Содержание к диссертации
Введение
1. Параметризация нелинейных уравнений деформирования твердого тела 32
1.1. Основные соотношения 33
1.2. Уравнения нелинейной теории деформирования 37
1.3. Уравнения продолжения 39
2. Конечно-элементная формулировка задачи нели нейного деформирования на основе параметризации 50
2.1. Параметризованные уравнения метода конечных элементов 53
2.2. О различных вариантах геометрически нелинейных соотношений при больших деформациях 59
2.3. Вычисление вектора обобщенных сил и касательной матрицы жесткости 75
3. Неявные алгоритмы интегрирования задачи коши для параметризованных уравнений нелинейной динамики гибких систем 80
3.1. Постановка задачи 82
3.2. Параметризация уравнений 84
3.3. Численная схема решения задачи Коши 85
3.4. Итерационный процесс 87
3.5. Сравнительные вычисления 93
3.6. Оценка локальной погрешности метода и выбор шага интегрирования 104
4. Конечно-элементная реализация частных задач о нелинейном деформировании упругих тел с использованием наилучшей параметризации
4.1. Пространственное деформирование гибкого стержня 111
4.2. Численные примеры решения задач о нелинейном деформировании гибких стержневых конструкций 143
4.3. Изгиб стержня из нелинейно-упругого материала 156
4.4. Моделирование нестационарной динамики 161
4.5. Конечно-элементная формулировка плоской задачи теории упругости в геометрически нелинейной постановке 182
4.6. Геометрически нелинейное деформирование твердых тел из нелинейно-упругого материала 192
5. Решение задач нелинейной механики абсолютно гибких стержней с использованием параметризации уравнений 203
5.1. Динамика космического аппарата с выпускаемым растяжимым тросом 204
5.2. Расчет статических состояний воздушных линий электропередачи 229
6. Использование наилучшей параметризации для решения нелинейных задач изгиба стержней из сплавов с памятью формы при прямом превращении 251
6.1. Определяющие соотношения 252
6.2. Уравнения состояния и их параметризация 255
6.3. Примеры моделирования нелинейного изгиба стержней из сплавов с памятью формы 258
Заключение 267
Литература
- Уравнения нелинейной теории деформирования
- О различных вариантах геометрически нелинейных соотношений при больших деформациях
- Численная схема решения задачи Коши
- Численные примеры решения задач о нелинейном деформировании гибких стержневых конструкций
Введение к работе
ВВЕДЕНИЕ
Из всего многообразия нелинейных задач линейность (пропорциональность) выделяет лишь некоторую «пограничную область», в которой задачи могут быть решены с использованием теории линейных дифференциальных и алгебраических уравнений. Желание распространить хорошо освоенные процедуры линейного анализа на решение нелинейных задач привели к идее их линеаризации, которая помогла заметно расширить область решаемых проблем. Появление быстродействующих вычислительных машин стимулировало развитие численных методов моделирования нелинейных процессов, сводя задачу к большим и, как правило, разреженным системам линейных уравнений, для которых разработаны разнообразные методы решения [117, 130]. Однако остается фактом, что математическая формализация и решение нелинейной задачи, в общем случае, уникальны и требуют специальных исследований.
Механика, по-видимому, является одним из основных «поставщиков» нелинейных задач, предлагаемых для решения научной общественности.
Существенный вклад в развитие механики сложных деформируемых систем и методов решения соответствующих нелинейных задач внесли: Н.А. Абросимов [1-3], В.Г. Баженов [2, 3, 6-Ю], Н.В. Баничук [11], В.В. Белецкий [13, 14], В.В. Васильев [18, 19, 116], А.С. Вольмир [20], А.Г. Горшков [27, 28], Э.И. Григолюк [29-31], В.И. Гуляев [33], Л.В. Докучаев [73], Е.М. Левин [14], А.И. Лурье [93-95], В.Н. Паймушин [118, 119], В.А. Светлицкий [126-128], В.И. Усюкин [133], Ф.Л. Черноусько [139], К.Ф. Черных [140], В.И. Шалашилин [22, 29, 50, 51, 53, 54, 56, 57, 62, 69-71, 77, 85-89, 118, 119, 141-146, 161, 163, 165], Ф.Н. Шклярчук [28, 32, 39, 42, 116, 147-150, 162], Л.И. Шкутин [151, 152], S.N. Atluri [176, 177, 180, 181], K.-J. Bathe [155, 156], von Flotov A.H. [195], D.H. Hodges [174, 175, 186, 187], L. Meirovitch [188, 189], V.J. Modi [159, 190, 191-192], J.C. Simo [202, 208], L. Vu-Quoc [202, 208], E.L. Wilson [155] и др.
Введение
Авиация, космонавтика, робототехника и сопутствующее высокотехнологичное производство, определяют свой круг проблем, связанных с моделированием нелинейного нестационарного движения деформируемых конструкций [см., например, 7-11, 13, 14, 20-22, 28, 32, 37-51, 115, 138, 139, 148, 188, 189].
При составлении нелинейных уравнений движения имеет место неоднозначность различных подходов и неправомочность некоторых гипотез при переходе от линейных моделей к нелинейным. Поэтому предъявляются очень высокие требования к достоверности и эффективности решения поставленных задач, поскольку адекватность и точность моделирования определяют жизнеспособность и безопасность научно-технических проектов.
Аналитические методы динамики создавались применительно к системам с малым числом степеней свободы. Были разработаны методы составления уравнений Лагранжа и канонических уравнений Гамильтона [93]. Создание новых образцов техники, в дальнейшем, стимулировало развитие методов расчета траекторий и угловых положений движущихся аппаратов, которые при моделировании заменялись некоторыми эквивалентными твердыми телами. При этом описание их движения с помощью уравнений Лагранжа или Гамильтона оказалось трудоемким и громоздким делом. Поэтому, в целях упрощения вывода уравнений вместо обобщенных координат было предложено использовать квазискорости, представляющие собой линейные формы обобщенных скоростей [93]. Содержание рассматриваемой частной задачи подсказывает, какие линейные формы скоростей можно считать квазискоростями. Примером могут служить проекции вектора угловой скорости тела на связанные с телом подвижные координатные оси или проекции на эти же оси вектора скорости полюса твердого тела. В этом случае оказывается возможным «спрятать» в обозначениях громоздкие величины, которые при обычных преобразованиях разрастаются, делая вычисления крайне трудоемкими с большой вероятностью простых ошибок. Однако в общем случае
Введение
квазискорости неинтегрируемы, т.е. не существует функций (обобщенных координат), дифференциалы которых являются квазидифференциалами, введенными в частной задаче. Квазикоординаты является условным понятием, удобным при выводе уравнений движения. С использованием квазискоростей были получены уравнения Эйлера-Лагранжа, Аппеля-Гиббса и другие варианты уравнений в квазискоростях. В известной книге А.И. Лурье [93] дается систематическое и полное изложение теории динамических систем с конечным числом степеней свободы. В работах Л.В. Докучаева (см., например, [73]) дается краткий обзор по этой теме, и подробно освещаются вопросы моделирования нелинейной динамики летательных аппаратов с упругими элементами и баками, частично заполненными жидкостью. Эти работы отличаются также изложением и анализом теории конечных поворотов, которая применяется при моделировании нелинейной динамики летательных аппаратов.
С развитием техники конструкции летательных аппаратов становятся более легкими, менее жесткими, а их габаритные размеры увеличиваются. Упругие колебания таких конструкций обладают низкочастотным спектром и поэтому существенно влияют на динамику. В последнее время являются актуальными вопросы динамика летательных аппаратов с деформируемыми элементами на участках быстрого вращения, при пассивной закрутке, одноосной ориентации, на участках разворотов при переориентации, т.е. в таких режимах, когда угловые скорости и углы поворотов конструкции являются конечными величинами.
Современный этап развития космической техники связан также с созданием крупногабаритных конструкций [см., например, 11, 13, 14, 32, 138, 169, 185, 188, 194, 195, 214]. Большие космические системы (несущие конструкции космических станций, платформы, радиотелескопы, крупногабаритные антенны и пр.) собираются или развертываются в космосе. Они функционируют в условиях, близких к невесомости и вакуума, подвергаются малым на-
Введение
грузкам и поэтому могут быть очень гибкими. Колебания больших упругих космических конструкций могут возникать под действием возмущающих и управляющих сил в процессе их развертывания, выполнения технологических операций сборки, стыковки, маневрирования и ориентации. При этом действующие нагрузки, а также гравитация и ускорение, особенно во вращательном движении, могут оказывать существенное влияние на упругодина-мические характеристики таких конструкций и, в результате, на их динамику. Это влияние в общем случае неустановившегося движения может быть учтено корректно только на основе геометрически нелинейной теории деформирования тела, даже если упругие деформации малы. В большинстве опубликованных работ, однако, перемещения определяются только для достаточно жестких конструкций [11, 33, 114, 138, 139, 209-211, 214]. Однако необходимо отметить фундаментальные работы Л.В. Докучаева [73], В.А. Светлицкого [126-128], В.И. Усюкина [133], Ф.Н. Шклярчука [32, 39, 42, 116, 147-150, 162], S.N. Atluri [176, 177, 180, 181], D.H. Hodges [174, 175, 186, 187], М. Iura [176, 177], К. Kondoh [180, 181], L. Meirovitch [188, 189], V.J. Modi [159, 190-192], J.C. Simo [202, 208], L. Vu-Quoc [202, 208], где предлагаются различные варианты описания нелинейного движения конструкций с сильно деформируемыми элементами, даются уравнения движения и алгоритмы построения численных решений. Работы Р.Г. Леви [125], М.Б. Метыо [125], А. Розена [125], Дж. Ч. Чена [138], J.D. Downer [172], Ulsoy A. Galip [215], А.Н. von Flotov [195], R.L. Huston [216], Y.K. Lin [214], C.Q. Liu [216], G.S. Nurre [194], C.E. Padilla [195], K.C. Park [172], R.S. Ryan [194], H.N. Scofield [194], R.A. Scott [215], J.I. Sims [194], B.K. Wada [209-211], A. Yigit [215], Y. Yong [214], D.J. Zhang [216] и др. освещают решение частных задач о деформировании движущихся гибких конструкций и являются хорошим дополнением к отмеченным выше работам.
Большую группу конструкций образуют трансформируемые упругие системы произвольной начальной конфигурации [см., например, 13, 14, 32,
Введение
33, 43, 46, 67-69, 162, 169, 172, 188-193, 196, 197, 203-207]. К этому классу конструкций относятся, прежде всего, разнообразные ферменные конструкции изменяемой геометрии, составные фрагменты которых представляют собой стержневые системы регулярной структуры. Примерами таких систем являются также многие виды развертываемых или собираемых на орбите крупногабаритных космических конструкций, таких как: орбитальные краны, антенны, манипуляторы антропоморфного типа, ферменные конструкции больших развертываемых телескопов или интерферометров, а также космические тросовые системы [14].
Чувствительность гибких систем по отношению к внешним и внутренним возмущениям ставит целый ряд трудных проблем перед конструкторами и разработчиками систем управления. Трудности усугубляются возможностью изменения конфигурации, а также высокими требованиями к точности управления движением системы в целом и отдельными ее элементами или к точности сохранения формы (например, для телескопов или интерферометров). Деформирование может носить существенно нелинейный характер, сопровождаться конечными перемещениями и углами поворотов, и конечными деформациями. Это ведет к проблеме создания сложных математических моделей, опирающихся на геометрически нелинейные соотношения [37-46, 48, 49, 73, 125, 138, 148-152, 167, 168, 172, 174-177, 186-195, 202, 208, 215, 216]. При этом требования к точности и достоверности таких моделей в большой степени обусловлены тем, что они, как правило, не могут быть проверены экспериментально из-за практической невозможности моделирования космических условий эксплуатации даже для конструктивных фрагментов. Задачи управления гибкими системами также ведут к разработке уточненных методов расчета. Поиски технического решения этой задачи привели в настоящее время к идеям адаптивности конструкций на основе использования «умных» материалов [209-211].
Введение
Практически важный класс нелинейных задач механики связан с моделированием статических состояний и колебаний воздушных линий электропередачи, а также оптоволоконной связи [16, 25, 83]. Проектирование или реконструкция линий связаны с анализом нелинейных прогибов проводов при большом числе ограничений, регламентируемых отраслевыми стандартами [123]. Исследование аварийных и особых режимов работы таких конструкций требует, например, решения задач об обрывах проводов на линии, анализа состояний при сильных оледенениях, расчета субколебаний проводов при их обтекании ветровым потоком и, наконец, моделирования явления галопирования - сильного хаотичного движения, которое, как правило, приводит к разрушению участков линий большой протяженности.
В добавление к вышеуказанным проблемам можно отнести физически нелинейные задачи, в которых исследуется процесс деформирования конструкций при работе материала за пределами закона Гука [77, 145], или при фазовых превращениях сплавов с памятью формы [15, 61, 63, 64, 92, 97-107]. Часто появляется необходимость одновременного учета физической и геометрической нелинейности, например, при решении задач определения предельной несущей способности конструкций и технологических задач.
Указанные выше проблемы, также как и многие другие в области механики деформируемого твердого тела, можно характеризовать некоторым рядом общих признаков. Во-первых, они формулируются в виде связанной системы нелинейных уравнений статического состояния, либо в виде нелинейных уравнений движения при заданных граничных и начальных условиях, а также дополнительных уравнений связи, например, кинематических. Во-вторых, такие задачи являются, как правило, однопараметрическими, т.е. их решение зависит от одного параметра или аргумента. Таким параметром может быть, например, естественный параметр времени. Параметром задачи может быть также параметр нагрузки, определяющий текущие величины нагрузок от нуля до их амплитудных значений, температурный параметр или
Введение
некоторый геометрический или конструктивный параметр. Физическая природа нелинейных задач позволяет рассматривать их решения как непрерывно зависящими от этого параметра. В-третьих, для таких задач, как правило, существенен вопрос об изменении решения по мере изменения параметра. Поэтому метод продолжения решения по параметру для них является есте-ствеїшьім и в определенной степени универсальным методом исследования, который позволяет линеаризовать исходную нелинейную задачу, т.е. свести ее решение к упорядоченной серии решений линейных задач.
Реализация продолжения решения нелинейных уравнений по параметру устанавливается теоремой о неявных функциях [134]. Ограничения, накладываемые этой теоремой, в большинстве нелинейных задач механики деформируемого твердого тела выполнимы.
Численная реализация продолжения решения, как правило, осуществляется в виде некоторого шагового процесса по параметру задачи. Действительно, рассмотрим систему из п нелинейных уравнений относительно вектора х = (ху,х2,...,хп), содержащую параметр р:
F(x,p) = 0. (1)
Нас будет интересовать поведение решений системы (1) при изменении параметра р. Принимая известным некоторое начальное решение jc(0), р0
уравнения (1), рассмотрим окрестность А точки Іх(0),/?0|єМ"+І '{Х>Р) в виде прямоугольного параллелепипеда в R"+l с центром в точке (х{0),р0).
Из теоремы о неявных функциях следует [29, 146], что если:
вектор-функция F определена и непрерывна в А;
в А существуют и непрерывны частные производные от F по всем аргументам x(., / = 1,...,и и параметру р;
в точке (х(0),р0) отличен от нуля якобиан det(J) = det(dF/dx),
Введение
то в некоторой окрестности точки (xw,p0) решения системы (1) являются однозначными непрерывными функциями х{=х,(р) такими, что хі(Ро) = хцо)> и производные dxjdp также непрерывны в этой окрестности.
При выполнении этих условий решение системы нелинейных уравнений в некоторой окрестности точки (х(0),рЛ, являющейся решением этой системы, образует единственную кривую К, проходящую через точку (х(0),р0). Чтобы получить теперь решение д:(1) системы (1) при близком к р0 значении рх мы можем продвинуться вдоль К. Иными словами, мы можем из точки (х(0)>Ро) однозначно продолжить решение в пределах некоторой окрестности. Если условия теоремы выполняются в точке ух(Х),р{ ], то решение снова
можно продолжить, и т.д. Этот процесс, схематично показанный на рис. 1 для случая трехмерного пространства Ш3 :{xvx2,x3,p}, как раз и реализует метод продолжения решения по параметру.
\ Ро )
Рис. 1. Схема продолжения решения вдоль интегральной
кривой К
Идея продолжения решения известна давно. Важно отметить, что именно она лежит в основе известного метода возмущений (метода малого параметра), первые применения которого восходят к работам У. Леверье (1886 г.) и А. Пуанкаре (1892 г.).
Введение
Эта идея использовалась также для доказательства существования решений нелинейных уравнений [173]. Схема такого доказательства следующая: в исходное нелинейное уравнение вводится параметр так, чтобы при его начальном значении решение уравнения было известным, а при некотором другом его значении уравнение обращалось в исходное. В этом случае, вопрос о существовании решения исходного уравнения сводится к существованию непрерывной кривой К. В теории пластин конечного прогиба такой способ доказательства успешно применил Н.Ф. Морозов [108-111]. Он ввел параметр р в виде множителя при нелинейных частях операторов уравнений Феппля-Кармана и доказал топологическую гомотопность операторов уравнений при /7 = 0 и р = 1.
Первое использование идеи продолжения в вычислительных целях принадлежит, по-видимому, М. Лаэю [183] (1934). Он ввел в трансцендентное уравнение Н(х) = 0 параметр р так, чтобы при р = р0 = 0 можно было легко получить решение x(0) =х(р0), а при р = рп =1 уравнение обратилось бы в исходное. Продвигаясь по последовательности р0< рх<... < рп, Лаэй предложил строить решения для каждого pt методом Ньютона-Рафсона, используя решение для предыдущего значения рІА в качестве начального приближения, которое должно быть достаточно близким к искомому решению. Формулируя свой процесс, М. Лаэй ставил задачу решить центральную для метода Ныотона-Рафсона проблему выбора начального приближения. Основное в работах М. Лаэя то, что он дал пример построения шагового процесса, где используется информация о решении из предыдущего шага. С этой точки зрения несущественно становится использование для итерационного уточнения решения метода Ныотона-Рафсона. Возможна реализация шаговых процессов по параметру с применением и других итерационных процессов. Позднее в работе [184] М. Лаэй распространил свой подход на системы уравнений.
Введение
Шаговые процессы по параметру с итерационным уточнением решения называются дискретным продолжением решения [146].
Другую формулировку метода продолжения по параметру дал Д.В. Да-виденко [34, 35] (1953). Он, по-видимому, был первым, кто рассматривал процесс продолжения решения как процесс движения и применил к нему математический аппарат дифференциальных уравнений.
Д.В. Давиденко рассмотрел систему из п нелинейных алгебраических
или трансцендентных уравнений относительно вектора х-(х{,х2,...,хп) , содержащую параметр р. В п-мерном евклидовом пространстве Ш" эту систему можно представить в форме F(x,p) = 0, где F = (FvF2,...,Fn) -
вектор-функция в пространстве W. Дифференцируя уравнения по р, он
сформулировал задачу отыскания множества решений системы, как задачу Коши:
Tdx dF Л dF . .
^-Г + ^~ = 0' J = T"' х(Ро) = х(0)-
ар op ох
Система уравнений этой начальной задачи называется уравнениями продолжения в неявной форме [146].
Такой подход открывает возможности использования для построения решений х{р) различных и хорошо исследованных схем интегрирования.
Простейшая из этих схем - схема Эйлера. К этому алгоритму сводится известный метод последовательных нагружений, предложенный В.З. Власовым и В.В. Петровым [120] (1959). Можно построить алгоритмы других схем, имеющих более высокий порядок точности (Рунге-Кутта, Адамса-Штермера и др.). Такие работы выполнены многими авторами и отражены в публикациях [см., например, 35, 36, 158, 178, 179].
Продолжение решения на основе интегрирования задачи Коши с помощью явных схем называется непрерывным продолжением решения [146].
Введение
В указанных работах Д.Ф. Давиденко и, далее, И.И. Воровича и В.Ф. Зи-паловой [23] (1965) показано, что с точки зрения продолжения решения нет принципиальной разницы между неизвестными х(. (/ = l,...,w) и параметром задачи р. Действительно, рассмотрим одно уравнение с двумя неизвестными F(x,,x2) = 0. Множество решений этого уравнения образует кривую К, показанную на рис. 2.
\в
А /і
Рис. 2. Наилучший параметр продолжения - параметр длины интегральной кривой решения
Процесс продолжения решения рассматривается как процесс интегрирования задачи Коши по параметру задачи. Этот процесс оперирует приращениями на каждом шаге. Поэтому, если в качестве параметра продолжения выбран х,, то вычислительная ситуация будет наилучшей в окрестности точки А. При приближении к точке В вычислительная ситуация ухудшается, т.к. вблизи нее Ах2 » Ах,, т.е. малому приращению аргумента Ах, соответствуют немалые приращения функции Дх2, что является признаком неустойчивости. Если же в качестве параметра выбрать х2, то наоборот, наилучшая вычислительная ситуация окажется вблизи точки В, а вблизи точки А появится неустойчивость.
Наилучшая ситуация в окрестности точек А и В реализуется, когда ось отсчета параметра параллельна касательной к кривой К в этих точках. Этого можно достичь, выбрав в качестве параметра продолжения длину дуги Я, отсчитываемую вдоль кривой К.
Введение
Как известно, точки на кривой К, где касательная становится нормальной к оси параметра р, называются предельными. Переход от уравнений продолжения по параметру р к уравнениям продолжения по параметру хк в
окрестности предельной точки лежит в основе известного приема смены параметра продолжения. Было высказано много предложений по выбору такого параметра продолжения решения, который позволил бы избежать смены параметра [31].
В работах 1972-1979 и 1984 г.г. Е. Рикс [198-201] поставил вопрос о выборе такого параметра продолжения, который бы обеспечил наибольшую обусловленность решения соответствующей ему системы линейных уравнений. Эта система была дополнена уравнением (а,х) = 1, где компоненты вектора а определялись из условия максимума меры обусловленности расширенной линейной системы. В качестве этой меры была принята величина определителя, отнесенная к произведению квадратичных норм его строк. В результате было показано, что наибольшую обусловленность обеспечивает движение в направлении по касательной к кривой К и тем самым Рикс обосновал предложение И.И. Воровича и В.Ф. Зипаловой. Но практическая реализация выбора оптимального параметра продолжения у Е. Рикса оказалась связанной с громоздкими вычислениями, что отмечает и сам автор.
Дальнейший вклад в развитие идей параметризации внесли работы В.И. Шалашилина [29, 85-89, 141-146]. В его работах рассмотрено и всесторонне обосновано применение метода продолжения по наилучшему параметру для решения различных классов задач, решениями которых являются однопара-метрические множества, т.е. кривые. Главным результатом исследований является доказательство факта, что наилучшим параметром продолжения решения является параметр длины интегральной кривой множества решений. Определение «наилучший» понимается в том смысле, что использование длины интегральной кривой множества решений в качестве нового ар-
Введение
гумента задачи доставляет наилучшую обусловленность процессу построения решения.
В 1988 г. в России вышла книга Э.И. Григолюка и В.И. Шалашилина «Проблемы нелинейного деформирования» [29], посвященная методу продолжения по наилучшему параметру и применению алгоритмов наилучшей параметризации для решения задач механики деформируемого твердого тела. В 1991 г. она была переведена на английский язык и выпущена издательством Kluwer1. Окончательное оформление этот метод нашел в работах 1993-1997, в которых было доказано, что переход к наилучшему аргументу осуществляется с помощью универсального аналитического преобразования, названного Я-преобразованием, имеющего простую геометрическую интерпретацию. В работах этого периода было также показано, что метод продолжения по наилучшему параметру имеет гораздо более широкую область применения, чем обычный метод продолжения. Его использование значительно расширяет класс задач, для которых становится возможным получить численные решения. Этот метод одинаково пригоден для решения любых однопараметрических задач, когда решение достаточно гладко зависит от переменных и параметра, так как позволяет добиться наилучшей обусловленности системы линеаризованных уравнений. Алгоритмы метода наилучшей параметризации нечувствительны к наличию предельных точек на кривой деформирования и дают возможность без затруднений проходить особые точки решения.
В 1999 г. в России вышла вторая книга В.И. Шалашилина в соавторстве с Е.Б. Кузнецовым «Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике» [146]. В книге рассмотрено и обосновано применение наилучшей параметризации для решения различных классов задач, решениями которых являются однопараметриче-ские множества.
1 Grigolyuk ЕЛ., Shalashilin V.I. Problems of nonlinear deformation. Dordrecht et al.: Kluwer, 1991.262 p.
Введение
Проблема нелинейного статического и динамического деформирования может быть эффективно решена, если она будет поставлена в форме, адекватной методу её решения. Это предложение положено в основу настоящей работы с целью получения разрешающих уравнений продолжения, соответствующих известным уравнениям механики деформируемого тела и моделирующих процессы сильного нелинейного деформирования [56]. В итоге, поставленная задача сводится к задаче Коши по параметру продолжения в неявной форме.
Полученные уравнения продолжения содержат частные производные по пространственным координатам. Поэтому для дальнейшего построения численного решения необходимо использовать какой-либо из методов координатной дискретизации. Наиболее универсальным и мощным методом дискретизации является метод конечных элементов [26, 76, 115, 116, 155, 156]. Благодаря своей физической наглядности, высокой алгоритмичности и удобству применения в областях сложной формы этот метод получил широкое распространение, особенно в задачах механики деформируемого твердого тела. В связи с этим в диссертации дается методология построение общей системы параметризованных уравнений нелинейного деформирования в рамках метода конечных элементов.
В настоящее время остается актуальной проблема эффективности численных схем интегрирования начальных задач нелинейной динамики деформируемых систем, оптимальных по быстродействию и расходованию машинных ресурсов. Причина этого заключается в постоянном усложнении задач, решаемых численными методами [6-10], и стремлении оптимизировать динамические процессы.
При решении динамических задач исследователь должен сделать выбор между явными и неявными схемами. Известно, что у явных схем временной шаг определяется устойчивостью алгоритма, а у абсолютно устойчивых неявных - точностью вычислений. Традиционно основным аргументом в поль-
Введение
зу выбора явных схем является трудоемкость при реализации неявных алгоритмов. Однако при использовании классических явных алгоритмов шаг интегрирования может оказаться катастрофически малым, поскольку он определяется высокочастотными колебаниями, существенно не влияющими на процесс деформирования конструкций. Для преодоления этой ситуации в литературе предлагаются разнообразные регуляризирующие или стабилизирующие операторы, позволяющие искусственно подавить высокочастотные колебания без искажения «основной» картины деформирования. Здесь необходимо отметить основополагающие работы В.Г. Баженова [6-10] и В.И. Лебедева [91], в которых развиваются и обосновываются методы повышения эффективности явных схем численного решения начальных задач математической физики, включая нелинейные задачи динамики деформируемых конструкций.
В связи с этим, важной частью диссертационной работы является разработка нового общего подхода к построению неявных алгоритмов пошагового интегрирования начальных задач механики деформируемого твердого тела. Подход основан на аналитическом преобразовании исходной задачи к наилучшему аргументу - параметру длины интегральной кривой в евклидовом пространстве решения. Это преобразование позволяет сформулировать разнообразные неявные алгоритмы с использованием простых итераций Пика-ра, реализация которых, как известно, является простейшей и не требует привлечения каких-либо дополнительных трудоемких численных процедур.
Известно, что при решении нелинейных задач механики деформируемого твердого тела неявные алгоритмы строятся, как правило, на основе итерационной схемы Ньютона или ее модификации в виде алгоритма Ныотона-Рафсона. Простые итерации не используются, поскольку они либо не сходятся, либо сходятся крайне медленно при допустимых значениях шага интегрирования.
Введение
Итерации Ньютона обладают свойством квадратичной сходимости, которое придает методу особенную ценность. Однако имеются три обстоятельства, которые препятствуют его успешному применению.
Проблема заключается в нахождении приближенного решения системы уравнений
/Ххх,...,хп) = 0, / = 1,...,л,
где fx,...,/„ - заданные нелинейные функции п переменных х{,...,хп.
При реализации метода Ньютона (Ньютона-Рафсона) необходимо, во-первых, на каждом шаге (или через несколько шагов) вычислять матрицу Якоби, что требует вычисления п2 частных производных dfjdxj,
(j = 1,...,и). Если это число велико или если функции ft достаточно сложны, то получение аналитических выражений для производных и последующее программирование формул может оказаться исключительно трудоемкой работой, чреватой ошибками. Как правило, получение аналитических формул для частных производных не представляется возможным, поэтому частные производные аппроксимируются конечными разностями. Однако на практике это оказывается дорогостоящей процедурой с точки зрения машинных ресурсов (времени, оперативной и дисковой памяти компьютера).
Второй недостаток связан с необходимостью решения на каждой итерации (или через некоторое небольшое число итераций) системы линейных уравнений, что также может потребовать значительных машинных ресурсов.
Третьей и наиболее серьезной трудностью, возникающей при использовании метода Ньютона, является то, что при заданном начальном приближении итерации могут расходиться, поскольку локальная теорема сходимости гарантирует сходимость только в том случае, если начальная точка окажется достаточно близкой к искомой точке. В этом случае необходимо определить наиболее близкую к искомой начальную точку исходя, например, из физических или каких-либо еще соображений. Однако это не всегда приводит к успеху.
Введение
Наилучшая параметризация исходной задачи позволяет либо полностью устранить, либо значительно смягчить указанные выше проблемы. Этому посвящена большая часть диссертационной работы, где предлагается методология построения неявных алгоритмов с использованием простых итераций, и дается обоснование разработанных итерационных алгоритмов. Является принципиально важным, что при использовании простых итераций не нужно вычислять матрицу Якоби и решать систему линейных уравнений, как в методе Ньютона.
В работе формулируются и доказываются теоремы о сходимости простых итераций (сжимаемости отображения, формируемого итерационной функцией), даются явные оценки шага интегрирования вдоль интегральной кривой решения, при которых обеспечивается сходимость простых итераций. Как показывают расчеты, связанные с моделированием нелинейного нестационарного движения деформируемых систем, основное ограничение на шаг интегрирования параметризованных уравнений накладывает не сходимость простых итераций, а вычислительная точность, которая определяется локальной ошибкой интегрирования. Построенные алгоритмы обладают высокой эффективностью: они просты в реализации, обладают большим быстродействием и не требуют в работе значительных машинных ресурсов. Использование таких алгоритмов дает возможность, рационально сочетать неявные схемы с явными, ограничиваясь одним итерационным циклом.
Таким образом, предлагаемый в диссертации подход носит комплексный характер, нацеленный на разработку не только общей методологии параметризации уравнений теории нелинейного деформирования, но и на получение конечного результата в виде алгоритмов и программ, адекватных процессу деформирования и эффективных с вычислительной точки зрения.
Работы по теме диссертации выполнялись при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов: 97-01-00091, 99-01-01187, 00-01-00072, 03-01-00071); федеральной целевой программы «Интеграция науки и высшего образования
Введение
России» (код проекта: Б0053); научно-технической программы министерства образования Российской Федерации «Фундаментальные исследования высшей школы в области естественных и гуманитарных наук. Университеты России» (учетный номер проекта 015.04.01.19), международного гранта INTAS (код проекта 3736).
По теме диссертации автором опубликовано более 70 работ. В диссертации даются ссылки только на основные работы, имеющие прямое отношение к предмету диссертации.
В работах [37-49, 67, 68] рассмотрены математические нелинейные модели и задачи динамики гибких систем с учетом конечных перемещений и поворотов упругих тел. Здесь же рассмотрены задачи нестационарной динамики трансформируемых конструкций, начальная конфигурация которых может испытывать сильные изменения. Большой акцент в указанных работах делается на методы получения численных решений, адекватности их реальному динамическому процессу и анализе используемых счетных алгоритмов. Работы [32, 162] посвящены изучению динамики развертывания тросовых систем.
Применению параметризации к решению частных нелинейных статических и динамических задач с выбором параметра длины интегральной кривой множества решений в качестве наилучшего аргумента посвящены работы [51, 53, 54, 59, 60, 79]. В них даются также количественные оценки эффективности преобразования исходной задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений к наилучшему аргументу.
Работа [56] носит основополагающий характер. В ней формулируется проблема нелинейного деформирования с позиции метода продолжения решения по наилучшему параметру и предлагается общая методология построения параметрических аналогов основных уравнений теории нелинейного деформирования.
Введение
Метод конечных элементов является в настоящее время основным методом дискретизации по пространственным координатам при моделировании процессов статического и динамического деформирования. Поэтому работы [50, 57, 58, 62] посвящены конечно-элементной формулировке задачи о нелинейном деформирования твердых тел с позиции метода продолжения решения по наилучшему аргументу. В обзорных статьях [52, 55, 78] дается анализ существующих программных средств для решения задач нелинейной механики деформируемых систем.
В работах [21, 22, 65, 69, 71, 161, 163-166] предлагаются и обосновываются новые неявные методы интегрирования нелинейных уравнений движения деформируемых систем, параметризованных с использованием длины интегральной кривой решения. Предложенные алгоритмы отличаются большой эффективностью по сравнению с алгоритмами интегрирования непара-метризованных уравнений.
Анализ корректности использования различных форм нелинейных деформационных соотношений при решении существенно нелинейных задач механики деформирования твердого тела сделан в работах [66, 70]. В этих работах даны оценки точности вычислений с использованием различных вариантов геометрически нелинейных соотношений и показано, что использование приближенных вариантов геометрических соотношений может вносить в расчет значительную погрешность.
В работах [61, 63, 64, 105-107] предложен метод анализа механического поведения стержней из СПФ при прямом превращении под действием изгибающих нагрузок в несвязной постановке. Здесь дается алгоритм решения соответствующих задач механики, основанный на методе продолжения решения по параметру, в качестве которого выбирается объемная доля мартен-ситной фазы.
Указанные выше опубликованные работы составили основу диссертации.
Содержание диссертации изложено в шести главах.
Введение
Первая глава носит общий характер и посвящена формулировке проблемы нелинейного деформирования с позиции метода продолжения решения по параметру [56].
При исследовании процессов нелинейного деформирования основные соотношения и уравнения традиционно формулируются в неизвестных, соответствующих конечному результату процесса деформирования. Однако наиболее интересен не столько конечный результат, сколько процесс его достижения, то есть процесс деформирования, поскольку управление этим процессом открывает широкие возможности проектирования эффективных и экономичных технологических процессов. С другой стороны, одним из наиболее мощных методов численного решения задач сильного нелинейного деформирования является метод продолжения решения по параметру. Этот метод по своей идеологии предполагает получение конечного решения как результата вычислительного процесса, который фактически адекватен процессу деформирования или может быть сформулирован в такой форме. С этой точки зрения представляет интерес такая форма исходных соотношений, которая была бы наиболее адекватна методу их численной реализации -методу продолжения решения по параметру. Поэтому одним из основных новых результатов диссертационной работы является построение полной системы уравнений продолжения, соответствующих уравнениям механики деформирования твердых тел.
Ввиду того, что в рассматриваемой постановке проблемы перемещения не являются малыми, их использование для описания геометрии деформаций теряет первоначальный смысл. Поэтому, геометрические соотношения предлагается записывать через лагранжевы координаты деформированного тела с использованием различных мер деформаций.
Рассматриваются статические и динамические задачи, решение которых непрерывно зависит от некоторого параметра или аргумента. Разработан метод вывода уравнений продолжения, соответствующих основным группам
Введение
уравнений нелинейной теории деформирования (деформационным и физическим соотношениям, уравнениям равновесия) с использованием в качестве неизвестных лагранжевых координат точек тела. Уравнения продолжения получены в недеформированной конфигурации тела с использованием различных тензорных мер деформаций. Физические соотношения представлены в общей дифференциальной форме, соответствующей методу продолжения. Специальным дифференциальным соотношением вводится новый аргумент задачи - параметр длины интегральной кривой множества решений в пространстве, объединяющим одномерное евклидово пространство параметра задачи (нагрузки или времени) и гильбертово пространство лагранжевых координат задачи. Основываясь на фундаментальных результатах, полученных в [85-89, 132, 142-146], утверждается, что такой переход к такому аргументу доставляет системе разрешающих уравнений наилучшую обусловленность процесса решения. Обсуждаются методы дискретизации по пространственным координатам и даются аналоги уравнений продолжения в конечномерных случаях для задач сильного статического и динамического деформирования.
Вторая глава диссертации посвящена конечно-элементной формулировке задачи о деформирования твердых тел на основе принципа минимума полной энергии системы и процедуры продолжения решения по параметру. Предлагается в качестве нового параметра продолжения решения (аргумента задачи) использовать параметр длины интегральной кривой в евклидовом пространстве, образованном начальным (естественным) параметром задачи и ее основными неизвестными. Утверждается, что такой метод адаптации исходных уравнений к форме, адекватной последующему методу их решения, доставляет наилучшую обусловленность процедуре построения их численного решения.
Конечно-элементное моделирование нелинейных задач связано с построением сетки конечных элементов, которые могут подвергаться большим
Введение
перемещениям и произвольно большим поворотам. Эта задача еще далека от полного решения, поскольку имеет место неадекватность представления деформационными соотношениями больших перемещений элементов как жесткого целого. В связи с этим, во второй главе дается сравнительный анализ трех вариантов геометрически нелинейных соотношений, используемых при построении конечно-элементных моделей. Показывается, что использование приближенных вариантов геометрических соотношений может вносить в расчет значительную погрешность. Сделаны оценки точности вычислений с использованием различных вариантов геометрически нелинейных соотношений.
Во второй главе дается также простой и удобный в реализации способ выделения из тензора деформации компоненты, определяющей движение конечного элемента как твердого тела. Этот способ носит «конструктивный» характер и основан на использовании локальных координатных систем, которые связываются с элементами конечно-элементной сетки. В этом случае описание локальных перемещений точек элемента, характеризующих деформацию элемента, можно делать с использованием простых деформационных соотношений. Однако пространственное движение локальной системы, определяющее перемещения и повороты элемента как жесткого тела, описывается строго. Поэтому, вопрос о корректности использования различных форм нелинейных деформационных соотношений в рамках локальных систем теряет свою принципиальность.
В качестве обобщенных координат, описывающих произвольные повороты локальных координатных систем, предлагается использовать компоненты векторов конечных поворотов или однозначно связанных с ними параметры Родрига-Гамильтона [73, 93]. Это позволяет избежать вырождения кинематических соотношений, описывающих геометрию больших поворотов, а также дать компактное и симметричное описание поворотов без использова-
Введение
ния громоздких выражений, содержащих направляющие косинусы локальных координатных систем.
В третьей главе показано, что при численном решении задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка возможно построение простых и экономичных неявных вычислительных алгоритмов пошагового интегрирования без организации трудоемких итерационных процедур, основанных на процессах по типу итераций Ньютона-Рафсона [21, 22, 65, 67-69, 71, 163-166]. Предварительно исходная задача должна быть преобразована к новому аргументу - длине ее интегральной кривой. Такое преобразование осуществляется с использованием уравнения, связывающего исходный параметр задачи с длиной интегральной кривой. На примере метода линейного ускорения, который является основой известных методов Ньюмарка и Вилсона [20, 47, 115, 155], показана процедура построения неявного алгоритма с использованием простых итераций [131, 135] для численного решения преобразованной задачи Коши. Сформулированы и доказаны теоремы о вычислительных свойствах итерационного процесса. Даны явные оценки шага интегрирования, обеспечивающие сходимость простых итераций. Эффективность предложенной методологии продемонстрирована на численном решении трех тестовых задач. Для них дан сравнительный анализ численных решений, полученных с использованием и без использования параметризации исходных задач.
В третьей главе дается также способ управления величиной шага интегрирования для обеспечения заданной точности интегрирования, основываясь на оценке локальной погрешности вычислений. Этот прием может быть использован не только для одношаговых методов, но и для многошаговых, обладающих более высокими аппроксимативными свойствами.
В четвертой главе дается конечно-элементная формулировка частных задач с использованием процедуры наилучшей параметризации.
Введение
Первая часть главы посвящена описанию нелинейного деформирования стержневых систем в трехмерной и двумерной постановках. Основные деформационные соотношения для стержней получены из общих соотношений нелинейной теории упругости с использованием асимптотического подхода [112]. Полученные деформационные соотношения связывают между собой продольные и сдвиговые факторы, включая поперечные сдвиги и деформацию кручения. Функции формы выводятся из решения однородной краевой задачи в переменных локальных координатных систем. Это позволяет корректно включить в конструкцию функций форм аналитические особенности решения с учетом сдвига по двум направления в сечении стержня.
Для анализа достоверности модели, а также эффективности счетных алгоритмов дается ряд примеров о сильном статическом деформировании гибких стержневых систем.
Рассматриваются задачи нестационарной динамики гибких, в том числе трансформируемых, стержневых конструкций. Для них сопоставляются численные решения, полученные с использованием и без использования процедуры параметризации. В работе демонстрируется эффективность неявной схемы интегрирования для параметризованных уравнений по сравнению с интегрированием исходных (непараметризованных) уравнений.
Вторая часть четвертой главы носит методический характер и демонстрирует применение параметризации к решению плоской задачи теории упругости. Здесь же демонстрируется применение методологии параметризации к решению статических задач о деформирования твердых тел из идеального нелинейно-упругого материала. Перемещения точек тела считаются по величине в определенной степени произвольными, деформации - малыми, но с учетом нелинейности физических зависимостей (диаграмм) между напряжениями и соответствующими деформациями. В конце главы дается пример о геометрически нелинейном деформировании нелинейно-упругой полосы.
Введение
В пятой главе рассматривается применение наилучшей параметризации для решения задач нелинейной механики абсолютно гибких стержней, к которым в прикладной механике относят, например, провода воздушных линий электропередачи, кабели оптоволоконной связи, шланги для перекачки жидкости, транспортировочные ленты. К таким системам относятся также космические тросовые системы, представляющие собой два и более аппаратов, связанных между собой тонкими тросами или лентами. Этот класс задач является важным в практическом отношении. Задачи, связанные с моделированием движения таких гибких систем, являются, в подавляющем большинстве, нелинейными.
Первая часть главы посвящена моделированию нелинейной динамики развертывания космической тросовой системы на околоземной орбите [32, 162]. На основе метода конечных элементов разработана простая и эффективная в вычислительном плане модель космического аппарата с выпускаемым тросом. Представлены возможные варианты выпуска троса, обеспечивающие устойчивость движения. В результате численных экспериментов показано, что переход от параметра времени к длине интегральной кривой решения в евклидовом пространстве, образованном параметром времени и основными неизвестными задачи и их скоростями, позволяет значительно повысить эффективность построения численного решения (существенно уменьшить расчетное время и объем оперативной информации) по сравнению с решением задачи без параметризации уравнений. Счетное быстродействие дает возможность многократно повторять расчеты для поиска приемлемых решений в допустимых пределах по времени, что является важным при проведении оптимизационных расчетов.
Вторая часть пятой главы связана с построением алгоритма расчета статических состояний проводов и оптоволоконных кабелей связи воздушных линий электропередачи в различных эксплуатационных режимах с учетом большого числа строгих ограничений на прочностные и геометрические па-
Введение
раметры, регламентируемых правилами устройств электроустановок [123]. Новые быстродействующие алгоритмы разработаны в рамках теории тяжелой нити на основе метода продолжения решения по обобщенному параметру нагрузки с последующим переходом к длине интегральной кривой решения в евклидовом пространстве, образованном параметром нагрузки и горизонтальными компонентами тяжения в каждом из пролетов анкерного участка воздушной линии электропередачи. Эта задача является важной и актуальной при проведении проектных расчетов монтажных, особых и аварийных состояний проводов и кабелей воздушных линий электропередачи [16, 25, 83].
В заключительной шестой главе рассматриваются геометрически и физически нелинейные задачи о прямом мартенситном превращении в изгибаемых балках из сплавов с памятью формы в условиях, когда параметр доли мартенситной фазы не зависит от координаты по высоте сечения. Считается, что деформации малы, но разница между отсчетной и актуальной конфигурациями существенна. Показано, что из выполнения гипотезы плоских сечений для полных деформаций следует линейность распределения по поперечной координате продольных упругих и фазовых деформаций, а также продольных напряжений. Предложен алгоритм решения соответствующих задач механики деформируемого твердого тела, основанный на методе продолжения решения по параметру. С помощью предлагаемого метода продемонстрирована возможность придания балкам из СПФ весьма сложной формы за счет явления прямого превращения при действии на балку специально выбранных нагрузок. Параметризация разрешающей системы уравнений (после дискретизации по методу конечных разностей) дает возможность сформулировать быстродействующие и устойчивые в вычислительном плане алгоритмы, позволяющие подобрать внешние нагрузки, необходимые для получения заданной конфигурации балки после процесса прямого превращения.
В заключении сформулированы основные результаты работы.
Введение
Следует отметить, что предложенные в диссертации модели и счетные алгоритмы реализованы в конечно-элементном комплексе ERGO [50, 57, 58, 62] - программной разработке автора диссертации совместно с д.ф.-м.н., проф. В.И. Шалашилиным, к.ф.-м.н., доц. А.Б. Костриченко, к.т.н. Н.Н. Зуевым. С помощью этой программы были проведены расчеты нелинейной статики и нестационарной динамики деформируемых конструкций, результаты которых представлены в диссертации. Для сравнения некоторые расчеты были проведены также с использованием конечно-элементных комплексов UAI-NASTRAN, MSC-NASTRAN и ABAQUS - общепризнанных программных «лидеров» среди существующих программных средств инженерного анализа [52, 55, 57, 78]. В этих программах реализована одна из простых дискретных схем продолжения решения по параметру - метод «длины дуги» (Arc Length Method) с использованием итераций Ныотона-Рафсона.
Не претендуя на общую эффективность и полноту инженерного анализа, которые предоставляются указанными программными «монстрами», были сделаны сравнения эффективности решения некоторого ряда задач с использованием ERGO и указанных коммерческих комплексов. В расчетах использовались модели, созданные с помощью конечно-элементного генератора FEMAP, известной разработке компании Structural Dynamics Research Corp.
В итоге: (1) процессорное время расчетов с использованием ERGO оказалось заметно меньше (в некоторых случаях существенно меньше: в 5-Ю раз) процессорного времени расчетов с использованием коммерческих программ; (2) настройки решателей в ERGO не требовалось, однако это необходимо делать в указанных комплексах, пробами подбирая необходимые величины параметров. Например, в программном комплексе UAI/NASTRAN пользователь должен задать около 20 параметров, управляющих стратегией продолжения решения и итерациями на каждом шаге. По опыту известно, что в ряде случаев подбор параметров, обеспечивающих нахождение решения, явля-
Введение
ется весьма непростой задачей, которую может выполнять только квалифицированный и опытный специалист.
На базе ERGO автором диссертации была разработана специализированная версия программы (ErgoLine), адаптированная для моделирования нелинейных статических состояния воздушных линий электропередачи в различных эксплуатационных режимах, а также нелинейной нестационарной динамики проводов при их обтекании воздушным потоком. Эта программа внедрена на производственном предприятии ЗАО «Электросетьстройпроект».
Уравнения нелинейной теории деформирования
Уравнение движения материальной частицы будем рассматривать в не-деформированной конфигурации тела [94, 113, 140] Vo.Zn+p(/- ) = 0. (1.9)
Здесь V = is д/дх] - набла-оператор, р - плотность материала в неде-формированной конфигурации, f = fkik - вектор внешней силы, отнесенной к единице массы, x = isd2xjdt2 - вектор ускорения. Величина 2n =F4 JE представляет собой номинальный тензор напряжений; J даётся соотношением (1.4). Входящий в это выражение тензор является обратным к F [140]; ejJk - символ Леви-Чивита. Подстановка (1.10) в (1.9) позволяет дать явную запись уравнения движения (1.9) в виде
В этом уравнении отдельно рассмотрим второе слагаемое. Вычисляя сумму по индексам к, т и п нетрудно убедится, что это слагаемое тождественно равно нулю и уравнение движения принимает вид дхр дх.(. 81.) или, в компонентном представлении,
Уравнения (1.11), (1.12) нелинейны относительно пространственных координат xj и истинных напряжеЕши asj. Однако, если перемещения малы, то их изменения не учитываются при составлении уравнении равновесия, т.е. считается, что
Тогда, как видно, уравнения (1.9), (1.11) для декартовых координат принимают традиционную для линейной теории упругости форму
Уравнения движения (1.9) или (1.11), (1.12), геометрические (1.2) и физические (1.6) соотношения составляют полную систему уравнений нелинейного деформирования среды, которые должны быть дополнены условиями на границе тела и соотношениями, определяющими состояние тела в начальный момент времени. Простейшими из них будут условия того, что граница тела Г фиксирована во времени и начальное состояние соответствует недеформированному телу:
Необходимыми элементами любого метода численного решения уравнений вида (1.9), (1.6), (1.2) являются дискретизация по пространственным координатам и локальная линеаризация по параметру времени, нагрузки или какому-либо другому параметру. Дискретизация может быть проведена разностными, вариационными или вариационно-разностными методами (например, методом конечных элементов). Локальная линеаризация наиболее рационально осуществляется в рамках метода продолжения решения по параметру [29, 146]. Суммарная громоздкость этих двух процедур, вообще говоря, зависит от их очередности. Представляется более эффективным проводить дискретизацию после линеаризации.
Отметим здесь также, что решения статических и динамических задач с точки зрения метода продолжения по параметру имеют свои особенности. Уравнения статического состояния следуют из (1.11) или (1.12) полагая, что инерционные слагаемые в уравнениях движения отсутствуют, а вектор нагрузки / является функцией параметра нагрузки р, т.е. / = f(p).
Статическое деформирование. Сначала рассмотрим статическую задачу с точки зрения применения метода продолжения по наилучшему параметру. Будем считать неизвестные координаты точек деформированного тела х, тензоры деформаций Е и напряжений , а также параметр нагрузки р функциями некоторого параметра продолжения , смысл которого определим ниже, т.е.
Рассмотрим более подробно процедуру дифференцирования по геометрических соотношений. Её результат зависит от вида функции /(Л), определяющей тензор деформации Е.
Обозначим через Хк и ек (k = l, 2, 3) собственные числа и собственные (ортонормированные) векторы тензора Л. Будем считать, что Як и ек являются непрерывными функциями параметра , дифференцируемыми достаточное число раз по . Аналогично (1.16) запишем Як = Лк(), ек = ек{). Векторы е\, е2, е\ образуют главный базис Л, в котором Л = Лк екек. В каноническом представлении [140] f(K) = к/(Лк)екек.
В силу принятых допущений о непрерывности по , при изменении параметра продолжения на величину d, тензор деформации Л получит приращение dK = ]kdAkgkgk, где g{, g2, g3 - главный (ортонормирован ный) базис тензора dK. В свою очередь, тензор Е =/(Л) изменится на величину dK =YJkdf{\)gkgk=YJkf k)dKgk8k и станет равным Eew = Е + dK, где df(\), dfik , df(Aj) - дифференциалы собственных значений тензора Е, одновременно являющиеся собственными значениями тензора dK; f[{ k) = df{Xk)jdXk .
О различных вариантах геометрически нелинейных соотношений при больших деформациях
Метод конечных элементов (МКЭ) в настоящее время зарекомендовал себя как исключительно мощное средство приближенного решения дифференциальных уравнений, описывающих различные физические процессы [20, 75, 96, 129, 155, 156]. Наглядность метода и сравнительная простота применения в случае областей сложной формы сделали его весьма популярным среди широкого круга прикладников и инженеров при решении задач прочности, теплового анализа, динамики жидкости и т.п. [26, 76, 115, 116, 133]. На основе МКЭ создан и успешно эксплуатируется ряд промышленных программных комплексов для прикладных расчетов (ABAQUS, ADINA, COSMOS, MSC-NASTRAN, NE NASTRANiiflp.).
Как известно, МКЭ относится к вариационно-разностным методам и имеет в своей основе представление исходной области со сложной формой границ множеством достаточно простых подобластей (конечных элементов).
Применительно к задачам механики деформируемого твердого тела вариационная формулировка МКЭ может быть осуществлена на основе четырех принципов [20, 75, 96, 115]: 1) принципа минимума полной энергии системы (метода перемещений); 2) принципа минимума дополнительной энергии системы (метода сил); 3) смешанных принципов (методов Вашицу, Рейснера-Хеллингера и др.); 4) модифицированных принципов минимума полной и дополнительной энергии (гибридных методов). При этом конечный вид уравнений зависит от того, являются ли основные соотношения задачи (деформационные, статические, физические) линейными или нелинейными. После выполнения условий стационарности энергетических функционалов, линейные задачи преобразуются либо к чисто линейной алгебраической проблеме с использованием только основных арифметических операций (статические задачи, задачи на собственные значения), либо к связанным системам линейных обыкновенных дифференциальных уравнений (задачи динамического отклика на внешнее воздействие). С другой стороны, конечно-элементная формулировка задач о деформировании с использованием нелинейных деформационных и физических соотношений приводит, соответственно, к системам нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений, или к системам нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений по параметру времени. Дальнейшая численная реализация решения таких систем опирается, как правило, на локальную линеаризацию задачи, которая наиболее рационально осуществляется в рамках метода продолжения решения по параметру (нагрузки, температуры, времени и т.д.).
В первом параграфе второй главы дается конечно-элементная формулировка задачи о деформирования твердых тел на основе принципа минимума полной энергии системы и процедуры продолжения решения по параметру. Рассматриваются нелинейные задачи, решение которых непрерывно зависит от одного параметра. Предлагается в качестве нового параметра продолжения решения (аргумента задачи) использовать параметр длины интегральной кривой в евклидовом пространстве, образованном начальным (естественным) параметром задачи и ее основными неизвестными. Показывается, что такой метод адаптации исходных уравнений к форме, адекватной последующему методу их решения, доставляет наилучшую обусловленность процедуре построения их численного решения [85-89, 132, 141-146].
Конечно-элементное моделирование нелинейных задач связано с построением сетки конечных элементов, которые могут подвергаться большим перемещениям и произвольно большим поворотам. Эта задача еще далека от полного решения [70, 84, 119, 147]. Причина кроется в неадекватности представления деформационными соотношениями больших перемещений элементов как жесткого целого. В связи с этим, второй параграф главы посвящен сравнительному анализу трех вариантов геометрически нелинейных соотношений (точным, полным и неполным квадратичным соотношениям), используемым при построении конечно-элементных моделей. Показывается, что использование приближенных вариантов геометрических соотношений может вносить в расчет значительную погрешность. На простых примерах сделаны оценки точности вычислений с использованием различных вариантов геометрически нелинейных соотношений. Даны сравнительные примеры и рассмотрена конечноэле-ментная формулировка частной задачи о геометрически нелинейном деформировании консольной балки с использованием процедуры наилучшей параметризации. Показывается, что в конечно-элементных расчетах деформирования гибких элементов конструкций необходимо учитывать перемещения элементов как жестких тел, причем эти перемещения (поступательные и вращательные) невозможно учесть за счет выбора функций формы, так как они определяются зависимостями «перемещения-деформации».
В заключительном параграфе второй главы дается простой и удобный в реализации способ выделения из тензора деформации компоненты, определяющей движение конечного элемента как твердого тела. Этот способ основан на использовании известной идеи, заключающейся в том, что с каждым конечным элементом ассоциируется (связывается) локальная координатная система, которая двигается совместно с элементом. В этом случае описание локальных перемещений точек элемента, характеризующих деформацию элемента, можно делать с использованием простых деформационных соотношений. Однако пространственное движение локальной системы, определяющее перемещения и повороты элемента как жесткого тела, описывается строго. Поэтому, вопрос о корректности использования различных форм нелинейных деформационных соотношений в рамках локальных систем теряет свою принципиальность.
При построении дифференциальных характеристик элементов большое значение имеет выбор обобщенных координат, описывающих произвольные повороты локальных координатных систем. В качестве таких обобщенных координат в работе предлагается использовать компоненты векторов конечных поворотов или однозначно связанных с ними параметры Родрига-Гамильтона [73, 93]. Это позволяет избежать вырождения кинематических соотношений, описывающих геометрию больших поворотов, а также дать компактное и симметричное описание поворотов без использования громоздких выражений, содержащих направляющие косинусы локальных координатных систем.
Численная схема решения задачи Коши
При дальнейшем увеличении нагрузки деформирование развивается «в обратную сторону». Этот факт объясняется тем, что находящиеся в состоянии сжатия элементы могут воспринимать поперечную нагрузку лишь до определенного значения; при ее дальнейшем увеличении, после прохождения кривой деформирования предельной точки, такие элементы «выворачиваются наизнанку». На рис. 2.8, с показаны несколько последовательных конфигураций элемента, выделенного штриховкой на рис. 2.8, а, в состоянии сжатия. Как видно, после прохождения предельной точки, кривые 1 резко меняют свое направление относительно координатных осей графика, в то время как для кривых 2 нагрузка продолжает монотонно возрастать.
Отметим, что в случае действия силы, направленной в обратную сторону (вниз), эффект «обратного развития деформаций» для полного квадратичного варианта сохраняется при том же значении Р . При этом «выворачивается» левый нижний элемент.
На основании изложенных выше рассуждений можно сделать следующие выводы.
1. В конечно-элементных расчетах деформирования гибких элементов конструкций необходимо учитывать перемещения элементов как жестких тел, причем эти перемещения (поступательные и вращательные) невозможно учесть за счет выбора функций формы, так как они определяются зависимостями «перемещения-деформации».
2. Использование приближенных вариантов геометрически нелинейной теории может вносить в расчет значительную погрешность и сопровождаться такими явлениями, как появление «искусственных» точек бифуркации и расходимостью решения, причем это обусловлено не особенностью алгоритма поиска решения, а является методической погрешностью (погрешностью, заложенной в теорию).
3. При малых деформациях оба квадратичных варианта дают одинаковые результаты, однако при больших деформациях неполный квадратичный вариант позволяет получать результаты, адекватные процессу деформирования с некоторой ошибкой, в то время как полный квадратичный вариант работает только до определенного предела..
Конечно-элементная формулировка задачи нелинейного деформирования несет в себе ряд особенностей, которые проявляются при вычислении вектора обобщенных сил Q(r,q) и касательной матрицы жесткости Kt(r,q) = dQ/dq. Прежде всего, эти вычисления опираются на знание финитных функций форм, выбор которых играет важную роль при конечно-элементном моделировании [75, 76, 115, 129]. Построение функций форм осуществляется с использованием локальных переменных, носителями которых являются конечные элементы, и глобальных переменных, определяющих конфигурацию системы относительно неподвижной (инерциальной) координатной системы. В настоящей работе разработан подход (реализованный в конечно-элементном комплексе ERGO), комбинирующий локальные и глобальные переменные, суть которого определяется следующими положениями.
1. С каждым элементом связываются каким-либо образом оси локальной (элементной) координатной системы [9, 44, 45]. Эти оси водятся таким образом, чтобы максимально выделить из тензора деформации элемента компоненту, отвечающую за локальные повороты элемента как жесткого тела при его деформировании. Таким образом, поворот элементной системы будет включать в себя последовательность трех поворотов. Первый поворот определяется начальной геометрией. Второй поворот связан с возможным изменением конфигурации вследствие кинематических поворотов частей конструкции друг относи тельно друга. Наконец, третья компонента поворота элементных координатных осей зависит только от деформации элемента. Смещения и повороты локальных координатных систем относительно глобальной системы описываются строго.
2. К числу обобщенных координат задачи относятся глобальные перемещения узлов конечных элементов. Они однозначно определяют положения полюсов элементных систем координат в любой момент времени. В начальный момент времени эти перемещения равны нулю.
3. Как известно [93], угловая ориентация однозначно описывается тремя независимыми параметрами. В динамике конструкций обычно вводят три угла, называемые, например, углами Эйлера, Крылова, Кардана, самолетными или корабельными. Они отличаются друг от друга лишь названиями и нумерацией осей, от которых они отсчитываются. Однако введение этих углов сопровождается появлением нулей в знаменателях кинематических соотношений при некоторых угловых ориентациях [73]. В расчетах это недопустимо, поэтому используют специальные алгоритмы, связанные с «раскрытием» этих неопределенностей. Например, координатные оси могут быть переориентированы. Однако в целом это не устраняет проблему и существенно искажает однородность счетных алгоритмов. Проблема вырождения кинематических уравнений может быть полностью устранена, если воспользоваться для описания угловой ориентации теорией конечных поворотов, которая оперирует с компонентами векторов конечных поворотов [17, 93, 137, 167, 168, 174-177].
Численные примеры решения задач о нелинейном деформировании гибких стержневых конструкций
Задаче о нелинейном деформировании стержня посвящено большое количество работ, начиная с фундаментальных исследований Я. Бернулли (1694), получившего соотношения для кривизны при изгибе и дифференциальное уравнение статического изгиба, и Л. Эйлера (1744), который исследовал и интегрировал эти уравнения. Здесь ограничимся лишь перечислением некоторых публикаций, таких как [30, 44, 45, 74, 125-128, 151, 152], которые интересны в теоретическом, практическом, либо методическом отношении. Однако эта тематика далеко не исчерпана, поскольку нелинейность не позволяет получить строгих в рамках модели решений, и есть большой выбор приближенных подходов, аналитических, численно-аналитических и численных, со своими ограничениями и областью применения.
Анализ известных публикаций и опыт работы с коммерческими программными комплексами (такими как, ADINA, ABAQUS, MSC NASTRAN) позволил автору выделить ряд особенностей настоящего подхода, которые определяются следующими положениями.
1. Нелинейная модель стержня строится на основе метода конечных элементов с использованием параметризации по параметру длины интегральной кривой решения.
2. Математические модели с одной или двумя пространственными переменными связаны с существенным упрощением реального физического процесса. Настоящая модель ориентирована на решение пространственных задач. Для этого, при построении математической модели, применяется теория конечных поворотов.
3. В известных работах, как правило, используется классическая теория изгиба стержня, основанная на гипотезе плоских сечений Я. Бернулли. В настоящей работе, следуя [112], предлагается асимптотический подход, позволяющий получить основные деформационные соотношения для стержней из общих соотношений нелинейной теории упругости. Полученные деформационные соотношения связывают между собой продольные и сдвиговые факторы, включая поперечные сдвиги, соответствующие модели Тимошенко [30], и деформацию кручения.
4. Функции формы выводятся из решения однородной краевой задачи в переменных локальных координатных систем. Это позволяет корректно включить в конструкцию функций форм аналитические особенности решения с учетом сдвига по двум направления в сечении стержня.
Стержневые функции формы на основе решения квазистатической задачи. Рассматривается тонкий призматический стержень произвольного поперечного сечения с первоначально прямолинейной осью, совмещенной с осью Ох декартовой системы координат Oxyz (рис. 4.1). Начало координатной системы помещается в произвольной точке торцевого сечения, которая называется полюсом. В результате деформации точка стержня M(x,y,z) получит перемещения u = u(x,y,z), v = v(x,y,z), w = w(x,y,z) по осям Ох, Оу и Oz, соответственно.
В дальнейшем, основываясь на решении задачи о чистом кручении стержня [94, 112, 113], ограничимся случаем, когда й = вЦх)(р(у,г), v = w = 0. (4.20)
Пользуясь формулами (4.6) с учетом условий (4.19), (4.20), получим выражения для деформаций удлинений и сдвигов, которые совместимы с законом Гука для истинных напряжений [66, 70, 119, 147].
В работе [119] показано, что случая малых деформаций и средних деформаций сдвигов лучшую аппроксимацию для элементарных состояний дает смешанный вариант кинематических соотношений в квадратичном приближении, когда деформации удлинений вычисляются, следуя Доннеллу [74], по формулам
Связь конечного элемента с локальной системой координат. Считается, что каждый элемент имеет два узла с номерами 0, 1, ассоциированными с краевыми сечениями элемента. Каждый элемент связывается с локальной (элементной) системой координат Оху, совершающей движение совместно с конечным элементом. Такую связь можно осуществлять различным образом. Например, начало локальной системы координат можно совместить с точкой пересечения оси стержня и краевого поперечного сечения, направив ось Ох перпендикулярно сечению стержня [44-46] (рис. 4.4, а). Здесь, однако, предлагается использовать иной вид связи: локальная система «привязывается» к элементу таким образом, чтобы ось Ох проходила через полюсы, принадлежащие краевым сечениям элемента (рис. 4.4, б). Такой способ введения элементной системы коор динат обладает рядом преимуществ. Во-первых, в этом случае точность описания перемещений и поворотов стержневого элемента как твердого тела выше по сравнению с первым вариантом выбора локальной системы. Во-вторых, модель становится инвариантной относительно перенумерации узлов системы. И в третьих, формулы, аппроксимирующие локальные перемещения точек упругой оси элемента, приобретают симметричный и более компактный вид. Ось Оу (или Oz) направляется произвольно, руководствуясь удобством. Например, ее можно направить по главной оси инерции площади поперечного сечения. При построении модели, в дальнейшем, перемещения, углы поворотов, поступательные и вращательные скорости элементных осей, совершающих движение относительно инерциальной системы координат OXYZ, учитываются строго.
При математической формулировке учитываются также геометрические нелинейности упругого деформирования элементов, соответствующие конечным деформациям в соответствии с формулами (4.22), (4.23) и нелинейности инерционных сил, обусловленные вращением, а также изменением геометрии системы вследствие относительных перемещений, поворотов и деформаций.
