Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка задачи устойчивости трёхмерных сжимаемых упрочняющихся упруго-вязко-пластических тел. Линеаризированные соотношения . 14
1. Уравнения определяющие деформированное состояние сжимаемой упруго-вязко-пластической среды (цилиндрическая, сферическая система координат). 14
2. Постановка задачи об устойчивости деформированиясжимаемых упруго-вязко-пластических тел. Линеаризированные соотношения (вывод уравнения состояния). 22
3. Предельные системы уравнений. Статические задачи первого и второго рода . 27
Глава 2. Напряжённо-деформированное состояние и локальная неустойчивость задач горной механики, при статических нагрузках . 37
1. Напряжённо-деформированное состояние бесконечного пространства, ослабленного вертикальной (горизонтальной) цилиндрической выработкой. 37
2. Неустойчивость вертикальных выработок . 50
3. Бесконечное пространство, ослабленное сферической полостью. 69
4. Неустойчивость подземных полостей сферической формы. 76
Глава 3. Исследование напряжённо-деформированного состоянии некоторых задач горного давления при динамических нагрузках . 98
1. Бесконечное пространство со сферической полостью, под действием динамических нагрузок. 98
2. Бесконечная цилиндрическая выработка, кругового поперечного сечения, под действием нагрузок, зависящих от времени . 106
3. Напряженно-деформированное состояние горного массива с вертикальной цилиндрической выработкой эллиптического сечения. 113
Заключение. 122
Список литературы. 124
- Постановка задачи об устойчивости деформированиясжимаемых упруго-вязко-пластических тел. Линеаризированные соотношения (вывод уравнения состояния).
- Предельные системы уравнений. Статические задачи первого и второго рода
- Неустойчивость вертикальных выработок
- Бесконечная цилиндрическая выработка, кругового поперечного сечения, под действием нагрузок, зависящих от времени
Введение к работе
Вопросы устойчивости деформирования сложных сред в рамках точных трехмерных уравнений занимают одно из центральных мест в механике деформируемого твердого тела.
В механике горных пород одним из основных объектов исследования являются горные выработки. Анализ возможности разрушения массива возле них с учетом его последствий, а также разработка конструктивно- технологических мероприятий, обеспечивающих безаварийное функционирование выработок, являются одной из основных проблем этой отрасли науки.
Свое начало трехмерная теория устойчивости (ТТУ), ведет, по видимому, начиная с работы Р.В. Саусвелла [178], и за последнее время превратилась в достаточно разработанную отрасль механики, создавшую собственные методы и подходы, имеющую многочисленные приложения в виде решения конкретных задач. Отдельные монографии М.Т. Алимжанова, В.В. Болотина, М.А. Био, И.Ю. Бабича, А.Н. Гузя, В.Д. Клюшникова, Т.Г. Кулиева, А.Н. Спорыхина, [11, 24, 43, 44, 47, 55-56, 91, 98, 133, 146, 174] и значительное число публикаций Ж.С. Акопяна, М.Т. Алимжанова, И.Ю. Бабича, Т.А. Баклановой, А.Н. Гузя, В.М. Назаренко, А.Н. Спорыхина, А.И. Шашкина, В.Н. Чехова [3, 5-6, 8, 10, 18-19, 21-23, 26-28, 29-36, 39-48, 50-58, 59-64, 104, 107-108, 112-117, 120-168, 170, 133, 165, 173-176 и др.] в этом направлении свидетельствует о применимости трехмерной теории устойчивости в различных областях инженерной деятельности.
Состояние вопроса по ТТУ однородных упругих сред при малых и больших докритических деформациях дано в обзоре А.Н. Гузя [46] и широко освещено в отмеченных выше монографиях этого же автора [43-48]. Состояние и обобщающий анализ разработанных к настоящему времени вопросов трехмерной неупругой устойчивости (однородных, упругопластических и материалов с реологическими свойствами) методов
5 решений и на их основе конкретных решений трехмерных задач, при малых и конечных докритических деформациях, дан в обзорных статьях А.Н. Гузя, А.Н.Спорыхина [62-63]. Родственные вопросы ТТУ деформируемых тел (ТТУДТ) и ее приложений к различным областям естествознания и, в частности, исследования динамики и устойчивости композитных материалов, а так же стохастически неоднородных сред, отражены в обзорных статьях [5, 21, 120]. Поэтому, здесь во введении диссертации, кратко рассмотрим некоторые наиболее существенные положения ТТУ, а также обоснование необходимости исследования настоящей диссертационной работы.
Для построения трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел обычно используют следующие два предположения. Первое заключается в том, что в основном (докритическом) состоянии, также как и в возмущенном состоянии, действуют одни и те же внешние нагрузки, и. ^ нипляжешю-деформированое состояние среды описывается соотношениями одной и той же нелинейной теории деформируемых тел. Второе предположение состоит в том, что возмущения являются значительно меньшими величинами по сравнению с величинами деформаций докритического состояния (не важно идет ли речь о малых или конечных докритических деформациях). То есть по самой постановке задачи возмущения являются сколь угодно малыми величинами, и даже в случае линеаризированной механики деформируемых тел при малых начальных деформациях, последние все же следует считать конечными величинами по отношению к возмущениям.
Как следует из публикаций и обзорных работ, приведенных выше, почти все исследования по ТТУ упругопластических и сложных реологических тел не учитывают сжимаемости материала, что значительно упрощает решения задач устойчивости. Поэтому, необходимость оценки влияния сжимаемости (в том числе необратимой) на критические параметры конструкций и тел со сложными реологическими свойствами определило исследование настоящей работы.
Первой монографией по трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел (ТЛТУДТ) можно считать работу М. Био [173] в которой содержатся результаты его публикаций по данному вопросу.
В России основные соотношения ТЛТУДТ впервые получены В.В. Новожиловым [109] в лагранжевых координатах, которые до деформации совпадали с прямоугольными координатами.
Подробно, как было отмечено выше, основные аспекты исторического характера, относящиеся к трехмерной линеаризированой теорией упругой и неупругой устойчивости приведены в [46, 62-63].
В публикациях по трехмерной теории устойчивости деформируемых тел последних десятилетий выделились три подхода[62-63].
Первый подход связан с применением уравнений ТТУ при больших докритических деформациях. Не останавливаясь на вариантах постановки задач, связанных с выбором конкретной зависимости между напряжениями и деформациями отметим работы, выполненные в рамках этого подхода [62, 112, 116, 121-122, 125, 129-130, 138, 141-142, 147, 150-151, 167 и др.].
Второй подход заключается в применении уравнений ТТУ при малых докритических деформациях. Поведение различных материалов при малых деформациях можно считать сравнительно изученным. Существуют уравнения состояния для различных реологических тел, которые подвергались экспериментальной проверке, в том числе для тел, обладающих пластическими свойствами в сочетании с упругими и вязкими. Так как почти все задачи с применением прикладных теорий исследованы при малых докритических деформациях, то в рамках второго подхода открывается возможность исследовать устойчивость деформируемых на основе уравнений ТТУ, и имея в распоряжении их решение, можно проверить точность различных гипотез и методов связанных с приведением их к двумерным и одномерным прикладным теориям. Отмеченные обстоятельства дают возможность в рамках этого подхода исследовать значительное число задач для различных материалов. При таком подходе выполнены работы [3-6,18-19,
721-23, 26-36, 38-42, 45, 48-54, 58-60, 62-64, 106-108, 110-111, 113, 118-121, 123-124, 127, 129-132, 134-136, 139-141, 143, 145, 148-149, 152, 157-162, 164, * 168,170,172 и др.].
Третий подход Л.С. Лейбензона-А.Ю. Ишлинского [90, 100] заключается в том, что уравнения ТТУ заменяются уравнениями Ламе, а параметр нагружения вводится лишь в граничные условия, исходя из определенных соображений физического характера. В силу этого положения исследования задач значительно упрощается. В этом направлении выполнены известные работы [8, 10-11, 72, 74-79, 81, 85-88, 90, 163 и др.], в частности, исследованы задачи: толстостенная труба (плоская деформация) под действием внутреннего давления, материал которой подчиняется теории малых упругопластических деформаций [87-88] и теории идеальной пластичности [106]; толстостенная сферическая оболочка находящаяся под * действием равномерного внутреннего и внешнего давлений [76] и ряд других в основном, применительно к стержням, пластинам и оболочкам, и также к _ некоторым задачам механики горных пород.
В монографии [91] вводится концепция потери устойчивости процесса деформирования, которая является частным случаем исследования устойчивости движения. Также в ней рассмотрены различные процессы нагружения и возникающие при этом трехмерные и двухмерные линеаризированные задачи.
Методы механики деформируемого твердого тела получили широкое применение в механике горных пород и в, частности, при решении задач устойчивости массивов возле горных выработок. Первой в этом направлении была опубликованная в 1962 г. статья Л. В. Ершова [73].
В большом количестве работ [9-13, 72-74, 163], посвященных устойчивости горных выработок, используется приближенный подход Л. С. Лейбензона - А. 10. Ишлинского. А. II. Гузь в своих работах [33] при * исследовании устойчивости состояния равновесия горного массива в окрестности выработок использовал трехмерную линеаризированную теорию
8 устойчивости и разработал общий метод решения таких задач на основе вариационных принципов. Эта теория в дальнейшем получила широкое развитие в работах Ф. М. Асамидинова [15-16], Акопяна [1-5], Г. Н. Баклановой [22, 23], И. 10. Бабича [19-20], А. Н. Гузя [32, 37, 43, 57, 61] и других авторов. Ими были решены конкретные задачи устойчивости горных выработок.
Основная часть публикаций, относящихся к задачам устойчивости горных выработок содержит вопросы исследования устойчивости вертикальных и горизонтальных выработок, а так же подземных полостей. Основные упрощения, принятые почти во всех работах состоят в следующем [43]: потеря устойчивости возле горных выработок имеет локальный характер, поэтому для возмущенного состояния можно ставить условия затухания при удалении «на бесконечность» и рассматривать задачи, соответственно, для бесконечных областей с полостями соответствующей формы; для сравнительно жестких пород докритическое состояние достаточно определять в рамках геометрически линейной теории; при определении начального состояния и исследовании задач устойчивости можно пренебречь действием всех сил на горный массив за исключением сил собственного веса; действие газа или жидкости, находящихся в горных выработках, моделируется действием равномерного внутреннего давления на крепь горных выработок; потеря устойчивости на рассматриваемой глубине обуславливается действием горного давления, а не краевыми эффектами; выработки достаточно удалены от дневной поверхности. Исследование устойчивости горизонтальных горных выработок вариационными методами проведено в работах [15-17, 22, 61, 99]. Породный массив моделировался сжимаемым линейно-упругим изотропным [11, 15-16,
9 61, 99] и ортотропным [66] телами. В публикации [99] сделан вывод о том, что случай равномерного сжатия для выработки кругового поперечного сечения является наименее устойчивым. Рассмотрение выработок овального и квадратного поперечного сечения [16, 80, 104] позволило выяснить, что наиболее неустойчивой из выработок криволинейного сечения является круговая.
Решена пространственная упруго-пластическая задача устойчивости горной выработки кругового поперечного сечения в несжимаемом массиве [23]. В этой работе использовалась деформационная теория пластичности со степенной зависимостью между интенсивностью напряжений и деформаций.
Результаты по устойчивости вертикальных горных выработок впервые получены для выработок кругового поперечного сечения в сжимаемом линейно-упругом массиве [1-2,4], в трансверсальном сжимаемом изотропном и упругопластическом массиве [133]. Из этих работ следует, что потеря устойчивости выработок происходит по осесимметричной форме.
Исследования устойчивости массивов в окрестности сферических полостей проводились для случаев, когда горный массив моделировался изотропным линейно-упругим несжимаемым [104] и сжимаемым [102, 103] телами, а также для несжимаемого упруго-пластического [20] массива в рамках деформационной теории. В [105] рассмотрен случай одноосного сжатия. Конечноразностным методом [70] определены критические значения параметра нагрузки для сферической полости в упругом изотропном массиве с учетом влияния дневной поверхности. Также получены критические значения нагрузки и значения критической линейной деформации для нетронутого массива в случае осесимметрического давления.
Решена задача устойчивости массива вблизи сферической полости [169, 171] в предположении наличия поверхности раздела зон упругого и пластического деформирования. При этом пластическое состояние массива характеризовалось условием текучести, являющимся обобщением гипотезы Мора - Кулона [177]. Начальное (докритическое) состояние определялось с
10 помощью привлечения аппарата трехмерной теории конечных деформаций. В работе [11] приближенным методом решена задача устойчивости горного массива около сферической полости при наличии в нем пластических деформаций.
Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию устойчивости деформирования упруго-вязко-пластических сред в точной трехмерной постановке, постановке и решению отдельных задач устойчивости при неоднородных докритических состояниях; разработке численного алгоритма решения характеристических уравнений задач и выявлению влияния сжимаемости (в том числе необратимой), вязкости и других характеристик сред на критические параметры в рассмотренном классе задач при малых докритических деформациях.
В работе также рассмотрены некоторые задачи горной механики (сжимаемое упруго-вязко-пластическое пространство ослабленное сферической полостью, цилиндрическая вертикальная горная выработка с круговым и эллиптическим поперечными сечениями) под действием нагрузок, зависящих от времени определённым образом.
Цель работы. Математическое моделирование локальной потери устойчивости и разработка на этой основе метода расчета критических нагрузок для вертикальной и сферической горных выработок, с учётом ассоциированной и неассоциированной сжимаемости. Средством достижения поставленных задач является: аналитическое исследование напряженно-деформированного докритического состояния указанных сооружений; математическое моделирование отказов горных сооружений в рамках трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел; составление, разработка метода решения характеристических уравнений и с их помощью вычисление критических параметров; численный анализ полученных решений.
Исследование некоторых задач горной механики под действием динамических нагрузок.
Методы исследования. В работе основные вопросы решались моделированием и анализом моделей с помощью математического аппарата механики сплошной среды и трехмерной линеаризированной теории устойчивости деформируемых тел. Научная новизна. Впервые разработаны математические модели для анализа потери устойчивости вертикальных и сферических горных выработок с учётом ассоциированной и неассоциированной сжимаемости при неупругом поведении горного массива; получено, в общем виде, линеаризированное уравнение состояния для сжимаемого упрочняющегося упруго-вязко-пластического массива горных пород; получено приближённое решение системы уравнений математической модели горного массива с выработкой цилиндрической формы и аналитическое решение горного массива с выработкой сферической формы; разработан алгоритм и дано приближенное решение трехмерных уравнений математических моделей описывающих локальную потерю устойчивости вертикальных, сферических горных выработок, когда докритическое состояние зависит от одной переменной; построены характеристические уравнения рассмотренного класса задач; проведен вычислительный эксперимент; построены области критических контактных давлений; разработан алгоритм и даны точное (горный массив со сферической полостью), и приближённое (цилиндрическая горная выработка с круговым и эллиптическим поперечными сечениями) решения, описывающие поведение указанных конструкций при динамических нагрузках.
Практическая ценность. Полученные результаты в виде аналитических и приближенных решений и алгоритма могут быть использованы при определении докритического напряженно-деформированного состояния около выработок, а также для определения оптимальных критических параметров контактных давлений, при учете более широкого спектра физико-механических характеристик моделируемых процессов.
Приведенные решения задач устойчивости могут быть использованы для проведения мероприятий обеспечивающих безаварийную эксплуатацию рассмотренных горных конструкций.
Построенный алгоритм численной реализации исследуемых процессов может применяться к ряду смежных задач горных конструкций при действии различных нагрузок.
Достоверность. Исследования, выполненные в работе, основаны на корректной математической постановке задач с дальнейшими строгими выкладками. Численная реализация построенного алгоритма для приведенных задач устойчивости основана на конечно-разностном методе, который широко применяется во многих задачах механики сплошных сред и показал достаточную эффективность. Совпадение теоретических результатов в частных случаях с известными и согласование с общими физическими представлениями окончательных результатов работы также служит подтверждением их достоверности.
Апробация. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на: международной школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики», г. Воронеж, 2004 г., 2005 г.; воронежской весенней математической школе «Понтрягинские чтения -XVI», г. Воронеж, 2005 г.; семинарах кафедры теоретической и прикладной механики Воронежского госуниверситета 2000 - 2006 гг.
Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [92-97]. Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав (10 параграфов), заключения и списка литературы,
13 включающего 178 наименований. Работа содержит 142 страницы машинописного текста, включая 25 рисунков.
Основные результаты работы, которые выносятся автором на защиту: математические модели для анализа и расчёта потери устойчивости горных выработок в сжимаемых упруго-вязко-пластических средах модели Д.Д.Ивлева - А.Н.Спорыхина; решение задач при неоднородных докритических состояниях: вертикальная скважина, сферическая полость в горном массиве; алгоритм численного решения поставленных задач устойчивости, как задач многомерной оптимизации; построение графических зависимостей для конкретных материалов и оценка влияния механических параметров: необратимой сжимаемости, вязкости, дилатапсии и др. на величину критических характеристик.
Постановка задачи об устойчивости деформированиясжимаемых упруго-вязко-пластических тел. Линеаризированные соотношения (вывод уравнения состояния).
Системы, испытывающие упруго-вязко-пластические деформации, ь обладают свойством внутренней неконсервативности вследствие необратимости вязких и пластических деформаций. Поэтому исследование устойчивости состояния системы за пределом упругости должно основываться на анализе движения такой системы вблизи основного состояния равновесия при сообщении системе некоторых малых возмущений, то есть на основе динамического подхода. В теории упругой устойчивости при динамическом методе исследования основное состояние считается устойчивым, если возмущения со временем затухают, а неустойчивым, когда возмущения воз растают при t — оо .
При исследовании задач устойчивости с учетом пластических де « , формаций появление достаточно малых пластических деформаций в силу их необратимости приводит к неустойчивому состоянию в смысле концепции устойчивости, изложенной выше. В этом состоит основное затруднение, которое возникает при непосредственном перенесении понятий устойчивости из механики упругого тела в механику упруго-пластического тела. Трудности вызваны и тем, что при пластических деформациях переход от одной равновесной формы к другой может сопровождаться появлением дополнительных зон разгрузки в момент потери устойчивости. Появление дополнительных зон разгрузки при переходе в смежное состояние приводит к значительным математическим трудностям, связанными с решением задачи с неизвестными границами (определяются в процессе решения задачи) раздела зон упругости и пластичности. Это обусловило упрощенную постановку задач теории устойчивости (тонкостенных систем) [88] при упруго-пластических деформациях, заключающуюся в том, что явление разгрузки в процессе потери устойчивости не учитывается и критические нагрузки определяются, как для физически нелинейного упругого тела. При изучении бифуркации состояния равновесия или бифуркации процесса деформирования трехмерных тел с реологическими свойствами будем исходить из следующего основного предположения: об устойчивости-основного состояния деформируемых тел с реологическими свойствами будем судить по поведению малых возмущений во времени в рамках соответствующей линеаризированной задачи. В качестве критерия устойчивости принимается следующий [36, 38, 43, 139, 150-151]: состояние равновесия или процесс деформирования считается устойчивым, если возмущения во времени затухают и неустойчивым, если возрастают. Рассмотрим сплошную среду произвольного объема V. Предположим, что на части поверхности Sp упруго-вязко-пластического тела заданы поверхностные усилия р, а на части поверхности Su заданы перемещения и, причем, величины р и и с ростом времени t стремятся, или принимают значения ро и и0 не зависящие от времени.
Пусть решения уравнений (1.1.1) - (1.1.5), (1.1.7) при соответствующих граничных условиях (1.1.8)- (1.1.10) есть: Будем предполагать, что с ростом времени эти решения стремятся к стационарным значениям отношению к малым возмущениям граничных условий, массовых сил, отклонений конфигурации тела от заданных геометрических размеров. Здесь и далее под состоянием будет понимать как состояние равновесия так и процесс деформирования, если в данном случае время входит как существенный параметр, который нельзя исключить из рассмотрения. Верхний индекс "О" - нуль приписан компонентам невозмущенного (докритического) состояния, а индекс плюс - "+" - приписан возмущениям. Об устойчивости невозмущённого состояния можно судить по линеаризированной системе уравнений, которую выводим, из уравнений (1.1.1) - (1.1.5), (1.1.7), считая компоненты с плюсом малыми и сохраняя только линейные члены разложения. В результате в рамках второго похода [133] ТЛТУДТ получим следующую систему уравнений относительно возмущений: Здесь І , Pi - возмущения объёмных и поверхностных сил, Р -плотность. Соотношения для полных деформаций (1.1.3), закона Гука (1.1.4), как и соотношение Коши (1.1.2), останутся линейными и в возмущениях перепишутся так: + У(ст; \а\\ +Ц (1.2.14) -представляют собой замкнутую линеаризированную систему уравнений описывающую возмущенное состояние сжимаемого упругопластического тела, имеющего границу раздела сред. Необходимо отметить, что данная система уравнений, для построенной краевой задачи - сложная система дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами. Получение точных аналитических решений, для подобных систем связано с большими математическими сложностями , поэтому, следуя [62-63] введение некоторых упрощений и предположений так же позволяет свести вышеуказанную систему уравнений, описывающую поведение возмущений во времени, к простому виду.
Предельные системы уравнений. Статические задачи первого и второго рода
Поскольку, характер поведения возмущений объемных и поверхностных сил во многом определяет специфику задач устойчивости, то в общем случае, учитывая наличие демпфирующих членов в возмущениях объемных и поверхностных сил, эти величины представлены в виде [49]: здесь линейные дифференциальные операторы по пространственным переменным Хк . Задачи устойчивости можно разделить на динамические и статические. К динамическим относятся задачи, для которых П/А. Ф О, Мік Ф О а к статическим - задачи, для которых П аО,Л »0. Такую классификацию можно провести по виду линеаризированных задач. Таким образом, для статических задач возмущения объемных и поверхностных сил представимы в виде: Наряду с указанной классификацией, задачи устойчивости можно классифицировать по методам исследования: динамическому методу изучения малых возмущений вблизи основного состояния и статическому методу (методу Эйлера). При статическом подходе основное состояние считается неустойчивым, если наряду с исходным состоянием имеют место смежные, близкие к нему равновесные состояния. При статическом методе задача сводится к отысканию точек бифуркации состояний равновесия. Для статических задач можно применять динамический метод и метод Эйлера [44]. Наиболее общим методом исследования устойчивости деформируемых упруго-вязко-пластических тел является динамический метод. Основным критерием устойчивости-неустойчивости состояния тела является следующий [63]: - состояние считается устойчивым если малые возмущения, в рамках соответствующей линеаризированной задачи, с течением времени затухают (при t — оо ) или имеют периодический характер; - состояние считается неустойчивым, если возмущения при t — оо неограниченно возрастают.
Таким образом, имея общее решение системы уравнений (1.2.4) -(1.2.8), (1.2.13) - (1.2.14) и рассматривая предельный случай t — оо согласно динамическому подходу можно получить соотношения связывающие критические значения нагрузки, а значит найти область устойчивости в пространстве параметров нагружения. Однако получить общее решение линеаризированной задачи устойчивости (1.2.4) - (1.2.8), (1.2.13) - (1.2.14) возможно лишь в некоторых частных случаях, что будет сделано во второй главе. В рамках динамического подхода поступим следующим образом. Решения уравнений (1.2.4) - (1.2.8), (1.2.13) - (1.2.14) будем искать в виде: т.е. в компонентах векторов и тензоров, характеризующих возмущения, выделим временной множитель ( Р - в общем случае комплексная величина), а для амплитудных величин оставим прежние обозначения, опустив значок плюс. Дальнейшее упрощение исходной линеаризированной задачи (1.2.4) -(1.2.8), (1.2.13) - -(1.2.15) получим, если будем исследовать устойчивость "установившегося" докритического состояния определенного (1.2.2) т.е. при t — оо в коэффициентах линеаризированной задачи.. В рамках этих предположений получим трехмерную линеаризированную задачу описываемую системой дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Таким образом при исследовании устойчивости вместо соответствующей трехмерной линеаризированной системы (1.2.4) - (1.2.8), (1.2.13) - (1.2.15) можно, как показано в [133], рассматривать предельную систему, которая получается из данной, если в ее коэффициентах положить t — оо. Вопрос о правомерности замены исходной системы предельной (о совпадении результатов при исследовании неупругих задач устойчивости) рассматривался ранее в [62, 139]. Итак, при исследовании устойчивости сжимаемых упруго-вязко-пластических тел при малых докритических деформациях, примем эти предположения. зо Используя соотношения (1.2.6)-(1.2.7), (1.3.5)-(1.3.6) выведем линеаризированную связь между компонентами тензоров возмущений напряжений "у и деформаций &у . Используя закон Гука (1.2.7) и соотношения для полных деформаций получаем Соотношение (1.3.15) есть линеаризованная зависимость компонент возмущений напряжение от компонент возмущений деформаций для сжимаемого упрочняющегося упруго-вязко-пластического тела. Краевые условия на поверхности Sp запишутся так
Система уравнений (1.2.6)-(1.2.8), (1.3.4), (1.3.15)-(1.3.17) является замкнутой в случае, когда всё тело находится в пластическом состоянии (первый тип задач). В случае нагружения, когда одна часть тела находится в упругом, часть - в пластическом состоянии, необходимо к системе уравнений (1.3.4), (1.3.15)-(1.3.17) присоединить условия непрерывности на границе раздела упругой и пластической зон (1.3.18) Таким образом система уравнений (1.2.8), (1.3.4), (1.3.15) с соответствующими граничными (1.3.16)-(1.3.17) условиями и условиями непрерывности (1.3.18) представляет собой задачу на собственные значения собственные значения Р , в том случае если всё тело находится в пластическом состоянии. Поскольку полученные краевые задачи являются задачами на собственные значения относительно параметра Р , тогда в силу принятого критерия основное состояние будет устойчивым, если Граница области устойчивости и соответствующие критические значения комбинаций параметров нагружения определяются из соотношения: Применение динамического метода к решению задач трехмерной теории устойчивости связано с большими трудностями вычислительного характера, что зачастую исключает возможность получения результатов. Отметим что [44] при решении задач пластичности основная сложность заключается в том, что при потере устойчивости возможно возникновение дополнительных зон разгрузки, следовательно, положение границы раздела упругой и пластической областей следует каждый раз определять из решения линеаризированной задачи. В связи с этим как отмечено ранее для упрощения вводится обобщенная концепция продолжающегося нагружения [44, 62], когда об устойчивости состояния равновесия трехмерных тел можно судить по поведению малых возмущений при не изменяющихся зонах разгрузки, возникших в докритическом состоянии т.е. разгрузка в процессе потери устойчивости не учитывается. При применении данной концепции приходим к задачам устойчивости для тел с кусочно-однородными свойствами, а положение упругопластической границы определяется из докритического состояния. Эта концепция, как и в известных автору работах данного направления [62-63], принята выше при исследовании устойчивости сжимаемых упруго-вязко-пластических тел при малых деформациях. Таким образом статические задачи при динамическом подходе сводятся к вычислению собственных чисел способом, указанным выше и отысканию первого в истории нагружения критического значения внешних сил при не изменяющихся зонах разгрузки, возникших в докритическом состоянии. Необходимо отметить, что применение динамического подхода к исследованию устойчивости сложных сред, в частности модели среды принятой в диссертации, обусловлено и тем, что статический подход (метод
Неустойчивость вертикальных выработок
Одной из важных областей применения методов трехмерной теории устойчивости является механика горных пород, впервые на это обстоятельство обратил внимание Л. Ершов [28, 64, 67-69, 71-72, 74-76, 78 ) 79]. Используя уравнения устойчивости равновесия деформируемых тел в постановке Лейбензона - Ишлинского он исследовал устойчивость вертикального и горизонтального шахтных стволов в упругом изотропном массиве горных пород. Этой работой, как отмечено и в обзоре диссертации, і было положено начало широким исследованиям устойчивости тел применительно к задачам геомеханики. Интерес к проблеме обусловлен и тем, как отмечено в обзоре [10], что анализ устойчивости стенок вертикальных выработок в рамках соотношений линеаризированной теории с привлечением упругой модели массива горных пород нецелесообразно. Это обусловлено тем [10], что потеря устойчивости стенок скважин, пробуренных даже в массиве глинистых сланцев, "і происходит на глубине порядка 70 км. Однако практика эксплуатации вертикальных (горизонтальных) скважин и шахтных стволов подтверждает, что потеря устойчивости их стенок может произойти даже на небольших глубинах, где напряжения в приствольной зоне превосходят предел прочности (текучести) породы. Поэтому целесообразность использования для этой цели сложной модели массива (сжимаемой упруго-вязко . пластической) горных пород очевидна. В данном параграфе идея рассмотрения проявления горного давления как локальной потери устойчивости равновесия пород приствольной зоны реализуется в рамках уравнений ТТУ и модели Д.Д.Ивлева - А.Н.Спорыхина, учитывающей необратимую сжимаемость на задаче устойчивости цилиндрической выработки в массиве.
Ниже рассматривается задача о пространственной форме потери устойчивости вертикальной выработки радиуса d. К внутреннему контуру -s выработки приложена равномерно распределенная нагрузка Ро . , Материал массива принимается сжимаемым, упрочняющимся упруго-вязко-пластическим. Здесь, как и ранее, величины, имеющие размерность напряжений отнесены к модулю сдвига М, а имеющие размерность длины - к радиусу выработки а и им приписан нуль внизу. Напряжённо-деформированное состояние массива вблизи выработки, на глубине h, как очевидно определяется, соотношениями (2.1.13)-(2.1.15), (2.1.30)-(2.1.32),(2.1.34)-(2.1.35). _л Система уравнений, описывающих возмущённое состояние массива, вблизи выработки определяется [133] соотношениями (1.2.4)-(1.2.8), (1.2.13) (1.2.15), при этом линеаризованная зависимость между компонентами тензора напряжений и перемещений имеет вид (1.3.15). ї Приводя компоненты тензоров напряжений, деформаций и перемещений к физическим компонентам и учитывая уравнения состояния в упругой (1.2.7) и пластической областях (1.3.15), из уравнений равновесия (1.2.4), граничных условий (1.2.5) и условий сопряжения (1.2.15) получаем систему дифференциальных уравнений в частных производных относительно И/. Уравнения равновесия для компонент возмущений перемещений, в пластической области, примут вид: Подставляя соотношения (2.2.6) в уравнения равновесия, в пластической (2.2.1) и упругой (2.2.2) областях, граничные условия (2.2.3) и условия сопряжения (2.2.4), группируя слагаемые при sm(m9 + nz), cos{m0 + nz), переходим к системе обыкновенных дифференциальных Ш уравнений относительно UX,U2,VX ,V2,WX,W2. Соотношения (2.2.1) перепишутся в виде Здесь, запятая после функции обозначает порядок дифференцирования по г. І Найти точное аналитическое решение полученной краевой задачи (2.2.5), (2.2.7)-(2.2.10), не представляется возможным в виду её сложности. Для нахождения приближенного решения полученной задачи воспользуемся методом конечных разностей. Суть этого подхода заключается в замене производных разностными отношениями, что в свою очередь приводит к замене дифференциальных уравнений разностными, решение которых в любой конечной области сводится к решению конечной системы алгебраических уравнений.
Разобьём упругую и пластическую области соответственно точками Р»Л) р =l"Np,je = Ne, и в каждой из данных точек производные функций заменяются конечными разностями, по следующим схемам при ip=2..Np+\,je=\..Ne+\, Используя формулы (2.2.11)-(2.2,12) для аппроксимации производных конечными разностями получим из системы уравнений (2,2,7)-(2,2,10) алгебраическую систему линейных уравнений относительно радиус упруго-пластической границы в докритическом состоянии.. В матричной форме данная система может быть представлена в виде: Где искомые величины [YJ\ есть Данная система уравнений всегда имеет тривиальное решение, [У J = 0 соответствующее состоянию равновесия. Отличные от нуля амплитуды возмущений возможны в случае равенства нулю определителя системы уравнений (2.2.13) det[x,.J = 0. (2.2.15) Отличными от нуля элементами матрицы [XttJ J ( 1 i, j 6(Np+Ne+3)) являются При / = 1, (г = а,)
Бесконечная цилиндрическая выработка, кругового поперечного сечения, под действием нагрузок, зависящих от времени
Рассмотрим бесконечное пространство, ослабленное цилиндрической выработкой кругового поперечного сечения радиуса а, на глубине h. К внутренней поверхности выработки приложено равномерное давление р. Задача решается в безразмерном виде в цилиндрической системе координат.
Как и ранее пространство с выработкой моделируется невесомой бесконечной пластиной с круговым отверстием радиуса а. К внутреннему контуру отверстия приложена равномерно распределенная нагрузка р0, Йа бесконечности напряжения в пластине достигают величины Р0 = h0g, g объемный вес породы. Предполагается, что Р0, р0 изменяются с течением времени по закону Система уравнений, описывающих напряжённо-деформированное состояние, в соответствии с (1.1.5), (1.1.7), (1.1.17)-(1.1.18), имеет следующий вид. 107 Соотношения для полных деформаций Как и ранее, предположим, что искомые функции представимы в виде Решая уравнение (3.2.11) и учитывая (3.2.12), получаем компоненты напряжений в упругой области Предположим При этом функция нагружения тождественно удовлетворяется. С учётом (3.2.15) уравнения ассоциированного закона пластического течения примут вид 109 Из соотношений (3.2.15), (3.2.17) выводим зависимость компонент тензора напряжений от деформаций в пластической области. (0) t Таким образом, соотношения (3.2.13)-(3.2.14), (3.2.21)-(3.2.24), с учётом уравнений (3.2.8) полностью описывают напряжённо-деформированное состояние рассматриваемой задачи. Как видно из графиков (рис. 3.2.16, рис.3.2.26) изменения величины а , увеличение скорости дилатансии (ассоциированной сжимаемости материала) способствует увеличению пластической зоны, что согласуется с результатами, полученными в гл.2., 1.
Рассмотрим задачу об определении напряжённо-деформированного состояния толстой пластины ослабленной эллиптическим отверстием, с полуосями a(l Рис. 3.3.1. На бесконечности действуют взаимно-ортогональные растягивающие напряжения интенсивности Pl= gh, Р2= %Р\ (h- глубина заложения выработки, g - объёмный вес вышележащих пород, X - коэффициент бокового отпора). На контур отверстия действует нормальное давление интенсивности /V Решение ищется в безразмерных переменных. При этом ! Рг І PQ ! как и ранее, представимы в виде Р\ - Р\ + 2-і Л е ы tukt+yk К - предел пластичности материала. Величины ди d - характеризуют отклонение от невозмущённого состояния. Уравнение контура отверстия представим в виде [32, 146] В нулевом приближении согласно [17] имеет место осесим метричн ое состояние пластины. При этом компоненты напряжений и перемещений в упругой и пластической областях определяются в соответствии с (3.2.13)-(3.2.14), (3.2.16), (3.2.21)-(3.2.24). Граничные условия на внутреннем контуре полости, на бесконечности, а также условия сопряжения на упруго-пластической границе, в соответствии с [17, 32, 146] запишутся в следующем виде при г = Здесь квадратные скобки обозначают разницу компонент упругой и пластической составляющей. Введём [32, 146] функцию напряжений Эри Э. Тогда компоненты напряжений в первом приближении, первой итерации запишутся так учётом уравнений (3.2.8) полностью описывают напряжённо-деформированное состояние рассматриваемой задачи. Как видно из графиков (рис. 3.2.16, рис.3.2.26) изменения величины а , увеличение скорости дилатансии (ассоциированной сжимаемости материала) способствует увеличению пластической зоны, что согласуется с результатами, полученными в гл.2., 1.
Рассмотрим задачу об определении напряжённо-деформированного состояния толстой пластины ослабленной эллиптическим отверстием, с полуосями a(l Рис. 3.3.1. На бесконечности действуют взаимно-ортогональные растягивающие напряжения интенсивности Pl= gh, Р2= %Р\ (h- глубина заложения выработки, g - объёмный вес вышележащих пород, X - коэффициент бокового отпора). На контур отверстия действует нормальное давление интенсивности /V Решение ищется в безразмерных переменных. При этом ! Рг І PQ ! как и ранее, представимы в виде Р\ - Р\ + 2-і Л е ы tukt+yk К - предел пластичности материала. Величины ди d - характеризуют отклонение от невозмущённого состояния. Уравнение контура отверстия представим в виде [32, 146] В нулевом приближении согласно [17] имеет место осесим метричн ое состояние пластины. При этом компоненты напряжений
