Содержание к диссертации
Введение
1. Дифракция плоских и гауссовых пучков на спиральной фазовой пластинке 12
1.1. Общий вид и свойства угловых гармоник 14
1.2. Генерация УГ 14
1.3. Распространение УГ в свободном пространстве 15
1.3.1 Плоский пучок с фазовой сингулярностью 15
1.3.2 Гауссовый пучок с фазовой сингулярностью 20
1.3.3 Численное сравнение дифракции фазовой сингулярности с разными амплитудными составляющими 26
1.4. Распространение УГ с модулирующими радиальными амплитудными функциями в осесимметричной среде 30
Результаты и выводы 36
2. Исследование лазерных пучков, сформированных с помощью ДОЭ, согласованных с модами Гаусса-Лагерра 37
2.1. МодыГЛ 38
2.2. Свойства мод ГЛ 42
2.2.1 Обобщённые многочлены Лагерра 42
2.2.2 Обобщённые функции Лагерра 43
2.2.3 Свойства обобщённых функций Лагерра 43
2.2.4 Свойства обобщённых мод ГЛ 44
2.3. Генерация мод Гаусса-Лагерра 46
2.3.1 Способы генерации мод ГЛ 46
2.3.2 Описание оптической схемы для генерации мод ГЛ 49
2.3.3 Синтез и исследование ДОЭ для генерации мод ГЛ 49
2.4. Распространение в свободном пространстве мод ГЛ 69
2.4.1 Условие равенства скоростей 69
2.5. Распространение в волокне мод ГЛ 71
2.5.1 Разложение изображения по модам ГЛ 72
2.5.2 Моделирование распространения изображения в волокне и его распознавание 72
2.5.3 Свойства периодичности изображений в волокне 76
2.6. Детектирование мод ГЛ 81
2.6.1 Детектирование мод ГЛ с помощью ДОЭ 81
2.6.2 Описание оптической схемы 83
2.6.3 Синтез и исследование 9-канального ДОЭ для генерации и детектирования обобщённых мод ГЛ 84
2.6.4 Моделирование экспериментов по детектированию обобщённых мод ГЛ 95
2.6.5 Обработка экспериментальных данных 100
Результаты и выводы 107
3. Устойчивость световых полей, согласованных с УГ к искажениям. Детектирование УГ 108
3.1. Взаимодействие с препятствиями мод Бесселя с винтовой фазовой компонентой 109
3.2. Взаимодействие с препятствиями мод Гаусса-Лагерра 113
3.3. Взаимодействие с препятствиями полей, содержащих УГ 121
3.4. Устойчивость к искажениям. Преимущества базиса УГ 127
3.5. Влияние искажений в виде сдвига и эллиптичности, а также включений непрозрачных препятствий на детектирование угловых гармоник 133
Результаты и выводы 147
Заключение 148
Литература 149
- Численное сравнение дифракции фазовой сингулярности с разными амплитудными составляющими
- Распространение УГ с модулирующими радиальными амплитудными функциями в осесимметричной среде
- Синтез и исследование 9-канального ДОЭ для генерации и детектирования обобщённых мод ГЛ
- Влияние искажений в виде сдвига и эллиптичности, а также включений непрозрачных препятствий на детектирование угловых гармоник
Введение к работе
Диссертация посвящена исследованию свойств лазерных пучков с фазовой сингулярностью, а также линейных суперпозиций угловых гармоник с различными радиальными функциями комплексной амплитуды. Угловыми гармониками будем называть поля вида exp(wi ), где і - мнимая единица, т — порядок винтовой особенности (m€Z), ф — азимутальный угол в полярных координатах. Световые поля A(r)exp(imy ) (где г - радиус в полярных координатах) с радиальными функциями специального вида (Бесселя, Лагерра) называются соответственно модами Бесселя и модами Гаусса-Лагерра. Эти моды распространяются в оптических волокнах со ступенчатым и градиентным (параболическим) распределением показателя преломления. Рассматриваются преимущества базиса угловых гармоник в задачах передачи информации на расстояние в сравнении с базисами мод Гаусса-Лагерра и Бесселя. Проводится сравнительный анализ устойчивости суперпозиций угловых гармоник, мод Гаусса-Лагерра и Бесселя к различным типовым искажениям, таким как эллиптичность, несоосность оптической схемы, попадание различных препятствий в световой пучок.
Актуальность темы
Объекты с вихревой структурой существуют в самых разнообразных сферах материального мира, в макромире (спиральная форма галактик и туманностей), в микромире (элементарные частицы, световые поля) и в нашей повседневной жизни (циклоны и антициклоны, торнадо и тайфуны). Их структуры и поведение до сих пор ещё исчерпывающе не изучены и представляют собой обширное поле для исследований. Так, в последнее время происходит выделение в отдельный раздел («сингулярная оптика») отрасли оптики, занимающейся исследованием световых пучков с винтовыми фазовыми особенностями.
Лазерным пучкам с фазовой сингулярностью посвящены многочисленные исследования и публикации, как российских учёных-оптиков, так и их зарубежных коллег. В настоящее время активно изучаются свойства подобных пучков на основе мод Бесселя и Гаусса-Лагерра
Угловые гармоники, которые также называются сингулярностями фазы или дислокациями волнового фронта, были впервые рассмотрены в [1]. В [2] получена формула для описания дифракции Френеля неограниченной плоской волны с фазовой сингулярностью первого порядка (/и=1). В [3,4] анализируется дифракция моды Гаусса-Лагерра порядка (0,#и), при этом соответствующие многочлены Лагерра L"m(x) принимают вид L°m(x) = l. В [5] вычислен интеграл Френеля от моды ГЛ (0,т) через гипергеометрическую функцию. В [6] теоретически и экспериментально исследуется дифракция и интерференция двух мод ГЛ (0,0) (гауссовый пучок) и (0,w). В [7] впервые получено выражение для дифракции Френеля гауссова пучка с фазовой сингулярностью. Далее, в [8] это выражение исправлено и исследуется численно. В [9] получено выражение, аналогичное тому, что уже было получено в [7], но для гауссова пучка, который прошел через спиральную фазовую пластинку не в перетяжке. В [10] рассматривается интерференция двух одинаковых гауссовых пучков с фазовыми сингулярностями разных порядков.
Заметим, что аналитические выражения, полученные в [7-10] исследовались только численно. В данной работе проводится аналитическое исследование дифракции плоской волны на ДОЭ с фазовой сингулярностью целого порядка (спиральной фазовой пластине).
Световые поля, сформированные с помощью дифракционных оптических элементов, находят разнообразное, подчас неожиданное, применение в самых различных отраслях науки и техники: в связи, медицине, микроэлектронике, микробиологии. Этот список постоянно растёт. Весь разнообразный спектр их применения можно подразделить на три основные категории: манипуляция микрочастицами, уплотнение каналов оптоволоконной связи, об работка материалов пучками высоких энергий, сфокусированными в заданные области.
Манипулирование микрообъектами с помощью лазерных пучков -весьма бурно развивающееся направление. Впервые возможность использования лазерного излучения для манипулирования микрочастицами была продемонстрирована в 1970 [12]. При этом использовался гауссовый пучок (фундаментальная мода лазерного излучения). С тех пор, идея бесконтактного управления процессами микро- и нано- масштаба была успешно использована в различных областях: для торможения, отклонения, охлаждения и локализации атомов [13-16], для захвата и разделение различных типов бактерий, клеток, вирусов [17-18], для изоляции генов в хромосомах, спайки клеток удалением общей стенки при помощи «оптического скальпеля» [19-20], в нанотехнологиях и управлении элементами микромеханики [21-22]. Работы по расчёту ДОЭ - фокусаторов в заданные области успешно ведутся в ИСОИ РАН с 80-х годов [23]. С помощью таких ДОЭ проводится, например, бесконтактная маркировка проводов.
Оптические телекоммуникации сегодня прочно вошли в повседневную жизнь и находят всё новые сферы применения - от построения высокоскоростных магистралей передачи информации до использования их локально в рамках одного устройства в таких областях как компьютерные технологии, манипуляция микрочастицами (микроэлектроника, микробиология), медицина и т.д. Большое количество современных оптических систем немыслимо без применения в их конструкции различных оптических волокон.
Многомодовые оптические волокна с уплотнением каналов передачи информации по модам волокон не получили пока широкого распространения. Существующие системы, в основном, базируются на оптоволоконных кабелях, состоящих из большого количества тонких одномодовых волокон, каждое из которых является независимым каналом передачи информации. Такой способ передачи информации имеет ряд преимуществ и недостатков. Например, можно легко разделить один кабель на большое (вплоть до числа жил одномодов) количество независимых пользователей, что, несомненно, является большим преимуществом. К числу недостатков следует отнести сложность прямой передачи изображения по такому пучку волокон [24,25]. Следовательно, при необходимости решения подобной задачи, необходимо прибегать к громоздким, сложным и дорогим аналого-цифровым и цифро-аналоговым преобразователям, дополнительным оптическим волокнам [26], которые к тому же зачастую не обеспечивают требуемой надёжности системы. Кроме того, каждое из волокон-одномодов нуждается в собственной защитной оболочке, значительно увеличивающий его диаметр, в теории составляющий величину порядка нескольких микрон. Альтернативой кабелям из тонких одномодовых волокон могут служить многомодовые волокна большего диаметра (порядка 25 - 50 мкм), по которым может распространяться от нескольких десятков до нескольких сотен независимых мод. Разумеется, этот вариант тоже не свободен от некоторых недостатков, таких, как разрушение картины входного светового поля внутри волокна ввиду существования скоростной дисперсии мод, а также неизбежного включения различных неоднородностей и изгибов в реальном волокне.
В данной работе показано, что прямая передача изображения по мно-гомодовому градиентному оптическому волокну, согласованному с модами Гаусса-Лагерра, - задача, не имеющая удовлетворительного решения ввиду вышеперечисленных факторов. Очевидно, то же можно сказать и о волокнах квадратного сечения, согласованных с модами Гаусса-Эрмита, а также о круглых волокнах со ступенчатым распределением показателя преломления, согласованных с модами Бесселя. Однако, можно значительно увеличить количество передаваемой по такому волокну информации в сравнении с одно-модовым волокном за счёт использования в качестве несущих сигнала световых полей на основе суперпозиций угловых гармоник или других полей с винтовыми фазовыми особенностями. Пучки, согласованные с угловыми гармониками достаточно устойчивы к типичным искажениям оптических систем - сдвигу (несоосности оптических элементов), эллиптичности (накло ну элементов), повороту вокруг оптической оси и включению различных препятствий. Кроме того, можно осуществлять их детектирование в произвольной плоскости наблюдения. Проведён также анализ и численное моделирование распространения угловых гармоник в свободном пространстве.
В работе [77] предлагается использовать угловые гармоники для кодирования информации при передаче в свободном пространстве. В [77] экспериментально показана возможность передачи информации с помощью оптической схемы, состоящей двух телескопических систем (передающей и принимающей) в комбинации с ДОЭ, осуществляющих генерацию и анализ светового пучка. Используется набор из 8 фазовых сингулярностей. При этом обеспечивается конфиденциальность передаваемой информации, поскольку прямое её прочтение без соответствующих систем и ДОЭ, установленных в определённых позициях, становится невозможным.
Целью диссертационной работы является расчет ДОЭ для формирования лазерных пучков с фазовыми сингулярностями, а также исследование распространения сформированных пучков в свободном пространстве, их взаимодействия с препятствиями и устойчивости к искажениям.
В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:
1. Численно исследовать свойства световых пучков, сформированных с помощью ДОЭ с фазовыми сингулярностями на основе угловых гармоник и их суперпозиций.
2. Численно исследовать свойства световых пучков, сформированных с помощью фазовых ДОЭ с сингулярностями на основе мод Гаусса-Лагерра и их суперпозиций.
3. Рассчитать ДОЭ для генерации и детектирования мод ГЛ и световых пучков, согласованных с угловыми гармониками.
4. Провести сравнительный анализ пучков, согласованных с УГ и модами ГЛ. Исследовать их устойчивость к различным оптическим искажениям.
Научная новизна работы.
Впервые получены следующие основные результаты:
1. Аналитически показано, что распределение интенсивности в зоне дифракции Френеля плоской волны на спиральной фазовой пластине с номером сингулярности т имеет кольцевой характер; радиус первого светлого кольца пропорционален квадратному корню от длины волны излучения, номера т и пройденного расстояния z; численно показано, что основной вклад (около 70%) в комплексную амплитуду Фурье-образа светового поля, формируемого спиральной фазовой пластиной, освещаемой плоской волной, ограниченной круглой апертурой радиуса R вносит мода Гаусса-Лагерра (0,w) с соответствующим радиусом гауссова пучка а.
2. Предложен инвариантный к повороту пучка вокруг своей оси метод для определения наличия угловых гармоник в анализируемом световом пучке в произвольной плоскости наблюдения с помощью многопорядкового фазового дифракционного оптического элемента, согласованного с конечным числом угловых гармоник. При этом интенсивность в 1-м дифракционном порядке будет пропорциональна квадрату модуля интеграла от /-ой радиальной функции получающейся при разложении комплексной амплитуды пучка по базису УГ.
3. При численной реализации предложенного метода определения наличия УГ оказалось, что нарушение структуры светового пучка из-за эллиптичности ДОЭ (соответствующей углу наклона до 40°), поперечного сдвига ДОЭ с оси освещающего пучка (до 4% от диаметра пучка) приводит к уменьшению соотношения сигнал/шум до 2. При этом сохраняется возможность качественного определения наличия УГ в пучке. При включении в световой пучок препятствий общей площадью до 15% площади поперечного сечения пучка, искажения распределения нормированных значений интенсивности в центрах дифракционных порядков не превышают 1%, при условии равномерного распределения препятствий по сечению пучка. Полученные результаты позволяют говорить о хорошей устойчивости базиса УГ к типичным искажениям.
Практическая ценность работы.
Практическая значимость работы состоит в том, что разработанный метод определения наличия угловых гармоник в анализируемом световом пучке в произвольной плоскости наблюдения может лечь в основу системы связи с уплотнением каналов передачи информации по базису угловых гармоник. В работе показана устойчивость пучков на основе УГ к типичным оптическим искажениям, что позволяет использовать их в системах телекоммуникации, а также для манипулирования микрочастицами.
На защиту выносятся.
1. Формула для расчёта радиуса первого светлого кольца распределения интенсивности в зоне дифракции Френеля плоской волны на спиральной фазовой пластине с номером сингулярности т.
2. Инвариантный к повороту пучка вокруг своей оси метод для определения наличия угловых гармоник в анализируемом световом пучке в произвольной плоскости наблюдения с помощью многопорядкового фазового ДОЭ, согласованного с конечным числом УГ.
3. Результаты исследования устойчивости винтовых сингулярных полей к таким оптическим искажениям как несоосность оптической системы и наклон её элементов, а также включениям препятствий на пути.
Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах: международная школа для молодых ученых и студентов по оптике, лазерной физике и биофизике (г. Саратов, 2001, 2002, 2004), международная научно-техническая конференция «Фундаментальные проблемы оптики» (г. Санкт-Петербург, 2004, 2005), научно-практическая конференция «Голография в России и за рубежом. Наука и практика» (г. Москва, 2004).
Личный вклад автора. Решение всех задач, сформулированных в диссертации, получение и интерпретация результатов компьютерного моделирования выполнены автором лично. Постановка задач и разработка методик моделирования выполнены совместно с научным руководителем. Натурные эксперименты выполнены научным руководителем.
Публикации. По результатам диссертационной работы опубликовано 19 печатных работ, из них 6 - в центральных реферируемых журналах.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы (90 наименований) и одного приложения. Работа изложена на 163 страницах и содержит 90 рисунков.
Численное сравнение дифракции фазовой сингулярности с разными амплитудными составляющими
Манипулирование микрообъектами с помощью лазерных пучков -весьма бурно развивающееся направление. Впервые возможность использования лазерного излучения для манипулирования микрочастицами была продемонстрирована в 1970 [12]. При этом использовался гауссовый пучок (фундаментальная мода лазерного излучения). С тех пор, идея бесконтактного управления процессами микро- и нано- масштаба была успешно использована в различных областях: для торможения, отклонения, охлаждения и локализации атомов [13-16], для захвата и разделение различных типов бактерий, клеток, вирусов [17-18], для изоляции генов в хромосомах, спайки клеток удалением общей стенки при помощи «оптического скальпеля» [19-20], в нанотехнологиях и управлении элементами микромеханики [21-22]. Работы по расчёту ДОЭ - фокусаторов в заданные области успешно ведутся в ИСОИ РАН с 80-х годов [23]. С помощью таких ДОЭ проводится, например, бесконтактная маркировка проводов.
Оптические телекоммуникации сегодня прочно вошли в повседневную жизнь и находят всё новые сферы применения - от построения высокоскоростных магистралей передачи информации до использования их локально в рамках одного устройства в таких областях как компьютерные технологии, манипуляция микрочастицами (микроэлектроника, микробиология), медицина и т.д. Большое количество современных оптических систем немыслимо без применения в их конструкции различных оптических волокон.
Многомодовые оптические волокна с уплотнением каналов передачи информации по модам волокон не получили пока широкого распространения. Существующие системы, в основном, базируются на оптоволоконных кабелях, состоящих из большого количества тонких одномодовых волокон, каждое из которых является независимым каналом передачи информации. Такой способ передачи информации имеет ряд преимуществ и недостатков. Например, можно легко разделить один кабель на большое (вплоть до числа жил одномодов) количество независимых пользователей, что, несомненно, является большим преимуществом. К числу недостатков следует отнести сложность прямой передачи изображения по такому пучку волокон [24,25]. Следовательно, при необходимости решения подобной задачи, необходимо прибегать к громоздким, сложным и дорогим аналого-цифровым и цифро-аналоговым преобразователям, дополнительным оптическим волокнам [26], которые к тому же зачастую не обеспечивают требуемой надёжности системы. Кроме того, каждое из волокон-одномодов нуждается в собственной защитной оболочке, значительно увеличивающий его диаметр, в теории составляющий величину порядка нескольких микрон. Альтернативой кабелям из тонких одномодовых волокон могут служить многомодовые волокна большего диаметра (порядка 25 - 50 мкм), по которым может распространяться от нескольких десятков до нескольких сотен независимых мод. Разумеется, этот вариант тоже не свободен от некоторых недостатков, таких, как разрушение картины входного светового поля внутри волокна ввиду существования скоростной дисперсии мод, а также неизбежного включения различных неоднородностей и изгибов в реальном волокне.
В данной работе показано, что прямая передача изображения по мно-гомодовому градиентному оптическому волокну, согласованному с модами Гаусса-Лагерра, - задача, не имеющая удовлетворительного решения ввиду вышеперечисленных факторов. Очевидно, то же можно сказать и о волокнах квадратного сечения, согласованных с модами Гаусса-Эрмита, а также о круглых волокнах со ступенчатым распределением показателя преломления, согласованных с модами Бесселя. Однако, можно значительно увеличить количество передаваемой по такому волокну информации в сравнении с одно-модовым волокном за счёт использования в качестве несущих сигнала световых полей на основе суперпозиций угловых гармоник или других полей с винтовыми фазовыми особенностями. Пучки, согласованные с угловыми гармониками достаточно устойчивы к типичным искажениям оптических систем - сдвигу (несоосности оптических элементов), эллиптичности (наклону элементов), повороту вокруг оптической оси и включению различных препятствий. Кроме того, можно осуществлять их детектирование в произвольной плоскости наблюдения. Проведён также анализ и численное моделирование распространения угловых гармоник в свободном пространстве.
В работе [77] предлагается использовать угловые гармоники для кодирования информации при передаче в свободном пространстве. В [77] экспериментально показана возможность передачи информации с помощью оптической схемы, состоящей двух телескопических систем (передающей и принимающей) в комбинации с ДОЭ, осуществляющих генерацию и анализ светового пучка. Используется набор из 8 фазовых сингулярностей. При этом обеспечивается конфиденциальность передаваемой информации, поскольку прямое её прочтение без соответствующих систем и ДОЭ, установленных в определённых позициях, становится невозможным.
Целью диссертационной работы является расчет ДОЭ для формирования лазерных пучков с фазовыми сингулярностями, а также исследование распространения сформированных пучков в свободном пространстве, их взаимодействия с препятствиями и устойчивости к искажениям. В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации: 1. Численно исследовать свойства световых пучков, сформированных с помощью ДОЭ с фазовыми сингулярностями на основе угловых гармоник и их суперпозиций. 2. Численно исследовать свойства световых пучков, сформированных с помощью фазовых ДОЭ с сингулярностями на основе мод Гаусса-Лагерра и их суперпозиций. 3. Рассчитать ДОЭ для генерации и детектирования мод ГЛ и световых пучков, согласованных с угловыми гармониками. 4. Провести сравнительный анализ пучков, согласованных с УГ и модами ГЛ. Исследовать их устойчивость к различным оптическим искажениям.
Распространение УГ с модулирующими радиальными амплитудными функциями в осесимметричной среде
Аналитически показано, что распределение интенсивности в зоне дифракции Френеля плоской волны на спиральной фазовой пластине с номером сингулярности т имеет кольцевой характер; радиус первого светлого кольца пропорционален квадратному корню от длины волны излучения, номера т и пройденного расстояния z
Для фазовых ДОЭ, предназначенных для генерации УГ, освещаемых плоской волной и гауссовым пучком, получено соотношение, устанавливающее соответствие радиуса апертуры и гауссова радиуса пучка. Получено также соотношение, связывающее гауссов радиус мод ГЛ вида (0, т), формируемых с помощью фазового ДОЭ, с радиусом освещающего пучка.
Проведено численное моделирование работы оптической схемы для определения интеграла перекрытия по УГ, подтверждающее сохранение ортогональности базиса УГ в процессе распространения в свободном пространстве и возможность применения этой схемы для детектирования наличия выбранных УГ в тестовом световом поле.Показано, что УГ не теряют свойства ортогональности при распространении в осесимметричной оптической среде. Показано, что энергия, переносимая каждой угловой гармоникой сохраняется при распространении в осесимметричной оптической среде без поглощения, вне зависимости от изменений радиальной составляющей функции комплексной амплитуды. \
Концепция волновых мод, или просто мод, имеет большое значение в лазерной оптике. Будем называть модой пучок света, обладающий свойством самовоспроизводимости при распространении в соответствующей волновод-ной среде. Под самовоспроизводимостью понимается свойство сохранения поперечной структуры амплитудно-фазового распределения с точностью до масштаба декартовых или полярных координат. Это позволяет не ограничиваться рассмотрением только функций, являющихся точными решениями уравнений Гельмгольца для различных сред, но и описать в тех же терминах, например, поведение гауссовых пучков в свободном пространстве (гауссовых мод). В [27, 28] были описаны два хорошо известных типа гауссовых пучков - пучки Гаусса-Лагерра и Гаусса-Эрмита, с использованием параксиального приближения, что соответствует переходу от уравнения Гельмгольца к параболическому уравнению. Они воспроизводят свою поперечную структуру в свободном пространстве с точностью до масштабирующего множителя. Можно сказать, что в обобщённых координатах они точно воспроизводят свою структуру.
Гауссовы моды сохраняют свою структуру не только при распространении в свободном пространстве, но и при прохождении через линзы и лин-зоподобные среды. Благодаря инвариантности гауссовых мод при прохождении через фурье-каскад, последний может быть использован в качестве оптической проекционной системы для проекции пучка с заданным модовым составом с выходного торца волокна в плоскость ДОЭ и наоборот.
Строго говоря, гауссовы моды ортогональны на бесконечной области. Однако, из-за быстрого убывания амплитуды, их можно рассматривать как ортогональный базис на некоторой конечной области G. Каждая мода характеризуется собственным коэффициентом затухания и фазовой задержкой, пропорциональной оптическому пути и константе распространения. Фазовая задержка непрерывно накапливается в ходе распространения моды в среде. Для нас представляют интерес лишь моды, сохраняющие свою энергию при прохождении любого расстояния в волноводе с нулевым поглощением, т.н. каналируемые или направляемые моды [29]. Ка-налируемая мода воспроизводит свою структуру после прохождения оптического пути произвольной длины в волокне. Мода, распространяющаяся в резонаторе, воспроизводит себя каждый раз только после прохождения полного расстояния от первого зеркала до второго и назад [30, 31].
В работах [32-34] рассматриваются ДОЭ для генерации многомодовых пучков Гаусса-Лагерра. Особый интерес представляют фазовые ДОЭ, имеющие повышенную энергетическую эффективность и многоканальный характер работы, позволяющий сформировать несколько модовых пучков.
Здесь мы рассмотрим генерацию и селекцию мод ГЛ с помощью фазовых ДОЭ, рассчитанных по методу Лезема.
Синтез и исследование 9-канального ДОЭ для генерации и детектирования обобщённых мод ГЛ
ДОЭ с круговой апертурной функцией, освещаемые плоской волной позволяют формировать световые поля с более высоким процентным содержанием заданных мод, нежели ДОЭ, освещаемые гауссовым пучком. Это объясняется тем, что у гауссова пучка основная доля энергии сконцентрирована в центральной части изображения, а у мод вида (0,/и) в центре имеется провал. На диаграммах также можно видеть хорошо различимые (особенно в случае ДОЭ, освещаемых гауссовым пучком) пульсации значений коэффициентов Спт. Они проявляются для тех мод ГЛ, у которых радиус какого-либо из колец приближается к радиусу ДОЭ.
Распространение мод ГЛ в свободно пространстве хорошо изучено и описывается выражением (2.1.7). При этом, хотя сами моды ГЛ инвариантны к оператору распространения в свободном пространстве с точностью до радиального масштаба, то их суперпозиции уже не обладают таким свойством. Это происходит из-за того, что разные моды ГЛ имеют разные фазовые скорости распространения.
Если мы хотим использовать сформированные суперпозиции обобщенных мод ГЛ для формирования и передачи на расстояние изображений, мы должны позаботиться о том, чтобы исходное распределение интенсивности не исказилось в процессе распространения в пространстве. Это происходит потому, что, хотя обобщённые моды ГЛ и являются с точностью до масштаба и поворота собственными функциями преобразований Фурье и Френеля (см п. 2.2.4), их суперпозиция, вообще говоря, не обладает теми же свойствами. Всё дело в том, что различные обобщённые моды ГЛ имеют разные фазовые скорости распространения, т.е. приобретают разный фазовый набег, пройдя один и тот же путь. Действительно, из формулы (2.1.7) следует, что приобретаемый фазовый набег определяется множителем fi„m(z), который, вообще говоря, неодинаков для различных номеров мод (л,/я).
Пучки, с точностью до масштаба сохраняющие своё поперечное распределение интенсивности при распространении в свободном пространстве, называются стабильными. При этом необходимо добиться равенства фазовых множителей ехр(іД,от(г)) у мод, составляющих суперпозицию. Это происходит при условии [36]:
Пучки, с точностью до масштаба и поворота сохраняющие своё поперечное распределение интенсивности при распространении в свободном пространстве, называются вращающимися. В [36] показано, что на номера мод, составляющих такие пучки, накладывается следующее условие: Это условие может быть преобразовано к виду Представляет интерес класс пучков, сохраняющих своё поперечное распределение интенсивности при прохождении фурье-анализатора. Очевидно, для этого необходимо, чтобы собственные числа фурье-преобразования для участвующих в пучке мод были одинаковы. Это происходит при условии: Интересно заметить, что суперпозиции мод, удовлетворяющие условию (2.4.4), удовлетворяют также и условию (2.4.1). Это понятно и из общих соображений, считая, что Фурье-образ изображения соответствует изображению, прошедшему бесконечное расстояние. Таким образом, на световые пучки - суперпозиции мод ГЛ, в процессе распространения сохраняющие (или самовоспроизводящие) поперечное распределение интенсивности, накладывается ряд условий, которые резко сужают возможности аппроксимации реальных изображений с помощью подобных суперпозиций. Поэтому суперпозиции мод ГЛ, вообще говоря, не могут быть использованы для прямой передачи на расстояние произвольных сложных изображений. В этом разделе мы будем рассматривать градиентные слабонаправленные волокна с параболическим поперечным распределением показателя преломления с круглым сечением, в которых распространяются линейно-поляризованные моды Гаусса-Лагерра [29,40]. Как уже говорилось, моды ГЛ являются полным ортонормированным базисом, что теоретически позволяет разложить по ним произвольное изображение с любой наперёд заданной точностью [41]. Аналитические формулы, описывающие распространение линейной суперпозиции мод ГЛ в волокне довольно просты, что позволяет легко моделировать прохождение определенного светового поля (изображения) по волокну заданной длины, предварительно разложив его по базису мод ГЛ. При этом точность представления изображения играет немаловажную роль. Изображение аппроксимируется тем точнее, чем большее количество мод за-действуется в линейной суперпозиции. Также, в связи с выше упомянутым приложением интересно определить периоды самовоспроизведения суперпозиции выбранных мод.
К сожалению, невозможно использовать произвольное количество мод, удовлетворяющих каким-либо критериям, по двум причинам: 1) многомодо-вое волокно способно пропустить лишь ограниченное количество мод, определяемое прежде всего его радиусом и показателем преломления сердцевины, 2) чем большее количество мод участвует в аппроксимации, тем большим становится их общий период, т.е. наблюдать самовоспроизведение изображения будет возможно всё реже и реже. Кроме того, разрушение картины происходит даже при незначительном изменении длины волокна (порядка 0,1 мм), что легко может происходить из-за температурных колебаний, механической деформации и т.д. Таким образом, «прямое» распознавание изображения по картине интенсивности делается крайне затруднительным, если несказать невозможным. Однако, изображения с большой долей вероятности можно распознавать по картине распределения квадратов модулей коэффициентов мод [42], которые в идеальном волокне сохраняются на любом расстоянии. Многопорядковые дифракционные оптические элементы позволяют измерять величину одновременно нескольких (5-25) коэффициентов [32,43].
Влияние искажений в виде сдвига и эллиптичности, а также включений непрозрачных препятствий на детектирование угловых гармоник
Задача детектирования обобщённых мод ГЛ естественным образом возникает при построении оптических систем связи на их основе. Поскольку, как уже говорилось выше в п. 2.5, обобщённые моды ГЛ являются модами оптических волокон с параболической зависимостью показателя преломления от радиуса (2.5.3), изображение, аппроксимируемое совокупностью мод ГЛ можно эффективно передавать на расстояние, не прибегая к цифровому кодированию. Кроме того, с помощью многопорядковых ДОЭ согласованных с базисом обобщённых мод ГЛ можно эффективно и практически мгновенно распознавать процентное содержание в тестируемом изображении той или иной моды ГЛ, что особенно важно для систем распознавания, работающих в реальном масштабе времени. При этом не требуется привлечения мощной вычислительной техники, а, следовательно, повышается надёжность системы и её устойчивость к различного рода воздействиям (например, электромагнитным помехам).
В задаче детектирования обобщённых мод ГЛ инвариантно к их повороту в плоскости наблюдения целесообразно использовать пространственные оптические фильтры, разделяющие амплитуду когерентного светового поля на отдельные дифракционные составляющие базиса обобщённых мод ГЛ, содержащего угловые гармоники. Разложение по обобщённым модам ГЛ используется при селекции поперечных мод на выходе многомодового волокна с параболическим показателем преломления.
Основу такого оптического фильтра составляет ДОЭ с функцией комплексного пропускания т(ху) в виде линейной комбинации конечного числа базисных функций Ynm(x,y) с различными несущими пространственными частотами: где апт, рпт - несущие пространственные частоты, Ynm(xy) - ортогональные базисные функции разложения, детектирование которых мы осуществляем.
Действительно, если мы имеем полную ортонормированную систему функций Ynm{xy), то, дополнив такой ДОЭ сферической линзой и осветив его анализируемой волной со(ху), на выходе мы получим корреляционные пики в заданных точках фокальной плоскости линзы (WfwfK Vwm vnm=(t/k)finm), соответствующих частотам тех функций Y„J(xj?\ которые были закодированы в фильтре. Интенсивность в точках корреляционных пиков будет пропорциональна квадрату модуля коэффициентов разложения Спт амплитуды светового поля со(хУ) по базису {Ynm(xy)} [43].
Описанные оптические фильтры целесообразно использовать не только для детектирования, но и при генерации обобщённых мод ГЛ и их суперпозиций (правда, в последнем случае оптическую схему нужно будет несколько модифицировать). Действительно, как уже говорилось в п. 2.2.4 (см. формулу 2.2.12), комплексное сопряжение обобщённой моды ГЛ соответствует изменению знака индекса т на противоположный. Таким образом, фильтр можно использовать для генерации обобщённых мод ГЛ с индексами (п,-т). По соответствию картин распределения интенсивности в фокальной плоскости при освещении фильтра плоской волной можно судить о его погрешности.
К сожалению, на пути создания такого рода ДОЭ существует серьёзное препятствие - физические ограничения, накладываемые на число детектируемых мод. Естественно, мы стремимся изготовить фильтр для детектирования возможно большего количества мод. Для этого нам надо разнести их в пространстве на некоторое расстояние. Чем большее количество мод мы будем детектировать одним фильтром, тем дальше придётся разносить крайние моды от оптической оси пучка, что в свою очередь, требует повышения соответствующих несущих пространственных частот (см. п. 2.6.3). Следовательно, необходимо увеличивать точность изготовления ДОЭ для создания возможно более мелких амплитудных или фазовых рельефов, что, как уже говорилось в п. 2.3.1, неоправданно удорожает ДОЭ. То же самое можно сказать и про чисто фазовые ДОЭ. Кроме того, при слишком большом угле разноса изображений мод от оптической оси пучка мы выходим за рамки параксиальной оптики, и вышеприведённые теоретические выкладки теряют силу.
В данном разделе рассмотрены амплитудно-фазовые и фазовые, рассчитанные по методу Лезема, ДОЭ для генерации и детектирования 9-ти заданных обобщённых мод ГЛ.
