Содержание к диссертации
Введение
1 Построение аналитическими методами собственных решений для кругового конуса и анализ на их основе сингулярности напряжений 28
1.1 Математическая постановка задачи о характере сингулярности напряжений в вершине кругового конуса 28
1.2 Построение собственных решений для кругового конуса аналитическими методами 31
1.3 Исследование характера сингулярности напряжений в вершине кругового конуса при различных вариантах краевых условий на боковой поверхности конуса 49
2 Численные методы построения собственных решений для конических тел 62
2.1 Численный метод построения собственных решений для конических тел на основе классической постановки задач теории упругости в перемещениях 62
2.2 Вариант численного метода, основанный на возможности представления собственных решений в виде ряда Фурье 66
2.3 Вариант численного метода построения собственных решений в окрестности особых точек в упругих телах из несжимаемого или слабосжимаемого материалов 69
2.4 Основные особенности алгоритма численной реализации и его апробация на тестовых задачах 72
3 Исследование сингулярности напряжений в вершине круговых и некруговых, однородных и составных конических тел 80
3.1 Некруговой конус 80
3.2 Исследование характера сингулярности напряжений в вершине полого конуса 88
3.3 Численный анализ сингулярности напряжений в вершине составного конуса 94
3.4 Сингулярность напряжений в вершине составного кругового конуса с внутренней особой точкой 97
Выводы по работе 100
- Построение собственных решений для кругового конуса аналитическими методами
- Исследование характера сингулярности напряжений в вершине кругового конуса при различных вариантах краевых условий на боковой поверхности конуса
- Вариант численного метода построения собственных решений в окрестности особых точек в упругих телах из несжимаемого или слабосжимаемого материалов
- Численный анализ сингулярности напряжений в вершине составного конуса
Введение к работе
Одно из наиболее характерных свойств эллиптических уравнений, к которым принадлежат и уравнения Ламе, состоит в гладкости решения, если граница области, краевые условия и исходные данные, определяемые коэффициентами уравнений, гладкие. При нарушении этих условий в решениях могут появляться особенности. Точки нарушения указанных условий называются особыми. В задачах теории упругости особенность решения проявляется в появлении бесконечных напряжений в точках границы, где имеет место нарушение гладкости поверхности, смена типа краевых условий или контакт различных материалов. Особые точки могут иметь место не только на границе, но и внутри области, где нарушается гладкость поверхности контакта различных материалов.
Анализ расчетных схем различных прикладных задач теории упругости позволяет сделать вывод о том, что особые точки различного типа встречаются достаточно часто. Необходимо отметить, что сингулярные решения являются следствием идеализации реального объекта при построении расчетных схем. Практическая значимость этих решений состоит в том, что окрестность особых точек является, как правило, зоной ярко выраженной концентрации напряжений.
Наличие особых точек значительно усложняет построение решения, адекватного реальной картине распределения напряжений и деформаций. В работе Каландии [17] установлено, что даже при гладких краевых уело-
виях в нерегулярных точках границы возможно появление неограниченных (сингулярных) напряжений. Круг упругих задач с нерегулярной границей, для которых может быть найдено точное решение довольно узок. При применении же приближенных методов, аналитических или численных, возникает ряд проблем. Если необходимые условия наличия особенности выполнены, то эта особенность обязательно будет проявляться во всех решениях, полученных приближенными методами, либо большими значениями напряжений, либо большими градиентами напряжений в особых точках, что определяется свойствами выбранного аппроксимирующего базиса. Таким образом, наличие больших напряжений либо градиентов напряжений в особых точках говорит о возможности сингулярности, и решение в их окрестности нуждается в дополнительном исследовании.
В работе Гринченко [14] был сделан вывод, что для получения достоверных значений напряжений в нерегулярных точках границы помимо краевых условий необходима некоторая дополнительная информация, отражающая физическую сущность рассматриваемой задачи. В работе Во-ровича И.И. [9] для выделения класса физически осмысленных решений, обладающих свойством единственности, используется принцип возможных перемещений и условие конечности энергии. На основе строгого анализа задачи установлено, что этого условия достаточно для вскрытия характера решений в особых точках границы.
Большой вклад в исследование поведения решений общих краевых задач (и, следовательно, задач теории упругости) в окрестности нерегулярных точек границы внесли Кондратьев В.А., Мазья В.Г., Пламеневский Б.А, Эскин Г.И. [19], [128], [129], [130], [97]. Они показали, что решение
в окрестности этих точек представляется в виде асимптотического ряда бесконечно дифференцируемой функции. Слагаемые этого ряда содержат специальные решения однородных краевых задач для модельных областей (для конуса, если на поверхности коническая точка, для клина, если угловая линия). Эти решения зависят только от локальных характеристик (величины телесного и плоского угла и типа краевых условий).
В работе [19] показано, что для уравнений линейной теории упругости в окрестности угловых точек имеет место асимптотическое представление
г ~ ]Г Кк/кгХк-г, г -+ О, с < Re\i < Re\2 <...< Re\k < ...
fe=i
(или более сложное, с логарифмическими составляющими в случае кратных точек спектра Л^). Здесь г - расстояние до угловой точки, Кк - коэффициенты интенсивности, fk - функции углового распределения поля напряжения т в окрестности угловой точки. В плоском случае /& зависят от одной полярной угловой переменной (р при с = 0, в пространственном -от двух сферических (р, в при с = —0.5.
В некоторых случаях, асимптотическое решение может быть точно построено, в частности, если мы рассматриваем специальную геометрию и свойства материалов [177], [107], [63], [83].
В монографии В.З. Партона, П.И. Перлина [48] изучены особые решения уравнений теории упругости, установлен их математический и физический смысл, проведен анализ результатов многочисленных работ, посвященных проблеме особых решений.
Задача определения напряженно-деформированного состояния в окрестности угловой точки распадается на две: задачу построения сингу-
лярных решений и задачу определения коэффициентов при сингулярных решениях (коэффициентов асимптотики).
Неизвестные коэффициенты асимптотики, называемые коэффициентами интенсивности напряжений (КИН), играют существенную роль в механике разрушения. Задача их определения в общей математической постановке рассмотрена в работе Мазьи В.Г. и Пламеневского Б.А. [131].
Для двумерных клиньев вычисление интенсивности напряжений вблизи их вершины оказывается сравнительно простым [104], [77], [180]. Отдельные работы [93], [95], [152] посвящены определению точной структуры упругого поля вблизи вершины тела (задача на собственные вектора и собственные значения). Например, Чен [74] получил собственные значения и собственные вектора для клина, составленного из двух материалов, с помощью метода комплексных функций. В работе [65], [66] вычислены КИН в вершине четверти трещины в полубескоиечном пространстве. Для анализа коэффициентов асимптотики в составных клиньях используются различные подходы, такие как: метод конечных элементов с использованием сингулярных конечных элементов [167],[77]; метод граничных интегральных уравнений [72]; численный метод основанный на известных аналитических функциях (метод экстраполяции) [137]; метод интегрирования по контуру в сочетании с МКЭ [154].
Для нахождения неизвестных коэффициентов напряжений в вершине различных видов трещин возможно использование сингулярных конечных элементов [173], [174], [108], [120], [124], [160]. Работа [179] посвящена вычислению КИН с использованием метода граничных элементов (МГЭ) в межплоскостной трещине.
Небольшое количество работ, в частности [117], посвящено вычислению интенсивности напряжений для трехмерных составных клиньев с различной геометрией и материальными характеристиками, за исключением трещины. В работе [119] вычисляется интенсивность напряжений вблизи вершин трехмерных клиньев с помощью М-интеграла двух состояний. Для трехмерных трещин (пересечение фронта трещины и свободной поверхности) возможно использование J-интеграла для вычисления углового коэффициента интенсивности напряжений [139]. Вариационный метод Ритца применяется к трехмерной задаче о прямоугольном разрезе (трещине нормального отрыва) вблизи ребра упругого клина [6]. Сделан расчет КИН для трех типов граничных условий на гранях клина. Интенсивность напряжений угловой трехмерной сингулярности получена в работе [118] для вершины поперечной трещины, ограниченной свободной плоскостью в слоистых композиционных материалах. В работе [8] произведены расчеты КИН для конуса с дисковой трещиной.
В работах [53], [72], [117],[153] приведено обоснование использования критического значения коэффициента интенсивности в качестве критерия разрушения в угле поверхности раздела составного клина.
Однако какой бы подход не использовался при определении неизвестных коэффициентов, для его реализации необходимо знать показатель сингулярности напряжений.
В двумерных задачах исследование сингулярности напряжений связано с анализом напряженного состояния в окрестности вершины плоских клиньев и в вершине трещины на границе раздела составной плоскости. За почти полувековую историю решения этих задач рассмотрены почти
все возможные варианты клиновидных тел: однородные, составные, изотропные, анизотропные, при различных граничных условиях, окрестность внутренней особой точки (сумма углов, составляющих клин, равна 360), клинья из пьезоматериалов и т.д. [57], [68], [69], [70], [71], [169], [113], [84], [88], [89], [101], [137], [98], [75], [75], [166], [74], [112], [127], [184], [56], [79], [182], [81], [102], [149]. Были получены решения для трещины в изотропном материале [145], [106], межплоскостной трещины [178], [155], [98], [103], [165], трещины в вязкоупругой среде [134]. Для двумерных задач проблема построения сингулярных решений практически закрыта.
При решении этих задач доминировали два аналитических подхода. Один из них связан с построением решений, удовлетворяющих однородным уравнениям равновесия и однородным граничным условиям для областей, содержащих особые точки. Первой из работ этого подхода была статья Ви-льямса [177]. При другом подходе применяются преобразования Меллина [133] и теория вычетов, как, например, в работах [67], [39], [101], [175]. Оба подхода приводят рассматриваемую задачу к трансцендентному (характеристическому) уравнению относительно показателя сингулярности, которое имеет счетное множество корней, в общем случае комплексных, как с положительными, так и с отрицательными действительными частями.
Решения с неограниченными смещениями (Re\k < 0) приводит к напряжениям, порядок бесконечности которых в особой точке больше единицы. Поэтому условие конечности энергии деформации оказывается нарушенным, в силу чего эти решения исключаются из дальнейшего рассмотрения.
Для оценки характера сингулярности напряжений важно знать чис-
ло корней характеристического уравнения, для которых ReXf. < 1. При наличии таких корней вероятность реализации напряженного состояния с бесконечной особенностью в точке тем больше, чем больше их число. При исследовании поля напряжений с качественной стороны важно знать характер первых корней этого уравнения (комплексные они или действительные).
Следует заметить, что нахождение корней трансцендентного уравнения представляет собой самостоятельную довольно трудоемкую задачу, которая находится под пристальным вниманием исследователей, стремящихся создать наиболее оптимальный алгоритм его численной реализации.
Обобщая результаты исследований о характере распределения напряжений в окрестности особых точек для плоской задачи Боджи Д.Б. [4] показал, что при г —> 0 (г -расстояние от особой точки) поле напряжений имеет особенность порядка
0(гЛі_1), если Лі действительно;
0[r^1~lcos(r)i\nr) или r^1_1sm(?7i lnr)], если Лі = i + irji комплексно;
< 0(гЛі Чпг), если трансцендентное уравнение > D = 0 не имеет нулей в полосе 0 < ReX < 1,
dD d\
= 0 при Л = 1;
0(1), если D не имеет нулей в полосе 0 < ReX < 1 и ^ ф 0 при Л = 1,
где Лі- корень трансцендентного уравнения D = 0 в полосе 0 < ReX < 1 с минимальной действительной частью.
Таким образом, допускается два типа сингулярности напряжений: бесконечные напряжения и те напряжения, которые сами являются ограниченными, но имеют бесконечные производные. Второй тип сингулярности, или так называемая логарифмическая сингулярность, рассмотрен в работах [142], [171], [76] . Аналитически этот тип сингулярности изучен в [159] с использованием преобразования Меллина и в [84] - с использованием функции напряжений Эри. Если сингулярность напряжений существует^ пропорциональна гл, то граничные условия вблизи для клина г = О являются однородными. Логарифмическая сингулярность напряжений может появиться при неоднородных граничных условиях вблизи г = 0 [171]. Сарг-сян [50] исследовал вопрос о возможности появления логарифмической особенности напряжений в антиплоских задачах теории упругости для клина в зависимости от вида граничных условий и величины угла раствора клина. Получены условия, при которых в окрестности вершины клина напряжения имеют логарифмическую особенность. В работе [142] сделан вывод, что сингулярность напряжений логарифмического типа в угловых точках полигонального включения устраняется лишь для квадратного включения определенной ориентации.
Необходимо сделать вывод, вытекающий из обзора по исследованию сингулярности напряжений в особой точке границы тела. Он состоит в том, что проблема изучения сингулярности напряжений в трехмерных телах аналитическими методами не получила должного развития. Имеется лишь небольшое число исследований, посвященных данной проблеме.
Для трехмерных задач можно выделить два класса объектов. Первый - это ребро пространственного клина (ребро не обязательно прямолинейное, угол раствора клина может изменяться вдоль ребра), второй - вершина многогранного клина или вершина конуса. Интерес к первой проблеме был исчерпан результатами ряда работ. Одной из первых была работа [39]. Здесь было показано, что решение плоской и антиплоской задач для клиньев, получаемых в плоскостях, перпендикулярных ребру пространственного клина, определяет вид сингулярности напряжений в точках ребра, через которые проходит соответствующая плоскость. Авторы работы [123] исследуют сингулярность напряжений на границе осесимметричного соединения, состоящего из двух скрепленных усеченных конусов. Асимптотическое распределение напряжения в этом случае может быть различным при осесимметричной деформации и при плоско-деформируемом состоянии, при этом сингулярность напряжений одинакова. Основное решение основывается на решении Буссинеска [170]. Авторы работ [141], [125] на основе подхода Вильямса исследуют сингулярность напряжений в осесим-метричных скрепленных соединениях (внутренняя особая точка). В плоском случае показатели сингулярности напряжений зависят от угла соединения и параметров Дандерса, в трехмерном случае поле сингулярных напряжений определяется коэффициентами Пуассона и отношением коэффициентов сдвига.
Работы, посвященные исследованию сингулярности напряжений в вершине многогранного клина или в вершине конуса, стали появляться в последние годы.
После применения подхода Вильямса исходная задача о характере
сингулярности напряжений в вершине кругового конуса при нулевой гармонике распадается на две: осесимметричную задачу и задачу на кручение. Интересен факт, что для задачи на кручение для всех углов раствора конуса все собственные значения являются действительными и никогда не бывают меньше единицы, то есть сингулярности напряжения не возникает.
В случае, когда компоненты не зависят от угловой координаты в уравнения равновесия приводятся к дифференциальному уравнению Лежапдра [126]. Решениями данного уравнения являются функции Лежапдра.
Для исследования особенностей кусочно-однородной среды с поверхностью раздела сред в виде кругового конуса использовался метод представления перемещений через гармонические функции (представления Папковича-Нейбера) [148].
Трехмерные задачи о сингулярности напряжений для конических выточек или включений (или вершина конуса) были изучены аналитически в работах [19], [62], [148], [163], [116], [150], [140], [48].
Базант и Кир [62] показали, что твердое коническое включение порождает более сильную сингулярность напряжений в его вершине, чем коническая выточка тех же размеров (конус с углом раствора больше 90). Это утверждение сохраняет значимость, даже если включение находится в трансверсально изотропном материале.
В работе [115] на основе построенного аналитического решения была исследована сингулярность напряжений в вершине однородного кругового конуса при однородных граничных условиях в напряжениях и перемещениях на боковой поверхности в трехмерной постановке. Здесь при использовании представления решения в виде ряда Фурье по окружной координате
были получены аналитические решения для всех гармоник ряда Фурье.
В работе Морозова Н.Ф. [7] методом интегральных преобразований (Меллина в случае статики и Лебедева-Конторовича в случае динамики) строятся аналитические решения задач о кручении упругого кругового конуса. В предположении, что внешние силы сосредоточены в окрестности вершины конуса, исследуется асимптотика дальнего поля. Попов Г.Я. исследует задачу о кручении упругого однородного и составного конуса при наличии центра вращения у острия конуса [49].
Денисюк И.Т. [15] исследует упругое равновесие среды с коническими включениями. Это предполагает знание локального напряженного состояния вблизи особых точек.
Некоторые несимметричные конфигурации были изучены аналитически. Используя методы, основанные на теории потенциала, Кир и Парихар [146], [147] исследовали трехмерную сингулярность напряжений в углах штампов, клиновидных трещин и пирамидальных выточек в изотропном материале. Для многих из этих случаев показатели сингулярности оказались больше показателя сингулярности в вершине трещины, равного -0.5 [90]. Интересно, что это аналитическое решение такое же и для трещины в анизотропном материале [161]. В работах [176], [172] получено решение для трещины между плоскостями клина, выполненного из различных анизотропных композиционных материалов, со свободными гранями и с внутренней особой точкой [78].
Полуаналитический подход для нахождения показателей сингулярности напряжений в угловой точке свободной поверхности с фронтом трещины в трехмерном случае (вершина четверть-бесконечной трещины в по-
лупространстве) был представлен в работах [65], [66]. Было показано, что показатель сингулярности зависит от коэффициента Пуассона v. В работе [82] был предложен полуаналитический метод для вычисления показателей сингулярности и функций углового распределения поля напряжения т в окрестности угловой точки многогранного клина для трех основных типов краевых условий, для изотропных и анизотропных материалов.
Для решения трехмерных задач о сингулярности напряжений, в подавляющем большинстве используются различные варианты численных методов. Работы, посвященные задачам этого направления, стали появляться в основном в последние годы и их классификацию можно осуществить по двум признакам: геометрия рассматриваемой области, вариант численного метода. По геометрии можно выделить следующие объекты: многогранный (в т.ч. трехгранный) клин [24], [13], конус [115], [62], трещина [91], угол Фикера [54].
Под углом Фикера понимается трехмерная область, которая может быть описана как куб, из которой удален куб меньшего размера [54], или угол тела между тремя непараллельными плоскостями [85].
Можно выделить работы, направленные па вычисление показателей сингулярности напряжений для различной геометрии поверхностного угла в однородных материалах [60], [65], [93] и для угловых точек фронта трещин, расположенных в плоскости соединения двух разнородных материалов [164], [58], [93]', [95], [152], [109], [96].
Процедуры исследования сингулярности напряжений в трехмерных телах, как правило, основаны на дискретных методах: метод конечных элементов (МКЭ) [16], метод граничных элементов (МГЭ) [5].
Базант [60] первый разработал основную численную процедуру для определения трехмерной сингулярности напряжений, используя МКЭ. Позднее Базант и Естенсорро [61] расширили этот метод для определения порядка сингулярности напряжений в вершине прямолинейной трещины, выходящей на поверхность. Сомаратна и Тинг [164] обобщили конечно-элементную схему, разработанную в [61], для исследования угловых трещин в анизотропных материалах. Авторами были получены показатели сингулярности напряжений в слоистых композиционных материалах. В работе [99] были включены еще и динамические эффекты. Необходимо отметить несколько важных работ, касающихся точности метода [93], [95]. Накамура и Парке [139] исследовали трехмерное напряженное состояние в окрестности фронта сквозной трещины изотропной пластины, используя МКЭ и получили зависимость сингулярности напряжений от коэффициента Пуассона около пересечения фронта трещины и свободной поверхности. Также МКЭ применяется для исследования трехмерных клиньев, выполненных из анизотропных материалов [143], [144], [181]. Итерационный МКЭ был предложен авторами работы [57], [58].
Отметим, что МКЭ для исследования задачи сингулярности напряжений изначально был развит для изотропных материалов [61], и затем появились приложения для анизотропных материалов [164].
В работе [111] с помощью МГЭ был выполнен анализ трехмерных соединений (или многогранных клиньев) и показано, что порядок сингулярности напряжений в вершине трехмерного соединения более высокий, чем в вершине плоского соединения. Эти же результаты с помощью МКЭ были получены Лабосьером [117]. Зная значение показателя сингулярно-
сти, можно оценить коэффициент интенсивности напряжений в вершине соединения из распределения напряжений, полученного МГЭ и МКЭ, рассматривая сингулярность напряжений как интерполяционную функцию. Более того, когда показатель сингулярности напряжений определяют на плоскости параметров Дандерса, то возможно получить КИН для различных типов материалов. В работе [ПО] впервые исследован показатель сингулярности напряжений в вершине прямоугольного параллелепипеда и затем изображена плоскость параметров Дандерса, которые определяются из трехмерного напряженного состояния. Показано, что показатель сингулярности в трехмерных соединениях (клиньях) зависит от модулей упругости материалов.
В работе [91] разработан комбинационный метод численного решения пространственных задач механики разрушения, в котором МГЭ использован для анализа поля напряжений в окрестности концевой зоны трещины, а МКЭ - для расчета напряжений и деформаций в остальной части рассматриваемого тела.
Следует отметить, что численный метод по сравнению с аналитическим методом имеет более широкие возможности, например, при анализе сингулярности напряжений в неоднородных или анизотропных телах, при смешанных краевых условиях.
Авторы работы [13] рассматривают удобную классификацию численных методов, связанную с вариантом дискретизации исходной задачи. При данной классификации численные методы делятся на три группы: прямая аппроксимация исходной задачи (дискретизация по трем переменным); МГЭ [111] или выделение в искомом решении гЛ в явном виде (дискрети-
зация по двум переменным) [24]; применение преобразования Меллина к исходным двумерным граничным интегральным уравнениям (сведение исходной задачи к одномерным интегральным уравнениям) [12].
Первый подход приводит к системам линейных алгебраических уравнений большой размерности, решение которых требует значительных вычислительных затрат. Используются специальные сингулярные элементы и специальные базисные функции [21], [184], [143], [77], [57], [64], [160], [100].
Второй подход является самым распространенным при вычислении конкретных характеристик сингулярности напряжений [168], [25], [54], [152], [121], [61], [98], [85], [119], [52], [183].
Третий подход предложен для определения особенности контактных напряжений в вершине клиновидного штампа и обобщен затем на случай клиновидных трещин, трещин, выходящих на поверхность, и произвольных многогранных углов [1], [159], [96].
Для численной реализации полученных уравнений с помощью второго подхода возможно использование метода Галеркина [25], [85], [51], вариационного принципа Лагранжа [152], [166], принципа минимума потенциальной энергии [119], [118], [164], [93]. Далее для численного решения возможно применение метода граничных элементов, метода конечных элементов и метода конечных разностей.
Приемы численного решения с использованием МГЭ на сгущенных сетках и граничного интегрального метода разработаны в работах [159] и [96], соответственно.
Исходная задача теории упругости сводится к квадратичной задаче на собственные значения в форме (А2М + XG + К)и = 0 , где К, G, М
- несимметричные квадратные матрицы, и - собственный вектор узловых перемещений [55], [164], [93], [162], [132]. Общая схема сведения квадратичной задачи к линейной приведена в работе [93].
Спектральные свойства задач на собственные значения для системы уравнений Ламе изучались в [114], [115], [116].
При дискретизации полученных интегральных уравнений в подавляющем большинстве работ используются треугольные [25], [93], [95] и четырехугольные Лагранжевы элементы [152], [119], [164] с линейной и квадратичной аппроксимацией.
Процедура МКЭ сводит поставленную задачу к отысканию комплексных собственных значений Л и собственных векторов алгебраической несимметричной матрицы, имеющей ленточную структуру. Для решения полученной алгебраической проблемы комплексных собственных значений используются различные методы и подходы.
В настоящее время широкое распространение для вычисления собственных значений получил метод Арнольди [157], [85]. В работе [54] рассматривается метод Арнольди в неявном виде. Другой подход связан с вычислением собственных значений с помощью метода Мюллера [25], [136], [92]. В работе [119] используется метод обратных итераций, который очень эффективно применяется для расчета собственных векторов. По мнению авторов работы [152], для неосесимметричной задачи нахождение собственных значений возможно только путем сканирования комплексной плоскости [82].
Точки, в которых пересекаются две или более кривых собственных значений, называются точками пересечений, а точки, в которых два дей-
ствительных собственных значения становятся парой комплексных сопряженных собственных значений называются точками бифуркаций. Помимо вычислений самих собственных значений, существует и проблема определения точек пересечений и бифуркаций. В частности, собственные значения с геометрической кратностью, которая отлична от алгебраической кратности, являются причиной неустойчивостей асимптотического разложения поля перемещений, известного как парадокс Стенберга- Койтера [54], [156].
С использованием вышеописанных методов и подходов были получены решения для различных задач теории упругости.
Задача о клиновидной выточке или включении в упругом пространстве была изучена в [147] с использованием метода граничных интегральных уравнений.
В работе Глушкова [2] разработанный для клиновидных штампов и обобщенный для произвольных многогранных углов метод выделения сингулярных составляющих линейно-упругого решения в окрестности угловых точек тела применяется для исследования особенностей угловых точек фронта трещин, расположенных в плоскости соединения двух разнородных материалов. Метод основан на сведении с помощью преобразования Мел-лина эталонных трехмерных краевых задач к спектральным задачам для одномерного интегрального оператора. В рамках данного подхода выведен вид интегрального оператора для рассматриваемой задачи, осуществлена компьютерная реализация и проведен численный анализ зависимости характеристик сингулярного разложения как от раствора угла трещины, так и от соотношения упругих свойств материала.
Для решения задачи угловой сингулярности в вершине пирами-
дального включения используется метод двумерных граничных уравнений [159]. С помощью этого подхода в [158] были получены известные численные результаты для случая конической выточки или включения [148], угла Фикера [163] и клиновидной выточки в полупространстве [61].
Используя подход Вильямса, исследован характер сингулярности напряжений в вершине кругового полубесконечного изотропного конуса при различных граничных условиях (нулевые напряжения или нулевые перемещения на боковой поверхности), а именно, найдены зависимости действительной части собственных значений от угла раствора конуса [62], [54], [85]. В работе [54], [85] для круглого конуса были определены собственные значения для угла раствора конуса 120 и коэффициента Пуассона v = 0.3. В работе [62] методом конечных разностей получены результаты для осе-симметричной задачи и задачи на кручение для кругового конуса.
В работах [54], [85], [98] исследована зависимость собственных значений от материальных параметров для вершины Фикера при различных вариантах граничных условий. В работе [85] рассмотрена задача о характере сингулярности напряжений для двух поверхностей ортогональных третьей (угол Фикера). Решение является функцией угла между двумя плоскостями. Данная задача решена для однородного материала {у = 0.3) и для двух материалов с соотношением модулей Юнга равным 10 [ExfEi = 10). Подобная задача рассматривалась в работе [54] при заданных нулевых напряжениях на боковых поверхностях. Получены собственные значения в зависимости от различных материальных параметров (и,Е). Также получено решение для изотропного материала и граничных условий в перемещениях [159].
Подавляющее число работ посвящено изучению характера сингулярности напряжений на кончике трещины, выходящей на поверхность [59]. Рассмотрены задачи для разных типов граничных условий, углов пересечения трещины с поверхностью и материальных параметров. В работах [85], [122], [54], [152], [12] получены зависимости собственных значений от различных углов фронта трещины и коэффициентов Пуассона для изотропного материала. Относительно плоскости трещины получается одно симметричное и два антисимметричных решения. Симметричное решение является действительным для всех собственных значений и коэффициентов Пуассона. Два антисимметричных решения являются комплексно-сопряженными. Частный случай для а = 90 (четверть трещины в полубесконечном пространстве) изучен в работах [54], [61], [85], [159], [164], [93]. В данных работах исследовалась зависимость собственных значений при различных коэффициентах Пуассона.
Для клиновидной трещины на поверхности раздела двух материалов при граничных условиях в напряжениях получены следующие результаты. Были найдены показатели сингулярности напряжений для различных соотношений модулей Юнга и коэффициента Пуассона v = 0.3 [85], [54].
Среди трехмерных тел вызывают интерес такие точки, как вершина многогранного клина, в которых задача анализа особенности напряжений не сводится к рассмотрению двумерных задач. Развитие работ этого направления можно проследить в [24], [13], [25]. Также показатели сингулярности напряжений в вершине трехмерных клиньев обсуждаются в работах [110], [152], [95], [93], [59], [164], [61], [65], [66]. В работе [80] решается задача на основе представления Лехницкого, учитывающего плоскую и ан-
типлоскую деформации. На гранях клина заданы нулевые напряжения, и показатели сингулярности напряжения разыскиваются с помощью подхода Вильямса. Для показателей сингулярности получено трансцендентное уравнение, решение которого исследуется как функция угла раствора клина. Изучена зависимость показателя от материальных констант (модуль Юнга, модуль сдвига) и ориентации волокон. На основе МКЭ в сочетании с методом Стеклова в работе [183] вычислены собственные значения и собственные вектора для соединений из различных материалов с различными видами граничных условий, трещины в разнородных материалах. Димитров и др. исследуют трехмерную сингулярность вблизи окрестности углов в слоистых композитных материалах [86]. С использованием преобразования Меллина исследована сингулярность напряжений от материальных констант и геометрических параметров V- и Т-образных соединений [135]. Известно, что концентрация напряжений на линии контакта тройных соединений, вызванная температурной или упругой анизотропией волокон, играет главную роль в появлении трещины. В работе [94] проанализирована концентрация напряжений в тройном соединении, вызванная упругой анизотропией, и показано, что концентрационный эффект намного сильнее в трехмерном случае, чем подобный, полученный в плоской конфигурации. Пику и Гупта [151], используя МКЭ, изучили сингулярность напряжений в точке пересечения линии контакта тройного соединения со свободной поверхностью в однофазных поликристаллах. В более поздней работе этих авторов [152] можно найти исследование зависимости показателей сингулярности напряжений от различных углов и различных материалов тройного соединения.
Точка пересечения фронтов трехмерных трещин называется угловой точкой. В работе [138] излагаются результаты подробного расчета сингулярности напряжений в угловой точке для сквозной и полукруглой трещин при нагружении по моде П. Обсуждаются специфические признаки локальных напряжений по результатам конечно-элементного расчета.
В работе Матвеенко В.П. и др. [26] был изложен метод, позволяющий получить результаты о характере сингулярности напряжений в вершине конуса с эллиптическим основанием при однородных краевых условиях.
Рассматривая работы, посвященные анализу сингулярности напряжений в трехмерных телах, можно отметить относительно небольшой (по сравнению с двумерными задачами) объем полученных численных результатов. Это стимулирует как развитие новых методов и алгоритмов решения рассматриваемой проблемы, так и решение новых задач.
Целью работы является разработка аналитических и численных методов для оценки характера сингулярности напряжений в вершинах различных вариантов конусов и анализ на основе этих методов сингулярности напряжений при различных геометрических и механических параметрах.
Научная новизна работы состоит в том, что:
Разработан аналитический метод построения собственных решений для круговых сплошных конусов и на его основе получены численные результаты о характере сингулярности напряжений в вершине конуса при различных граничных условиях на боковой поверхности, в т.ч. при смешанных граничных условиях.
Предложен численно-аналитический метод и алгоритмы его числен-
ной реализации для расчета показателей сингулярности в вершине конических тел на основе классической постановки задачи теории упругости в перемещениях и вариант метода на основе постановки задачи теории упругости в перемещениях, применимой как для сжимаемых, так и для несжимаемых материалов.
3. Впервые выполнено численное исследование характера сингулярности напряжений в вершине конуса с эллиптическим основанием, полого конуса, составного конуса, конуса с внутренней особой точкой при различных граничных условиях на боковых поверхностях.
Достоверность подтверждается сравнением отдельных полученных численных и аналитических результатов с известными решениями, а также численными экспериментами, иллюстрирующими сходимость вычислительных процедур.
Практическая значимость полученных результатов определяется разработанными алгоритмами и программами для расчета показателей сингулярности напряжений в вершинах различных типов конических тел, а также полученными численными результатами, позволяющими оценивать характер напряженного состояния в вершинах конических тел в зависимости от их геометрии и механических характеристик материалов.
Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались на: конференции молодых ученых по механике сплошных сред, посвященной 80-летию со дня рождения чл.-корр. АН СССР А.А. Поз-деева "Поздеевские чтения" (Пермь, 2006г.); IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006г.); III Все-
российской конференции, посвященной памяти академика А.Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо, 2006г.); конференции молодых ученых "Неравновесные процессы в сплошных средах" (Пермь, 2006г., 2007г.); 15-ой Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 2007г.); XV международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Алушта, 2007г.); XXXV International Summer School "Advance problem in mechanics" (St. Petersburg, 2007г.); Международной конференции "XVIII сессия Международной школы по моделям механики сплошной среды" (Саратов, 2007г.); конференции молодых ученых "Актуальные проблемы математики, механики, информатики (Пермь, 2008г.); V Всероссийской конференции "Механика микронеоднородных материалов и разрушение" (Екатеринбург, 2008г.); 22nd International Congress of Theoretical and Applied Mechanics (Adelaide, Australia, 2008r.).
Структура работы. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
В первой главе приводятся математическая постановка задачи о характере сингулярности напряжений в вершине кругового конуса и результаты исследования характера сингулярности напряжений в вершине кругового конуса на основе аналитических решений.
Во второй главе для классической постановки задачи теории упругости в перемещениях разработан метод расчета показателей сингулярности напряжений в вершине круговых и некруговых конусов и алгоритм его численной реализации на основе метода конечных элементов. Разработан вариант численного метода расчета показателей сингулярности напряжений в вершине круговых конусов для задач, допускающих представление
решения в виде ряда Фурье. Разработан метод и алгоритм его численной реализации для расчета показателей сингулярности напряжений в вершине круговых и некруговых конусов для постановки задачи теории упругости, справедливой для всех коэффициентов Пуассона. Выполнены численные эксперименты, иллюстрирующие сходимость метода и его достоверность на основе сравнения с известными аналитическими и численными результатами.
В третьей главе приведены результаты исследований характера сингулярности напряжений в вершине конуса с эллиптическим основанием, составного конуса, полого конуса, конуса с внутренней особой точкой при различных вариантах граничных условий на боковых поверхностях.
Построение собственных решений для кругового конуса аналитическими методами
Одно из наиболее характерных свойств эллиптических уравнений, к которым принадлежат и уравнения Ламе, состоит в гладкости решения, если граница области, краевые условия и исходные данные, определяемые коэффициентами уравнений, гладкие. При нарушении этих условий в решениях могут появляться особенности. Точки нарушения указанных условий называются особыми. В задачах теории упругости особенность решения проявляется в появлении бесконечных напряжений в точках границы, где имеет место нарушение гладкости поверхности, смена типа краевых условий или контакт различных материалов. Особые точки могут иметь место не только на границе, но и внутри области, где нарушается гладкость поверхности контакта различных материалов. Анализ расчетных схем различных прикладных задач теории упругости позволяет сделать вывод о том, что особые точки различного типа встречаются достаточно часто. Необходимо отметить, что сингулярные решения являются следствием идеализации реального объекта при построении расчетных схем. Практическая значимость этих решений состоит в том, что окрестность особых точек является, как правило, зоной ярко выраженной концентрации напряжений. Наличие особых точек значительно усложняет построение решения, адекватного реальной картине распределения напряжений и деформаций. В работе Каландии [17] установлено, что даже при гладких краевых уело- виях в нерегулярных точках границы возможно появление неограниченных (сингулярных) напряжений. Круг упругих задач с нерегулярной границей, для которых может быть найдено точное решение довольно узок. При применении же приближенных методов, аналитических или численных, возникает ряд проблем. Если необходимые условия наличия особенности выполнены, то эта особенность обязательно будет проявляться во всех решениях, полученных приближенными методами, либо большими значениями напряжений, либо большими градиентами напряжений в особых точках, что определяется свойствами выбранного аппроксимирующего базиса. Таким образом, наличие больших напряжений либо градиентов напряжений в особых точках говорит о возможности сингулярности, и решение в их окрестности нуждается в дополнительном исследовании.
В работе Гринченко [14] был сделан вывод, что для получения достоверных значений напряжений в нерегулярных точках границы помимо краевых условий необходима некоторая дополнительная информация, отражающая физическую сущность рассматриваемой задачи. В работе Во-ровича И.И. [9] для выделения класса физически осмысленных решений, обладающих свойством единственности, используется принцип возможных перемещений и условие конечности энергии. На основе строгого анализа задачи установлено, что этого условия достаточно для вскрытия характера решений в особых точках границы. Большой вклад в исследование поведения решений общих краевых задач (и, следовательно, задач теории упругости) в окрестности нерегулярных точек границы внесли Кондратьев В.А., Мазья В.Г., Пламеневский Б.А, Эскин Г.И. [19], [128], [129], [130], [97]. Они показали, что решение в окрестности этих точек представляется в виде асимптотического ряда бесконечно дифференцируемой функции. Слагаемые этого ряда содержат специальные решения однородных краевых задач для модельных областей (для конуса, если на поверхности коническая точка, для клина, если угловая линия). Эти решения зависят только от локальных характеристик (величины телесного и плоского угла и типа краевых условий). В работе [19] показано, что для уравнений линейной теории упругости в окрестности угловых точек имеет место асимптотическое представление (или более сложное, с логарифмическими составляющими в случае кратных точек спектра Л ). Здесь г - расстояние до угловой точки, Кк - коэффициенты интенсивности, fk - функции углового распределения поля напряжения т в окрестности угловой точки. В плоском случае /& зависят от одной полярной угловой переменной (р при с = 0, в пространственном -от двух сферических (р, в при с = —0.5.
В некоторых случаях, асимптотическое решение может быть точно построено, в частности, если мы рассматриваем специальную геометрию и свойства материалов [177], [107], [63], [83]. В монографии В.З. Партона, П.И. Перлина [48] изучены особые решения уравнений теории упругости, установлен их математический и физический смысл, проведен анализ результатов многочисленных работ, посвященных проблеме особых решений. Задача определения напряженно-деформированного состояния в окрестности угловой точки распадается на две: задачу построения сингу- лярных решений и задачу определения коэффициентов при сингулярных решениях (коэффициентов асимптотики). Неизвестные коэффициенты асимптотики, называемые коэффициентами интенсивности напряжений (КИН), играют существенную роль в механике разрушения. Задача их определения в общей математической постановке рассмотрена в работе Мазьи В.Г. и Пламеневского Б.А. [131]. Для двумерных клиньев вычисление интенсивности напряжений вблизи их вершины оказывается сравнительно простым [104], [77], [180]. Отдельные работы [93], [95], [152] посвящены определению точной структуры упругого поля вблизи вершины тела (задача на собственные вектора и собственные значения). Например, Чен [74] получил собственные значения и собственные вектора для клина, составленного из двух материалов, с помощью метода комплексных функций. В работе [65], [66] вычислены КИН в вершине четверти трещины в полубескоиечном пространстве. Для анализа коэффициентов асимптотики в составных клиньях используются различные подходы, такие как: метод конечных элементов с использованием сингулярных конечных элементов [167],[77]; метод граничных интегральных уравнений [72]; численный метод основанный на известных аналитических функциях (метод экстраполяции) [137]; метод интегрирования по контуру в сочетании с МКЭ [154].
Исследование характера сингулярности напряжений в вершине кругового конуса при различных вариантах краевых условий на боковой поверхности конуса
При решении этих задач доминировали два аналитических подхода. Один из них связан с построением решений, удовлетворяющих однородным уравнениям равновесия и однородным граничным условиям для областей, содержащих особые точки. Первой из работ этого подхода была статья Ви-льямса [177]. При другом подходе применяются преобразования Меллина [133] и теория вычетов, как, например, в работах [67], [39], [101], [175]. Оба подхода приводят рассматриваемую задачу к трансцендентному (характеристическому) уравнению относительно показателя сингулярности, которое имеет счетное множество корней, в общем случае комплексных, как с положительными, так и с отрицательными действительными частями. Решения с неограниченными смещениями (Re\k 0) приводит к напряжениям, порядок бесконечности которых в особой точке больше единицы. Поэтому условие конечности энергии деформации оказывается нарушенным, в силу чего эти решения исключаются из дальнейшего рассмотрения. Для оценки характера сингулярности напряжений важно знать чис- ло корней характеристического уравнения, для которых ReXf. 1. При наличии таких корней вероятность реализации напряженного состояния с бесконечной особенностью в точке тем больше, чем больше их число. При исследовании поля напряжений с качественной стороны важно знать характер первых корней этого уравнения (комплексные они или действительные). Следует заметить, что нахождение корней трансцендентного уравнения представляет собой самостоятельную довольно трудоемкую задачу, которая находится под пристальным вниманием исследователей, стремящихся создать наиболее оптимальный алгоритм его численной реализации. Обобщая результаты исследований о характере распределения напряжений в окрестности особых точек для плоской задачи Боджи Д.Б. [4] показал, что при г — 0 (г -расстояние от особой точки) поле напряжений имеет особенность порядка где Лі- корень трансцендентного уравнения D = 0 в полосе 0 ReX 1 с минимальной действительной частью.
Таким образом, допускается два типа сингулярности напряжений: бесконечные напряжения и те напряжения, которые сами являются ограниченными, но имеют бесконечные производные. Второй тип сингулярности, или так называемая логарифмическая сингулярность, рассмотрен в работах [142], [171], [76] . Аналитически этот тип сингулярности изучен в [159] с использованием преобразования Меллина и в [84] - с использованием функции напряжений Эри. Если сингулярность напряжений существует пропорциональна гл, то граничные условия вблизи для клина г = О являются однородными. Логарифмическая сингулярность напряжений может появиться при неоднородных граничных условиях вблизи г = 0 [171]. Сарг-сян [50] исследовал вопрос о возможности появления логарифмической особенности напряжений в антиплоских задачах теории упругости для клина в зависимости от вида граничных условий и величины угла раствора клина. Получены условия, при которых в окрестности вершины клина напряжения имеют логарифмическую особенность. В работе [142] сделан вывод, что сингулярность напряжений логарифмического типа в угловых точках полигонального включения устраняется лишь для квадратного включения определенной ориентации. Необходимо сделать вывод, вытекающий из обзора по исследованию сингулярности напряжений в особой точке границы тела. Он состоит в том, что проблема изучения сингулярности напряжений в трехмерных телах аналитическими методами не получила должного развития. Имеется лишь небольшое число исследований, посвященных данной проблеме. Для трехмерных задач можно выделить два класса объектов. Первый - это ребро пространственного клина (ребро не обязательно прямолинейное, угол раствора клина может изменяться вдоль ребра), второй - вершина многогранного клина или вершина конуса. Интерес к первой проблеме был исчерпан результатами ряда работ. Одной из первых была работа [39]. Здесь было показано, что решение плоской и антиплоской задач для клиньев, получаемых в плоскостях, перпендикулярных ребру пространственного клина, определяет вид сингулярности напряжений в точках ребра, через которые проходит соответствующая плоскость.
Авторы работы [123] исследуют сингулярность напряжений на границе осесимметричного соединения, состоящего из двух скрепленных усеченных конусов. Асимптотическое распределение напряжения в этом случае может быть различным при осесимметричной деформации и при плоско-деформируемом состоянии, при этом сингулярность напряжений одинакова. Основное решение основывается на решении Буссинеска [170]. Авторы работ [141], [125] на основе подхода Вильямса исследуют сингулярность напряжений в осесим-метричных скрепленных соединениях (внутренняя особая точка). В плоском случае показатели сингулярности напряжений зависят от угла соединения и параметров Дандерса, в трехмерном случае поле сингулярных напряжений определяется коэффициентами Пуассона и отношением коэффициентов сдвига. Работы, посвященные исследованию сингулярности напряжений в вершине многогранного клина или в вершине конуса, стали появляться в последние годы. После применения подхода Вильямса исходная задача о характере сингулярности напряжений в вершине кругового конуса при нулевой гармонике распадается на две: осесимметричную задачу и задачу на кручение. Интересен факт, что для задачи на кручение для всех углов раствора конуса все собственные значения являются действительными и никогда не бывают меньше единицы, то есть сингулярности напряжения не возникает. В случае, когда компоненты не зависят от угловой координаты в уравнения равновесия приводятся к дифференциальному уравнению Лежапдра [126]. Решениями данного уравнения являются функции Лежапдра. Для исследования особенностей кусочно-однородной среды с поверхностью раздела сред в виде кругового конуса использовался метод представления перемещений через гармонические функции (представления Папковича-Нейбера) [148].
Вариант численного метода построения собственных решений в окрестности особых точек в упругих телах из несжимаемого или слабосжимаемого материалов
Денисюк И.Т. [15] исследует упругое равновесие среды с коническими включениями. Это предполагает знание локального напряженного состояния вблизи особых точек. Некоторые несимметричные конфигурации были изучены аналитически. Используя методы, основанные на теории потенциала, Кир и Парихар [146], [147] исследовали трехмерную сингулярность напряжений в углах штампов, клиновидных трещин и пирамидальных выточек в изотропном материале. Для многих из этих случаев показатели сингулярности оказались больше показателя сингулярности в вершине трещины, равного -0.5 [90]. Интересно, что это аналитическое решение такое же и для трещины в анизотропном материале [161]. В работах [176], [172] получено решение для трещины между плоскостями клина, выполненного из различных анизотропных композиционных материалов, со свободными гранями и с внутренней особой точкой [78]. Полуаналитический подход для нахождения показателей сингулярности напряжений в угловой точке свободной поверхности с фронтом трещины в трехмерном случае (вершина четверть-бесконечной трещины в по- лупространстве) был представлен в работах [65], [66]. Было показано, что показатель сингулярности зависит от коэффициента Пуассона v. В работе [82] был предложен полуаналитический метод для вычисления показателей сингулярности и функций углового распределения поля напряжения т в окрестности угловой точки многогранного клина для трех основных типов краевых условий, для изотропных и анизотропных материалов. Для решения трехмерных задач о сингулярности напряжений, в подавляющем большинстве используются различные варианты численных методов. Работы, посвященные задачам этого направления, стали появляться в основном в последние годы и их классификацию можно осуществить по двум признакам: геометрия рассматриваемой области, вариант численного метода. По геометрии можно выделить следующие объекты: многогранный (в т.ч. трехгранный) клин [24], [13], конус [115], [62], трещина [91], угол Фикера [54]. Под углом Фикера понимается трехмерная область, которая может быть описана как куб, из которой удален куб меньшего размера [54], или угол тела между тремя непараллельными плоскостями [85].
Можно выделить работы, направленные па вычисление показателей сингулярности напряжений для различной геометрии поверхностного угла в однородных материалах [60], [65], [93] и для угловых точек фронта трещин, расположенных в плоскости соединения двух разнородных материалов [164], [58], [93] , [95], [152], [109], [96]. Процедуры исследования сингулярности напряжений в трехмерных телах, как правило, основаны на дискретных методах: метод конечных элементов (МКЭ) [16], метод граничных элементов (МГЭ) [5]. Базант [60] первый разработал основную численную процедуру для определения трехмерной сингулярности напряжений, используя МКЭ. Позднее Базант и Естенсорро [61] расширили этот метод для определения порядка сингулярности напряжений в вершине прямолинейной трещины, выходящей на поверхность. Сомаратна и Тинг [164] обобщили конечно-элементную схему, разработанную в [61], для исследования угловых трещин в анизотропных материалах. Авторами были получены показатели сингулярности напряжений в слоистых композиционных материалах. В работе [99] были включены еще и динамические эффекты. Необходимо отметить несколько важных работ, касающихся точности метода [93], [95]. Накамура и Парке [139] исследовали трехмерное напряженное состояние в окрестности фронта сквозной трещины изотропной пластины, используя МКЭ и получили зависимость сингулярности напряжений от коэффициента Пуассона около пересечения фронта трещины и свободной поверхности. Также МКЭ применяется для исследования трехмерных клиньев, выполненных из анизотропных материалов [143], [144], [181]. Итерационный МКЭ был предложен авторами работы [57], [58]. Отметим, что МКЭ для исследования задачи сингулярности напряжений изначально был развит для изотропных материалов [61], и затем появились приложения для анизотропных материалов [164]. В работе [111] с помощью МГЭ был выполнен анализ трехмерных соединений (или многогранных клиньев) и показано, что порядок сингулярности напряжений в вершине трехмерного соединения более высокий, чем в вершине плоского соединения. Эти же результаты с помощью МКЭ были получены Лабосьером [117]. Зная значение показателя сингулярно- сти, можно оценить коэффициент интенсивности напряжений в вершине соединения из распределения напряжений, полученного МГЭ и МКЭ, рассматривая сингулярность напряжений как интерполяционную функцию. Более того, когда показатель сингулярности напряжений определяют на плоскости параметров Дандерса, то возможно получить КИН для различных типов материалов. В работе [ПО] впервые исследован показатель сингулярности напряжений в вершине прямоугольного параллелепипеда и затем изображена плоскость параметров Дандерса, которые определяются из трехмерного напряженного состояния.
Показано, что показатель сингулярности в трехмерных соединениях (клиньях) зависит от модулей упругости материалов. В работе [91] разработан комбинационный метод численного решения пространственных задач механики разрушения, в котором МГЭ использован для анализа поля напряжений в окрестности концевой зоны трещины, а МКЭ - для расчета напряжений и деформаций в остальной части рассматриваемого тела. Следует отметить, что численный метод по сравнению с аналитическим методом имеет более широкие возможности, например, при анализе сингулярности напряжений в неоднородных или анизотропных телах, при смешанных краевых условиях. Авторы работы [13] рассматривают удобную классификацию численных методов, связанную с вариантом дискретизации исходной задачи. При данной классификации численные методы делятся на три группы: прямая аппроксимация исходной задачи (дискретизация по трем переменным); МГЭ [111] или выделение в искомом решении гЛ в явном виде (дискрети- зация по двум переменным) [24]; применение преобразования Меллина к исходным двумерным граничным интегральным уравнениям (сведение исходной задачи к одномерным интегральным уравнениям) [12]. Первый подход приводит к системам линейных алгебраических уравнений большой размерности, решение которых требует значительных вычислительных затрат. Используются специальные сингулярные элементы и специальные базисные функции [21], [184], [143], [77], [57], [64], [160], [100]. Второй подход является самым распространенным при вычислении конкретных характеристик сингулярности напряжений [168], [25], [54], [152], [121], [61], [98], [85], [119], [52], [183]. Третий подход предложен для определения особенности контактных напряжений в вершине клиновидного штампа и обобщен затем на случай клиновидных трещин, трещин, выходящих на поверхность, и произвольных многогранных углов [1], [159], [96]. Для численной реализации полученных уравнений с помощью второго подхода возможно использование метода Галеркина [25], [85], [51], вариационного принципа Лагранжа [152], [166], принципа минимума потенциальной энергии [119], [118], [164], [93]. Далее для численного решения возможно применение метода граничных элементов, метода конечных элементов и метода конечных разностей.
Численный анализ сингулярности напряжений в вершине составного конуса
При дискретизации полученных интегральных уравнений в подавляющем большинстве работ используются треугольные [25], [93], [95] и четырехугольные Лагранжевы элементы [152], [119], [164] с линейной и квадратичной аппроксимацией. Процедура МКЭ сводит поставленную задачу к отысканию комплексных собственных значений Л и собственных векторов алгебраической несимметричной матрицы, имеющей ленточную структуру. Для решения полученной алгебраической проблемы комплексных собственных значений используются различные методы и подходы. В настоящее время широкое распространение для вычисления собственных значений получил метод Арнольди [157], [85]. В работе [54] рассматривается метод Арнольди в неявном виде. Другой подход связан с вычислением собственных значений с помощью метода Мюллера [25], [136], [92]. В работе [119] используется метод обратных итераций, который очень эффективно применяется для расчета собственных векторов. По мнению авторов работы [152], для неосесимметричной задачи нахождение собственных значений возможно только путем сканирования комплексной плоскости [82]. Точки, в которых пересекаются две или более кривых собственных значений, называются точками пересечений, а точки, в которых два дей- ствительных собственных значения становятся парой комплексных сопряженных собственных значений называются точками бифуркаций. Помимо вычислений самих собственных значений, существует и проблема определения точек пересечений и бифуркаций. В частности, собственные значения с геометрической кратностью, которая отлична от алгебраической кратности, являются причиной неустойчивостей асимптотического разложения поля перемещений, известного как парадокс Стенберга- Койтера [54], [156]. С использованием вышеописанных методов и подходов были получены решения для различных задач теории упругости. Задача о клиновидной выточке или включении в упругом пространстве была изучена в [147] с использованием метода граничных интегральных уравнений.
В работе Глушкова [2] разработанный для клиновидных штампов и обобщенный для произвольных многогранных углов метод выделения сингулярных составляющих линейно-упругого решения в окрестности угловых точек тела применяется для исследования особенностей угловых точек фронта трещин, расположенных в плоскости соединения двух разнородных материалов. Метод основан на сведении с помощью преобразования Мел-лина эталонных трехмерных краевых задач к спектральным задачам для одномерного интегрального оператора. В рамках данного подхода выведен вид интегрального оператора для рассматриваемой задачи, осуществлена компьютерная реализация и проведен численный анализ зависимости характеристик сингулярного разложения как от раствора угла трещины, так и от соотношения упругих свойств материала. Для решения задачи угловой сингулярности в вершине пирами- дального включения используется метод двумерных граничных уравнений [159]. С помощью этого подхода в [158] были получены известные численные результаты для случая конической выточки или включения [148], угла Фикера [163] и клиновидной выточки в полупространстве [61]. Используя подход Вильямса, исследован характер сингулярности напряжений в вершине кругового полубесконечного изотропного конуса при различных граничных условиях (нулевые напряжения или нулевые перемещения на боковой поверхности), а именно, найдены зависимости действительной части собственных значений от угла раствора конуса [62], [54], [85]. В работе [54], [85] для круглого конуса были определены собственные значения для угла раствора конуса 120 и коэффициента Пуассона v = 0.3. В работе [62] методом конечных разностей получены результаты для осе-симметричной задачи и задачи на кручение для кругового конуса. В работах [54], [85], [98] исследована зависимость собственных значений от материальных параметров для вершины Фикера при различных вариантах граничных условий. В работе [85] рассмотрена задача о характере сингулярности напряжений для двух поверхностей ортогональных третьей (угол Фикера). Решение является функцией угла между двумя плоскостями. Данная задача решена для однородного материала {у = 0.3) и для двух материалов с соотношением модулей Юнга равным 10 [ExfEi = 10). Подобная задача рассматривалась в работе [54] при заданных нулевых напряжениях на боковых поверхностях. Получены собственные значения в зависимости от различных материальных параметров (и,Е). Также получено решение для изотропного материала и граничных условий в перемещениях [159]. Подавляющее число работ посвящено изучению характера сингулярности напряжений на кончике трещины, выходящей на поверхность [59]. Рассмотрены задачи для разных типов граничных условий, углов пересечения трещины с поверхностью и материальных параметров. В работах [85], [122], [54], [152], [12] получены зависимости собственных значений от различных углов фронта трещины и коэффициентов Пуассона для изотропного материала.
Относительно плоскости трещины получается одно симметричное и два антисимметричных решения. Симметричное решение является действительным для всех собственных значений и коэффициентов Пуассона. Два антисимметричных решения являются комплексно-сопряженными. Частный случай для а = 90 (четверть трещины в полубесконечном пространстве) изучен в работах [54], [61], [85], [159], [164], [93]. В данных работах исследовалась зависимость собственных значений при различных коэффициентах Пуассона. Для клиновидной трещины на поверхности раздела двух материалов при граничных условиях в напряжениях получены следующие результаты. Были найдены показатели сингулярности напряжений для различных соотношений модулей Юнга и коэффициента Пуассона v = 0.3 [85], [54]. Среди трехмерных тел вызывают интерес такие точки, как вершина многогранного клина, в которых задача анализа особенности напряжений не сводится к рассмотрению двумерных задач. Развитие работ этого направления можно проследить в [24], [13], [25]. Также показатели сингулярности напряжений в вершине трехмерных клиньев обсуждаются в работах [110], [152], [95], [93], [59], [164], [61], [65], [66]. В работе [80] решается задача на основе представления Лехницкого, учитывающего плоскую и ан- типлоскую деформации. На гранях клина заданы нулевые напряжения, и показатели сингулярности напряжения разыскиваются с помощью подхода Вильямса. Для показателей сингулярности получено трансцендентное уравнение, решение которого исследуется как функция угла раствора клина. Изучена зависимость показателя от материальных констант (модуль Юнга, модуль сдвига) и ориентации волокон. На основе МКЭ в сочетании с методом Стеклова в работе [183] вычислены собственные значения и собственные вектора для соединений из различных материалов с различными видами граничных условий, трещины в разнородных материалах. Димитров и др. исследуют трехмерную сингулярность вблизи окрестности углов в слоистых композитных материалах [86]. С использованием преобразования Меллина исследована сингулярность напряжений от материальных констант и геометрических параметров V- и Т-образных соединений [135]. Известно, что концентрация напряжений на линии контакта тройных соединений, вызванная температурной или упругой анизотропией волокон, играет главную роль в появлении трещины. В работе [94] проанализирована концентрация напряжений в тройном соединении, вызванная упругой анизотропией, и показано, что концентрационный эффект намного сильнее в трехмерном случае, чем подобный, полученный в плоской конфигурации.
