитируют тот или иной процесс деформирования и не являются универсальными. Иными словами, в них нет общего алгоритма задания свойств материала, т.е. нет общего универсального способа определения вероятностей стохастической модели по реальным параметрам материала и условиям его деформирования.
Задача о деформировании ленточного целика и окружающего массива
Остановимся подробнее на условиях совместности (1.2.4). Пусть в микрообъёме среды зафиксировано некоторое напряжённое состояние зёрен и порового материала, т.е. определены тензоры t,p. В этом случае соотношения позволяют однозначно определить напряжённое состояние макрообъёма -тензор сі . В свою очередь, обратная задача (по заданному макронапряжённому состоянию сі определить микронапряжения зёрен t и порового материала р) допускает множество решений. Иными словами, одному и тому же напряжённому состоянию на макроуровне может соответствовать множество напряжённых состояний микроструктурных элементов. Одни и те же макронапряжения элементарного объёма среды, с одной стороны, могут означать, что все эти напряжения сосредоточены в зёрнах скелета, а поровый материал при этом не нагружен вовсе (он, вообще, может отсутствовать), с другой стороны, наоборот, что все напряжения сосредоточены в поровом материале, а зёрна скелета нагрузки не несут. Допускаются также промежуточные состояния, когда общая макронагрузка распределена между зёрнами и поровой средой. Более того, отсутствие макронапряжений не означает, что внутренние микронапряжения среды также отсутствуют. Возможна ситуация, когда в зёрнах и поровом материале действуют различные по знаку и компенсирующие друг друга ненулевые напряжения, при этом суммарные макронапряжения оказываются равными нулю. Таким образом, учёт внутренней структуры среды позволяет описать внутренние самоуравновешенные напряжения. Иными словами, среда может быть «заряжена» энергией, подобно тому, как это имеет место в экспериментах с физическим образцом (см. 1.1). Выражения (1.2.1), (1.2.4) позволяют выразить определяющие соотношения общей модели геосреды в виде следующей зависимости макродеформаций и макронапряжений
При этом сами микросвойства зёрен, порового материала и условий межзёренного скольжения описываются определяющими матрицами Т1 ,ТТ,P,R.
Зёренная структура среды в пределах осреднённого элементарного макрообъёма рассматривается в эффективной регулярной упаковке. Это означает, что полученные определяющие соотношения (1.2.5) имеют приведённый вид в локальной системе координат Ох1х2, связанной с ориентацией эффективной регулярной упаковки зёрен (см. рис. 1.2.1). Для формулировки определяющих соотношений в произвольной декартовой системе координат уравнения (1.2.5) необходимо перепроектировать в систему координат, повёрнутую относительно локальной на произвольный угол а (система Охххг). При этом определяющие соотношения в произвольной системе координат примут следующий матричный вид произвольной системы Ох1х2 (см. рис. 1.2.1), а величины є = представляют собой осреднённые макродеформации и макронапряжения элементарного макрообъёма соответственно в произвольной системе координат Ох1х2 .
Таким образом, уравнения (1.2.6) описывают анизотропную среду. В случае постоянного значения угла анизотропии а аналогом данного типа анизотропии в плоской теории анизотропной упругости может служить анизотропия по типу трансверсально-изотропного тела - в частном случае трансверсально-изотропно тела с тремя независимыми константами упругости. Применительно к описанию напряжённо-деформированного состояния массива горных пород описанному типу анизотропии соответствует естественная макрослоистость (напластование) массива.
В данной работе ограничимся рассмотрением анизотропной слоистой среды, и угол а будем считать заданным и неизменным в процессе деформирования.
Определяющие соотношения (1.2.6) в покомпонентном виде представляют собой три уравнения и связывают шесть неизвестных єі}- и Оц. Эти неизвестные представляют собой осреднённые величины, т.е. являются непрерывными и достаточно гладкими функциями. Поэтому уравнения (1.2.6) можно дополнить линейными уравнениями связи деформаций и смещений
Уравнения (1.2.9) описывают равновесное состояние среды без учёта начальных напряжений (с нулевыми начальными напряжениями). Однако в настоящей работе предполагается рассмотреть ряд задач о деформировании массива горных пород в постановке с учётом предварительного напряжённого состояния, которое перераспределяется в массиве в процессе прохождения выработки и уменьшения первоначального давления на её контуре. В строгой постановке линеаризованная форма уравнений (для малых деформаций) с учётом начальных напряжений согласно [40] имеет вид начальные напряжения. Возникает вопрос, насколько весомый вклад вносят слагаемые, содержащие начальные напряжения?
Здесь можно дать следующую оценку. Рассмотрим типичную постановку задачи о деформировании породного массива в окрестности выработки с учётом предварительных напряжений. Пусть в ненарушенном массиве действуют начальные напряжения, линейно зависящие от веса вышележащих слоёв и удовлетворяющие уравнениям равновесия (1.2.9) (распределение Динника [64]).
Блочный механизм деформирования массива горных пород в окрестности выработки
Итак, модель (1.3.6), с определяющими матрицами (1.3.1), (1.3.2), (1.3.5), (1.2.7) при заданных начальном состоянии (3.1.1) и краевых условиях (3.1.2), (3.1.3) позволяет численно построить решение рассмотренной задачи.
Рассмотрим конкретные примеры расчётов. Выберем, как и в Главе 2, следующие безразмерные значения параметров задачи
Наряду с параметрами (3.1.4) необходимо определить значение угла анизотропии а. Как показал опыт использования модели (1.3.6) для решения задач геомеханики (см. Глава 2), угол анизотропии имеет смысл угла естественного напластования массива. С другой стороны, как отмечалось, задача с выработкой кругового поперечного сечения без учёта веса является тестовой, т.е. позволяет рассматривать осесимметричные (или близкие к ним) постановки. Поэтому имеет смысл рассмотреть постановки, в которых угол анизотропии а обеспечивал бы осесимметричность вида анизотропии среды. Тогда, можно ожидать, что полученное решение при заданной реологии среды (1.3.6) в случае устойчивого деформирования, не будет отличаться от осесимметричного. Ясно, что такой угол не может быть постоянной величиной, он должен зависеть от координат точки области. Положим а = arctg(x2 / х1) - я /4. Таким образом, здесь предполагается, что направления анизотропии зависят от координат точки таким образом, что они всегда составляют постоянный угол ж/4 с радиус-вектором полярной системы координат с центром в центре выработки. Заметим, что выбор значения а = arctg(x2 / X1) - ж /4 не означает зависимость направления анизотропии от напряжённого состояния массива. В этом смысле направление анизотропии остаётся постоянным, т.е. оно не меняется в процессе деформирования.
Численные расчёты, проведённые при указанных параметрах, приводят к картинам деформирования, показанным на рис. 3.1.2. Видно, что зоны максимальных межзёренных сдвигов зарождаются на свободной поверхности выработки (рис. 3.1.2.а), и далее развиваются вглубь массива, полностью охватывая выработку (рис. 3.1.2.б-в). Развитие зон разупрочнения и остаточной прочности осуществляется последовательно в силу докритического значения параметра разупрочнения, т.е., в силу устойчивости процесса деформирования. На рис. 3.1.3 показаны изолинии величины максимального касательного напряжения г0, соответствующие стадиям деформирования рис. 3.1.2 (здесь минимальное значение г0 соответствует линии вблизи внешней границы расчётной области, максимальное - вблизи внутренней границы).
Видно, что полученное решение качественно совпадает с осесимметричным решением задачи об упругопластическом деформировании среды с круговым отверстием с условием пластичности Треска [85,144]. Отличие состоит только в том, что условие Треска предопределяет переход упругого материала в состояние идеальной пластичности, а в приведённом решении условие межзёренного скольжения предусматривает сначала стадию разупрочнения (серый цвет, см. рис. 3.1.2), а затем стадию остаточной прочности (чёрный цвет). Однако сам переход в пластическое состояние (разупрочнение, остаточную прочность) впервые имеет место на внутренней поверхности области (контур выработки) и далее развивается вглубь среды. Этот факт подтверждается также конфигурацией изолиний максимальных сдвиговых усилий (см. рис. 3.1.3). Некоторое отличие полученного решения от точного осесимметричного обусловлено тем, что конечно-элементная сетка не является строго осесимметричной. Так, впервые выход на стадию разупрочнения начинается независимо в четырёх точках на поверхности выработки, выбор которых обусловлен несимметрией сетки. Далее, по мере развития процесса деформирования отличие от осевой симметрии несколько увеличивается, однако общая тенденция стремления решения к осесимметричному сохраняется (см. рис. 3.1.3). Отличие решения от точного осесимметричного можно продемонстрировать с помощью изолиний самих макронапряжений в полярной системе координат сггг,сгвв,сггв, которые показаны на рис. 3.1.4.а-в соответственно. Здесь приведена стадия деформирования, соответствующая рис. 3.1.2.а.
Полученные результаты позволяют заключить, что максимальные сдвиги, а, следовательно, и максимальные касательные усилия развиваются от поверхности выработки вглубь массива. При этом зоны разупрочнения и остаточной прочности охватывают поверхность выработки полностью, как это имеет место в классических осесимметричных решениях задач теории пластичности. Таким образом, численное решение, построенное на основе модели (1.3.6) в случае устойчивого поведения на начальных стадиях деформирования, даёт хорошее соответствие с классическими решениями пластической задачи о выработке.
Изменим теперь параметры задачи и рассмотрим ситуацию, когда ух =у2 =1Д-10 3, j[es = i2S = 0 . Остальные параметры (3.1.4) оставим без изменения. Нетрудно подсчитать, что в этом случае условия устойчивости (1.5.13), (1.5.14) не выполняются, и в процессе вычислений необходимо использовать
Результаты расчётов показаны на рис. 3.1.5. Видно, что зоны разупрочнения (ранее они выделялись серым цветом) здесь не присутствуют. Они скачком превращаются в зоны разрушения (чёрный цвет). В свою очередь, конфигурация этих зон здесь уже иная. С самого начала деформирования (рис. 3.1.5) зоны разрушения зарождаются в четырёх точках на поверхности выработки, и их развитие осуществляется в виде узких полос интенсивной сдвиговой деформации (рис. 3.1.5.б-в). Иными словами, их можно интерпретировать как развитие изолированных линий скольжения. Далее зоны разрушения объединяются между собой и со временем охватывают всю поверхность выработки. Здесь в силу неустойчивости деформирования и наличия динамических скачков разупрочнения, начальные малые возмущения осевой симметрии (неосесимметричная сетка) с течением времени приводят к существенному отличию получаемого решения от осесимметричного. На рис. 3.1.6 показаны изолинии максимальных касательных усилий 0, соответствующие стадиям деформирования, показанным на рис. 3.1.5.
Сравнивая картины на рис. 3.1.5.б и 3.1.6.б, можно заключить, что вся область, окружающая выработку, фактически, разбивается на три вложенных кольцевых области: зона, где материал еще упрочняется (примыкает к внешней границе), зона, где произошла полная потеря прочности на сдвиг (примыкает к внутренней границе) и переходная зона между ними. Во-первых, в двух первых зонах наблюдается подобие осевой симметрии по напряжённому состоянию. Однако в переходной зоне, где развиваются изолированные линии скольжения, напряжённое состояние существенно отличается от осесимметричного. Дальнейшее развитие зон разрушения вглубь области приводит к тому, что состояние, близкое к осесимметричному, сохраняется только во внутренней разрушенной зоне (см. рис. 3.1.6.в).
Анализ локализованного блочного механизма течения сыпучей среды в сходящемся канале (стадия локализации сдвигов)
Итак, уравнения (1.2.8), (1.2.9), переписанные в приращениях, определяющие соотношения (1.4.7) с матрицами (1.3.1), (1.4.6), (1.2.7), начальное состояние (4.1.1) и краевые условия (4.1.3) - (4.1.5) позволяют рассчитать для к-ой итерации нагружения текущие значения приращений макронапряжений и макросмещений AcTjj, Auf, и таким образом рассчитать на каждой стадии нагружения сами величины напряжений и смещений на основе итерационного процесса (1.7.2).
Остановимся теперь на выборе параметров задачи. Геометрические параметры расчётной области определим в соответствии с экспериментами [207,211], где был реализован несимметричный локализованный режим течения, например, hlb = 7; /? = 30 . Далее, на верхней границе расчётной области необходимо задать ненулевую пригрузку материала F0. Это обеспечит выполнение условия стеснённости деформирования. Последнее необходимо, чтобы напряжения оставались сжимающими даже в случае, если на границе задаются положительные приращения напряжений, или если дилатансия приводит к разрыхлению среды. Для этих целей достаточно определить, например, что величина пригрузки равна весу столба материала единичной ширины и с высотой засыпки канала.
Согласно модели (см. 1.4) состояние внутреннего трения в процессе деформирования проходит через две стадии: стадию предварительных сдвигов (развивающееся трение), когда коэффициент внутреннего трения меняется от нуля до предельного значения /гтах, и стадию развитого трения, при которой этот коэффициент остаётся неизменным. Примем в качестве предельного значения коэффициента трения величину ftmax =0,17, г = 1,2, что соответствует значению угла внутреннего трения сыпучего материала 10 . Учитывая, что согласно экспериментальному закону трения Кулона-Амонтона стадия развивающегося трения представляет собой сравнительно незначительный участок диаграммы (см. рис. 1.4.2), то в качестве значений критических сдвигов, при которых наступает стадия развитого трения, можно принять yi =10 , г = 1,2. В свою очередь,
Теперь рассмотрим параметры, отвечающие за дилатансию. В соответствии с работами [47,106], для ряда сыпучих сред значение критической пористости можно принять равным к =0,4. Процесс выпуска сопряжён с уменьшением плотности среды, т.е. материал разрыхляется. Примем значение начальной пористости к =0,36. В этом случае модуль дилатансии tgv = будет положительным, что будет означать разрыхление материала. Согласно исследованиям [24] критическая пористость (стационарная упаковка частиц) достигается при величине сдвиговой деформации, которую можно принять равной Утах = 0,5. В этом случае угол дилатансии составит значение v 4,57 .
Одним из существенных параметров модели является угол анизотропии а. Как уже отмечалось в 1.4, анизотропия в сыпучих материалах, во-первых, может быть свойством среды, когда рассматриваются, анизотропные грунты для расчёта устойчивости оснований и фундаментов [33,52,265]. Во-вторых, если среда является изотропной, анизотропия может проявляться как приобретённое свойство, возникающее в процессе деформирования, например, при проявлениях реологической неустойчивости и формировании в среде изолированных поверхностей скольжения [13,14,35,49,50,94,99,108,207,317]. Сначала выберем
симметричное (относительно оси симметрии канала) значение угла а = 0 . Описанные параметры принимают следующие значения
Численное решение задачи с параметрами (4.1.6) приводит к картинам деформирования, показанным на рис. 4.1.3.а-в. Здесь в незакрашенных зонах диаграмма контактного взаимодействия зёрен находится на восходящем участке (предварительные сдвиги – развивающееся трение), серым цветом отмечены области, в которых хотя бы на одном из контактов (или на обоих сразу) достигается стадия развитого трения. Вдоль боковых стенок канала приведены эпюры нормального давления на стенки. На рис. 4.1.4.а-в показаны изолинии максимального касательного напряжения 0 , а на рис. 4.1.5.а-в – изолинии величины максимального сдвига 0 , соответствующие состоянию среды и условиям на контактах, показанным на рис. 4.1.3.а-в.
Видно, что в результате нагружения зоны развитого трения, т.е. области, где реализуется максимальная сдвиговая деформация, зарождаются в нижних углах канала и развиваются симметрично вглубь материала. При этом на первых этапах нагружения напряжённое состояние в канале в целом изменяется не очень значительно. Так, эпюры давлений на стенки канала и изолинии максимального касательного напряжения изменяются по сравнению с исходными только в зонах развитого трения (см. рис. 4.1.3, 4.1.4). Изолинии максимального сдвига 0 (см. рис. 4.1.5) позволяют заключить, что именно в областях развитого трения имеется тенденция к локализации деформаций. В этих зонах максимальная сдвиговая деформация реализуется в достаточно узких и протяжённых по пространству областях.
Приведённое решение описывает симметричный и радиальный режим течения. Однако в рамках рассмотренной постановки задачи можно осуществить исследование несимметричного режима. В экспериментах [207,211] несимметричный режим связан с локализацией деформаций и формированием изолированных линий скольжения. При этом из двух возможных направлений будущей локализации сдвигов (см. рис. 4.1.5) реализуется только одно направление, а среда в целом становится анизотропной (приобретённая анизотропия).
Похожие диссертации на Математическое моделирование процессов упругопластического деформирования структурно-неоднородных геоматериалов
