Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Классическая модель упругой среды 19
1.1 Уравнение состояния 20
1.2 Уравнение совместности 27
1.3 Решение задачи деформирования упругой среды с цилиндрической полостью 32
1.4 Задача деформирования упругой среды с полостью сферического типа 35
Глава II. Построение неклассических моделей 38
II. 1 Постановка задачи 38
11.2 Общая идея решения задачи 40
11.3 Структура поля напряжений 41
П.4 Спектральное уравнение для функции несовместности 50
II.5 Вариационный вывод уравнения равновесия с учетом поля самоуравновешенных напряжений 56
Глава III. Термодинамическая корректность соотношений неклассической модели 61
111.1 Редукция к неевклидовой модели сплошной среды 61
111.2 Уравнение состояния 63
111.3 Выбор потенциала 69
111.4 Спектральная задача 72
Глава IV. Решение задачи с цилиндрической полостью 77
IV.1 Основные соотношения 77
IV.2 Решение задачи в условиях плосконапряженного состояния среды 81
IV.3 Решение задачи в условиях плоской деформации 90
IV.4 Численные расчеты 100
Глава V. Решение задачи с шаровой полостью 106
V.1 Постановка задачи 106
V.2 Нахождение решений для функции дефектности и первого инварианта тензора напряжений 108
V.3 Нахождение компонент тензора напряжений 110
Заключение 119
Приложение 120
Литература
- Решение задачи деформирования упругой среды с цилиндрической полостью
- Спектральное уравнение для функции несовместности
- Выбор потенциала
- Решение задачи в условиях плосконапряженного состояния среды
Введение к работе
Одним из наиболее актуальных направлений механики деформируемого твердого тела является описание неупругого поведения материалов. Необходимость решать такие задачи часто возникает при моделировании характеристик реальных материалов при больших внешних нагрузках. Трудность решения таких задач связана с невозможностью описания внутренней структуры материала в рамках единой математической модели. Чтобы преодолеть эти трудности в рассматриваемом материале выделяют области с различным физико-механическим поведением среды: упругим, пластическим и т.д. В каждой из областей используется собственный способ описания, а затем решения сшиваются через краевые условия на границе областей.
В механике деформируемого твердого тела построены различные теории, позволяющие определять поведение материалов. В теории упругости, см., например [1-4], предполагается, что процесс деформирования является обратимым, то есть материал возвращается в первоначальное состояние при снятии внешних нагрузок. Основной кинематической гипотезой теории упругости [1,2] является гипотеза сплошности. С точки зрения физики это предположение соответствует тому, что упругое тело имеет структуру идеального кристалла, не содержащего дефекты. Если мы задаем движение среды в переменных Эйлера, тогда в качестве меры полной деформации используется тензор Альманси Ау, который, по предположению теории упругости, совпадает с тензором упругой деформации є у . Чтобы записать уравнения состояния материала, необходимо задать внутреннюю энергию как функцию энтропии и тензора Єу . Эти соотношения следует дополнить законами сохранения, сформулировать начальные и сохранения, сформулировать начальные и краевые условия, тогда получаемая система уравнений является замкнутой и позволяет описать термомеханическую эволюцию материала в рамках модели упругой сплошной среды.
Теория упругости проста и удобна в использовании, так как процессы деформирования описываются с помощью гладких функций, тензор напряжений среды связан алгебраически с тензором деформаций, внутренняя геометрическая структура среды евклидова. Но в рамках теории упругости нельзя описать состояния среды, в которых проявляются ее диссипативные свойства. В частности, процесс образования в материалах дефектов структуры, свойство пластичности материалов требуют для своего описания других математических моделей.
Одно из возможных расширений теории упругости для описания диссипативных процессов деформирования твердого тела предлагается в теории пластичности, см., например [5-7]. Физической гипотезой теории пластичности является предположение о том, что полная деформация материала содержит обратимую (упругую) и необратимую (пластическую) компоненты. Тогда можно разделить тензор полной деформации — тензор Альманси — на упругую и пластическую составляющие. Тензоры пластической р(- и упругой Єц деформаций рассматриваются как независимые термодинамические переменные. С помощью формализма неравновесной термодинамики [8] можно записать уравнения переноса для этих тензоров, определяя их связь с другими кинематическими и динамическими характеристиками рассматриваемой модели сплошной среды. Связь тензора /L с тензорами є у и Pjj является неоднозначной. В предположении аддитивной зависимости тензора Альманси от тензора упругой и пластической деформации этот подход реализован в [9] для построения класса моделей упруго-пластических материалов при произвольных полных деформациях. Этот класс моделей, охватываемый единым описанием в рамках используемого формализма, достаточно широк и в качестве предельных включает в себя как модель обычной вязкой жидкости, так и идеально пластического тела. Более сложные (нелинейные) зависимости между тензорами используются в [10], здесь также приведены ссылки на более ранние работы по проблеме конечных упругопластических деформаций.
Таким образом, модели, строящиеся в теории пластичности, позволяют описывать более широкий круг практических задач, моделируя материалы, имеющие упругие, пластические, вязкостные свойства. Однако теория теряет простоту и удобство в использовании, присущее теории упругости. Кроме того, как подчеркивают авторы [5, стр. 9]: "Теория пластичности идеализирует сложное поведение реальных материалов при пластическом деформировании, причем для различных областей применения используются гипотезы, определяющие различные модели пластических тел". Фактически это означает, что в математических моделях, построенных в макроскопической теории пластичности деформируемого твердого тела нет той степени непротиворечивости, которая достигнута в модели упругой сплошной среды.
Выделенное положение модели упругой сплошной среды определяется, по-видимому, следующим фактом. Дело в том, что картина развития упругой деформации характеризуется более простыми физическими механизмами в отличие от упругопластических процессов. В частности, анализ напряженно-деформированного состояния материалов в рамках модели упругой сплошной среды выполняется при малой внешней нагрузке. В этом случае внутренние напряжения в материале таковы, что они не приводят к проявлению его структурных свойств, зависящих, в частности, от характера нагружения, предыстории материала и других факторов. Тогда, при введении феноменологических параметров в теорию, для описания малой деформации достаточно использовать упругие постоянные, которые можно определить из массового эксперимента. Иная ситуация возникает при описании пластических свойств материала. Экспериментальные исследования показывают [11], что при пластическом течении идут процессы структурной перестройки. В классических моделях теории пластичности (см., например, [5]) учитывается только деформационное упрочнение материалов. Это реализуется в представлении деформаций в виде двухста-дийного процесса: упругого и пластического. На макроскопическом уровне рассмотрения результаты теории находят экспериментальное подтверждение. Однако такой подход не позволяет описать экспериментально наблюдаемую картину развития пластической деформации на промежуточных масштабах: между микроскопическим и макроскопическим. Выделение таких масштабов в кристалле определяется тем, что коллективные движения дефектов приводят к появлению в нем нового качественного состояния, характеризуемого существованием так называемых уровней деформации. Это, в частности, подтверждается экспериментально хорошо известным поведением поликристаллических материалов [12], для которых процесс пластического течения является многостадийным.
В последние годы для описания динамики дефектов предлагался калибровочный формализм Янга-Миллса. В 1982 году Кренер [13], а чуть позже Гюнтер [14], а также Кадич и Эделен [15] предложили его использовать для описания дефектных структур в сплошной среде. Полученные [16-19] в рамках этого подхода уравнения использовались для анализа волновых процессов упругопластического деформирования в среде. Однако в калибровочных теориях механики сплошной среды приходится решать проблему интерпретации введенных компенсирующих полей. В частности, для описания пластического деформирования различных материалов [16-19] калибровочные поля сопоставляются пластическим дисторсиям. Такое соответствие является результатом того факта, что физический механизм пластического деформирования определяется дефектами кристаллической структуры материала, для описания которых используются калибровочные поля.
Возможное решение проблемы построения замкнутой модели упру-гопластического поведения материалов, содержащих дефекты структуры, было предложено Мясниковым В.П., Гузевым М.А. в цикле работ [20-26]. Общая идея подхода состоит в том, что авторы использовали при построении новых моделей сплошной среды в качестве дополнительных термодинамических переменных "скрытые" геометрические параметры классической теории упругости. В классической теории эти параметры тождественно равны нулю, что связано выполнением гипотезы о совпадении внутренней геометрии материала с геометрией евклидова пространства наблюдателя. При отказе от этой гипотезы "скрытые" параметры становятся отличными от нуля и допускают интерпретацию как геометрические объекты афинно-метрических пространств. Этот подход был использован в работах [20-26] для построения нового класса моделей упругопластического поведения материалов в предположении об афинно-метрической структуре внутренних взаимодействий между частицами сплошной среды. Доказано, что этот класс является геометрически замкнутым и описывает эволюцию дефектных структур на различных масштабных уровнях, их взаимодействие между собой и с полем обратимых деформаций.
Идея использовать геометрические объекты неевклидовой природы для описания дефектов кристаллической структуры принадлежит Кон-до и Билби [27,28]. Она возникла при анализе дефектов дислокационного типа в рамках физических теорий прочности и ного типа в рамках физических теорий прочности и пластичности. В работе [21] впервые была предпринята попытка объединить подходы исследователей, работающих в механике сплошной среды и физике пластичности. В [20] доказано, что поле равновесных напряжений в сплошной среде можно представить в виде суммы двух слагаемых: самоуравновешенных и упругих напряжений. Первые определяются через компоненты связности многообразия, порождаемого дефектами структуры. Упругие напряжения вводятся с целью компенсации поверхностной составляющей самоуравновешенных напряжений. Совместное действие этих полей позволяет образцу сохранять свою форму в состоянии равновесия при отсутствии внешних сил.
Хотя в [20] предлагается ввести поля с указанными свойствами, тем не менее, в рамках этого подхода подробно не исследовались различные задачи механики деформируемого твердого тела, в частности, не анализировалась связь этих полей с такой термодинамической характеристикой как энтропия. В диссертации показано, что существование ненулевых самоуравновешенных напряжений в среде связано со свойством неоднородного распределения энтропии в материале. Подход, предложенный в [20] для построения полей напряжений с учетом их самоуравновешенной компоненты используется в диссертации для исследования задач, при моделировании остаточных напряжений материалов, возникающих в результате их технологической обработки, и других областях, не находящих удовлетворительного решения в рамках классической теории. Такие задачи возникают, в частности, в механике горных пород.
Известно [29], что деформирование и разрушение горных пород при проходке горных выработок на больших глубинах в ряде случаев носит аномальный характер, известный в литературе как "зональная дезинтеграция". Зарегистрированное в 1992 в качестве открытия, яв- ление зональной дезинтеграции до сих пор не нашло своего удовлетворительного объяснения.
В экспериментах установлено [30], что деформирование пород в окрестности горных выработок образует чередующиеся локальные зоны разрушения и уплотнения породы. Топологически границы зон обычно повторяют форму границы выработки и повторяются с периодом, сопоставимым с диаметром выработки. Нарушение монотонности деформирования массива и локализация разрушения на дискретных участках массива затрудняет описание такого поведения пород на основе классических моделей механики сплошной среды. Тем не менее, решение проблемы установления механизма зонального разрушения и деформирования горных пород вокруг подземных выработок имеет большое значение для развития теоретической и экспериментальной геомеханики, а также для разработки технологии строительства горных выработок в условиях больших глубин.
В работе [31] описываются некоторые результаты исследований, которые были проведены на различных золотодобывающих рудниках Южной Африки. На этих рудниках золотосодержащую породу часто приходится извлекать с глубины 2000-3000 метров и вокруг выработок образуется область разрушенной горной породы. Чтобы исследовать картину зонального разрушения были пробурены скважины в направление, перпендикулярное выработке. Перископические наблюдения выявили картину разрушения, которая не укладывалась в известные научные представления о поведении горных пород. Оказываются, что разрушения образуются в дискретных зонах шириной около одного метра, разделенные зонами твердой породы также шириной около метра. В горизонтальном направлении эти зоны простираются до 12 метров, а в вертикальном до 5 метров.
В работах отечественных исследователей [33-39] также отмечается зональный характер разрушения пород вокруг горных выработок. Исследования закономерностей зонального деформирования и разрушения горных пород вокруг выработок, подвергшихся воздействию горного удара, проведены в условиях Южного месторождения (Приморье) [40]. В результате исследований установлен эффект зонального разрушения массива горных пород вокруг подвергшейся воздействию горного удара одиночной выработки. Зоны интенсивной трещиноватости в окрестности выработки строго чередуются с относительно монолитными участками массива.
Задача о распределении поля напряжений вокруг горной выработки математически эквивалентна задаче о деформировании сплошной среды вокруг полости с заданными соответствующими компонентами напряжений на границе и бесконечности. В рамках классической теории напряжения связаны с тензором деформаций, который удовлетворяет условию совместности, однако в работе [41] говорится о том, что возможен способ описания наблюдаемых на практике «зон дезинтеграции» через отказ от классического условия совместности деформаций по Сен-Венану. Так же там указывается, что отказ от условий совместности «делает проблематичным использование аппарата линейной теории упругости для решения задач геомеханики и требует построения новой теории». Сложность построения единой теории явления зональной дезинтеграции определяется необходимостью моделировать поведение среды, обладающей свойствами как упругого деформирования (неразрушенные зоны вокруг выработки), так и процесса разрушения. С физической точки зрения, формирование зон разрушения зависит от наличия в среде микродефектов, которые под действием приложенного напряжения приводят к образованию макроскопических структур, в частности магистральной трещины [29], повторяющей форму выработки. Для описания дефектов можно использовать неевклидовы модели, построенные в [20-26], отказываясь от упруго-пластического поведения материалов.
Напомним, что в диссертации для описания поля напряжений вокруг полости используется неевклидова модель сплошной среды. При этом в терминах напряжений постановка задачи остается классической: справедливы уравнения равновесия сплошной среды и соответствующие краевые условия. Неклассическими являются выбор уравнения состояния: вводим дополнительный параметр, характеризующий несовместность деформаций. Говоря другими словами, мы решаем неклассическую задачу Ламе. Во второй главе работы показывается, что отказ от выполнения условий совместности приводит к тому, что тензор напряжений содержит как классический вклад — тензор напряжений, удовлетворяющий уравнениям теории упругости, так и неклассический вклад — самоуравновешенные напряжения. Введенные новые характеристики среды допускают интерпретацию в терминах внутренней метрики среды.
Другая проблема механики, для которой представляет интерес построение полей самоуравновешенных напряжений, связана с моделированием остаточных напряжений в материалах и конструкциях [30]. Анализ показывает, что практически все изделия обладают ненулевыми внутренними напряжениями, которые возникают в результате технологической обработки материалов. Эти напряжения могут быть сравнимы по величине с внешними воздействиями, поэтому оказывают существенное влияние на термомеханическое поведение материалов. Любопытно заметить, что авторы [30] используют параметр, характеризующий несовместность деформаций, для вычисления остаточных напряжений. Это означает, что модель среды не являются классической, хотя предполагается линейная зависимость между определяю- щими параметрами. Остаточные напряжения удовлетворяют условиям равновесия с нулевыми краевым силовым условиям:
Т- =0, СТцП: „ = 0. fix* Ч J dV ox dV
При этом эти напряжения являются самоуравновешенными полями, т.е. выполняются интегральные силовые и моментальные условия равновесия (11.17), (11.18) соответственно. Этот класс задач в диссертации не рассматривается. Но учитывая, что структура поля напряжений аналогична той, что анализируется для задач геомеханики, то можно надеяться, что построенные решения будут представлять теоретическую и практическую ценность для исследования проблемы остаточных напряжений.
Теперь опишем содержание работы. Она состоит из пяти глав.
В первой главе диссертации приводится вывод уравнений модели упругого деформирования сплошной среды в рамках формализма неравновесной термодинамики.
Выводимое в рамках термодинамической схемы уравнение состояния среды преобразуется в случае линейного приближения в закон Гу-ка. Линейная связь тензоров напряжений и деформаций через закон Гука позволяет перейти к описанию модели в терминах тензора напряжений.
В линейном приближении рассматриваются ограничения на структуру тензоров деформаций є у и напряжений <т;у, налагаемые принимаемой в классике гипотезой сплошности: в терминах тензора деформаций это условие означает существование векторного поля, порождающего данный тензор, в терминах тензора напряжений оно имеет вид
ЗА+ 2// д А + и д
М dxldxJ -Лсг,-,+ - :—7акк =0-
В стационарной постановке в терминах напряжений дана формулировка и приведено решение задачи о всестороннем сжатии неограниченной сплошной среды с полостью цилиндрической и сферической формы.
Во второй главе строится неклассическая модель деформирования упругой среды.
В пункте II. 1 для твердого тела, находящегося в механическом равновесии ставится задача вычисления поля самоуравновешенных напряжений через термодинамические параметры сту =Лу+Ту, где л^ — ( я2 Л компоненты са- т я л д Sклассическое упругое поле, а Ти =а o;iAg :—: 1 \ 3 3xldxJ моуравновешенных напряжений. Структура поля напряжений сГу аналогично той, что получена в [20].
Функция g характеризует внутреннюю структуру материала и является дополнительным параметром теории; чтобы замкнуть модель, необходимо написать уравнение для g и задать краевые условия. В пункте II.4 предлагается уравнение на функцию g в виде
Для корректности решения этого уравнения краевые условия можно выбрать в виде Дирихле и Неймана соответственно sU=0' п' dg_ дх1 V Постановка задачи для определения g допускает выбор обоих краевых
Л$ условий. Для этого достаточно повысить порядок уравнения: A2g = yAg = y2g.
Исходя из приведенной зависимости между компонентами напряжений (7л- и функцией g, рассматривается так же возможность построения замкнутой модели в терминах напряжений.
В пункте II.5 приводится формальное обоснование соотношений для поля напряжений в рамках вариационного исчисления. С этой целью предполагается, что во внутреннюю энергию U среды входят слагаемые, характеризующие самоуравновешенные напряжения и их взаимодействие с полем упругих напряжений. Уравнения модели следуют из условия экстремальности функционала внутренней энергии I = $dVp0U. Вариация функционала по компонентам вектора переме- /Су щения дает уравнения равновесия среды и показано, что поле напря-жений в среде представляет сумму упругих и самоуравновешенных напряжений. Конкретный выбор метрики среды приводит к формулам для записи самоуравновешенных напряжений, предложенным из эвристических соображений. Естественные краевые условия для напряжений совпадают с классическими.
В третьей главе исследуется вопрос термодинамической корректности модели, уравнения для которой получены во второй главе. Приводится вывод уравнений модели в рамках формализма неравновесной термодинамики. Для учета внутренней структуры материала в число определяющих параметров модели вводится скалярная гауссова кривизна R. Ранее было показано, что для плоских задач ее значение характеризует совместность для тензора упругих деформаций.
Используемая термодинамическая схема позволяет вывести урав-(ф) нения модели, связывающие параметр R с тензором напряжений и .4 тензором полных деформаций. Уравнение, полученное для определения скалярной кривизны рассматриваемой сплошной среды, и постановка для него краевых условий совпадает со спектральной задачей, выведенной для параметра g во второй главе: AzR = -yR, R\dv=0, —
,2„ ..„ „і Л dR
Четвертая глава посвящена решению задачи деформирования неог раниченной сплошной среды вокруг полости цилиндрической формы в рамках неевклидовой модели. В случае малых деформаций находится стационарное распределение напряжений в среде вокруг полости. Симметрия задачи позволяет решать ее в плоской постановке. Рас сматриваются две возможные постановки задачи: плосконапряженная у. постановка и случай плоской деформации. В пункте IV.2 решается за- Гч-У дача в условиях плосконапряженного состояния среды без явного вве- дения функции g. Решение задачи в условиях плоской деформации рассчитывается на основе модели с учетом функции g.
Решения для компонент тензора напряжений <тгу и функции g представляются в виде разложения в ряд по косинусам от полярного угла. В условиях плосконапряженного состояния среды, получаемые решения определяются функциями Бесселя Jn(4yr) и Неймана N„(yfyr), тогда как в случае плоской деформации в решение дополнительно входят функции комплексной переменной Kn(*Jyr), 1„(у[уг). Набор функций в решении зависит не от постановки задачи, а от выбора уравнения для функции дефектности: уравнение четвертого порядка предполагает 4 независимые функции, а уравнение для а имеет второй порядок.
В ведущем порядке полученные решения для компонент тензора Ьф- напряжений можно анализировать по нулевой гармонике — функции, зависящей лишь от радиус-вектора г. Сравнение получаемых решений с решением данной задачи в рамках классического формализма теории упругости показывает, что решение представимо в виде суммы классического решения и неклассической добавки. Обнуление параметра у сводит полученные решения, так же как и саму модель, к классической, что говорит о непротиворечивости расширения модели.
Сопоставление решений задачи в плосконапряженном и плоскоде- формированной постановке приводит нас к выводу, что независимо от выбора уравнений на функцию дефектности, решение имеет волновой характер по переменной г. Этот характер решения сохраняется и для компонент тензора напряжений, что дает возможность использовать построенные решения для описания процесса зонального разрушения 'С^ горных пород вокруг подземных выработок.
Это является одной из возможностей физической интерпретации введенной функции g и полученных неклассических добавок. Применяются силовые критерии геомеханики чтобы локализовать области среды, в которых при определенном давлении разрушается порода. Для этого строится функция критерия и, исходя из экспериментальных данных, определяется критическое значение, при достижении которого функцией в определенной области, можно говорить, что эта область является областью дезинтеграции породы. В качестве функций критерия нами были рассмотрены условия пластичности Мизеса, Треска и Ивлева. Численные расчеты показали, что максимумы различных критериев практически совпадают и отвечают условиям экстремума функции дефектности. Расчеты проводились как с первым приближением решений (по первой гармонике ряда), так и с учетом трех первых гар-v\* моник решения. В первом случае мы получаем возможность достаточ- но простым способом описывать явление зональной дезинтеграции ^g> [29]. Модель предсказывает возможность возникновения, кроме по- всеместно описанных зон дезинтеграции, располагающихся периодично и топологически повторяющих границу выработки, еще и "лучевые" зоны разрушения, направленные ортогонально первым по лучу от границы выработки вдоль радиус-вектора.
В пятой главе приводится решение задачи деформирования неогра ниченной сплошной среды вокруг шаровой полости. Характер полу ченного решения аналогичен задаче с цилиндрической полостью. Ре шение для компонент тензора напряжений представляется в виде раз ложения в ряд по сферическим функциям. В первом приближении по ведение функций можно анализировать по первой гармонике. Ее мож но представить в виде суммы классического решения и неклассиче ской добавки. Неклассический вклад в решение определяется функ- ^> циями Бесселя первого и второго рода половинного аргумента J і(уІУг)> N \(y[yr), К i(yfyr). Для описания возможности форми- п+— п+— п+- рования зон дезинтеграции и схемы их расположения применим метод использования силовых критериев, описанный в пункте IV.4.
Основные материалы диссертации опубликованы в работах [51-61]. В совместных работах [54-59,61] автором были получены аналитические решения в рамках предложенных моделей М.А. Гузевым. В работах [53,60] (совместно с М.А. Гузевым и В.В. Макаровым) автором были проведены численные расчеты для математических моделей и подбор параметров модели по данным разных экспериментов.
Решение задачи деформирования упругой среды с цилиндрической полостью
Рассмотрим задачу о всестороннем сжатии неограниченной сплошной среды, имеющей полость цилиндрической формы. Введем цилиндрические координаты [r,(p,z] так, чтобы координата z совпала с осью симметрии полости — кругового цилиндра радиуса г0 . Задача рассматривается в стационарной постановке (1.36): #
Краевыми условиями задачи будет требование ограниченности на бесконечности компонент тензора напряжений и равенство нулю нормальной компоненты тензора напряжений на границе полости г = г0:
В силу симметрии задачи полагаем єг(р=0, а условия плоской деформации приводят к соотношениям rz = V = zz = 0 . Тогда компоненты тензора напряжений не зависят от угла и координаты z и Jrw= Jrz=(7 pz= J(pz= Компоненту JZZ, согласно формулам (1.20), (1.21), можно выразить через свертку тензора напряжения т:
Решение для компоненты сг следует из (1.42)—(1.44) и полученных решений для функций а, а,.,.. Удовлетворяя краевым условиям на гра ф нице и на бесконечности, получим представление для отличных от нуля компонент тензора напряжений: ст2Лг) = 2 + v Кроме случая плоской деформации, задачу можно решать и в условиях плосконапряженного состояния. Тогда выполняется уравнение равновесия (1.39) и уравнение совместности (1.38) с краевыми условиями в виде (1.40) и ar(p = arz -(Ущ =GZZ =0- Разница в решениях задачи для плоской деформации и плосконапряженного состояния лишь в величине компоненты тензора напряжений crzz. В плосконапряженной постановке задачи crzz =0, а в условиях плоской деформации она определяется через первый инвариант тензора напряжений (1.41).
Задача деформирования упругой среды с полостью сферического типа Рассматривается стационарная задача о распределении поля напряжений в среде с шаровой полостью при всестороннем сжатии. Задача решается в сферических координатах {г,(р,в}, начало которых совпадает с центром полости — шара радиуса г0. Уравнения равновесия (1.36) записываются в сферической системе координат в виде [3]:
В этой главе показано, что поле самоуравновешенных напряжений в сплошной среде определяется неоднородным распределением энтропии в материале. Показано, что этот вклад в энтропию напрямую связан с первым инвариантом внутреннего метрического тензора. Предлагается спектральная задача для вычисления этого инварианта. В рамках вариационного формализма дается обоснование структуры поля равновесных напряжений в сплошной среде.
Рассмотрим твердое тело, находящееся в механическом равновесии. При отсутствии массовых сил, внутри объема тела справедливы урав ;f нения равновесия Коши и равны нулю силы на поверхности тела:
В классической теории упругости в равновесии полагают сГу=0 и всюду внутри тела, и на его поверхности. Однако, технологам хорошо известно [30], что в условиях равновесия (II.1) напряжения не равны нулю. Напомним (см. Введение), что напряжения, существующие в телах или конструкциях при отсутствии внешних силовых, тепловых и других воздействий принято называть остаточными. Некоторые исследователи называют эти напряжения собственными, внутренними, технологическими, сварочными, закалочными [30].
Спектральное уравнение для функции несовместности
Ответим на следующий вопрос: в каком виде можно записать уравнение для g Если предположить, что конфигурационный вклад в энтропию представим в виде разложения по степеням функции g и это разложение не содержит производных выше второго порядка, то, учи } тывая (11.30), уравнение на g представляется в виде: Ag = 0(Vg,g). (11.31)
Для простоты дальнейшего анализа ограничимся малыми отклонениями g — gQ от некоторого начального состояния, для которого 0 = 1 , Ф(0,0) = 0, соответственно разложение принимает вид: где Ф1 — произвольный постоянный вектор, Фо — скаляр. Уравнение допускает редукцию, при которой можно исключить первые производные. Делаем замену g- G: и приравняем первые производные от функции G в получившемся выражении (11.34)
Для того, чтобы получившееся равенство тождественно выполнялось, достаточно выбрать функцию / в виде
Так как g и G отличаются на известный множитель (11.35) и, без ограничения общности, можно полагать 4 =0, то уравнение для определения g записывается в виде (11.36) где у — феноменологический параметр теории. Как известно [46], по \«й добные уравнения возникают при решении различных спектральных задач. Уравнение (11.36) следует дополнить краевыми условиями. Они определяются из физических требований: на границе 3V образец не должен содержать структур, значит, SJJ —SQ\ V = 0. Отсюда и из (11.30),
Заметим, что краевые условия (11.39), заведомо позволяют удовлетворить второму закону термодинамики. В соответствии со вторым законом термодинамики энтропия образца не убывает, то есть ldVpo(sH-so) 0. (11.40)
При этом локально ЗЦФБ, В общем случае, и конфигурационный вклад в энтропию отличен от нуля в каждой точке. Величина этого вклада параметризуется спектральным параметром у (см. (11.36)).
Итак, для функции g можно выбрать краевые условия в виде (11.37) или (11.39). Постановка задачи для определения g допускает выбор обоих краевых условий. Для этого надо повысить порядок уравнения на g. Формально это следует из (11.36) после применения оператора Лапласа к обеим частям соотношения
Это уравнение четвертого порядка. Чтобы построить решение, надо указать два краевых условия. В качестве таковых выберем (11.37), (11.39):
Введенная в модель функция g носит вспомогательный характер. Физический смысл имеет полное поле напряжений, вычисляемое через g и поле упругих напряжений. Поэтому естественным будет задать уравнение (11.36) для силовых характеристик. Согласно (11.23), (11.19) суммарное поле напряжений в материале имеет вид: ij= ij+ X Отсюда следует, что первый инвариант ст = (7/.- тензора напряжений равен = jrcl+2aAg. (11.43)
Напомним, что сг0 удовлетворяет уравнению совместности (1.38), то есть является гармонической функцией. Как выше было указано, уравнение для функции g можно выбрать в виде (11.36) или (11.41). Пусть g удовлетворяет уравнению (11.36), тогда Введем отклонение а от классического инварианта: а = а-а Комбинируя (11.43), (11.44), имеем следующую цепочку вычислений: Таким образом, мы опять получили спектральное уравнение, аналогичное (11.36). Пусть в модели используется уравнение для функции g в виде (11.41). Факторизуем его:
Общим решением уравнения четвертого порядка (11.46) будет сумма общих решений однородных уравнений второго порядка g = g-+g+ (Л-гк_=0, (A + r)g+=0. (11.47)
В этом легко убедиться. Из (11.46) следует (A + /)g = g_. Решение этого уравнения имеет следующий вид: g = (A + y) g_+g+. Первое слагаемое можно записать в виде (А + у) g_ = Bg_, где В = Const. Чтобы в этом убедиться, применим к этому соотношению оператор (А + у):
В (11.49) можно выбирать функцию, параметризующую т через g_ или g+. Ясно, что функция а также удовлетворяет уравнению (11.45).
Приведенные вычисления позволяют высказать эвристические соображения относительно возможности записи уравнения для первого инварианта тенора напряжений. Вместо однородного уравнения совместности (1.38) мы требуем выполнения уравнения в виде (11.45). Если у рассматривается как спектральный параметр, то значение у = 0 соответствует случаю, для которого а — гармоническая функция, то есть уравнение (11.45) охватывает классическую модель (/ = 0) и возможные ее расширения.
Выбор потенциала
Выше (см. Глава I) была построена и проанализирована модель деформирования сплошной среды в рамках теории упругости и дано решение задачи о всестороннем сжатии среды с полостью цилиндрического и сферического типа. Формулы (1.45), (1.50) показывают, что компоненты тензора напряжений монотонно стремятся к предельному значению на бесконечности. Во введении указано, что экспериментальные данные и эмпирические наблюдения за процессами деформирования горных пород в окрестности искусственных выработок показывают [32,33], что вокруг выработок, при достаточно большом давлении, наблюдаются периодически расположенные области разрушения (зоны дезинтеграции) породы, по форме повторяющие границы выработки. Для выработок сферического типа было замечено образование еще и зон разрушения, направленных вдоль радиус-вектора. Образование зон дезинтеграции, повторяющих форму выработки, говорит о волнообразном поведении компонент тензора напряжений, а появление зон разрушения, расположенных вдоль радиус-вектора указывает на зависимость напряжений от полярного угла. В рамках теории упругости такое поведение горных пород описать невозможно.
Трудность построения количественной теории явления зональной дезинтеграции определяется необходимостью моделировать поведение среды, в которой присутствуют зоны с упругими свойствами и зоны разрушенные. С физической точки зрения, формирование зон разрушения зависит от наличия в среде микродефектов, которые под действием приложенного напряжения приводят к образованию макроскопических структур, в частности магистральной трещины [34], повторяющей форму выработки. Построение моделей сплошной среды с неевклидовой внутренней геометрией согласно формализму, описанному выше (см. Глава II), дает возможность моделирования подобных сред с дефектами.
Анализ, проведенный в пункте 1.2, показывает, что именно вводимая теорией упругости гипотеза евклидовости сплошной среды (1.22) накладывает ограничение на структуру тензора напряжений и связанного с ним тензора деформаций. Отказ от выполнения гипотезы сплошности дает возможность расширить класс физических процессов, описываемых моделью. Как было показано в пункте II. 1, это приводит во-первых, к необходимости введения в модель дополнительных параметров для описания несовместности деформаций. Затем для введенных дополнительных параметров необходимо указать дополнительные независимые соотношения, чтобы замкнуть систему уравнений модели. А затем указать способ связи их с макроскопическими характеристиками среды и данными.
Уравнения задачи запишем в цилиндрической системе координат {r,cp,z} так, чтобы координата z совпадала с осью симметрии полости
— кругового цилиндра радиуса г0. Решение подобной задачи в рамках классической модели было представлено в пункте 1.3. Уравнениями модели будут уравнения равновесия (1.36), которые в цилиндрической системе координат имеют вид:
При условии, что задача будет решаться в условиях плосконапряженного состояния материала, имеем cr =(7 =crzz =0 , все функции не зависят от осевой координаты z. Первый инвариант тензора напряжений равен Уравнения равновесия (IV.1) можно замкнуть обобщением уравнения совместности в виде (11.45):
Здесь а — неклассический вклад в функцию т = а1С1+д:, для классической части которой сгк1 выполняется уравнение совместности (1.38):
Краевые условия для компонент тензора напряжений ставятся по аналогии с классической задачей (1.40). На бесконечности все функции ограничены, на границе полости задано нормальное напряжение. Касательные напряжения на границе отсутствуют, так как расстояние до поверхности значительно больше радиуса полости и сжатие можно считать равномерным:
Решение задачи в условиях плосконапряженного состояния среды
Анализ полученных решений показывает, что независимо от выбора уравнений на функцию дефектности, решение имеет волновой характер по переменной г. Этот характер решения сохраняется и для компонент тензора напряжений, что дает возможность корректно описать процессы зонального разрушения горных пород.
Решения задачи использовались нами для описания данных экспериментов о формировании зон дезинтеграции в подземных месторождениях [53]. Для определения расположения зон дезинтеграции вокруг выработки предлагается два способа их локализации.
Во-первых, согласно предложенной выше интерпретации, параметр дефектности g или R определяет распределение в массиве дефектов, а значит максимальные значения этой функции должны соответствовать максимальной концентрации дефектов в среде, а превышение ее неко торого предельного значения — разрушению массива. Второй способ индикации зон разрушения — это используемые геомеханиками силовые критерии: условия пластичности Мизеса, Треска и Д. Д. Ивлева [5,6]. Условия состоят в расчете критериальных функций и контроле достижений ими определенного критического значения, определяемо го через предел прочности материала а . Критериальные функции для вышеуказанных критериев имеют вид: компоненты главных напряжении. Поскольку величину параметра дефектности пока неясно как получать эмпирически, будем в дальнейших вычислениях использовать второй метод определения зон дезинтеграции — с помощью силовых критериев геомеханики.
На основании полученных решений были реализованы две схемы расчетов напряжений вокруг выработки для конкретной модели: с учетом только первой гармоники решений и с учетом трех первых членов ряда, в виде которого представлялось решение.
Первая схема основана на том, что в процессе дезинтеграции породы в первую очередь возникают периодические зоны, топологически повторяющие форму границ выработки. Для их описания в первом приближении достаточно указать на каком расстоянии от границы выработки они располагаются. Это возможно сделать, ограничиваясь первой гармоникой решения для компонент тензора напряжений. Первое слагаемое в разложении всех полученных функций не зависят от угловой переменной и соответствуют решению плоской задачи без учета угловой зависимости. Эти решения для модели, рассмотренной в условиях плосконапряженного состояния среды, приведены выше (смотри (IV.23), (IV.25) в пункте IV.2).
Расчеты производились для материала со следующими физическими характеристиками: модуль упругости Е = 200МПа , коэффициент
Пуассона v = 0.4, радиус выработки г0=2м , предел прочности мате риала а =ЮМПа. Для построения точного решения и возможности расчета по формулам (IV.41), (IV.23), (IV.25) необходимо предварительно определить из эмпирических данных постоянные а10 и у, являющиеся дополнительными степенями свободы модели. Параметр у определяется из условия JyrQ =5.5. С учетом указанных выше пара метров, значение а10 подбиралось порядка - уг0 ——. Такой вы бор объясняется асимптотикой функций критерия (IV.41), построенных в работе [58]. Алгоритм подбора параметров модели следующий: 1. Фиксируем радиус выработки г0. 2. Зная расстояние от границы выработки г0 до первой зоны разрушения L\, определяем параметр у так, чтобы функция критерия имела первый максимум в точке (Z,l + l)r0. 3. Используя значение а , при котором считаем условие критерия выполненным, подбираем параметр а10 так, чтобы функция критерия в точке (Z,l + l)r0 была равна а при давлении на бесконечности
Анализ построенных компонент тензора напряжений показывает, что напряжения имеют локальные экстремумы и точки максимумов характеристических функций KM{r), KT(r), K{(r) практически совпадают с точками экстремума функции R{r) (см. графики функций: по горизонтали отмечено расстояние от края выработки, измеряемое в радиусах выработки /Q, по вертикали — значение напряжений в МПа).
Первая зона дезинтеграции возникает на расстоянии 0.9г0 от края вы работки при давлении Рсо=\.\а . Согласно второму пункту алгоритма определяем параметр у. Для определения оставшейся постоянной а10 требуем выполнение силового критерия в первой зоне разрушения: функции KM(r), KT{r), Kj(r) должны достигать выбранного критиче ского значения а . Таким образом, все феноменологические параметры определены и решение полностью описывает поле напряжений вокруг подземной выработки при существовании зон дезинтеграции. В частности, из полученного решения можно заключить, что вторая зона разрушения возникает на расстоянии 2ArQ от края выработки, а третья при давлении Ро0=2.5ст и 3.2 т соответственно. Сравнение полученного результата с экспериментальными данными показывает, что различие между ними не превосходит 10%.
